2023年上海中考数学一轮复习：实数（原卷版+解析）

专题02实数

实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，

主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法.

1.实数的相关概念和运算.如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指数幕等知识点直

接考查.

2.出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解，结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小一，但对运

算理解的考一查力度较.

3.主要体现的思想方法：转化的思想、，分类讨论的思想、数形结合的思想等.

在知识导图

颉

平方根与算术平方根的联系与区别

分类

在重点考向

一、平方根

算术平方根概念：一般的如果一个正数X的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。

算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作正，读作根号a,其中a是被开方数。

平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即如果2=，那么x叫

做a的平方根。

平方根的性质与表示：

表示：正数a的平方根用土厂表示，厂叫做正平方根，也称为算术平方根，-厂叫做a的负平方根。

性质：一个正数有两个平方根：土厂(根指数2省略)且他们互为相反数。

,a(aNO)

(Va)2=a(a>0),Va^~—

.-a(a<0)

0有一个平方根，为0,记作乃=0

负数没有平方根

平方根与算术平方根的区别与联系：

算术平方根平方根

区别概念如果一个正数X的平方等于a,即如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫

x2=a,那么这个正数x叫做a的算做a的平方根或二次方根，即如果"=a,

术平方根。那么x叫做a的平方根。

表示方法近±y/a

性质1）正数只有一个算术平方根，且1）正数有两个平方根，且互为相反数；

恒为正；2）0的平方根为0

2）0的算术平方根为03）负数没有平方根

3）负数没有算术平方根

求法开平方后取非负的平方根开平方

联系1）a的取值范围相同，均为aNO

2）平方根包含了算术平方根，即算术平方根是平方根中的一个（非负的）。

典例引撷

VIj______________I1J

一、单选题

1.下列说发正确的的是（）

A.（-2）2的平方根是-2B.4是J记的算术平方根

c.〃平方根是土忘D.2的平方根是-2

2.若m+4与机-2是同一个正数的两个平方根，则根的值为（)

A.3B.-3C.1D.-1

3.每的算术平方根是（）

A.5B.-5C.6D._#)

4.估计碗的大小应在（）

A.7.1〜7.3之间B.7.3〜7.5之间C.7.5〜7.7之间D.7.7〜7.9之间

5.下列各式正确的有（）个

①#7=0.2；②）1工=土土;③-2?的平方根是±2；④是1||的平方根.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.下列各数中一定有平方根的是（）

A.a2-5B.-aC.。+1D.a2+l

7.若J（x-2）2+|3-y|=0，则％—V的正确结果是（）

A.-1B.1C.-5D.5

8.A/F72=4.147,Vl?72=1,311,则Jl720的值为()

A.13.11B.±13.11C.41.47D.±41.47

9.示意图，小宇利用两个面积为1力层的正方形拼成了一个面积为2淅2的大正方形，并通过测量大正方形

的边长感受了0dm的大小.为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试,

下列做法不能实现的是().

A.利用两个边长为2dm的正方形感知唬而z的大小

B.利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知同而z的大小

C.利用四个直角边分别为2dMi和3dzM的直角三角形以及一个边长为1而的正方形感知力w的大小

D.利用一个边长为石而z的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知而力，z的大小

11_1

10.已知：X=-(1991"-199f")(w是自然数).那么(X一疝1y的值是()

A.199F1B.-199K2C.(-1)"1991D.(-1)“1991T

二、填空题

11.若加＜0,则|2同=；如■的平方根是.

12.如下图5x5网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为.

13.±716=_；如的算术平方根是

14.一个自然数的算术平方根是a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是

15.如图是一个计算程序，当输出值＞=9时，输入值x为.

输入x―►-1—►()2―►输入y

16.已知无、丁是实数，且x+y=30,且冲=1,

三、解答题

17.已知一个正数的两个平方根是加+3和2租-15.

(1)求这个正数是多少？

⑵机+5的算术平方根是多少？

18.某新建学校计划在一块面积为256nl2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园(长方形花园的

边与正方形空地的边平行)，要求长方形花园的长是宽的2倍.请你通过计算说明该学校能否实现这个计划.

