2024-2025学年北师大版九年级数学上学期专项复习：特殊平行四边形（重点+难点）解析版

特殊平行四边形（重点+难点）

01重点

一、单选题

I.矩形和菱形都具有的性质是（）

A.邻边相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质；

根据菱形和矩形的性质即可判断；

【解析】解：A、矩形邻边不一定相等，不符合题意，

B、矩形和菱形对边相等，符合题意，

C、矩形对角线不一定互相垂直，不符合题意，

D、菱形对角线不一定相等，不符合题意，

故选：B.

2.如图，在矩形A8O中，对角线NC与AD相交于点。，若4O=4B,则NCOD的度数（）

A.30°B.60°C.45°D.90°

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定与

性质是解题的关键.根据矩形的性质可得8。，结合=可证明是等边三角形，所以

ZAOB=60°,再根据对顶角相等即得答案.

【解析】四边形/BCD是矩形，

:.AO=-AC,BO=-BD,AC=BD,

22

AO=BO,

vAO=AB,

AO-AB=BO,

是等边三角形,

ZAOB=60°,

NCOD=ZAOB=60°.

故选B.

3.若面积为6菱形的一对角线长为2夜，则另一对角线长为（）

A.272B.3百C.372D.273

【答案】C

【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可进行求解.

【解析】解：由题意得：另一条对角线的长为襄=3行；

故选C.

【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

4.如图，在菱形48CD中，/ABC=70°,则。的度数是（）

A.110°B.70°C.45°D.35°

【答案】D

【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角.根据菱形的对角线

平分一组对角即可求解.

【解析】解：：在菱形ABCD中，NABC=70°,

AABD=-AABC=35°,

2

故选：D.

5.如图，在口48。中，NC与3D相交于点。，则下列说法不正确的是（）

A.若AB=AD，则nABCD是菱形B.^ABLAD,则口45co是矩形

C.若AC=BD,则口/3CO是矩形D.若ACJ.BD,则口N8CD是正方形

【答案】D

【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，根据矩形和菱形的判定的判定定理逐项判断即可求解，掌握矩形

和菱形的判定的判定定理是解题的关键.

【解析】解：•••四边形/BCD是平行四边形，若,则口/BCD是菱形，故A说法正确，不合题意；

•.•四边形/3CD是平行四边形，若则口/BCD是矩形，故B说法正确，不合题意；

•••四边形N5O是平行四边形，若AC=BD,则口N8CA是矩形，故C说法正确，不合题意；

•.•四边形/2CZ）是平行四边形，若AC，BD,则口/BCD是菱形，故D说法错误，符合题意；

故选：D.

6.如图，在正方形ABCD中，点E、尸分别在边8c和4D上，BE=2,AF=6,如果/E〃CF,那么

的面积为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到

AD\\BC,AB=BC,ZABE=90。，进而证明四边形/ECF是平行四边形，得到/斤=（?£=6,则

AB=BC=BE+CE=S,最后根据三角形面积计算公式求解即可.

【解析】解：•••四边形/BCD是正方形，

.-.AD\\BC,AB=BC,ZABE=90°,

•••AE//CF,

.•.四边形AECF是平行四边形，

AF=CE=6,

.-.AB=BC=BE+CE=S,

••.S"E="2E=gx2x8=8，

故选：B.

7.如图，在正方形/BCD外侧，作等边则—CAE为（）

【答案】A

【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60。求出

AB=AE,4B/E的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可.

【解析】解：.••四边形43。是正方形，

:.AB=AD,ABAD=90°,

\ADE是等边三角形，

/.AD=AE,/DAE=ZAED=60°,

在zMHE中，AB=AE,ABAE=ABAD+ZDAE=90°+60°=150°,

.Z^=180-Z^=180-150：=15

22

ZCBE=90°-ZABE=90°-15°=75°,

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

8.如图，菱形/5CQ中，过点。作CEL3C交5。于点若/区4。=118。，则NCE3=()

A

B

C

A.59°B.62°C.69°D.72°

【答案】A

【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.根据菱形的性质可得4D〃3C,

/ABD=/CBD,从而得到NCAD=31。，再由CE_L3C,即可求解.

【解析】解：・・•四边形是菱形，

AD//BC,ZABD=ZCBD,

ABAD+AABC=\W0,

VZBAD=m0,

・・・N45C=180。—118。=62。，

:.NCBD=L/ABC=31。,

2

•；CE上BC,

・•・/BCE=90°,

.­.ZC^=90°-31°=59°.

