计数原理与概率统计-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

（9）计数原理与概率统计

2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.分层抽样

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一

定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样.

样本容量各层所抽取的个体数

抽样比=

总体容量各层个体数

2.用样本的数字特征估计总体的数字特征

数字特征样本数据频率分布直方图

取最高的小长方形底边中点的横坐

众数出现次数最多的数据

标

将数据按大小依次排列，处在把频率分布直方图划分为左右两个

中位数最中间位置的一个数据（或最面积相等的部分，分界线与X轴交

中间两个数据的平均数）点的横坐标

每个小长方形的面积乘小长方形底

平均数样本数据的算术平均数

边中点的横坐标之和

方差和标准差反映了数据波动程度的大小.

222

方差：S=—r（X1-X）+（x2-X）H-----l-（x„-

22

标准差：5=J-r(X1-X)+(x2-X)+---+(xn-

3.百分位数

（1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第P个和第P+1个数据分别为6.可以发现,

区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数

的平均数巴史=c,并称此数为这组数据的第2百分位数，或P%分位数.

（2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有P%的数据

小于或等于这个值，且至少有（100-P）%的数据大于或等于这个值.

4.

名称定义符号表示

若事件A发生，则事件3一定发生，这时称事

包含关系B^A（或

件3包含事件A（或事件A包含于事件3）

如果事件B包含事件A,事件A也包含事件

相等关系B,即3卫A且A卫3,则称事件A与事件3相A=B

等

事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个

并事件

事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件

（和事A\JB（或A+3）

B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事

件）

件（或和事件）

事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中

交事件

的样本点既在事件A中，也在事件3中，则称

（积事（或AB）

这样的一个事件为事件A与事件B的交事件

件）

（或积事件）

若AQB为不可能事件，那么称事件A与事件

互斥事件AC\B=0

B互斥

4口8=0且

若AA8为不可能事件，AU8为必然事件，那

对立事件A\JB=U（。为全

么称事件A与事件3互为对立事件

集）

5.古典概型的概率公式

（1）在基本事件总数为〃的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本

事件发生的概率都是

n

（2）对于古典概型，任何事件的概率为尸⑷=4包个数.

基本事件的总数

6.相互独立事件

（1）对于事件A、B,若A的发生与3的发生互不影响，则称A、3是相互独立事件.

(2)若A与3相互独立，则P(5|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)-P(A)=P(A)-P(B).

(3)若A与3相互独立，则A与方，口与3,彳与否也都相互独立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与3相互独立.

7.二项式定理

knkk

公式(a+也"=C°a"++.•.+Cna-b+.•.+C：,b"(〃eN*)叫做二项式定理.公式中右边的

多项式叫做(a+力”的二项展开式，其中各项的系数C：(左=0,1,…叫做二项式系数，式中的

叫做二项展开式的通项，用4M表示，即通项为展开式的第左+1项.

8.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b^a2D(X).

9.条件概率及其性质

(1)一般地，设A,3为两个事件，且P(A)>0,称尸(31A)=必当为在事件A发生的条件

下，事件3发生的概率.

(2)条件概率的性质：

(i)W(B|A)1；

(ii)如果3和C是两个互斥事件，则尸(3UC|A)=P(3|A)+P(C|A).

10.全概率公式

一般地，设4,…,4是一组两两互斥的事件，AU&U・・,UA=Q，且

尸(4)>0"=1,2,,则对任意的事件有尸(3)=£尸(4)尸(3|4),称此公式为全概

Z=1

率公式.

11.正态分布的定义及表示：

如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足尸(a<X,,b)=t%b(x)dx,则称X的分布为

正态分布，记作X~N(〃,cr2).

12.回归直线方程

①最小二乘法：通过求。=＞（y-bx,「a）2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据

的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

②回归方程：方程y=加+。是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（七,

（乙,%）的回归方程，其中方是待定参数.

nn

、.Z«一可（％一9）Zx/一位91n1„

a=y-bx,b=^—^----------=且^--------,其中元=一9孙歹=一9如（无，歹）称为样本点的

元丫Xx；-nx2ni=1

z=l'7i=l

中心.

13.独立性检验

利用独立性假设、随机变量K?来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称

为两个分类变量的独立性检验.

易错试题提升

1.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的

数字之积是4的倍数的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5353

2.某班12名同学某次测试的数学成绩（单位：分）分别为62,57,72,85,95,69,74,91,

83,65,78,89,则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是（）

A.74B.78C.83D.91

3・。+3）（1+”展开式中炉的系数为（）

A.42B.48C.84D.96

4.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区

附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男

女不同住一个房间，则女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是（）

A.-B.-C.-D.—

46710

5.为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学

生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为

()

1233

A.-B.-C.-D.-

2554

6.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，尽管我国粮食生产连年丰收，但对粮食安全还是始终要有

危机意识.某市有关部门为了宣传“节约型社会”，面向该市市民开展了一次网络问卷调查，

目的是了解人们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.