19.(1)若a是最大的负整数,6是绝对值最小的数,c是倒数等于它本身的正数,4是9的负平方根.则。=—；

b=；c—；d=__.

(2)若〃与匕互为相反数，。与d互为倒数，求3(。+))-2的值.

在重点考向

二、立方根和n次方根

1、立方根概念：如果一个数的立方等于，即3=，那么X叫做的立方根或三次方根，

表示方法：数a的立方根记作厂，读作三次根号a

立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。

0的立方根是0.

开立方概念：求一个数的立方根的运算。

开平方的表示：（？一）=V—3=V——=-、—（a取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

注意：0的平方根和立方根都是0本身。

2、次方根

概念：如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，这个数就叫做的次方根。

当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。

当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。

性质：正数的偶次方根有两个：土厂；0的偶次方根为0：e=。；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。

典例引口

___।___________।______L

一、单选题

1.下列结论正确的是（

A.216的立方根是±6B.立方根是等于其本身的数为0

C.没有立方根D.64的立方根是4

O

2.已知a,b满足J2a+6+性-2|=0,则a+6的立方根是（）

A.1B.+1C.—1D.0

3.已知数a的平方根与其立方根相同，数6和其相反数相等，贝（）

A.-1B.0C.1D.2

4.（-8）2的6次方根是（）

A.2B.-2C.+2D.+4

5.在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（）

A.立方B.几次方C.开奇次方D.开偶次方

6.标表示的含义是（）

A.〃的正的〃次方根B.〃的〃次方根

C.当。20时，表示。的正的〃次方根D.当时，且几为奇数时，表示〃的几次方根

7.下列运算中，正确的是（）

A.5（q_"）6=a-bB.#（片+，2）8==+62

C.跖-芯=a-bD.4（0+6严=a+Z?

8.将一块体积为Men?的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（）

8L

A.2cmB.3cmC.-cmD.242cm

二、填空题

9.计算而=；<225=；-V—216=

io.M的算术平方根是,J石的立方根是.

11.已知（x-1）3=27,则X的值是.

12.。+3的算术平方根是3,6-2的立方根是2,则。+36的算术平方根为.

13.有一个数值转换器，原理如下：当输入的尤为64时，输出的y是.

14.如果J15.62=3.9522,则J156200=；6=39.522,贝□=；如果■^17=2.872,

^237=1.3333,则30237=；加=-1333.3,则彳=.

15.我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性.若。（。20）不是某个有理数的平方，则方

程无2=0有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程无3=匕在有理数范围无解.而在实数范围

内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处.现给出以下结论：①9=3在实数范围内有解；

②丁。22-10=（）在实数范围内的解不止一个；③尤?+/=5在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于

任意的。（。上0）,恒有右23所.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

16.计算：在正=.

三、解答题

17.计算：

（1）（73）2-V16+O;

18.己知6a+34的立方根是4,5°+8-2的算术平方根是5,c是9的算术平方根,

（1）求a,b,c的值

(2)求3a—b+c的平方根.

19.已知cvb<O<a,且1勿<1。1,求+^/?_忸+。|_卜闿_1（力一”的值.

20.已知丫=口/+病-4+4,求?的〃次方根（"为大于1的整数）

x-22

在重点考向

三、实数与分数指数暴

无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

实数概念：有理数和无理数统称为实数

实数的分类：

1.按属性分类：2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：

实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示

一个实数.

@勺画法：画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况：

1.尺规可作的无理数，如血

2.尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如口，1.010010001

实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法

实数的三个非负性及性质：

L在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2.非负数有三种形式

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|20；

②任何一个实数a的平方是非负数，即2»o；

③任何非负数的算术平方根是非负数，即厂N0

3.非负数具有以下性质

①非负数有最小值零；

②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0

分数指数惠

把指数的取值范围扩大到分数，我们规定

__m

\,[a^=〃"20）

（其中加、〃为整数，n>1）.

