重庆市某中学2024-2025学年高二年级上册10月月考数学试题（含答案解析）

重庆市育才中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.经过两点/（2,7）,8（4,6）的直线的斜率为（）

1八1

A.—B.—2C.-D.2

22

2.经过椭圆，+（=1的右焦点用的直线/交椭圆于A,8两点，片是椭圆的左焦点，则

△AKB的周长是（）

A.8B.9C.10D.20

3.圆G：/+,2=4与圆C?:/+/+6x+8y—24=0的位置关系为（）.

A.相交B.内切C.外切D.外离

4.下列可使1，b,己构成空间的一个基底的条件是（）

A.a=mb+ncB.a,己两两垂直

C.|51=|ft|=|c|=1D.a+b+c=0

5.已知圆锥的母线长为4,底面的半径。4=2,用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的

小圆锥底面的半径。4=1,则截得圆台的体积为（）

A2若n、A「1也nJd"

A.-----7iB.2,3兀C.-----7iD.一兀

333

6.在四棱锥尸-4BCD中，底面A8CD是正方形，侧面尸DC是正三角形，且平面尸DC，底

面48cD,E为线段PC的中点.记异面直线尸工与DE所成角为6,贝！|cos6的值为（）

A.—B.0C.—D.—

446

7.如图，己知正方体N2CD-44G。的棱长为2,M.N分别为线段《4、8c的中点，

若点尸为正方体表面上一动点，且满足平面MDC,则点尸的轨迹长度为（）

试卷第1页，共4页

A.2V2B.V5c.V2D.2

8.已知三棱锥P-48c中，/XASC是边长为2的正三角形，尸PCIAC,若三棱

锥尸-/8C的外接球体积为亍，则直线尸4与平面/3C所成角的余弦值为（）

V3口Gvn八百

A.----Jz5.----rL•-----U•--

2443

二、多选题

9.关于曲线町;2=1,下列说法正确的是（）

A.若曲线£表示两条直线，则〃7=0,〃>0或〃=0,m>0

B.若曲线E表示圆，则〃?=〃>0

C.若曲线E表示焦点在.v轴上的椭圆，贝心">">0

D.若曲线E表示椭圆，贝！］根R”

10.已知直线<：>-2=机。+1）（加eR）,直线4：x-2y+4=0（2eR）,则下列说法正确的

为（）

A.若4_L4，则〃7=-2

B.若两条平行直线4与，2间的距离为2不，则4=-5

C.直线4过定点（-1,2）

D.点P（2,6）到直线4距离的最大值为2而

11.如图，在直棱柱4BCD-4BGR中,底面ABCD为菱形，且48=/4=2,ABAD=60°,

M为线段AG的中点，N为线段3c的中点，点尸满足丽=2而+〃瓦瓦（0W2<1,0<〃<1）

则下列说法正确的是（）

A.若〃=1时，三棱锥尸-D3C的体积为定值

试卷第2页，共4页

B.若丸=；时，有且仅有一个点P,使得产。，尸"

C.若％+〃=；,则|PN|+|PC|的最小值为3

D.若2=0,〃=:，则平面。尸河截该直棱柱所得截面周长为拽土Ml

26

三、填空题

12.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(右,G),则它的标准方程

是.

13.若1,3,1为空间中两两夹角都是60。的单位向量，则|23+B-3即=.

14.己知/C,5。为圆。:无2+了2=8的两条相互垂直的弦，垂足为尸(2,6),圆心。到/C,

AD的距离分别为4，d2,则片+/=,四边形N5CD的面积的最大值为.

四、解答题

15.已知直线/经过点4-5,1),点8(3,7).

(1)求直线/的方程；

⑵若圆C经过点”(1,0),点N(3,2),且圆心在直线/上，求圆C的方程.

16.如图，在三棱柱4BC-481cl中，AC=6,BC=8,48=10,44=8,点。是的

中点，CG，平面/Be.

⑴求证：NG〃平面cr>q；

(2)求44与平面所成角的正弦值.

17.如图，在三棱锥P-48c中，BC=BA=PC=PA=PB=也,且/CA4=/CPN=90。.

试卷第3页，共4页

(2)若棱尸N上存在不同于P,A的动点满足而=4万，使二面角P—8C—M的余弦

值为巳7，求4的值.