据统计此次问卷调查的得分X(满分：100分)服从正态分布N(92,22),则P(90<X<96)=

(附：若随机变量J服从正态分布，则尸(〃-cr<J<〃+cr)=0.6827,

P(〃—2cr<J<A+2cr)=0.9545)()

A.0.34135B.0.47725C.0.6827D.0.8186

7.挛生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐

证明了挛生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数?，使得p+2

是素数.素数对(p,p+2)称为挛生素数对.从8个数对(3,5),(5,7),(7,9),(9,11),(11,13),

(13,15),(15,17),(17,19)中任取3个，设取出的季生素数对的个数为X,则E(X)=()

313

A.-B.-C.-D.3

822

8.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结

果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是()

A.a=0.005

B.估计这批产品该项质量指标的众数为45

C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［50,70)的概率约为0.5

9.（多选）已知二项式2%+-匕的展开式中二项式系数和为64,则下列结论中正确的是

IW

（）

A.二项展开式中各项的系数之和为36

3

B.二项展开式中二项式系数最大的项为160户

C.二项展开式中无常数项

D.二项展开式中含/项的系数为240

10.（多选）进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪

大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（）

人数（单位：万人）

2.82.8,2.9---冰雪大世界

―1日2日3日4日5日6日7日日前

A.中央大街日旅游人数的极差是1.2

B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3

C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大

D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大

H.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽

取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方

1010人

程为$=%+6,已知》>,=225,£>=1600,6=4.若该班某学生的脚长为24厘米，估计

i=lZ=1

其身高为_________厘米.

12.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、

游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负

责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳

馆的概率为..

13.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生

命，健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民

族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量式单位：克）与药物功效

y（单位：药物单位）之间具有关系y=10x—x2检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲

的平均值为6克，标准差为2,则估计这批中医药的药物功效的平均值为.

14.孔子曰：温故而知新，可以为师矣.数学学科的学习也是如此，为了调查“数学成绩是否优

秀”与“是否及时复习”之间的关系，某校志愿者从高二年级的所有学生中随机抽取60名学

生进行问卷调查，得到如下样本数据：

数学成绩不优秀（人

数学成绩优秀（人数）

数）

及时复习（人数）255

不及时复习（人数）1020

（1）试根据小概率值2=0.001的独立性检验，能否认为“数学成绩优秀”与“及时复习”

有关系？

（2）在该样本中，用分层抽样的方法从数学成绩优秀的学生中抽取7人，再从这7人中随机

抽取3人.设抽取3人中及时复习的人数为X,求X的分布列与数学期望.

附：%1=------°C)------------,其中“=0+6+。+』.

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

15.为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络

“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地

抽取100人，得分统计如下：

成绩（分）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数61218341686

（1）现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70

分的概率；

（2）若该市所有参赛市民的成绩X近似服从正态分布N（64,152）,试估计参赛市民中成绩超过

79分的市民数（结果四舍五入到整数）;

⑶为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话

费活动，规则如下：

①参加答题的市民的初始分都设置为100分；

②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量20,附eN*)，每一题都需要用一定分数

来获取答题资格(即用分数来买答题资格)，规定答第左题时所需的分数为

0.14(4=1,2,…,〃)；

③每答对一题得2分，答错得0分；

④答完〃题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数(单位：元).

已知市民甲答对每道题的概率均为0.6,且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量〃为

多少时，他获得的平均话费最多？

参考数据:若Z~N(〃Q2)，则尸(〃—cr<Z<A+cr)a0.6827,

PQi-cr<Z<//+2a)«0.9545,PQi-3cr<Z<//+3b)a0.9973

答案以及解析

1.答案：C

解析：从6张卡片中无放可随机抽取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种情况,其中数字

之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),6种情况,故概率为

'=故选C

2.答案：C

解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为57,62,65,69,72,74,78,83,85,89,

91,95.

因为12x60%=7.2，

所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83.

故选：C.

3.答案：A

解析：•.•(l+g(l+X)7=(1+4+[(1+%)7，

无一九一

(1+x)7的第r+1项为,(r=0,1，…7),

二C"+3*=35x3+7x3=42x3，

'X

X3系数为42.

故选：A.

4.答案：C

解析：3名女生需要住2个房间或3个房间.

若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为C；C：A；；

若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为;CjA；.

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为C；A；,

所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是—2——=2.故选c.

*凶+2c武7

5.答案：B

解析：法一：令事件A为甲被选中，事件3为乙被选中，则p(A)=*=2,

或2

1

P(A8)=M^=L故P(B|A)=义竺^=[=2.故选B.