故选：A.

9.如图，在矩形28C。中，40=7,CD=4,点、E,尸分别在BC,CD上，BE=3,CF=2,若G是/£的

中点，〃是3尸的中点，连接G",则G〃的长为（）

A.72B.V3C.2D.Vs

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的性质定理，掌握相关结论是解题关

键.连接2G,并延长交AD于N,连接NF,证a/GN乌AEGB可得3G=GN,AN=BE=3；结合H是BF

的中点，BG=GN,可得即可求解；

2

【解析】解：如图，连接3G,并延长交于N,连接湎，

•••四边形"CD是矩形,

AD//BC,

■■■ZDAE=ZAEB,

•••G是NE的中点，

:.AG=GE,

又•：4AGN=ABGE,

4AGNmEGB,

BG=GN,AN=BE=3,

■：AD=7,CD=4,CF=2,

:.DF=2,DN=4,

NF=yjDN2+DF2=275；

•••H是3尸的中点，BG=GN,

:.GH==NF=E

2

故选：D.

10.如图，正方形N8CD的边长为9,£为对角线NC上一点，连接DE,过点£作跖，交射线2C

于点尸，以DE,印为邻边作矩形DEEG,连接CG,下列结论中不正确的是（）

A.矩形DEFG是正方形B.ZCEF=AADE

C.CG平分ZDCHD.CE+CG=972

【答案】B

【分析】过点£分别作EKLBCECCD,垂足分别为K,L,则/EKF=/ELD=90。，根据角平分线的

性质，可得EK=EL,可证明四边形EKCZ是矩形，再证明空可得DE=EF,从而得到矩形

DEFG是正方形，可判断A选项；证明AADE丝ACOG,可得CG=/E,ZDCG=ACAD=45°=-ADCH,

2

从而得到CG平分/DC",可判断C选项；再由勾股定理可得CE+CG=NC=90，可判断D选项；再由

ZCEF与NFEK的大小无法判断，可得ZADE=ZCEF不一定成立，可判断B选项.

【解析】解：如图，过点£分别作EKL8C,矶，CD,垂足分别为K,L,则NEKF=/ELD=90°,

,••四边形/5C7）是正方形,

AB=CB=AD=CD,NB=N4DC=90。,ZDCA=ZDAC=ZBCA=45°,

・•・EK=EL,

■:/EKC=ZELC=ZLCK=90°,

・•・四边形EKC£是矩形，

・•.AKEL=90°,

••・四边形。斯G是矩形，

；,/DEF=/KEL=9。。,

・•.ZFEK=/DEL,

•••^EFK=^EDL,

DE=EF,

矩形G是正方形，故A选项正确，不符合题意；

DG=DE

•・•/EDG=/ADC=90。,

/CDG=/ADE=90°-ZCDE,

。:CD=AD,DG=DE,

^ADE=^CDG,

CG=AE,ZDCG=/CAD=45°=-ZDCH,

2

••.CE+CG=CE+AE=AC,CG平分/DCH,故C选项正确，不符合题意；

・.・AB=BC=9,ZB=90°,

-CE+CG=AC=^AB2+BC2=972，故D选项正确，不符合题意；

-ELLCD.ADLCD,

・•.EL//AD,

・•・/ADE=/DEL=ZFEK,

・・・ZCEF与ZFEK的大小无法判断，

；.NADE=NCEF不一定成立,故B选项不正确，符合题意；

故选：B

【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角

形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助

线是解题的关键.

二、填空题

11.在矩形/BCD中，对角线NC、8。相交于点0,若/C=6,则8的长度为.

【答案】3

【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分；理解性质定理是关键.

根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解.

【解析】解：：四边形N3CD是矩形，

BD=AC=6,

:.OD=-BE)=3.

2

故答案为：3.

12.菱形的一个内角是120。，边长是5cm,则这个菱形较短的对角线长是cm.

【答案】5

【分析】本题考查了菱形的性质，根据题意可得菱形60。角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边

三角形，据此即可求解；

【解析】解：••・菱形的一个内角是120。，

••.其邻角为60。，

根据菱形的性质得，60。角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形,

故这个菱形较短的对角线长是5cm.

故答案为：5.

13.如图，四边形/BCD是菱形，AC=8,DB=6,DH上AB于点、H,则。〃=,

D

【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对

角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半.掌握菱形的性质是

解本题的关键.