1m

[—

,—二a八（〃〉0）

弋〃

说明：在说明a"同样适用后，导出后一个负分数指数幕.

ap

mm

上面规定中的。刀和叫做分数指数寨，。是底数.

O©

典例引顺

----j____J________।_____L*

一、单选题

1.下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（）

A.-B.C.JhlD.县1

2332

2.在实数?丑，|,也,0.5,3.010010001...（每2个1之间依次多一个0）中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列说法中错误的是（）

A.有理数和无理数统称为实数

B.实数和数轴上的点是---对应的

C.平方根是其本身的数只有0

D.负数没有立方根

4.纳米是一种长度单位，1纳米=0.000000001米，已知某种花粉的直径为5300纳米，这种花粉的直径用

科学记数法表示为（）

A.5.3x10"*B.5.3x10-5C.5.3x10-6D.5.3x107

5.下列说法正确的是（）

A.我是无理数

B.我大于2

C.面积为8的正方形边长是我

D.数轴上表示强的点不存在

1

6.根式（〃>0，m、〃为正整数,〃>1）用分数指数幕可表示为（）

nm

mr-£）-

A・aB・anjam3an

二、填空题

7.比较大小：3-75_______1；W±l_3

44

2?

8.把下列各数填在相应的横线上，-8,兀，-|-2|,—,V16,-0.9,5.4,-^9,0,-3.6,1.2020020002...

(每两个2之间多一个0)；整数；负分数；无理数.

9.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示数为1,若=则数轴上点E所表示

的数为.

C

10.把正写成累的形式是.

11.如果=3",那么〃=____.

^/3<3

12.已知机，〃是两个连续整数，且％<相+1<",则/"+”=.

13.已知相，”分别是行■的整数部分和小数部分，那么2加-〃+&7的值是.

14.如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为-1,点B表示的数为3,点C表示的数为若子轩同学

先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点4和点8重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示

的数是.

ACB

_______IIII1.1I]I>

-3-2-1012345

三、解答题

15.计算：5^+|V5-2|-(-3)°+^.

11

16.利用累的性质计算：^8x2^(732)^.

211

555

17.(1)计算：5x52+(3x2r(结果表示为含累的形式)•

(2)计算：2瓶一3石+5?x君+(1『一(2；)3.

18.如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.

C.----------.3

.，D,_____a,,，

-2-101234

图2

图1

（1）图中阴影部分是一个正方形ABC。，求出阴影部分的面积及其边长.

（2）把正方形ABC。放到数轴上.如图2.使得A与1重合，那么。在数轴上表示的数为.

（3）在（2）的条件下，把正方形ABC。沿数轴逆时针方向滚动.当点B第一次落在数轴上时，求点8在数轴

上表示的数.

19.在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近万的近似值，请

回答如下问题：

⑴我们通过“逐步逼近”的方法来估算出1.4（也<1.5，请用“逐步逼近”的方法估算VH在哪两个近似数之间

（精确到0.1）;

（2）大家知道0是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此0的小数部分我们不可能全部地写出来，可

以用血-1来表示0的小数部分.

又例如：••,/<«<W，即2c近<3,

的整数部分为2,小数部分为（小-2卜

请解答：①晒的整数部分是，小数部分是

②如果"的小数部分为。，内的整数部分为6,求a+b-n的值;

③若x是应+而的整数部分，y是0+而的小数部分，求卜-四-招的平方根.

在模拟检测

一、单选题

1.（2018・上海•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.-81平方根是-9B.庖的平方根是±9

C.平方根等于它本身的数是1和0D.商工一定是正数

2.（2022•上海闵行.二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（）

A.我B.|C.&D.0,2022022022...

3.（2021.上海浦东新•模拟预测）无理数2血的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

4.（2021・上海奉贤•三模）点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（）

A.点A表示的数一定是整数

B.点A表示的数一定是分数

C.点A表示的数一定是有理数

D.点A表示的数可能是无理数

5.（2022.上海金山区世界外国语学校一模）已知。＞0,下列四个选项中正确的是（）

A.a°=1B.a1=—aC.（-a）——a2D.3_

6.（2022•上海市青浦区教育局二模）下列说法中，错误的有（）

①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为Jid=±4；

③把237145精确到万位是240000；④对于实数规定”=海

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

7.（2022・上海嘉定•二模）化简：|君-0|=.

