2025年高考数学复习教案：复数

第6讲复数

(教师尊享•命题分析)

课标要求命题点五年考情命题分析预测

2023全国卷乙T1；2023全国卷甲T2；

2022全国卷乙T2；2022全国卷甲T1；

1.通过方程的复数的概2022新高考卷IT2；2022浙江T2；

本讲每年必考，主

解，认识复数.念2021全国卷甲T3；2021新高考卷

要考查复数的有关

2.理解复数的IIT1；2020全国卷IT1；2020全国卷

概念和运算，复数

代数表示及其IIIT2；2019全国卷IIT2

的几何意义，一般

几何意义，理2023新高考卷IT2；2022全国卷甲

以选择题的形式出

解两个复数相T1；2022新高考卷IT2；2022新高考

现，属于送分题.预

等的含义.复数的运卷IIT2；2021新高考卷IT2；2021新

计2025年高考命题

3.掌握复数代算高考卷HT1；2021全国卷乙T1；2021

稳定，常规备考的

数表示式的四全国卷甲T3；2020新高考卷IIT2；

同时要注意对复数

则运算，了解2019全国卷IIIT2

几何意义的理解和

复数加、减运2023新高考卷HT1；2021新高考卷

应用.

算的几何意义.复数的几IIT1；2020全国卷HT15；2020北京

何意义T2；2019全国卷IT2；2019全国卷

IIT2

•＜敷材鹘］蹒凝葡一.

6学生用书P131

1.复数的有关概念

名称含义

复数的定形如a+历(a,6GR)的数叫做复数，其中实部为①a,虚部为②—

义—i为虚数单位且i2=③一1.

。+历为实数"=0;。+历为虚数"邦；。+历为纯虚数u⑷a=0且厚0

复数分类

(a,Z?£R).

=且(a,b,c,d£R).

复数相等

注意实数能比较大小，虚数不能比较大小.

共物复数a+份与c+di互为共轨复数u⑤a=c且/=一d(〃，b,c,d£R).

建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做⑥实轴，y

复平面

轴叫做⑦虚轴.

说明实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各

象限内的点都表示虚数.

设而对应的复数为z=o+bi,则向量次的模叫做复数z=a+6i的模或绝对

复数的模

值，记作1zI或1a+bi1,即IzI=Ia+b\1=⑧小十炉.

N

2.复数的几何意义

复数z=a+—・一一对应》复平面内的点Z(a,6)(a,kR)

弋平面向量0Z。。。))

思维拓展

(1)n<IzIS-2表示以原点。为圆心，以为和r2为半径的两圆所夹的圆环;

(2)Iz—(a+历)I—r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.

3.复数的四则运算

(1)复数的运算法则

设zi=a+6i,Z2=c+di(a,b,c,dGR).

运算法则运算形式

加法zi+z2=(a+历)+(c+di)=⑨(a+c)+(1+d)i.

减法zi—Z2=(〃+bi)—(c+di)=⑩(a—c)+(b—d)i.

乘法Z1-Z2—(〃+历)•(c+di)=@)(ac-bd)+(ad+Z7c)i.

Z1_a+bi_(a+bi)(c—di)_ac+bd,be—ad.(,1•\

除法22221

z2c+di(c+di)(c—di)c+dc+d^0,

(2)复数的运算律

对任意的Zl,Z2,Z3eC：

交换律：Z1+Z2=(J^_ZJ上句—.结合律：(Z1+Z2)+Z3=(@Z1+(Z2+

加法运算律

Z3).

交换律：Z1Z2=Z2Z1.结合律：(Z1Z2)Z3=Z1(Z"3).分配律：Z\(Z2+Z3)

乘法运算律

=Z1Z2+Z1Z3.

(3)复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行

若复数zi，Z2对应的向量次1，至2不共线，则复数Z1+Z2是以近1，至2为两邻边的平行四

边形的对角线文所对应的复数；复数Zl—Z2是而i—应2=砺所对应的复数.

:翻颤弋

1.下列说法正确的是(D)

A.复数z=a一历(a,bGR)中，虚部为6

B.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小

C.已知z=a+6i(a,bGR),当a=0时，复数z为纯虚数

D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模

2J2023南京市六校联考］复数z=五五(i为虚数单位)，则IzI=(D)

A1c岑D岑

3

O212

解析解法一z=^=y)所以⑵=W)+(-7)

155

等，故选D.