18.已知动点”与两个定点0(0,0),4-3,0)的距离的比为

2

⑴求动点M的轨迹方程；

⑵过点5(0,-2)且斜率为k的直线/与动点”的轨迹交于尸，。两点，若赤•丽=-3,求I尸。I

的值.

19.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间

的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点可(久2，乃)的曼哈顿距离为

d(MN)=k-尤21+|必一刃.已知在四边形/BCD中，AE=2EC=4,ZACB=90°,

岳，且8E平分//8C,若将V/BC沿线段NC向上折叠，使二面角

为直二面角，如图所示，折叠后点3在新图形中对应点记为

(折叠前)(折叠后)

⑴计算的大小；

(2)若A/CD所在平面为a,设尸ea,且/PB，E=/DB'E,记点P的轨迹为曲线「

(i)判断:T是什么曲线，并求出对应的方程；

(ii)设/为平面。上过点3且与直线NB垂直的直线，已知N在直线/上，M在：T上，求

d(M,N)的最小直

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ADBBCCBDABCDAC

题号11

答案ACD

1.A

【分析】根据条件，利用经过两点的直线斜率的计算公式，即可求解.

【详解】因为直线经过两点4(2,7),8(4,6),所以直线的斜率为左=7--二6—1

2-42

故选：A.

2.D

【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△，片3

的周长.

【详解】

22

•・•片,月为椭圆工+匕=1的两个焦点,

2516

用+M用=10,忸周+忸阊=10,

:AAKB的周长为|48|+卜闻+忸居|=|皿|+|/闾+忸耳卜忸居|=10+10=20.

故选：D.

3.B

【分析】由两圆的位置关系计算即可.

【详解】由题意可得C?:x2+y2+6x+8y-24=0=>(x+3)2+(y+4)2=49,

故两圆的圆心分别为：G(0,0)C(-3,T),设两圆半径分别为小弓,则〃=2,々=7,

易知乃_八=5=|C£|=J(-3-0丫+(4-0y,故两圆内切.

故选：B

4.B

【分析】判断三个向量是否共面即可得.

答案第1页，共15页

【详解】选项AD中，三个向量a1,c一定共面，选项C中，a,B,c可能共面，只有选项B

中，a,B,c一定不共面，

故选：B.

5.C

【分析】作出圆锥的轴截面，利用求得圆台的高为〃=百，结合圆台的

体积公式，即可求解.

【详解】如图所示，作出圆锥的轴截面等腰△必LB,

则SN=4,GU=2,可得S0=J"-。/=2百，

用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥底面的半径Q4=1,

由△SO14s△so/,可得型="=_L,所以SO=2SQ,

SO0A2

则001=6，即圆台的高为％=百，

所以圆台的体积为厂=；忒12+22+k2)、6=孚.

故选：C.

6.C

【分析】根据题意，过尸作尸o，z)c,以。为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向

量的坐标运算以及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解.

【详解】

答案第2页，共15页

过P作尸O，DC,因为侧面PDC是正三角形，所以。是CO的中点,

又因为平面尸DC,底面4BC。，且DC为两平面的交线，POu平面尸DC,

所以尸O_L底面A8CD,

以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设/8=2,贝必（2,-1,0）,。（0,1,0）,。（0,-1,0）,尸（0,0,⑻,£（0,1当

所以西=（2,-1,-6），瓦=（0,■|，¥＜）,

PA-DE,3V6

则cos6=|I二---------

\PA^DE\272xV34

故选：C

7.B

【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出丽•皮=0,而•万法=0,从而得

到NGJ_平面MDC,从而点尸在线段NG上时，满足平面MDC,点尸的轨迹长度为

NC\=a+22=V5.

【详解】以。为坐标原点，D4OC,他所在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，

则0（0,0,0）,C（0,2,0）（2,0,1）,N（l，2,0）,G（0,2,2）,

则雨=（-1,0,2）,皮=（0,2,0）,痂=（2,0,1）,

故南灰=（-1,0,2）.（0,2,0）=0,丽.丽=（-1,0,2（2,0,）=-2+2=（,

所以阳_L正，莺_L丽7,

又CDcDM=D,CD,DMu平面M）C,

所以NG_L平面

答案第3页，共15页

故当点尸在线段NG上时，满足沏，平面"DC,

点P的轨迹长度为NC、=^12+22=V5.