先根据菱形的性质得。4=。。=4,OB=OD=3,ACLBD,再利用勾股定理计算出45=5,然后根据菱形

的面积公式得到。再解关于。〃的方程即可.

【解析】解：：四边形/BCD是菱形，

OA=OC=4,OB=OD=3,AC上BD,

在RM/O5中，AB=V32+42=5，

S菱形NBCZ)=5,/C,BD,

S菱形/BS=DH•AB,

:.DH-5^-x6x8,

2

24

DH=—.

5

24

故答案为

14.如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，如果直尺的宽度是2,两把直尺

所夹的锐角为453那么这个四边形的周长为.

【答案】80

【分析】本题考查了菱形的判定，四边形的面积的计算，解题关键是学会添加常用辅助线，求出/E.由题

意可知/D〃8C,AB//CD,再证明3C=CD,得出四边形/BCD是菱形，再根据/E=2,N/3C=45。，求

出43,即可求解.

【解析】解：过点工作/ELBC于RAFLDC^-F,

四边形/BCD是平行四边形，

又•.,平行四边形/5CD的面积=3C•/E=Z»C•/月，

BC=CD

•••平行四边形是菱形，

在Rt/\ABE中，AB=2,ZABC=45°,

・•.ANBE为等腰直角三角形，

BE=AE=2,

■■AB=>l22+22=2>/2,

这个四边形的周长为4x2收=80，

故答案为：872.

15.如图，在矩形ABCD中，点E是边上一点，将ABCE沿CE折叠，使点3落在/D边上的F处，已知

理可求出DR,进而求出/F,在RtA/EF中由勾股定理可求出3E.

【解析】解：由翻折的性质可知，BE=EF,BC=FC=AD=5,

在RtzXCD厂中，CF=5,CD=AB=3,

DF=A/52-32=4，

/.AF=AD-DF=5-4=1,

设BE=x,贝!JEF=x,AE=3-x,

在Rt”即中，由勾股定理得：AF2+AE2=EF2,

即1+(3—x)2=%2,

解得x=:

即

5

故答案为:

3

16.如图,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，正方形。48c的顶点/的坐标为(1,2),点2为第二象限

的点，则点2的坐标为.

【答案】(-1,3)

【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，坐标与图形，正确作出辅助线是解题关键；过A作

1x轴，过C作。F1x轴，过8作BE1C尸，证明AAOH咨AOCF四“CBE(AAS)得出CF=OH,CE=4H,

再根据点A的坐标即可求解.

【解析】解：过A作/轴，过C作CRLx轴，过8作如图:

ZE=ZCFO=ZOHA=90°,

•••四边形CM8C是正方形,

OA=OC^BC,ZAOC=ZOCB^90°,

；.NBCE+ZOCF=ZOCF+ZCOF=ZCOF+ZAOH=ZAOH+NOAH=90°

/./BCE=ZFCO=ZOAH,

:AAOH知OCF知CBE(AAS),

CF=OH=BE,CE=OF=AH,

•••4的坐标为(1,2),

...OH=CF=BE=1,AH=0F=CE=2,

.-.EF=3,

即点B的纵坐标为3,

•・•点2为第二象限的点，

.••点8的坐标为

故答案为：(T,3).

17.如图，在矩形中，边48的长为4,点E,F分别在AD,BC上，连接BE,DF,EF与

BD相交于点。，若四边形BEDF是菱形，S.EF=AE+FC,则边BC的长为.

【答案】473

【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理,

根据矩形和菱形的性质可利用“HL”证明△48E空△CDF,即得出/E=CF,由£F=/E+FC,即可证明

AE=OE,继而可再次利用“HL”证明之即得出=NOBE,从而可求出

AABE=ZDBE=ZDBC=|ZABC=30°,最后由含30。角的直角三角形的性质即可求出答案，掌握以上知

识点是解题的关键.

【解析】解：•••四边形/BCD是矩形，

BC=AD,Z_A-Z.C—90°,

•・•四边形方是菱形，

・•.BE=DF,OE=OF,NDBE=NDBC,EFLBD,

・•・/BOE=90°,

在RtZ\45£和RtZkCD厂中，

AB=CD

BE=DF

・•.AE=CF,

-：EF=AE+FC,^OE+OF=AE+FC,

20E=2AE,

AE=OE,

在RtZk45£和中，

jAE=OE

[BE=BF'

.•.RM/BE丝RMOBE(HL),

/ABE=/OBE,

/ABE=/DBE=/DBC=-/ABC=30°,

3

BD=2AB=8,

•••BC=AD=y/BD2-AB2=Vs2-42=4百，

故答案为：4A/3.