1+iI1+iI二=*=逗，故选

解法二IZ|=|D.

l+2i|l+2iI#+22V55

3.[2021新高考卷I]已知z=2—i,则z(5+i)=(C)

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

解析因为z=2—i,所以z(z+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i,故选C.

4.［2023合肥市二检］设i是虚数单位，复数z=二，则在复平面内z所对应的点位于

1—1

(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析因为z=3=2i=_］+’,所以在复平面内z所对应的点为(一1,1),位

1—1(1—1)(1+1)

于第二象限.故选B.

f=瞧诵方画

。学生用书P132

命题点1复数的概念

例1(1)［全国卷III］复数’的虚部是(D)

解析—=—————=—=-+-i,所以复数的虚部为之.故选D.

l-3i(l+3i)(l—3i)10101010

(2)[2023全国卷甲]设czGR,(a+i)(1-ai)=2,贝1|。=(C)

A.-2B.-l

C.lD.2

解析：(a+i)(1—i?i)=fl+i—a2i—ai2=2a+(1—a2)i=2,2a=2且1—/=o,

解得a=l,故选C.

(3)[2022全国卷甲]若z=l+i,则Iiz+32I=(D)

A.4V5B.4V2

C.2V5D.2V2

解析因为z=l+i,所以iz+3，=i(1+i)+3(IT)=—1+i+3—3i=2—2i,所

以Iiz+3zI=I2-2iI=J22+(-2)故选D.

方法技巧

1.求解与复数有关概念问题的技巧：将复数化为z=a+bi(a,66R)的形式，然后根据复

数的有关概念求解即可.

2.若两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.

3.复数的概念中的常用性质

=±

(1)zr±z2^l^2；Z]%=五•a;(—)=刍(Z2#O).

z2z2

⑵IZ|=|Z|,Iz2|=|Z|2=z-z,|Z1-Z2I=IZlI-IZ2LI—I=4^4-

Z?IZ2।

训练1(1)[2023全国卷乙]设2=咛三，则5=(B)

i+iz+ib

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

解析z=W3^=T'2：i)=]一3,所以2=l+2i,故选B.

1+12+151—1+1—I2

(2)[2022全国卷乙]已知z=l—2i,且z+a2+6=0,其中a,6为实数，贝I](A)

Z?=-2B.Q=19Z?=2

C.〃=l,Z?=2D.Q=-1,b=-2

解析由题意知z=l+2i,所以z+〃z+b=l—2i+o(l+2i)+》=〃+Z?+l+(,2a—2)i

〜(a+b+1=0,._fa=1,一,

=0,所以)解得)故选A.

12a—2=0,(b=—2,

(3)[2023武汉市5月模拟]设复数z满足三为纯虚数，贝Ulzl=(A)

z+1

A.lB.y/2C.A/3D.2

解析因为二为纯虚数，所以可设三二=历(Z#0),则2=上生.

z+1z+11—bi

2\(1-匕2)2」2

(1+bi)__l-b2।2b.(2b)_

解法一因为z=H——-i,所以IzI—|

21+匕2(1+匕2)2c2

(l-di)(l+bi)1+d-J(1+ZJ2)

l+2b2+b4

~~2=1,故选A.

(1+b2)

1+历Il+biI41+82

解法二Iz故选A.

1-bi

命题点2复数的运算

例2(1)[2023新高考卷I]己知z=露，则z—2=(A)

A.-iB.i

C.OD.l

m衣_Li(l—i)1.

解析因为z=-------=-----------------------=--1,

2+2i2(l+i)(l-i)2

所以5=|i,所以z—z=—1i—1i=—i.

故选A.

(2)[2022全国卷甲]若z=—1+bi,则二=(C)

ZZ—1

A.-1+V3iB.-1-V3i

n1后

C.--+-iD.-——i

3333

解析二=—1+V3i_—1+V3i_*i.故选c.

zz—1(—1+V3i)(—1—V3i)-13

方法技巧

1.复数运算的解题策略

(1)复数的加法、减法、乘法运算类比多项式的运算.

(2)复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共轲复数，即分母实数化.

2.复数运算中的常用结论

(1)

a+bi,.

