山东省淄博某中学2022级高三年级上册第一次学习质量检测数学试题及答案

2022级高三第一次学习质量检测数学试题

2024年10月

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

2

A=\xy=y]2x-x\§=bb=2，+l|4R

1.已知集合(1,I4>,则A>=()

A.(1,2]B.(0,1]C.[1,2]D,[0,2]

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合，由交集运算即可求解.

【详解】解：A=y=^2x-x21=^x|2x-x2>oj=1x|0<x<2j

5=卜卜=2*+1}=卜|V>1}

所以A5=(1,2]

故选：A.

2.设xeR,则“4<x<5”是“,一2|〉1"的()

A,充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.

【详解】因为2|〉1,所以x—2<—1或1—2>1,所以x<l或x>3,

所以"4<x<5”是“卜―2|>1”的充分不必要条件.

故选：B.

3.已知命题p:VxeR,«%2+2%+3>0为真命题，则实数。的取值范围是()

Q|0<Q〈Ja\a>^

A.B.〃|0<QC.D.a\a>-

3

【答案】D

【解析】

【分析】问题转化为不等式依2+2%+3>0的解集为R,根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.

【详解】因为命题以2+2x+3>0为真命题，所以不等式公Z+2》+3>0的解集为R.

3

所以：若。=0,则不等式依2+2%+3>0可化为2x+3>0nx〉一一，不等式解集不是R；

2

a>01

若aw0,则根据一元二次不等式解集的形式可知：<，°2八=。>—.

A=22-12a<03

综上可知：a>-

3

故选：D

4.设函数/（力=乂4则不等式/（21083同+/（3—蜒3%）<0的解集是（）

A.127）C.（0,27）D.（2…）

【答案】B

【解析】

【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为R上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与

奇偶性性质将不等式转化为210g3彳<log3x-3，化简求解可得.

九2%〉0

详解】xER,则y（x）=1;一,

［一厂，龙<0

作出函数/（X）的图象，可知/（X）是R上的增函数.

又/（一力=一*|一刀|=一目刀|=一〃］）,：./（%）是奇函数.

不等式/（21og3x）+/（3-log3x）<0可化为/（21og3x）<-/（3-log3x）,

所以〃21og3X）</（log3X—3）,JU!］21og3x<log3x-3,即log3X<-3,解得0<x<一,

不等式f(21og3x)+f(3-log3x)<0的解集是I0,三

故选：B.

5.已知/(x)=ln(l—公+2a—2)(a>0),若/(x)在[1,2)上单调，则。的范围是()

A.(1,2]B.(0,2]

C.(0,2]O[4,4<O)D.(1,2][4,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】由y=--奴+2a-2在［1,2)上单调且恒为正可得.

【详解】由题意y=V—奴+2a-2在口,2)上单调且恒为正,

1—〃+2a—2>0

所以或q22,且＜，解得lv〃V2或

224—2a+2cl—2N。

故选：D.

6.定义在R上的函数/(%)为奇函数，且/(九+1)为偶函数，当xe［0,l］时，/(x)=2x-l,则

/(2023)+/(2024)=()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】结合已知得了(%)的周期为4,然后代入自变量求解即可.

【详解】因为函数/(力为奇函数，且/(X+1)为偶函数，

所以/(%)=-/(-%)=-/(%+2)=/(%+4),所以f(x)的周期为4,

所以/(2023)+/(2024)=/(—1)+/(0)=/(0)—/(1)=2°—1—(2-1)=—1.

故选：A.

|lgx|,0<x<10

7.已知函数/(%)=<1,若a,b,c,d互不相等，且===则

—x+6,x>10

2

〃+Z?+c+d的取值范围为(

A.［26,+8)B.(14,+co)

【答案】c

【解析】

【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若于(a)=于助=f(c)=f(d)=ma<b<c<d,将问题转化

为曲线/(%)与直线丁=加的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质

可得£<a<l<〃vl0<c<12vd<14,c+d=10,ab=l,结合对勾函数的性质求范围即可.

【详解】令|lgx|=l,则%=」■或x=10,令一;x+6=l,则x=10或x=14,

102

由解析式知：/(X)在(0』上递减且值域为(0,+8),在(1,10］上递增且值域为(0,1］,在(10,12)上递减且

值域为(0,1),在(12,转)上递增且值域为(0,+8).