18.如图，正方形/BCD的边长为8,点E为线段CD上的动点，EGLEH,EG=EH,M为名中点，F

为6c中点，则九值的最小值为.

【答案】20

【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，建立平面直角坐标系

求解是解答的关键.

过G作GP_LCD于尸，证明APEG取ACTffi(AAS)得到P£=CH,PG=CE,设CE=a,CH=b,以点2

为坐标原点，8c所在的直线为x轴建立直角坐标系，则G(8-a,a+b),笈(8-6,0),利用中点坐标公式得

“0-审，等）尸（4,0）,再利用两点坐标距离公式得尸M=j2（审-2

,利用非负数的性质求

解即可.

【解析】解：•••正方形"CO的边长为8,

：.BC=CD=8,/ABC=/BCD=9。。,CD//AB,

如图，过G作G0_LC£）于P,贝！JNGPE=ZECH=90°,

•••EG1EH,

・•・/PEG+ACEH=90°,

ZPGE=ACEH,又EG=EH,

・•.△PEG怂△CTffi'(AAS),

・♦,PE=CH,PG=CE,

设CE=。，CH=b,贝!J0WQW8,0<6<8,

/.CP=a+bfBH=8—6,

以点8为坐标原点，3c所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则G（8-a,a,H(8-b,0),

为名中点，厂为3C中点，又8_a+8i=8—

2

*Jc"bQ+b\z人八'

J,尸（4,0）,

a+b

-8+16

~Y~

>78=272,当且仅当审=2即a+6=4时取等号,

•••FM的最小值为2夜.

故答案为：2行.

三、解答题

19.如图，己知矩形/BCD,过点。作CE〃台。交的延长线于点E.求证：AC=EC.

【分析】根据矩形的对应边相等及对角线相等，找出等量关系求解即可.

主要考查了矩形的性质.要掌握矩形的性质：对角线相等，对应边平行且相等.

【解析】证明：••・四边形是矩形，

BD=AC,CD//AB,

又•••CE//BD,

•••四边形OBEC是平行四边形，

BD=EC,

AC=CE.

20.如图，四边形4BC〃是矩形，AE//BD,交C2的延长线于点£,CF//BD,交48的延长线于点厂,

连接跖.

求证：四边形NEFC是菱形.

【答案】见详解

【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质.根据题意先证四边形是平行

四边形，再由//5C=90。即可.

【解析】证明：,•・四边形/2C。是矩形

AD//BC,AB//DC,AC=BD/ABC=90°

.­.AD\\EB,BF]\DC

•••AE//BD,CF//BD

四边形ZEB。，四边形5/7CZ）都是平行四边形

:.AEHBD,AE=BD,BDHFC,BD=FC

:.AEHFC,AE=FC

•••四边形N斯C是平行四边形

ZABC=90°

四边形NMC是菱形.

21.如图，在正方形4BCD中，点E在边的延长线上，点尸在CD边的延长线上，且CE=DF,连接4E

和3尸相交于点

求证：AE=BF.

【答案】证明见解析.

【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD,Z.ABE=Z.BCF=9Q°,再证明2E=CF,可得三角形的全等，利

用全等三角形的性质可得答案.

【解析】证明：•••四边形N8CD为正方形，

：.AB=BC=CD,乙1BE=LBCF=90°,

又,:CE=DF,

■■.CE+BC=DF+CD即BE=CF,

在△8CF和"BE中，

BE=CF

<NABE=NBCF

AB=BC

:.AABEmLBCF(S4S),

：.AE=BF.

【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

22.如图，4x6的网格中，每个小正方形边长都是1,它们的顶点为格点.在图1,图2中已画出线段

且点A,8均在格点上.

(1)在图1中以A8为对角线画出一个矩形，使矩形的另两个顶点也在格点上，且所画矩形不是正方形.

(2)在图2中以45为对角线画出一个菱形，使菱形的只两个顶点也在格点上，且所画菱形不是正方形.

(3)图1中所画矩形的面积为;图2中所画菱形的面积为.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)8,8

【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，熟记矩形和菱形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在.

(1)根据矩形的性质画图即可，

(2)根据菱形的性质画图即可，

(3)根据矩形的面积公式和菱形的面积公式即可得到结论.