(2)—：—=b~ai.

1

(3)i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(〃£N).

训练2(1)[2022新高考卷I]若i(1—z)=1,贝！Jz+5=(D)

A.-2B.-l

C.lD.2

解析因为i(l—z)=1,所以z=l—L=l+i,所以5=1—。所以z+5=(1+i)+(1

i

-i)=2.故选D.

(2)[2023重庆二调]已知复数z满足z+3=42+5i,i是虚数单位，贝!Iz?=(B)

A.-2iB.2i

C.l+iD.l-i

解析令z=a+6i(a,bGR),贝U。+为+3=4。一4历+5i,即3。一3+(5—5b)i=0,

.'.3a~3—0,5—56=0,解得a=l,b=l,

；.z=l+i,故选B.

命题点3复数的几何意义

例3(1)[2023新高考卷H]在复平面内，(l+3i)-(3—i)对应的点位于(A)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析因为(l+3i)(3-i)=3—i+9i—3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为

(6,8),位于第一象限，故选A.

(2)［全国卷II］设复数Zl，Z2满足IZ1I=IZ2I=2,Zl+z2=V3+i,则IZl—z2I=_

2旧.

解析如图所示，设复平面内复数Zl,Z2所对应的点分别为Zl,Z2,。为原点，则赤=

西+西.

由题知IOPI=VT+1=2=I0Z1I=I0Z2I,所以平行四边形0Z1PZ2为菱形，且

AOPZi,A0PZ2都是正三角形，所以NOZ2ZI=30°,IZ0I=2I0Z2I-cos30°=2V3,

所以IZl—Z2I=IZ1Z2I=2V3.

方法技巧

1.根据复数、点、向量之间的一一对应关系，把复数、向量与解析几何联系在一起，解题

时运用数形结合的方法，可以更加直观地解决问题.

2.思维拓展

Iz-zoI表示在复平面内复数z对应的点与复数Z0对应的点之间的距离；Iz-zoI=r(.r

>0)表示在复平面内复数z对应的点在以复数zo对应的点为圆心、厂为半径的圆上；Iz-

Z1I=IZ—Z2I表示在复平面内复数Z对应的点在复数Zl,Z2对应点所连线段的垂直平分线

上.

训练3(1)［2023湖北十一校联考］复数z满足Iz-5I=Iz-1I=Iz+iI,则IzI=

(C)

A.V10B.V13

C.3V2D.5

解析解法一由Iz-5I=Iz—1I,得复数z对应的点到点(5,0)和到点(1,0)

的距离相等，所以复数z对应的点在直线x=3上；由Iz—lI=Iz+iI,得复数z对应

的点到点(1,0)和到点(0,—1)的距离相等，所以复数z对应的点在直线y=—x上.因

为直线x=3和直线y=—x的交点为(3,~3),所以z=3—3i,所以IzI=

J32+(-3)2=3位,故选C.

解法二设z=a+bi(a,6GR),由|z—5I=Iz—1I=Iz+iI,得Ia—5+历I

,,,,,A(a—5)2-\-b2=(a—1)2~\~b2,„

=Ia—1+biI=Ia+(b+1)iI,•(于22解传

、(a—1)+b2—a2+(6+1),

fa3'贝i］|zI=la2+b2—3V2.

(b=-3,y

(2)［多选/2023石家庄市三检］已知复数zi=l+2i,复数z满足Iz—zM=2,则下列说法

正确的有(AD)

A.zi五=5

B.V5-2<IzI<V5+2

C.复数五在复平面内所对应的点为(一1,2)

D.若复数z在复平面内所对应的点为Z(尤，y),则(x-1)2+(y—2)2=4

解析因为复数zi=l+2i,所以痣=1—2i,其在复平面内所对应的点为(1,-2),所以

选项C错误；zi•尻'=(l+2i)(l-2i)=5,所以选项A正确；若复数z在复平面内所对

应的点为Z(x,y),则可设复数z=x+yi,由Iz—ziI=2得，I(%—1)+(y—2)iI

=2,即(尤一1)2+(y—2)2=4,所以选项D正确；由D选项的分析知，若设复数z在

复平面内对应的点为Z(x,y'),则Izl—lx2+y2,其几何意义为圆(A—1)2+(y~

2)2=4上任意一点到原点的距离，圆心(1,2)到原点的距离为逐，半径为2,所以遥

-2<IzI<75+2,所以选项B错误.综上，选AD.