8.（2021・上海松江•二模）计算：81=—.

9.（2019・上海松江・中考模拟）计算：卜5|+（a-1）°=一

10.（2018・上海•模拟预测）用幕的形式表示：*=.

11.（2019・上海虹口•中考模拟）在数轴上，实数2-有对应的点在原点的侧.（填“左”、“右”）

12.（2018・上海•模拟预测）已知数轴上点A到原点的距离为1,且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距

离为6的点所表示的数是.

三、解答题

13.（2022・上海•二模）计算：-|2A/2-^|+（-1）2021-.

12

14.（2018・上海•模拟预测）利用幕的运算性质计算：4/9x3^（727）5

专题02实数

实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题

的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法.

1.实数的相关概念和运算.如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指

数累等知识点直接考查.

2.出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解，结合丰富多彩的问题情境，运算量一般

较小一，但对运算理解的考一查力度较.

3.主要体现的思想方法：转化的思想、，分类讨论的思想、数形结合的思想等.

先知巧导图

一、平方根

算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a

的算术平方根。

算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作正，读作根号a,其中a是被开方数。

平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即如果2=

，那么x叫做a的平方根。.

平方根的性质与表示：__

表示：正数a的平方根用士厂表示，厂叫做正平方根，也称为算术平方根，-厂叫做

a的负平方根。_

性质：一个正数有两个平方根：士厂(根指数2省略)且他们互为相反数。

■a(aNO)

(Va)2=a(a>0),=-

.-a(a<0)

0有一个平方根，为0,记作血=。

负数没有平方根

平方根与算术平方根的区别与联系：

1算术平方根平方根|

区别概念如果一个正数x的平方等于a,即如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫

x2=a,那么这个正数x叫做a的算做a的平方根或二次方根，即如果"=a,

术平方根。那么x叫做a的平方根。

表示方法五±y/a

性质1）正数只有一个算术平方根，且1）正数有两个平方根，且互为相反数；

恒为正；2）0的平方根为0

2）。的算术平方根为03）负数没有平方根

3）负数没有算术平方根

求法开平方后取非负的平方根开平方

联系1）a的取值范围相同，均为aNO

2）平方根包含了算术平方根，即算术平方根是平方根中的一个（非负的）。

翼例引登

一、单速题

1.下列说发正确的的是（）

A.（-2）2的平方根是-2B.4是厢的算术平方根

C./平方根是±0D.2的平方根是-2

【答案】C

【分析】根据平方根的定义：一个数x的平方为乐x叫做。的平方根；算术平方根的定义:

一个非负数x的平方为。，无叫做O的算术平方根，逐一进行计算判断即可.

【解析】解：A、（-2『的平方根是±2,选项错误，不符合题意；

B、2是J话的算术平方根，选项错误，不符合题意；

C、4平方根是土攻，选项正确，符合题意；

D、2的平方根是土选项错误，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考察平方根、算术平方根的定义.熟练掌握相关定义是解题的关键.注意先化

简，再计算.

2.若根+4与他-2是同一个正数的两个平方根，则优的值为（）

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】D

【分析】根据平方根的性质列方程求解即可；

【解析】•••加+4与切-2是同一个正数的两个平方根，

：.m+4与〃?-2互为相反数，

m+4+m-2=0,

m=—l,

故选：D.

【点睛】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根,

它们互为相反数是解决本题的关键.

3.斯的算术平方根是（）

A.5B.-5C.75D.-75

【答案】C

【分析】根据算术平方根的性质，首先得后=5,再通过计算，即可得到答案.

【解析】,:岳=5

缶的算术平方根是逐

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质，从而完

成求解.

4.估计质的大小应在（）

A.7.1〜7.3之间B.7.3〜7.5之间C.7.5〜7.7之间D.7.7〜7.9之间

【答案】B

【分析】先把回平方，再把选项中的数分别平方，即可解答.