【解析】(1)解：如图①所示，矩形/BCD即为所求，

(2)解：如图②所示，菱形/尸8E即为所求,

(3)解：矩形43。的面积=2乂4=8；

菱形NFSE的面积=4x4-2-4x-x3=8,

2

故答案为：8,8.

23.如图，在矩形NBCD中，点M在DC上，AM=AB,且垂足为N.

⑴求证：^ABN^MAD；

(2)若AD=2,AN=4,求四边形8cMN的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)4>/5-8

【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对

角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大.

(1)利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用44s证得两三角形全等即可;

(2)利用全等三角形的性质求得4。=5N=2,AN=4,从而利用勾股定理求得的长，利用

=

S四边形BOVWS矩形245cZ)-S^ABN—^^MAD求得答案即可.

本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，了解矩形的对边平行

且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大.

【解析】(1)证明：在矩形/BCD中，ND=90°,DC//AB,

/BAN=/AMD,

BNVAM,

=90°,

在AABN和AMAD中,

NBAN=NAMD

<ZBNA=ZD=90°,

AB=AM

:AABN也/XMAD(AAS)；

(2)解：-.■Z\ABN^Z\MAD,

BN=AD,

■：AD=2,

BN=2,

又<4N=4,

在RtAABN中，AB=JAN。+BN。="+■=275，

S矩物BS=2x275=475,S^ABN=S^MAD=1x2x4=4,

==

一S四边形BCMVS矩形/BCD—S^ABN-S&MAD4#-8"

24.如图，在菱形/BCD中，/E，BC于点£,/斤JLCO于点尸，连接EF.

（1）求证：AE=AF

⑵若乙8=60。，求NN跖的度数.

【答案】（1）见解析

⑵乙4所=60°

【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，全等三角

形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.

（1）欲证明=只需要证得A48E会尸即可；

（2）根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答.

【解析】（1）证明：・•・四边形/8C〃是菱形，

AB^AD,NB=ND.

又・・・/El3c于点£,于点尸，

ZAEB=ZAFD=90°,

在与△4。尸中，

ZB=ZD

•・•<ZAEB=ZAFD.

AB=AD

:."BE%ADF(AAS).

/.AE=AF；

(2)解：=四边形45c。是菱形,

ZB+ZBAD=\S0°.

而NJ5=60。，

ZBAD=120°,

又・・・/AEB=9()。,ZB=60°,

/./BAE=30°.

由(1)知"BE知ADF,

...ZBAE=ZDAF=30°.

/EAF=120。一30。-30。=60。.

:.^AEF是等边三角形.

ZAEF=60°.

25.如图，已知矩形/BCD的长48=x米，宽台。=＞米，x,y满足|x-5|+(y-4)2=0,一动点P从/出发

以每秒1米的速度沿着Cf8运动，到达8点停止.另一动点。从3出发以每秒2米的速度沿

BrCfDfA运动,到达4点停止.P,。同时出发，运动时间为f.

DC

A

(1)^=,蚱；

(2)当/=5时，求△/尸0的面积；

(3)当尸，。都在DC上，且尸。距离为;时，求才的值.

【答案】⑴5,4

52

259

⑶"1或

【分析】本题考查了矩形性质及一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

(1)由非负性可求解；

(2)由三角形的面积公式可求解；

(3)分两种情况可求解.

【解析】(1)小-5|+(广4)2=0,

x-5=0,_4=0,

x=5,y=4,

故答案为：5,4；

(2)当f=5时，尸走过的路程为5米，。尸=1米，

。走过的路程为10米，在边上，。。=1米，

13

此时，(米)，(平方米)

AQ=3S^APQ=--AQ-DP=-

(3)点尸在DC上,

■-4<t<9,

•••点。在DC上，

：.2<t<4.5,

.-.4<t<4.5,

当尸左0右时，DP=t-4,CQ=2t-4,

.■.PQ=CD-DP-CQ=5-(t-4)-(2t-4)=13-3t,

/.13—3Z=一,

2

解得”手.

6

②当0左尸右时，4)米，。。=(2-4)米，

尸Q=QP+C<—CD=«—4)+(2"4)-5=(31一13)米,

・・・3/13」

2

9

解得，=5=4.5,

综上，满足题意的，=套25或9

26.如图，正方形/BCD,N3=8.将正方形/BCD绕点A逆时针旋转角度&(0°<a<90°),得到正方

形4EFG,EF交CD于点、M,延长FE交8c于点N.