(教师尊享•备课题组)

1.［命题点1/浙江高考］已知aGR,若a—1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数，则。=

(C)

A.lB.-lC.2D.-2

解析因为。-1+(。-2)i是实数，所以“一2=0,所以a=2.故选C.

2.［命题点1Z2O21全国卷乙］设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,贝Uz=(C)

A.l-2iB.l+2iC.l+ID.l-i

解析设z=a+6i(a,bdR),则2=a—历，代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,可得

4a+6历=4+6i,所以。=1,b=l,故z=l+i.故选C.

3.［命题点2］在复数范围内，设方程％2—2尤+%=0的根分别为a,p,且Ia—=2正,则

实数k的值为3或一1.

解析当方程2%+4=0的根为虚数时，a—a+bi,/3—a—bi,a,b^R,则a+Q=

2a=2,.,.a=l,a/3=cr-\-b2=k,k=l+l7,2Ia~PI=I26iI=2y[2,".b2—2,'.k

=3;当x2—2x+左=0的根为实数时，a+£=2,ap=k,则I</一//I=J(a+£)2一4邓

=^4~4k=2V2,；.4-4左=8,；«=—l.故左的值为3或一1.

4.［命题点3］设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确

的是(C)

A.若IzI=1,则z=±l或z=±i

B.若Iz+1I=1,则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆

C.若1<IzI<V2,则点Z的集合所构成的图形的面积为无

D.若Iz-1I=Iz+iI,则点Z的集合中有且只有两个元素

解析若|z|=l,则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数z对

应，故A错误；

若Iz+1I=1,则点Z的集合为以(—1,0)为圆心，1为半径的圆，故B错误；

若1WIzIW&,则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和&为半径的两圆所夹的圆

环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为Tix(V2)2—itxl2=n,故C正确；

若Iz—lI=Iz+iI,则点Z的集合是以点(1,0),(0,-1)为端点的线段的垂直平

分线，集合中有无数个元素，故D错误.

5.［命题点1,2,3/2023沈阳市三检］在复平面内，复数zi，Z2对应的点分别是(2,—1),

(1,-3),则丝的虚部是(D)

Z1

A.iB.-iC.lD.-l

解析因为复数zi,Z2在复平面内对应的点分别是(2,—1),(1,一3),所以zi=2—

i,Z2=l—3i,所以二=二=(l_3i)(2+i)所以丝的虚部为一1,故选D.

Z12—i(2—i)(2+i)5z1

(------------------------------:练习帮?练透好题精准分层-----------------------------\

©学生用书•练习帮P327

W基础练知识通关

1.［2024河南信阳开学考试］i+i?+i3+…+i2025=(C)

A.2025B.l-iC.iD.-i

解析因为—i3=—i,i4=l,i5=i,i6=—1,i—1—i+l=0,所以i+i?+i3

+...+i2025=i,故选C.

2.［2024贵阳模拟］复数z满足(l+2i)z=3~i,贝UIzI=(A)

A.V2B.V3C.2D.V5

解析解法一因为(l+2i)z=3—i,所以z=W=；：U("：三V，所以।zI=

J(I)+(—g)—V2,故选A.

解法二因为(l+2i)z=3—i,所以z=恕，所以IzI=I恕I=y1^=^=V2,

故选A.

3.［2023高三名校联考］已知，3=6+i(a,6GR),其中i是虚数单位，贝Ua+6=

D.-3

解析解法一因为但=6+i,所以上瞥=2—ai=6+i,所以1―a=L即『二一「

11b=2,lb=2,

所以q+/?=l,故选B.

解法二因为"2=b+i,所以a+2i=(6+i)i,即a+2i=6i—1,所以1°一°所以a

1A—7

+b=lf故选B.

4.［2024安徽六校联考］复数z在复平面内对应的点为(遮，一1),则小二=(A)

IZI+1

解析由复数的几何意义可知，z=V3-i,所以|zl=2,所以［

5.［2024江西四校联考］设a,bGR且为冷，若复数(a+历)3是实数，贝!］(A)

A.廿=3t?B.a2=3Z?2

C.b2=9a2D/=9〃

解析因为(a+瓦)3=°3+3°2仇一3而2—阴=(。3—3/)+(3层6—方3)i为实数,(提

示：完全立方和公式为(ci+&)3=a3+3a2b+3ab-+b3')所以3a2%一户=0.又因为勿夕，所

以3a2—b2,故选A.

