江苏省南京民办求真中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试卷

第第页2024-2025学年第一学期期中测试（求真）八年级数学一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B． C． D．2．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A＝∠B﹣∠C D．a：b：c＝8：15：174．按照下列各图所示的折叠过程，线段AD是△ABC中线的是（）A.B.C.D.5．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是（）A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm（第2题）（第5题）（第7题）（第8题）6．已知在△ABC中∠B＝30°，AB＝8，下列AC的长度能够使△ABC唯一确定的是（）A．3 B．6 C．7 D．9二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）7.如图，为了使旧木门不变形，木工在门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是．8.如图，已知AB＝AC，请再添加一个条件，使△ABE≌△ACD（不添加辅助线或点）．9.已知等腰三角形的周长是10，一边长是4，则等腰三角形的腰长为．

10.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长为cm．（第10题）（第12题）（第13题）11.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为．12.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数为．13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB的长为．14.如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大12°，则∠1的度数为．15.如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为．（第14题）（第15题）（第16题）16.如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②△ABD是等边三角形，③AC平分∠BAD，④∠BCD的度数为120°，其中正确的结论为．（填序号）三、解答题（本题共10小题，共68分）17．（6分）如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AD与BC交于O，AD＝BC，求证：OD＝OC．

18．（6分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．（1）△ABC的面积为_______；（2）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；（3）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小．19．（6分）如图所示的一块草坪，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，若每铺1m2草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？20．（6分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE．（1）求证：△CEA≌△CDB；（2）求证：BD2+AD2＝DE2．

21．（6分）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，则∠DME的度数为．22．（6分）如果三角形三边长a、b、c满足a+b+c3=b，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、c（a＜（1）用含有a和c的代数式表示b，b＝．（2）求作均匀三角形ABC，使得最短边AB＝a、最长边BC＝c（不写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等．

23．（6分）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数（a，b，c），称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）（8，15，17）等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（a，b，c）才能满足关系式a2+b2＝c2.设（a，b，c）为一组勾股数，观察下表回答问题：表1表2abcabc345681051213815177242510242694041123537（1）根据表1的规律写出勾股数（11，，）；观察可得：表1中b、c与a2之间的关系是；（填勾股定理不得分）（2）根据表2的规律写出勾股数（16，，）；观察可得：表2中b、c与a2之间的关系是；（填勾股定理不得分）（3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32+42=52）

24．（8分）已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD、BE所在直线的交点．（1）求证：BH＝AC；（2）如图2，若∠A改成钝角后，结论BH＝AC还成立吗？若成立，请补全图形并证明，若不成立，请说明理由．

25．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上且不与点B重合，求此时t的值；备用图（3）在点P的运动过程中，当△ACP为等腰三角形时，t的值为．

26．（10分）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？我们可以把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．（1）【感知】①如图2，在△ABC中，若∠B＝35°，∠C＝70°，则∠C′DB＝°．②如图2，在△ABC中，若∠C＝2∠B，求证：AB−AC＝CD；（2）【探究】若将图2中AD是角平分线的条件改成AD是高线，其他条件不变（如图3），即在△ABC中，∠C＝2∠B，AD⊥BC，请探索线段AC、BC、CD之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展】如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝5，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C′．若以B、C、C′为顶点的三角形是直角三角形，则BP的长度为．

2024-2025学年第一学期期中测试八年级数学知识点1轴对称图形2轴对称的性质；全等三角形的判定3勾股定理的逆定理；三角形内角和定理4翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线、中线和高5勾股定理的应用6作图—基本作图；含30度角的直角三角形7三角形的稳定性8全等三角形的判定9等腰三角形的性质；三角形三边关系10线段垂直平分线的性质11勾股定理12等腰三角形的性质13含30度角的直角三角形14平行线的性质15等腰直角三角形；构造全等16全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质17全等三角形的判定与性质18作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题19勾股定理的应用；勾股定理的逆定理20全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形21直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质22复杂作图；列代数式；三角形三边关系；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质23勾股数24全等三角形的判定与性质25三角形综合题；轴对称；勾股方程26几何变换综合题；全等；轴对称；勾股方程

答案解析一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分）123456DABCAD二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）7三角形具有稳定性1280°8AD＝AE（答案不唯一）13893或41468°10171516112416①②③三、解答题（本题共10小题，共68分）17．（6分）如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AD与BC交于O，AD＝BC，求证：OD＝OC．证明：∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠D＝∠C＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BAAD=BC∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠DAB＝∠CBA，∴OA＝OB，∴OC＝OD．18．（2+2+2=6分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．（1）△ABC的面积为____3___；（2）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；（3）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小．