令〃。)=/(，)=/(C)=/(d)=机，不妨设a<b<c<d,则。，b,c,d为曲线/(x)与直线V=加的

交点横坐标，

由图知：c+d=24,aZ?=1且，va<l<Z?v10<c<12<d<14,

贝Ua+Z?+c+d=24+aH—,

a

由对勾函数可知y=a在［二』］上递减，故y=—|2,——-

aVIO)aI10

341

故a+b+c+d=24+a+—£26,

a10

故选：c

8.设定义在R上的偶函数/(%)满足对任意xwR,都有/(x)=〃2—x),且当X«0,1］时,

201820192020

f(x)=—.若a=f，b=f，则()

e357

A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】

Y

【分析】先判断函数为周期函数，对称轴为X=l,利用导数判断/(%)=/在区间(。，1］上单调递增，将

a,4c化在同一单调区间比较即可.

【详解】因为函数“可是偶函数，所以/(4=/(—%)=〃2+4，即“X)是以2为周期的周期函

数，

因为对任意xeR,都有/(x)=〃2—力，所以函数〃龙)的图象关于直线x=l对称,

当时，/(%)==20,即函数/(x)在(。』上单调递增,

e

142

,且0〈一〈一〈一〈1,

573

所以，所以bvcva.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.设正实数。，〃满足a+〃=l,则()

,-1

A.—I—有最小值4B.GF有最小值Q

ab

D.6+片有最小值］_

c.6+JF有最大值贬

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据基本不等式可进行判断.

11a+b1

——।--=----±>=4当且仅当】=b=!时等号成立，故A正确;

【详解】选项A：ababab；(a+")2

2

选项B：，法W"2=!，当且仅当。=人=工时等号成立，故B错误；

222

选项C：&+G=J(G+阿=Ja+L+2V^wj2(a+0)=&，当且仅当。=6=；时等号成

立，故C正确；

选项D：4+6Ja+3」，当且仅当a=b=，时等号成立，故D正确；

222

故选：ACD

10.下列说法正确的是()

A.函数/(x)=优t—2(。>0且aw1)的图象恒过定点(1,-2)

B.已知函数/(%)的定义域为(0,1),则函数的定义域为(1,2)

函数/(x)-Jx?+16+/,

的最小值为6

Vx2+16

D.函数g(x)=的单调增区间为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意，由指数函数的性质分析A,由函数的定义域分析B,由复合函数的值域分析C,由复合

函数的单调性分析D,综合可得答案.

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

A.函数”刈=4-2,当x—1=0,即x=l时，/(x)=l—2=—1,则函数/(x)的图象恒过定点(1,-1),

A错误，不符合题意；

B.已知函数/(幻的定义域为(0,1),

对于函数/(%—1),则有0<x—1<1,解可得1<%<2,即函数/(x—1)的定义域为(L2),B正确，符合

题意；

C.设/=6+16,则丁=。+一，

又由t=6+16之4,结合对勾函数的性质可得V=/+：在区间［4,+8)上递增，

则/(x)24+=9=上25，C错误，不符合题意；

44

D.函数g(x)=(3'r2r+2,有x+220,解可得—24x41,即函数的定义域为［-2,1］；

设f=yl—x1—x+2，则y=(5)'，

在区间［-2,-；］上，/为增函数，在区间［-上，/为减函数，

由于y=(gy为定义域为R的减函数，故有

故函数g(x)=(g)k：G的单调增区间为［_:」，正确，符合题意；

故选：BD.

11.已知函数/(x)=X2—21HX,则下列选项中正确的是()

A.函数/(%)的极小值点为x=l

/QA

B

c若函数g(x)=/(|x|)-f有4个零点，则fe(l,+8)

D.若/(%)=/'(%2)(玉W%2)，则西+工2<2

【答案】AC

【解析】

【分析】求导，利用导数判断了(可的单调性和最值，可得“X)的图象，进而可以判断A；对于B：根

据/(%)的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当x>0时，y=/(x)与

y=f有2个交点，结合/(%)的图象分析求解；对于D：构建g(x)=/(2—力―/(x),xe(O,l),结合

导数可得/(2-X)</(X),XG(O,1),结合极值点偏移分析证明.