8.D

【分析】点尸作平面48。，连接易知过BC中点M,连接尸“，易知直线

产/与平面48c所成角为NP/W;由尸8_L48,尸C_LNC知三棱锥的外接球的直径尸/,

据外接球体积为于可求出PA及所需边长，利用余弦定理求cos即可.

【详解】设三棱锥的外接球的半径为R,如图所示，取尸/中点为。，

由于PCLAC,则08=OC=O尸=0/,

故。是三棱锥的外接球的球心，P4=2R,

V三棱锥P-ABC的外接球体积为华，；.幽,=吆,尸/=4,

333

过点尸作7W_L平面4BC,连接易知/〃过8c中点连接尸

因为PA=4,PB=PC=2C，PM=411>

则直线产/与平面/3C所成角为NP4W,

42+(V3)2-(VH)2V3

由余弦定理可得cos/E4M=

2x4x6-3

故选：D.

答案第4页，共15页

9.ABCD

【分析】根据曲线方程形式可得A正确，根据椭圆以及圆方程可判断BCD正确.

【详解】对于A,若曲线E表示两条直线，则见〃两者须有一个为零，此时表示的两条直线

为尸±或x=±可得A正确;

7n7m

对于B,若曲线E表示圆，则根据圆的方程可知加=〃＞0,即B正确;

对于C,若曲线E表示焦点在〉轴上的椭圆，可将=1化为不

mn

所以！＞工＞0,可得加＞"＞0,即C正确；

nm

对于D,若曲线£表示椭圆，则根据椭圆方程可知加，且加〉0,〃〉0,即D正确.

故选：ABCD

10.AC

【分析】结合题设直线的方程易得4=m，”=；,进而结合直线垂直与斜率的关系即可判

断A；先根据直线平行与斜率的关系可得〃〃2时，机=(，再结合平行直线之间的距离公式

求解判断B；根据直线过定点问题可判断C；分析可得尸。，乙时，点尸(2,6)到直线4距离最

大，进而求出|尸即可判断D.

[详解]由直线＜：＞一2=%(x+1),/2:x-2y+A=0,

则勺=m，与=g.

对于A,若/[-L/z，则勺4=g〃7=-l,解得他=一2,故A正确;

对于B,若〃〃2，则勺,=与，即机=(，

此时4：y—2=；(x+l),BPx-2y+5-0,l2:x-2y+A=0,

因为4与4间的距离为2右，

|5-2|厂

所以+=2,5，解得力=-5或15,故B错误；

[x+l=0[x=—1

对于C,由4：＞一2=〃0+1),令〈c八，即＜c，

[y-2=0[y=2

答案第5页，共15页

所以直线4过定点0(-1,2),故C正确；

对于D,由C知，直线4过定点。(-1,2),

要使点尸(2,6)到直线4距离最大，则PQLlx,

则点尸(2,6)到直线4距离的最大值为忸0|=J(2+l『+(6-2『=5,故D错误.

故选：AC.

11.ACD

【分析】分别根据每一个选项确定点P的轨迹，然后判断选项即可.

【详解】对于选项A：当〃=1时，B^P=ABC,故点尸在4G上运动，而与。1平行于平面

所以三棱锥P-的体积为定值.故A正确.

对于选项B：当2=工时，取3C中点记为£连接EN,易得点尸在EN上运动，

2

当P与点E,N,重合时，由勾股定理可得|尸引2+|2。「=0周2,所以依,尸与，故B错

对于选项C：当2+〃=g时，取3C中点记为E,取3月中点记为尸连接EF,则点P在线

段£尸上运动

,易得点C关于直线环的对称点为。，连接N。，此时点N、E、。三点共线，

故点尸与点£重合时取得最小值为3,故C正确.

答案第6页，共15页

对于选项D：当彳=0,〃=:时，尸为8片的中点，过点尸作的平行线交4B于点E,

1?

过点”作DE的平行线交3£于点歹，即可得到截面MOE尸尸，易知BE=Q,B1F=q,

3

+I-2x2x-xcos600=—

23122

,易得周长为9"+7巫,故D正确.

