2025年高考数学一轮复习：复数（新高考）

考点巩固卷11复数（五大考点）

考点01：复数与复平面内点的关系

考点02:复数模及几何意义

复数考点03:复数相等的充要条件

考点04:复数代数形式的除法运算

考点05:在复数范围内解方程

孱需力技巧及考点利心

考点01:复数与复平面内点的关系

复数集与复平面内点的对应关系

按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复

平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.

复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数z=a+4＜复平面内的点z（a,b）

这是复数的一种几何意义.

复数集与复平面中的向量的对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数

对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.

设复平面内的点Z（a,6）表示复数2=。+4•（a,6eR）,向量反由点ZQ6）唯一确定;

反过来，点Z（a,多也可以由向量应唯一确定.

复数集C和复平面内的向量应所成的集合是一一对应的，即

复数z=a+bi<一一对应>平面向量0Z

1.当1（后<2时，复数后（-2+i）+（4-i）在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先化简复数，再根据参数范围分别判断实部和虚部范围进而判断点的象限即可.

【详解】因为乂-2+i）+（4-i）=-2左+4+（左一l）i,且1〈左<2,

所以-2米+4>0,左一1>0,

则复数M-2+i）+（4-i）在复平面上对应的点（-2左+4,左-1）位于第一象限.

故选：A.

2.已知复数4=罟的实部为a0=i（2+i）的虚部为人则z=a+（6+l）i在复平面内对应

的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】由复数的除法得到4,从而得到实部。的值，由复数的乘法得到Z2,从而得到虚部

b的值，从而得到z,得到对应的点，得到所在象限.

［详解］二・二=l+2i,Z2=i（2+i）=-l+2i,所以q=l,6=2,所以z=l+3i,

1-11-11+1

其在复平面内的对应点为（1,3）,位于第一象限.

故选：A.

3.已知复数Z满足Z（3+i）=3+i2024,其中i为虚数单位，则Z的共朝复数彳的虚部为（）

2.22i2

A.—1B.—C.—D.—

5555

【答案】D

【分析】由复数的四则运算法则化简求出Z,再由共辗复数的定义，复数的概念，即可得到

所求.

【详解】Vz（3+i）=3+i2024,i2020=（I2）1012=（-1）*=1,

2

••.z的共辗复数彳的虚部为w，

故选：D.

4.虚数z满足z2+（3-i）z+2-i=0,则z的虚部为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根据复数相等可得（。+2）（。+1）=6伍-1）①，6（2a+3）=a+l②，即可将选项中的

值代入验证.或者利用因式分解求解。

【详解】解法一：设复数z="+6i,（a,6eR）,

贝!](a+6i)~+(3—i)(a+历)+2—i=0,化简得+3a+b+2)+(2ab+36—a—l)i=O,

/-+3a+6+2=0

即(Q+2)(Q+1)=b仅一1)①，6(2〃+3)=Q+1②

lab+3b-a-1=0

此时，对于选项中的值，代入：

若6=1,贝!]〃二一2,符合要求，

4

若b=-1,由②得。=-],但不符合①，故舍去，

若6=2,由②得。=-1，但不符合①，故舍去，

若b=-2,由②得。=-（，但不符合①，故舍去,

综上可得6=1

故选：A

解法二：由z?+（3-i）z+2-i=0可得z2+3z+2=i（z+l）,

故（2+1）（2+2）=1（2+1）=＞（2+1）（2+2—。=0,故z=—1或z=—2+i,

由于z为虚数，故z=-2+i,

故虚部为1,

故选：A

5.复数z满足z（l+i）=2024-i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

2025.202520232023.

A.--------1B.---------C.------D.------1

2222

【答案】B

【分析】由复数除法运算法则求出复数z即可得复数z的虚部.

「平即、小.2024-i（2024-i）（l-i）2023-2025i20232025.

【详解】由题z="T=（］+2--2—「---T，

故复数Z的虚部为-2等025.

故选：B.