19．（6分）如图所示的一块草坪，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，若每铺1m2草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？解：连接AC，根据勾股定理，得AC=A在△ABC中，AB2＝1521＝BC2+AC2＝1296+225＝1521，∴△ABC是直角三角形，∴S=1＝216（m2），则铺这块草坪共需花费216×40＝8640（元）．答：铺这块草坪共需要花费8640元．20．（3+3=6分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE．（1）求证：△CEA≌△CDB；（2）求证：BD2+AD2＝DE2．证明：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△CDB与△CEA中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△CDB≌△CEA（SAS）；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°，由（1）得△CDB≌△CEA，∴∠EAC＝∠B＝45°，BD=AE∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AE2+AD2＝DE2∴BD2+AD2＝DE2

21．（4+2=6分）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，则∠DME的度数为．（1）证明：如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=12BC，ME=∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，∴180°﹣∠A＝120°，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°．22．（2+2+2=6分）如果三角形三边长a、b、c满足a+b+c3=b，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、c（a＜（1）用含有a和c的代数式表示b，b＝．（2）求作均匀三角形ABC，使得最短边AB＝a、最长边BC＝c（不写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等．解：（1）∵a+b+c3=b∴b=a+c故答案为：a+c2（2）如图所示，△ABC为所求作的三角形，（3）如图所示，点P即为所求．

23．（6分）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数（a，b，c），称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）（8，15，17）等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（a，b，c）才能满足关系式a2+b2＝c2.设（a，b，c）为一组勾股数，观察下表回答问题：表1表2abcabc345681051213815177242510242694041123537（1）根据表1的规律写出勾股数（11，60，61）；观察可得：表1中b、c与a2之间的关系是a2＝b+c；（2）根据表2的规律写出勾股数（16，63，65）；观察可得：表2中b、c与a2之间的关系是12a2＝b+c（3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32+42=52）172+1442=1452或242+1432+=145224．（4+4=8分）已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD、BE所在直线的交点．（1）求证：BH＝AC；（2）如图2，若∠A改成钝角后，结论BH＝AC还成立吗？若成立，请补全图形并证明，若不成立，请说明理由．（1）证明：∵∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∴AD＝BD．在△BDH和△ADC中∠EBC=∠DACBD=AD∴△BDH≌△ADC（ASA）．∴BH＝AC．（2）解：如图，HB＝AC仍然成立．证明：∵∠H+∠HAE＝90°，∠C+∠CAD＝90°，又∵∠HAE＝∠DAC，∴∠H＝∠C．∵∠ABC＝45°，∠ADB＝90°，∴三角形ABD是等腰直角三角形．∴AD＝BD．在△BDH和△ADC中∠H=∠C∠HDB=∠CDA∴△BDH≌△ADC（AAS）．∴BH＝AC．25．（2+2+4=8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上且不与点B重合，求此时t的值；（3）在点P的运动过程中，当△ACP为等腰三角形时，t的值为．解：（1）如图，设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴AC＝3cm，在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，∴32+（4﹣x）2＝x2，解得x=258，∴BP∴t=AB+BP2故答案为：6516（2）如图，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝4，∴AD＝5﹣4＝1，设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴12+y2＝（3﹣y）2，解得y=43，∴CP∴t=AB+BC+CP当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=AB综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或5（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中点，即AP=12AB=∴t=AP②如图，当P在AB上且AP＝CA＝3时，t=AP③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD=AC⋅BC∴Rt△ACD中，AD=95∴AP＝2AD=18∴t=AP④如图，当P在BC上且AC＝PC＝3时，BP＝4﹣3＝1，∴t=AB+BP2综上所述，当t=54或32或9故答案为：54或32或

26．（2+3+3+2=10分）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？我们可以把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．（1）【感知】①如图2，在△ABC中，若∠B＝35°，∠C＝70°，则∠C′DB＝°．②如图2，在△ABC中，若∠C＝2∠B，求证：AB−AC＝CD；（1）①解：∵AC沿∠A的平分线AD翻折，∴∠AC′D＝∠C＝70°，∵∠AC′D＝∠B+∠C′DB，∠B＝35°，∴∠C′DB＝35°，故答案为：35；②证明：∵AC沿∠A的平分线AD翻折，∴△AC′D≌△ACD，∴∠AC′D＝∠C，AC′＝AC，C′D＝CD．∵∠C＝2∠B，∴∠AC′D＝2∠B．∵∠AC′D＝∠B+∠C′DB，∴∠C′DB＝∠B，∴C′D＝C′B．∵AB﹣AC＝AB﹣AC′＝C′B，