【解析】解：：7了=53.29,7S=56.25,

.••屈在7.5〜7.7之间，

故选：B.

【点睛】本题考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用

的估算无理数的方法.

5.下列各式正确的有（）个

①疯=0.2；②J1=±g；③-2?的平方根是±2；④土（是11|的平方根.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据算术平方根的性质判断①②；根据负数没有平方根判断③；根据平方根的性质

判断④，即可.

【解析】解：因为0.22=0.04?0.4,所以疝？*0.2,故①错误；

尾=惶，,故②错误；

V9V93

因为_22=-4,负数没有平方根，故③错误;

±1—=±—=±-,故④正确；

V36V366

所以正确的有1个.

故选：A

【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握一个正数的平方根有2个，且互为相反数；0

的平方根是0;负数没有平方根是解题的关键.

6.下列各数中一定有平方根的是（）

A.a2-5B.-aC.a+\D.a2+l

【答案】D

【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0,负数没有平方根.题中要求这个数一定有

平方根，所以这个数不论能取何值，都得是非负数.

【解析】解：A.当。=0时，4-5=-5<0,不符合题意；

B.当<2=1时，-a=-l<0,不符合题意；

C.当a=-5时，a+\=-4<0,不符合题意；

2

D.不论a取何值，a?》。，tz+l>0,符合题意.

故选D.

【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根.

7.若J（x-2）2+|3-y|=0,则工一丁的正确结果是（）

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】A

【分析】根据绝对值的非负性质及算术平方根的性质求出x、y的值，代入所求代数式计算

即可.

【解析】解：V7（^-2）2+|3-J|=0,

/.|x—2|+|3—y|=0,

x_2-0,3—y—0,

解得x=2,y=3,

.*•x-y=2—3=—1.

故选：A.

【点睛】本题考查了算术平方根的性质及非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握非负数

的性质：几个非负数的和为。时，这几个非负数都为0.

8.々75=4.147,疝^=1.311，则J1720的值为（）

A.13.11B.±13.11C.41.47D.±41.47

【答案】C

【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案.

【解析】解：•••&7工=4.147

，,1720=41.47,

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平方根，解题关键是掌握被开方数扩大100倍，算术平方根扩大

10倍.

9.示意图，小宇利用两个面积为1力层的正方形拼成了一个面积为2力层的大正方形，并通

过测量大正方形的边长感受了血曲2的大小.为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼

正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（）.

A.利用两个边长为2力w的正方形感知际力”的大小

B.利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知同而z的大小

C.利用四个直角边分别为2d机和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知

如丽的大小

D.利用一个边长为&而?的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知协力n的

大小

【答案】D

【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的

面积，看是否相等，就可以逐个排除.

【解析】解：A.2?2。8,（花1=&不符合题意；

B.4吗5。=50,（回）=50,不符合题意；

12

C.4吗2?3+F=13,（&iy=13,不符合题意；

D.（可+；仓也2=7,（呵=6,符合题意.

故选：D.

【点睛】这道题主要考查利用算术平方根的含义及实际应用，解题的关键是在拼图的过程中,

拼前，拼后的面积相等.

11_1

10.已知：x=-(1991"-1991")(力是自然数).那么的值是()

A.19911B.-199F2C.D.(-1)"1991T

【答案】D

【分析】先计算W+1,再求解庄石，再化简x-JH,再计算(x-而5"即可得到

答案.

1(-二)

【解析】解：由题意得：X2=-199r-2+1991",

1(2_2

x2+l=-1991"+2+1991"

4

____1\-i1」.、

贝！］兀一/?+1=-199F-1991"一一1996+199仃

21J21,

=-199f"

0_^/^?)"=(_1)”199尸.

故选D.

【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数累的含义，哥

的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.

二、填空题

11.若相<0,则|2时=；闻的平方根是.

【答案】-2/77±3

【分析】根据绝对值，算术平方根和平方根的定义求解即可.

【解析】解：m<0,

|2?7T|=—2m；

&T=9的平方根是±3,

故答案为：-2m,±3.