备用图

(1)求证：MN=DM+BN-

(2)顺次连接。，E,C,F,得到四边形OECF.在旋转过程中，四边形DECF能否为矩形？若能，求出

BN的值；若不能，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析；

Q

⑵能，-.

【分析】(1)根据正方形的性质及选转的不变性证明△/斯)。加和丝A/EN即可；

(2)由旋转得：CD=EF,故当CD,跖互相平分时，四边形CEZW为矩形，设BN=x,则CN=8-x,

DM=CM=4,ME=x+4,在RtZXNCM中，由勾股定理得：(8-x『+4?=(x+4『，解方程即可.

【解析】(1)证明：连接4/,/N

,•・四边形48C〃是正方形,

.-.ZB=ZD=90°,AB=AD,

由旋转得：AB=AE,ZAEM=ZAEN=ZB=90°,

AD=AE,ZAEM=ZD=90°,

AM=AM,

・••DM=EM,

同理可证："BNmMEN,

BN=EN,

•：MN=ME+EN,

:.MN=DM+BN；

o

(2)解：能，BN=-

3

G

,•・四边形N5CD是正方形，

；.BC=CD=AB=8,/BCD=90°,

由旋转得：CD=EF,

故当CD,所互相平分时，四边形CEDE为矩形，

•.•。，斯互相平分，

••・四边形CEDF为平行四边形，

•••CD=EF,

四边形CEDF为矩形，

设BN=x,贝!|CN=8-x,DM-CM=—x8=4,

2

由（1）知=河=x+4,

.•.在RtZXNCM中，由勾股定理得：（8-x『+42=（x+4『,

QO

解得：x=|,即8N=g.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点,

正确添加辅助线是解题的关键.

27.如图①，在矩形/BCD中，点E在边48上，点尸在边3c上，连接DE,DF,EF,已知

NEFB=2ZCDF.

图①

(1)求证：DF平分NCFE；

(2)如图②，若矩形/5CD为正方形，求/FDE的度数;

(3)如图③，在(2)的基础上，将点E绕点。顺时针旋转使点E的对应点落到点已知点£’恰好落在

边8C的延长线上，连接。E',EE',若E£=80，求ADEE'的面积.

【答案】(1)见解析

(2)45°

(3)32

【分析】此题考查了全等三角形的的判定和性质，正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质.

(1)设/CDF=a,则喈=2NCD尸=2a,得到=90。-1,NDFE=90°-a,即可得到

NDFE=NDFE,结论得证；

(2)过点。作0/7，E尸于H,证明^CDF^HDF(AAS),则CD=DH,ZCDF=ZFDH,证明

"DE%HDE(HL),则NHDE=N4DE,则NFDH+NEDH=NCDF+NADE=gNADC=45。,即可得到

答案；

(3)证明RtAOCEWRtAD4£(HL),plijZEDC=ZEDA,得到△£?)£是等腰直角三角形，即可得到

DE=DEf=8.

【解析】(1)证明：设2CDF=a,则/E尸8=2/CD尸=2a,

•.•四边形ASO矩形，

.-.ZC=90°,

.-.ZCFD=90°-ZCDF=90°-«,

:.乙DFE=180°-ZDFC-NBFE=180°-(90°-a)-2a=90°-a

："DFE=NDFE,

；.DF平分NCFE；

(2)过点。作0/7E尸于

ZC=ZDGF=90°,

由(1)可知，NDFE=NDFE,

又•:DF=DF

^CDF^HDF(AAS),

.-.CD=DH,ZCDF=ZFDH,

•.•四边形/BCD是正方形，

CD=DA,ZA=ZCDA=90°

■.DA=DH,

•••DE=DE

.•."DE知HDE(HL),

AHDE=NADE,

ZFDH+ZEDH=ZCDF+ZADE=-ZADC=45°,

2

ZFDE=NFDH+ZEDH=45°

(3)将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点E',

■■DE=DE'>

•••DC=DA,NA=NDCB=ZDCE'=90°

.•.RtAOCESRtlE^HL),

AEDC=/EDA,

ZCDE'+ZCDE=ZADE+ZCDE=90°,

NE'DE=90°

■■^E'DE是等腰直角三角形，

•••DE=DE'=—EE'=—x8y/2=8

22

ADEE'的面积=-DE'-DE=-xSxS=32

22

02难点

一、单选题

1.如图，E、尸、X分别为正方形45CQ的边45、BC、8上的点，连接。尸，HE,且HE=DF,QG平

分/40尸交48于点6.若/8£〃=52。，则446。的度数为（）

A.26°B.38°C.52°D.64°

【答案】D

【分析】过点//作由正方形的性质8C=CD,44=/C=N4DC=90。，4D〃3C,四边形BCW

为矩形，利用HL易证得AHEMmADFC,可得NBEH=ZDFC=52°,进而可得ZADF=ZDFC=52°,由角平

分线可得的4DG度数，即可求得得乙4G。度数.