6.在复平面内，复数4=1-&*2=-3+41对应的向量为方,砺，其中。是原点，则下列说

法正确的是（）

A.复数4的虚部为-2iB.复数I对应的点在第一象限

C.当。=-4时，复数a+z1为纯虚数D.向量益对应的复数为4-&

【答案】BC

【分析】选项A,利用复数的定义可知选项A错误；利用复数的几何意义，即可判断出选

项B和D的正误；选项C,利用复数的运算，即可判断出选项C的正误.

【详解】对于选项A,因为?|=l-2i,所以复数4的虚部为一2,故选项A错误，

对于选项B,因为可=1-万，所以I=l+2i,故复数I对应的点为（L2）,在第一象限，所以

选项B正确，

对于选项C,因为z2=-3+4i,X«=-4,所以a+z2F=-4+（-3+4i）i3=-4+3i-4i2=3i,

故选项C正确,

对于选项D,因为力=(1,-2),砺=(-3,4),所以次=砺-刀=(-4,6),

得到向量罚对应的复数为-4+6i,所以选项D错误，

故选：BC.

7.若复数Z满足：Z(l-i)=i2025(其中i是虚数单位)，复数z的共轨复数为彳，则下列说法

正确的是()

111

A.z的虚部是一/B.z=+

C.\z\=—D.z-z=-

1122

【答案】CD

【分析】利用复数的运算性质，即可作出判断.

［详解］由Z(l—i)=i2°25=j得：Z=~*~=Ki：」

i十用于'rav'田1-i(l-i)(l+i)222

所以z的虚部是故A是错误的；

由2=-；i,故B是错误的；

由n=_'+1i=Jp+J，故C是正确的；

1122V442

由z-7=|z『=g,故D是正确的；

故选：CD.

8.已知复数z满足(l+2i)z=ll+2i,则()

A.z的虚部为一4B.F=-3+4i

C.z+3为纯虚数D.z在复平面内对应的点在第四象限

【答案】AD

【分析】根据复数的运算法则，化简复数为z=3-4i,结合选项，逐项判定，即可求解.

,.ll+2i(ll+2i)(l-2i)

【详解】由复数(l+2i)z=ll+2i,可得z=J。+2。(：_邛=3_41,

对于A中，由z=3-4i的虚部为-4,所以A正确；

对于B中，由z=3-4i,可得］=3+4i，所以B不正确；

对于C中，由z=3-4i,可得z+3=6-4i不是纯虚数，所以C错误；

对于D中，由z=3-4i在复平面内对应的点为Z(3,-4)位于第四象限，所以D正确.

故选：AD.

9.若z=i3+i%贝ij()

A.|z|=2

B.的虚部为8

1i-8j

'1+z665

D.l-z，在复平面内对应的点位于第二象限

【答案】BC

【分析】根据化简复数得z=l-i,即可由模长公式求解A,根据复数的乘方可得z6=8i,

根据虚部的概念即可求解B,根据复数的除法运算即可求解C,根据复数l-z6=l-8i对应

的点为即可求解D.

【详解】z=i3+i16=-i+(i4)4=l-i,故忖=&，A错误.

66233

z=(1-i)=[(1-i)J=(-2i)=-8i=8i,B正确.

]_l-8i_l-8i

1+z6-(l+8i)(l-8i)-~65-*,正确，

l-z6=l-8i在复平面内对应的点(L-8)位于第四象限，D错误.

故选：BC

z

10.复数z=3—4i,则丁一的虚部为.

【答案】-装/22

【分析】由复数的除法化简，再由复数虚部的定义得解.

z3-4i(3-4i)(2-i)211.H

【详解】复数z=3-4i,则；==，：=丁W1,此复数的虚部为—三.

2+12+1(2+i)(2-i)555

故答案为：——

考点02:复数模及几何意义

|复数z=a+初一一』L-＞复平面内的点z(a,b)

复数z=a+加^平面向量反

11.已知复数z=aS+l)-“i(aeR),则下列选项正确的是().