6

12

-小白1

22

【分析】设椭圆方程为鼻+2=1,得到方程组，求出。2=10,〃=6,得到答案.

a1b2

5=1

22+l

【详解】设椭圆方程为0+3=1,则~a7

aba2=4

解得/=10万=6,故椭圆方程为却==1.

106

故答案为：介展】

13.V7

【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解即得.

【详解】由a,E为空间中两两夹角都是60。的单位向量,

rrrrrrj

得。•b=b・c=c・q=lxlxcos60°=—,

2

所以121+3-3?|=V4a2+b2+9c+4a=74+1+9+2-3-6=77-

故答案为：V7

14.79

答案第7页，共15页

【分析】利用圆的性质计算片+因，求出四边形面积关系式，借助基本不等式求出最大值.

【详解】取的中点M,N,连接。依题意，OMLACQNLBD,又AC，BD,

则四边形OMPN是矩形，d；+/=|『+1ON『=|O尸『=7.

22

|AC|=2^/8-c?!,|BD|=2^/8-t/2,四边形48CZ)的面积为：

SABCD=^\AC\\BD\=2器-d；18-或V(8-片)+强一因)=9,当且仅当4=%时取得等号,

所以当4=%=4时，四边形的面积的最大值为9.

15.⑴3x-4y+19=0

(2)(x+l)2+(y-4)2=20

【分析】(1)根据条件，利用直线方程的两点式得直线方程，再化简，即可求解;

(2)根据条件，利用圆的几何性质，求出圆心和半径，即可求解.

【详解】(1)过点4-5,1),点5(3,7)的直线的两点式方程为：言=言，

整理得：3x-4y+19=0,所以直线/的方程为3x-4y+19=0.

(2)设线段跖V的中点为尸，则由“(1,0段N(3,2)有尸(2,1),

且直线MN的斜率为左MN=咨=1，

因此线段跖V的垂直平分线/'的方程为：7-1=-(X-2),即x+y-3=0,

由垂径定理可知，圆心C也在线段的垂直平分线上，

fx+y-3—0[x=~\

则有211O解得“，所以圆C的坐标是(T,4)，

[3x-4y+19=0[>=4

圆的半径r=|MC\=7(-1-I)2+C4-0)2=2r5,

所以圆C的标准方程是(x+l)。+(y-4)2=20.

答案第8页，共15页

16.（1）证明见解析

。、3西

34

【分析】（1）连接BG，设8Gnqc=o,只需证明OD〃/G，再结合线面平行的判定定

理即可得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，求出441的方向向量与平面CD4的法向量，再由向量夹

角公式即可求解.

【详解】（1）连接&G，设Bqn4c=O,连接OD,由三棱柱的性质可知，

侧面BCC4为平行四边形，二O为BG的中点，

又・•・。为48中点，，在A/BG中，ODHAC\,

又ODu平面CDB[,ACX(Z平面CDBX,

：.ZG〃平面c。”

GB}

(2)由题意可知C/,CB,CG两两垂直，故以C4,CBcq所在直线为x轴、y轴、z

轴建立如图所示的空间直角坐标系.

GBl

X

则C(0,0,0),4(6,0,0),4(6,0,8),£>(3,4,0),4(0,8,8).

UULULUUUll

所以441=(0,0,8),CD=(3,4,0),CB】=(0,8,8),

设平面CDB,的法向量为n=(x,y,z),

答案第9页，共15页

•万=3x+4y=0

则，令x=4,得力=(4,一3,3)；

S•云=8y+82=0

3A/34

设AAl与平面CD8］所成角为6,则sin0=|cosn,AAX|=M

8.V16+9+934

所以AAt与平面CDB,所成角的正弦值为巨叵.

34

17.(1)证明见解析

(2)|

【分析】(1)取NC的中点O,分别证得尸0,30和尸OLZC,利用线面垂直的判定定理。

证得平面4BC,进而证得平面尸/C,平面N3C；

ULILILuum

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，令==,得到向量流的坐

标，再分别求得平面AfflC和平面P3c的法向量雨=1,1,和7=(1,1,1)结合向量的夹

角公式，列出方程，即可求解.