【解析】解：过点“作

•.•四边形A8CD是正方形，

BC=CD,NA=NC=NADC=90°,AD//BC

■：HMVAB,则四边形BCW为矩形,

：.MH=BC=DC,

vHE=DF,

:.△HEM经4DFC（HL）,

ZBEH=ZDFC=52°,

•••AD//BC,

NADF=ZDFC=52°,

又•；DG平分NADF,

ZADG=-ZADF=26°,

2

ZAGD=90°-NADG=64°.

故选：D.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线，构造全等三角形，利用其性质转

化角度是解决问题的关键.

2.如图，在矩形中，对角线NC与AD交于点O,BFLAC交CD于点、F,DE1AC交于点E,垂

足分别为M、N,连接EM、FN.则下列四个结论：①DN=BM；②EMHFN；@AE=CF-④当=

时，四边形。£8厂是菱形；其中正确结论的个数是（）

【答案】D

【分析】根据矩形的性质得至ABHCD,^DAE=^BCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD//BC,

根据平行线的性质得到DEL4C,根据垂直的定义得到乙DN4=A8MC=90。，由全等三角形的性质得到

DN=BM,乙4DE=4CBF,故①正确；证A4OE三△CB尸（4SL4）,得出/£=尸C,DE=BF,故③正确；证四边

形NEWF是平行四边形，得出EM//FN,故②正确；证四边形。班厂是平行四边形，证出/。四=乙4AD,

则。得出四边形。EAF是菱形；故④正确；即可得出结论.

【解析】解：•••四边形是矩形，

；.AB=CD,AB!/CD,乙DAE=KBCF=9Q°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,ADUBC,

:.乙DAN=LBCM,

-BFLAC,DEHBF,

：.DELAC,

:，DNA=LBMC=9G。,

在△QN4和△BMC中，

'/DAN=/BCM

<ZDNA=/BMC,

AD=BC

••△DNA2BMC(AAS),

・・.DN=BM,UDENCBF,故①正确;

在A4OE和aCBb中，

/ADE=ZCBF

<AD=BC,

/DAE=/BCF

••,3DE三ACBF(ASA),

；,AE=FC,DE=BF,故③正确；

•••DE-DN=BF-BM,即NE=MF,

•:DEIIBF,

・•・四边形NEMF是平行四边形，

:・EMHFN,故②正确；

•・・AB=CD,AE=CF,

:,BE=DF,

-BE//DF,

・•・四边形DEBF是平行四边形，

-AO=AD,

：.AO=AD=OD,

・・・A40D是等边三角形，

山DO=3AN=60。,

工乙4BD=90。-乙4DgO。,

-DELAC,

・・&DN=CODN=3。。,

.,.ZODN=Z-ABD,

••DE=BE,

二四边形DE3厂是菱形；故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等

边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等

是解题的关键.

3.如图，菱形N8CD中，4840=60。，AC与BD交于点、O,E为CD延长线上一点，且CD=DE,连接

BE,分别交/C,于点尸、G,连接。G,则下列结论：

①。G=3AB；②S四边形ODGF>;③由点/、B、D、E构成的四边形是菱形；④）S6共口=4S&BOG，其

中正确的结论是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】①由//S证明MBG三ADEG,得出NG=OG,证出0G是A4AD的中位线，得出OG=；/2,①

正确；

③先证明四边形N8AE是平行四边形，证出A48。、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD,因此

OD=AG,得出四边形/8DE是菱形，③正确；

②连接ED,由等边三角形的性质和角平分线的性质得尸到A48O三边的距离相等，则

SABDF=SAABF=2SABOF=2SADOF=Saii^ODGF,贝l|S原媛ODGQS/B尸，②错误；即可得出结论.