6.［角度创新］设复数zi，Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，zi=l+2i,i为虚数单位，

则Z1Z2=(B)

A.l-2iB.-5

C.5D.5i

解析因为zi,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，Zi=l+2i,所以Z2=-l+2i,所以

ziZ2=(l+2i)(-l+2i)=-5,故选B.

7.［2023长沙重点中学模拟］设复数z满足z—Z=2i,IzI=2,复数z所对应的点位于第一

象限，贝壮=(B)

Z

A1+V3inV3—i

A.D.

C—l+biD筌

解析设z=〃+bi(Q£R,Z?£R),则z=Q—/?i,所以z—z=2Ai=2i,则Z?=l,所以

\z\=a2+b2=Va2+1=2,解得〃=±b.又因为复数z所对应的点位于第一象限，所

以、a=W,所以z=W+i,所以工=2=离%.）=牛,故选B.

zV3+1（，3+1）“3—1）4

8.［角度创新］若型是纯虚数，则复数z可以是（D）

Z

A.—3+4iB.3-4i

C.4+3iD.4-3i

解析解法一因为复数过竺是纯虚数，所以设既丝=疝（机£R且机加），则z=匕2=

zzmi

(3+4i)(—i)_4—3i

显然当m=1时，z=4—3i,故选D.

mi(—i)m

々力、q___、儿I,.z7z-c、13+4i(3+4i)(a—bi)(3a+4b)+(4a—3b)ie幺3+44

解法一设z=a+历(a,左R)，则m「=------可------，因为三

是纯虚数，所以阴+”-。，所以q=_=结合选项知，选D.

（4a—3bH0,b3

9.［开放题］已知复数2=詈，且Z在复平面内对应的点在第四象限，则。的一个整数值可以

为0（答案不唯一）.

解析z=3=&+皿『”+砌（-）*;二因为Z在复平面内对应的点在第

1+1（l+i）（l—i）222

（彳>0,

四象限，所以《解得一4<a<4,又adZ,所以a可取一3,—2,—1,0,1,

仁<0,

2,3.

理能力练重难通关

10.［2023广西联考］设复数z=x+yi,其中尤，y是实数，i是虚数单位，若上=x+i,则复

1—1

数Z的共朝复数在复平面内对应的点位于（D）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

VX|1

'解得

{1-%=0,

］2'所以z=l+2i,所以5=l—2i,所以5在复平面内对应的点为（1,—2）,位于第

1%=1,

四象限，故选D.

11.［2023广东六校联考］设复数z=1+当i,其中i是虚数单位，2是z的共辗复数，下列判断

中错误的是（B）

A.zz=1

B.Z2=Z

C.z是方程x2~x+1=0的一个根

D.满足z〃eR的最小正整数"为3

解析对于A,Z-Z=(|+yi)(|—yi)=1,故A正确；对于B,Z2=(|+yi)2=—|

+—i,z=-~—i,：.Z2=-Z,故B错误；对于C,(i+—i)2-(-+—i)+l=-i+—i

-i-—i+l=0,则z是方程X2—x+l=0的一个根，故C正确；对于D,z=-+—i,z2=

2222

—i-f-—i,2=2，z=—(-——i)(-+—i)=—1,故D正确，故选B.

222222

12.［多选］18世纪末，韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了

几何意义.例如，IzI=IOZI,即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到

原点。的距离.下列说法正确的是(BCD)

A若I©1=1,则2=±1或z=±i

B.若在复平面内，复数6+5i,—3+4i分别对应向量成与砺(。为坐标原点)，则向量

瓦5对应的复数为9+i

C.在复平面内，复数z对应的点为Z(—1,1),则2对应的点位于第三象限

D.若复数z满足ISIzI<V2,则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为兀

解析对于A,令z=［+^i,满足IzI=1,故A错误；对于B,由题知瓦一布，

即在复平面内，瓦?对应的复数为6+5i—(-3+4i)=9+i,故B正确；对于C,:点

Z(-1,1),在复平面内对应点(—1,