【详解】(1)证明：由BC=BA=G，且NC84=90。，所以么。=后37彳=2，

取/C的中点O,连接尸0,80,可得尸O=BO=L/C=1,

2

再由尸8=JL可得尸。、灰尸=尸笈，即

因为尸。=尸4=血，且。为/c的中点，可得尸O_L/C,

又因为/CcBO=O,且30,/Cu面/BC,所以R9_L平面4BC,

因为尸Ou平面尸/C,所以平面P/C_L平面/BC.

(2)解：由(1)可知尸POVOC,又由O8LZC,

以。为坐标原点，以OC,OB,OP所在直线为无轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,

如图所示,则C(1,O,O),5(0,1,0),如-1,0,0),尸(0,0,1),

所以，AP=(1,O,1),SC=(1,-1,0),PC=(1,0,-1),

UULU.UULUHULL

令//=九4尸=(2,0,勾，其中0</<1,可得M(2-l,0"),所以MC=(2-;1,0,-2),

m-BC=x,-y.=0

设平面的法向量为布=(xi，yi，zj,则-''

rh'MC=(2-X)xx--0

令占=1,可得必=1,4=一71，所以沅=1(,1,2—)

ZkA

答案第10页，共15页

n-BC-x2-y2-0

设平面P3C的法向量为五=(x2,y2,z2),则<

mPC=x2-z2=0

令*2=1,可得%=1/2=1,所以1=(1,1,1),

设y一，其中te(l,+8),则上式可化为11〃-5今_5=0,即(/一5)(117+1)=0,

A

1o_01

解得「5或"F舍去，所以才=5,解得"才

18.(l)(x-l)2+/=4；

(2)1^21=4.

【分析】(1)利用两点距离公式及已知距离关系求轨迹方程即可；

(2)设直线方程并联立M的轨迹方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算列方程求参

数，进而确定弦长即可.

【详解】(1)设动点W坐标为(x,y),

由即方+<=m(x+3)2+「,

整理得(x_l)2+j2=4.

(2)设直线/的方程为〉=履-2,P,。两点的坐标分别为(巧,为)，(x2,y2),

答案第11页，共15页

2

(x-l)+)2=4

联立，整理得(1+/-(4t+2)x+l=0(*).

y=kx-2

XX

因为（*）式的两根为为，/，所以占+无2=半与，l2=TAT＞

\+k1+左

A=（4左+2＞-4（笈2+i）＞o,即左＜-：或后＞o.

贝!）。尸一。0=%々+%y2=XxX2+（砧-2）（注2-2）=（I+左2卜］工2_2Mxi+々）+4=-3,

啰4左+2国々=」代入上式，化简解得上=2.

将Xi+%2=&jr，

\+k

而上=2满足A＞0,故直线/的方程为＞=2（xT）.

因为圆心M（l,0）在直线/上，所以|尸。|=4.

兀

19.⑴NDB，E=%

22

⑵(i)曲线「是椭圆，土+匕=1；(ii)5-VTT

69

【分析】（1）先证明平面48,得Rt△9CD,利用勾股定理和余弦定理，结合题设

条件，依次求得人方力后的三边，再利用余弦定理求出cos即得；

jr

（2）（i）依题建系，利用（1）已得NPB'E=/DB'E=7,借助于向量的夹角公式建立方程,

化简即得r对应的方程；（ii）将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转90。得到椭圆方程为

22

3~+\=1,直线/的方程为V§x+y-5/"=0.设点Af（3cos0,痣sin8）,由引理，可得

|^^+加-5君|

"（M'NLn=J----------厂一,利用辅助角公式和正弦型函数的值域即可求得.

max（n网J

【详解】（1）

答案第12页，共15页

BB'

（折叠前）（折叠后）

在RtZ\/8C中，BE平分NABC,AE=2EC=4,

AR4F

贝！J==2,设CB=x,则AB=2x,

CBEC

由勾股定理，/+36=(24，解得x=2。，即8'C=BC=2内，则BE=收后+2?=4,

在ANCZ)中，AD=DC=4l5,cos/C4D=-^=

V155

在V4DE中，由余弦定理，D£2=42+(V15)2-2x4x715x^=7,即。£=g,

又因二面角B'-AC-D为直二面角,且平面B'/Cc平面ACD=AC,B'C_LAC,故有B'C!

平面ACD,

因CDu平面/CD,