【点睛】本题主要考查了绝对值，算术平方根和平方根，熟知相关定义是解题的关键.

12.如下图5x5网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为

【答案】713

【分析】先求出大正方形的面积及三角形的面积，再利用S阴影=S大正方形-4・5三角形，进而可

求解.

【解析】解：$大或方形=5x5=25,$三角形=：X2X3=3,

则：$阴影=$大正方形—4-S三角形=25-4x3=13,

V阴影部分为正方形，

・•・阴影正方形的边长为：屈,

故答案为：A/13.

【点睛】本题考查了算术平方根和正方形的面积，熟练掌握算术平方根的定义及正方形的面

积公式是解题的关键.

13.±716=_;M的算术平方根是_.

【答案】±4币

【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可；

【解析】解：：(±4)2=16

••+V16=+4

,:国=7,7的算术平方根为g

回的算术平方根为近

故答案为：±4；币

【点睛】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的关键.

14.一个自然数的算术平方根是m则和这个自然数相邻的下一个自然数是.

【答案】a2+l##l+a2

【分析】首先根据算术平方根的定义求出这个自然数，然后即可求出与这个自然数相邻的下

一个自然数即可.

【解析】解：；一个自然数的算术平方根为。，

这个自然数是

.••与这个自然数相邻的下一个自然数是"+1.

故答案为：a2+l.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，同时要知道相邻的两个自然数相差为1.

15.如图是一个计算程序，当输出值y=9时，输入值尤为.

输入X—*-1―>()2-*输入V

【答案】-2或4##4或-2

【分析】根据题意列出方程，解方程即可求得.

【解析】解：根据题意得：（x-l『=9,

得了-1=±3,

解得x=4或x=-2,

故答案为：4或-2

【点睛】本题考查了程序框图及求一个数的平方根，理解题意，列出方程是解决本题的关键.

16.已知x、y是实数，且％+y=30,且盯=1,则+,

【答案】3行

【分析】利用完全平方公式解题即可.

［解析］x+y=3>/2，且孙=1,

卜+工+2」2+丁+2_（》+才一2孙（x+y）［卜⑹

---1----rZ-----------rZ-------------------rZ---------------------lo

xyxyxyxy1

±3近,

故答案为：3亚.

【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，注意二次根式的非负性，能够熟练运用完全平

方公式是解题关键.

三、解答题

17.已知一个正数的两个平方根是加+3和2帆-15.

（1）求这个正数是多少？

⑵加+5的算术平方根是多少？

【答案】⑴49

（2）3

【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出机；

（2）利用（1）的结果及算术平方根的定义即可求解.

【解析】（1）解：（1）•.,机+3和2m-15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数.

即：（〃?+3）+（2机—15）=0

解得机=4.

则这个正数是(〃z+3)2=49；

(2)\/m+5=—4+5=5/9=3.

答：m+5的算术平方根是3.

【点睛】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数.

18.某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150mz的长方形花园

(长方形花园的边与正方形空地的边平行)，要求长方形花园的长是宽的2倍.请你通过计

算说明该学校能否实现这个计划.

【答案】该学校不能实现这个愿望.

【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断.

【解析】解：长方形花坛的宽为加，长为2ml.

依题意得2尤•％=150,

:£=75,

:尤>0,

x=775,2%=2775,

:正方形的面积=25611?,

.•.正方形的边长为16m,

2，？>16,

/.当长方形的边与正方形的边平行时，该学校不能实现这个愿望.

【点睛】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础

题.

19.(1)若a是最大的负整数，6是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9

的负平方本艮.贝!!”=；b=；c=；d=_.

(2)若。与b互为相反数，c与d互为倒数，求3(4+6)-(-叫3-2的值.

【答案】(1)-1,0,1,-3(2)-1

【分析】(1)直接利用负整数、绝对值、倒数、平方根的定义分别分析得出答案；

(2)直接利用相反数、互为倒数的定义得出。+6=0,cd=l,进而得出答案.