或5P(A)]_5

2

法二：令事件A为甲被选中，事件3为乙被选中，划=3辿=串=2.

”(A)C；C；5

6.答案：D

解析：因为随机变量X服从N(92,2?),所以〃=92,。=2,所以尸(90<X<94)=0.6827,

06827

P(88<X<96)=0.9545,所以P(90<X<92)=；=0.34135,

09545

P(92<X<96)=--------=0.47725,所以P(90<X<96)=0.34135+0.47725=0.8186.故选D.

2

7.答案：C

解析：解法一：由题知8个数对中的挛生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),共4个

挛生素数对，所以X的可能取值为0,1,2,3,

32

贝IP(X=0)=^CC^°=1—,p(x=l)=C^2fcl^=3-,P(X=2)=C^^C^-=3-,

C；14c7C7

C°C3113313

p(X=3)=^i=—,所以石(乂)=0义一+卜三+2义±+3><—=三，故选C.

：

Co141477142

解法二：由题知8个数对中的李生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),共4个挛生素

数对，则X服从超几何分布”(3,4,8),故E(X)=9=3.

82

8.答案：C

解析：A项：(a+0.035+0.030+0.020+0.010)x10=1,解得a=0.005,A正确；

B项：频率最大的一组为第二组，中间值为45,所以估计这批产品该项质量指标的众数为

45,B正确;

C项：由于质量指标大于60的频率之和为(0.020+0.010)X10=o.3w0.5,所以60不是中位

数，C错误；

D项：由于质量指标在［50,70)的频率之和为(0.030+0.020)x10=0.5,用频率估计概率，故从

这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［50,70)的概率约为0.5,D正确.故选C.

9.答案：ABD

解析：A项，展开式中二项式系数和为64n2"=64=>〃=6,对于2》+《］，令》=1可得

其展开式的系数和为36,故A项正确；

B项，展开式的通项为&］=G(2x)6-=26-rC；x6-r,厂=0,1,…,6,二项式系数最大的

33

项为看=23或炉=160#,故B项正确;

C项，令6-士〃=0,得r=4,即二项展开式中有常数项，故C项错误；

2

D项，令6-：r=3,得r=2,所以7；=2支*3=240/,故D项正确.故选ABD.

10.答案：BC

解析：对于A,根据所给折线图可以看出中央大街日旅游人数的最大值为2.8万人，最小值

为0.9万人，所以极差为2.8—0.9=1.9万人，故A错误；

对于B,从图中可以看出，冰雪大世界日旅游人数的数据按照从小到大可排列为1.7,1.8,

1.9,2.3,2.4,2.6,2.9中位数为2.3,所以B正确；

对于C,冰雪大世界日旅游人数的平均数为L9+2E+2.4+2.9+L8+L7+2.3-223万,

7

中央大街日旅游人数的平均数为2.8+2.8+2.4+2.7+L1+0.9+L3=2万，所以冰雪大世界日

7

旅游人数的平均数比中央大街大，故C正确；

对于D,冰雪大世界日旅游人数的方差为

(1.9-2.23尸+(2.6-2.23『+(2.4-2.23『+(2.9-2.23『+(1.8-2.23『+(1.7-2.23『+(2.3-2.23打

7

»0.1706

中央大街日旅游人数的方差为

(2.8-2)2+(2.8-2)2+(2.4-2)2+(2.7-2)2+(l.l-2)2+(0.9-2)2+(1.3-2)2»0.6343,

所以冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小，故D错误.

11.答案：166

解析：易得元=22.5,歹=160.

■.■b=4,:.y=4x+a,将(22.5,160)代入？=4x+4,得160=4x22.5+4,解得6=70,

/.9=4x+70.

当x=24时，9=4x24+70=166.

12.答案：1

3

解析：甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：

(1)场馆分组人数为1,1,3时，甲、乙必在3人组，则方法数为C；A；=18种；

(2)场馆分组人数为2,2,1时，其中甲、乙在一组，则方法数为C；C；A；=18种，

即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为”=18+18=36.

若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为m=C；A；+C；A；=12,

故所求的概率为P=e=U=L

n363

故答案为：1.

3

13.答案：20

解析：设这6个样本中成分甲的含量分别为国，吃，招，匕，/，4,平均值为京

则x=X+Z+工3+%+%5+%6=6,所以X1+々+工3+工4+/+%=36,

6

)^T以(番—+(%—+,,，+(%—=(x；+Xj+•••+Xg)—6x=24>

所以x；+x；+…+x；=240，

于'7EM+%+，-+，6=10(芯+X[+,,,+Xg)-(尤；++••,+X；)=120,

则$=%+%+…+%=20.

故答案为：20

14.答案：（1）“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系

（2）见解析

解析：（1）零假设为“°：”数学成绩优秀”与“及时复习”没有关系.根据数据计算,

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