【详解】由题意可知：/(%)的定义域为(0,+”),且小)=2一=2(一),

令/'(X)>0,解得X>1；令/'(力<0,解得0<%<1；

可知/(九)在(0,1)内单调递减，在0,+")内单调递增，

则⑴=1,且当X趋近于。或+8时，“X)趋近于+8,

可得函数/(%)的图象，如图所示:

O1尤

对于选项A：可知函数/(尤)的极小值点为x=l,故A正确；

3

对于选项B：因为1<五<不，且/(%)在内单调递增,

对于选项C：令g(X)=/(|R)T=O,可得/(附=[,

可知函数8(%)=/(国)—有4个零点，即丁=/(国)与V=，有4个交点，

且y=/(M)的定义域为(—0,0)(0,+8),且/(卜乂)=/(国)，

可知y=/(N)为偶函数，且当%>o时，j=/(|%|)=/(x)

原题意等价于当x>0时，丁=/(力与t=/有2个交点，

由题意可知：t>2,故C正确；

对于选项D：^g(x)=/(2-x)-/(x)=21nx-21n(2-x)+4-4x,xe(0,l),

，/、224(1)2

则g(x)=-+----4=当一r>0,

x2-xx[2-x)

可知y=g(£)在(0,1)内单调递增,则g(x)<g⑴=0,

即/(2-%)</(x),xe(O,l),

若/(%)=/(*2)(玉。工2)，不妨设。<玉<1<%,

则7(2-=/(%)，

且2-西>1,々>1,且/(力在(1,+⑹内单调递增,

则2-西<%2，所以斗+%>2,故D错误;

故选：AC.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数可尤)；

(3)利用导数研究丸(力的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问

题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

100%+1000,%<-1

,则

12.已知函数/(九)=\l-/(x-2),x>-l/(1001)=

【答案】700

【解析】

【分析】根据给定条件，探讨1时函数/(x)的性质，再借助性质求出分段函数的函数值.

【详解】当1时，/(%)=—/(%—2)+1,

贝i]/(x+2)=-/(x)+l=-[-{-2)+l]+l=/(x-2),

即/(x+4)=/(x),所以/(1001)=/(250x4+l)=/(1)=/(—3)=100x(-3)+1000=700.

故答案为：700

13.与曲线丁=工和曲线丁=-Inx-2均相切的直线的方程为.

ex

【答案】>=一前

【解析】

【分析】设出切点和5(%,—山西—2),求导得到/。=西，并写出切线方程

y—5=—；(x—%),将5(%,—In%—2)代入，化简得从而求出切线方程.

eee

【详解】设y=?在点A，,Tj和y=一向一2在点5(”ln%—2)的切线重合，

,1,1

y=--7-y=―一，

ex

11

故——=---,即e/=&,玉）=In/，

eX]

在点A1%,/]处的切线方程为y—'=—g，(x—Xo),

将_8(菁,一Inx-2)代入得一In%—2——=—斤(不一改))，

即一In玉—2-----=----(再一In玉)，

%]玉

所以_(石+l)ln%=飞+1,

又玉>0,故玉二一，则A：。=In—=—1,

ee

故切线方程为y—e=—e(x+l),即y=一

故答案为：y=-ex

14.已知函数/(%)=—的图象关于点(0,1)成中心对称图形，/(-r2)+/(2z+3)>2,则实数

C।L

，的取值范围是.

【答案】(Y,T)D(3,+8)

【解析】

【分析】由函数/(九)的图象关于点(0,1)成中心对称，所以/(x)+/(—x)=2,求出函数“X)的解析

式，构造函数g(x)=/(%)-1,所以g(x)的图象关于点(0,0)对称，所以g(x)是定义域R上的奇函数，

且在R上单调递减，然后利用奇偶性与单调性解不等式即可.

【详解】因为函数/(x)=-2x3+1看的图象关于点(0,1)成中心对称，

所以/("+/(—1)=2,即—2三+-^+213+~^=2,所以c=2,

e+1e+1

2

所以/(x)=-2/+/^,在定义域R上单调递减，

9

令g(x)=/(%)-1=-2d+――-1,因为函数/(%)的图象关于点(0,1)成中心对称，

所以g(x)的图象关于点(0,0)对称，所以g(x)是定义域R上的奇函数，且在R上单调递减，

因为了(—产)+/(2/+3)>2,所以/(—/)—1>_[/⑵+3)—1],

即g(—，2)>—g⑵+3),所以g(-2r—3),

所以一/<-2,-3，解得/<一1或£>3,

故实数♦的取值范围是(—e,—1)u(3,+。).

故答案为：(一8,-1)。(3,+8).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数f(x)=展〉是定义在R上的奇函数(a>0力>0).

(1)求的解析式；

(2)求当xe[0,l]时，函数g(x)=/(x>(3x+l)+9*—l的值域.