【解析】解：(1)是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数,

d是9的负平方根，

则a=—1；6=0；c=1；d=—3.

故答案为：-1,0,1,-3；

(2);a与6互为相反数，c与1互为倒数，

a+b=0,cd=1,

3(tz+Z?)—(—erf)3—2

=3XO-(-1)3-2

=0+1—2

=—1.

【点睛】此题主要考查了负整数、绝对值、倒数、平方根、相反数、互为倒数的定义，正确

掌握相关定义是解题关键.

在重点考向

二、立方根和n次方根

1、立方根概念：如果一个数的立方等于，即3=,那么x叫做的立方根或三次方

根，

表示方法：数a的立方根记作厂，读作三次根号a.

立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方

根是一个负数。0的立方根是0.

开立方概念：求一个数的立方根的运算。

开平方的表示：（V—）'=工—5=6一=一寺—（a取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

注意：0的平方根和立方根都是0本身。

2、次方根

概念：如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，这个数就叫做的次方根。

当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。

当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。

性质：正数的偶次方根有两个：土厂；0的偶次方根为0：e=。；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。

一典例引顾

一、单速题

1.下列结论正确的是（）

A.216的立方根是±6B.立方根是等于其本身的数为0

C.没有立方根D.64的立方根是4

O

【答案】D

【分析】根据立方根的概念和求一个数的立方根的方法求解并判断即可.

【解析】解：A、63=216,（-6）3=-216,所以216的立方根是6,故选项A错误，不符合

题意；

B、立方根是等于其本身的数为-1,0,1,故选项B错误，不符合题意;

c、所以-：的立方根是-故选项C错误，不符合题意；

I2)882

D、4,=64,所以64的立方根是4,故选项D正确，符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查了立方根的概念和求一个数的立方根的方法，熟练掌握求一个数的立方根

的方法是解答本题的关键.

2.已知°,。满足j2a+6+|6-2|=0,贝!|。+6的立方根是()

A.1B.±1C.-1D.0

【答案】c

【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得人b值，再根据立方根的定义求解即可.

【解析】解：,•*yf2a+6+1&-2|=0,且J2a+620,忸一2|之。。

「・2a+6=0,b—2=0,

解得：。=-3,b=2,

••a+b=—3+2=—1,

...的立方根是-1,

故选：C.

【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、立方根，正确求得。、6值是解答的关键.

3.已知数。的平方根与其立方根相同，数6和其相反数相等，则a+b=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】直接利用平方根以及立方根、相反数的定义得出a,b的值，进而得出答案.

【解析】解：..•数a的平方根与其立方根相同，数6和其相反数相等，

a—0,b=0>

则a+6=0,

故选：B.

【点晴】本题主要考查了平方根以及立方根、相反数的定义，正确得出a,6的值是解题关

键.

4.(-8)2的6次方根是()

A.2B.-2C.+2D.+4

【答案】c

【分析】由(-8)2=64=(±2)6,进而问题可求解.

【解析】解：•••(⑹?=64=(±2『，

•••（-8）2的6次方根是±2；

故选C.

【点睛】本题主要考查偶次方根，熟练掌握偶次方根是解题的关键.

5.在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（）

A.立方B.〃次方C.开奇次方D.开偶次方

【答案】D

【分析】根据立方根、”次方根的意义可进行排除选项.

【解析】解：A、任意实数都可以开立方，故不符合题意；

B、当这个数为正实数时，可以开w次方，当这个数为负实数时，可以开〃次方（"为奇数）,

当这个数为0时，都可以开"次方（"不为0）,故不符合题意；

C、任何实数都可以开奇次方，故不符合题意；

D、当这个数是负实数时，则开偶次方无意义，故符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查立方根、“次方根，熟练掌握立方根、”次方根的意义是解题的关键.

6.而表示的含义是（）

A.。的正的"次方根B.a的〃次方根

C.当时，表示a的正的“次方根D.当aWO时，且w为奇数时，表示。的“次

方根

【答案】D

【分析】根据“次方根的意义可依此进行排除选项即可.

【解析】解：对于A、B选项当a<0时