④•••连接CG,由。、G分别是/C,AD的中点，得至！J%g=SMOG，SAACG=SADCG,贝”△/CD=4&/OG,

再由SA/OG=SA3OG,得到DCD=4S/OG,故④正确；

【解析】•••四边形/BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,AB^CD,OA=OC,OB=OD,ACLBD,

:.乙BAG=LEDG,

■■■CD=DE,

••.AB=DE,

在AABG和△Z)EG中,

"NAGB=ZDGE

</BAG=ZEDG,

AB=DE

•，AABG=ADEG(AAS),

：.AG=DG,

：.OG是的中位线，

.■.OG^^AB,故①正确；

"ABWCE,AB=DE,

••・四边形ABDE是平行四边形,

“BCD=ABAD=6Q°,

：.AABD,ABCD是等边三角形，

：.AB=BD=AD,z<9£>C=60°,

・•.平行四边形是菱形，故③正确；

•••连接CG,

•・•。、G分别是NC,4D的中点，

S&AOG=SACOG，SAACGS4CG，

■■.SAACD=4SAAOG,

■.-OG//AB,

:.SAAOG=S*OG,

••.SAACD=4SABOG,故④正确；

连接ED,如图：

•••A43。是等边三角形，AO平分乙BAD,BG平分乙4BD,

.■.F到A48。三边的距离相等，

:SABDF=SAABF=2SABOF=2SQOF=S四边彩ODGF,

：.Sa„ODGF=S^ABF,故②错误；

正确的是①③④，

故选C.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中

位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键.

4.如图，在正方形中，E、尸是射线3。上的动点，且NE4F=45。，射线NF分别交8C、CD

延长线于G、H,连接EC,在下列结论中：①AE=CE；（2）BG=GH+DH；③EF?=BE?+DF?;④若

AB=3DH,则CD=ICG,

⑤工AGH:%BCD=G〃：/8,其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】由“SAS”可证△42E丛CBE,可得NE=EC,故①正确；

如图1,在3c上截取BN=OH连接/N,由“SAS”可证△/8N四△4DH,可得=ZBAN=ADAH

由“SAS”可证AANGdAHG,可得NG=HG,

BG=BN+NG=GH+DH,故②正确；

如图2,将/绕点A顺时针旋转90。，得到连接瓦W,由旋转的性质可得=

NABM=NADF,DF=BM,由“SAS”可证△/£尸也,可得EF=£M,由勾股定理可得

EF2=BE2+DF2^故③正确；

如图1,设DH=a,则/3=3OH=34=BC=CD,利用勾股定理可求CG=3a=Q）,故④错误；

由三角形的面积公式可求：SABCD=GH:AB,故⑤正确；

【解析】解：,•・四边形/BCD是正方形,

:.AB=BC,AABD=ZCBD=45°,

BE=BE,

:.^ABE^CBE(SAS),

/.AE=EC,

故①正确；

如图1,在5C上截取连接4N,

•/AB=AD,/ABN=/ADH=90。，BN=DH,

.•.△45N之△/DH(SAS),

/.AN=AH,/BAN=ADAH,

/./BAD=ZNAH=90°,

•・•ZEAF=45°,

/EAF=/NAG=45。,

又•：AN=AH,AG=AG,

「.△4NG之△/HG(SAS),

:.NG=HG,BG=BN+NG=GH+DH,

故②正确；

如图2,将△4Db绕点A顺时针旋转90。，得到连接EM,

HF

.♦△ADFmAABM，/FAM=90°,

/.AF=AM,ZABM=ZADF,DF=BM,

・//ABD=/ADB=45。,

/ABM=ZADF=135。，/MBE=90°,

•・•ZEAF=45°,

ZEAF=ZEAM=45°,

又AE=AE,AF=AM,

:.dAEF必AEM(SAS),

EF=EM,

在中，EM2=BE2+BM2，

:.EF2=BE2+DF2^

故③正确；

AB=3DH,

:'没DH=a,则4B=3OH=3Q=3C=C。,

CH=4a,

如图1,在5。上截取3N=。"，连接ZN,

H

由③可得：HG=NG,

设CG=x,贝i]2G=3a+x,

NG=2a+x=HG,

■：CH2=CG'+HG1,

..(4a)~+—(2a+x),,

■■x=3a,

CD—CG,

故④错误；

如图1,•:AANGdAHG,

SAACH=SAANC=—NG-AB=—HG-AB,

-S&AGH'SABCD=GH：AB,

故⑤正确；

，正确的结论有①②③