【答案】a)/(x)=3Q-3)；

1+3*

⑵[-1,2]

4

【解析】

【分析】(1)利用奇函数定义及性质，列式计算求出a,6作答.

(2)由(1)的结论，求出函数g(x)的解析式，结合二次函数求出值域..

【小问1详解】

。一+1

由函数/(x)=3*+i是R上的奇函数,则有/(0)=^—a-3=0,解得a=3,即/(%)=三3-匚V,

y+b0+13'+b

3-3-x+13v+1-33-3x+1

VxeR于(-x)==一/(x)，

3-x+bb-3x+l3x+b

即VxeR,b-3x+\=3X+b解得6=1，经验证得a=3,b=l时，/(%)是奇函数,

所以/(》)=斗章・

【小问2详解】

31

由(1)知，g(x)=/(%)•(3V+1)+9'-1=3-3r+1+9"-1=(3X)2-3X3V+2=(3'-1)2-

31

当XG[0,1]时，1W3*W3，因此当3、=5时，g(x)min当x=l时，g(x)1mx=2,

所以所求值域为[-2].

16.《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才

振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就

是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小

镇”，调研发现：某种农作物的单株产量♦(单位：kg)与肥料费用x(单位：元)满足如下关系：

-(X2+40),0<X<3

'(")=5144其他总成本为3x(单位：元)，已知这种农作物的市场售价为每5元/kg,

18--,3<x<10

、5x

且供不应求，记该单株农作物获得的利润为/(%)(单位：元)

(1)求/(%)的函数关系式；

(2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？

x~-4-X+40,0<%<3

【答案】⑴/■(%)=144

'790---------4%,3<x<10

(2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元

【解析】

【分析】(1)代入售价和成本即可得到利润结果.

(2)由函数图像的性质即可得到最大值点和最大值.

【小问1详解】

解：由题意可得，f(x)=5t(x)-x-3x

(X2+40)-4X,0<X<3

〃x)=144

90--------4x,3<x<10

%2-4x+40,0<x<3

所以函数/(%)的关系式为/(X)=144

90--------4%,3V10

、%

【小问2详解】

当0«x<3时，/(力二犬—4x+4。的图象为开口向上的抛物线，

-4

对称轴为x=-------=2,

2x1

2

所以当％=0时，/Wmax=/(0)=0-4x0+40=40；

当3<xV10时，/(x)=90-4<90-4x2.

当且仅当3=x,即％=6时等号成立，此时/(力3=42.

综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元.

17.已知函数f(x)=(m+l)x2-mx+m—l(meR).

(1)若不等式/(x)<0的解集为0,求加的取值范围；

(2)对任意的,不等式/(%)2必-x+l恒成立，求用的取值范围.

【答案】(1)

【解析】

【分析】(1)分类讨论，当不等式为二次不等式时，由题意列出不等式组求解即可;

(2)分离参数，换元后利用基本不等式求最值，即可得出机的取值范围.

小问1详解】

当机=—1时，由/(x)<0,得到X—2<0,所以x<2,不合题意，

当mW—1时，由/(x)<0的解集为0,

m+i>o

得到L2、，，、/,、c，解得m2年，

A=m-4(m+l)(m-1)<03

所以实数加的取值范围为

【小问2详解】

由题对任意xe[-1,1],不等式。〃+1)炉-mx+m-l>x2-x+l恒成立.

即m(x?—x+1)22—x,因为1/]时，(厂—尤+1)>0恒成立.

2—x

可得加2=--------，设，=2—%,则所以％=2—九

%-x+1

2-x_t_1

可得x2-x+l-(2—)2_(2—)+1——3.

In-----J

因为7+当且仅当^=百时取等号.

t

所以j—J_=2'3+3,当且仅当％=2—退时取等号

x2-x+l2V3-33

故得m的取值范围

18.已知函数/(x)=x-xlnx-a.

(1)若曲线y=/(%)在点处的切线方程为丁="+2,求实数。和人的值;

(2)若函数/(x)无零点，求。的取值范围.

【答案】(1)a=-l,b=0

(2)(1,+co)

【解析】

【分析】(1)求出函数的导函数，由/'(1)求出6,再由/。)求出。；

(2)令/(无)=0可得a=x—xlnx,令g(x)=x—xlnx,利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大

值，依题意丁=。与y=g(尤)无交点，即可求出参数。的取值范围.

【小问