A.若z为纯虚数，则a=0或-1

B.若z在复平面内对应的点位于第二象限，则ae(T,O)

C.若a=2,贝旭=2退

D.若a=-2,贝!j彳=2-2i

【答案】BD

【分析】根据纯虚数特征求参判断A选项；根据复数的象限判断实部虚部范围解不等式判

断B选项，应用模长公式计算判断C选项，应用共辗复数判断D选项.

【详解】若z为纯虚数，贝I八)，所以〃=-1,故A不正确；

[awO

若z在复平面内对应的点位于第二象限，则+所以ae(-l,o),故B正确；

[-a>0

若a=2,则z=6-2i,所以忖=:6?+(-2)2=2丽,故C不正确；

若。=-2,则z=2+2i,所以彳=2-2i,故D正确.

故选：BD.

12.已知复数z】=-2+ai,z?=a-4i(aeR),则下列说法正确的是()

A.㈤B.存在实数。，使得ZK为实数

C.若4+z?为纯虚数，贝!]a=2D.(zl+z2f-\zt+z2|-

【答案】AC

【分析】根据复数的模长计算判断A选项，应用实数和纯虚数定义判断B,C选项，根据模

长及乘方运算判断D选项.

【详解】因为㈤=J(-2)2+/=+4,忆|=J(-4)2+。2=J/+16,所以匕1vz21，A正确；

2222

因为平2=(-2+a-i)(a-4i)=-2a+8i+ai-4oi=2a+(a+8)i,a=-8无实数解,B选项错误;

因为Z+z2=a-2+a-4i为纯虚数，贝并即。=2,C选项正确；

一[a—4w0

当a=0时,马=-2,Z2=一4i/[+z2=-2-4i,

贝lj(4+Z2『=4+16i-16=-12+16i/Zi+Z2:=^(-2)2+(-4)2=20,D选项错误.

故选：AC.

13.已知Zi,z^eC,且复平面内Z1对应的点为Z,则下面说法正确的有()

人•司里

B.若夺2=0,则Z],z?中至少有1个是0

C.满足1+2i|42的点Z形成的图形的面积为2兀

D.若,|=1,则z；+4+3的最小值为1

【答案】ABD

【分析】设复数Z]=〃+bi,Z2=c+diM,Ac,d£R),对于A,分别计算二，五即可；对于

Z24

[ac-bd=0.

B,根据2逐2=0可得<八即可判断；对于C,由IZ]-1+2i区2可得(〃—1)+(b+2)<4

[act+bc=O

即可判断；对于D,由匕|=1得/+b2=i,并计算z；+二+3=-4/+5即可计算最小值.

【详解】设复数Z]=a+bi,Z2=c+4i,(a,b,c,deR),

4_a-bi_(a—bi)(c-di)_ac-bd-{ad+bc)i

对于A,z=a-bi则

{f22

z2c+di(c+di)(c-di)c+d

Ifac-bd^~(-ad-beY_^(ac-bd)++be)_'a2+1

所以五vU2+t/2Jc2+d2Jc2+d2ylc2+d2

Z2

故A正确;

对于B,若2逐2=(Q+历)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i=0,

[ac-bd=0[ac=bd

贝叫…八，即<J八，贝!或。加2=—h建，

[aa+bc=O[aa=-be

则。=6=0或c=d=0,则z-Z2中至少有1个是0,故B正确;

对于C,IZ]-1+2i|=|°-1+3+2)i|=J("l)2+3+2)2<2,

所以(0-1)2+(6+2)244,所以点Z形成的图形面积为4兀，故C错误;

对于D,因为|句|=1,所以a2+〃=i,

且z；=(a+历了=a2-b2+2abi,

所以z；-l——+3=“2—/+2abiH----------F3

加“iz；a2-b2+2abi

a2-b2-2abi

=a~-b~+2abi++3

(a2-b2+2abi)(a2-b2-2abi)

=a2-b2+2abi+L”2a4,+3=2(a2-Z>2)+3

(a2-b2)2+4a2b2

=-4b2+5,且0V6V1

所以-4/+521,

1

所以47+二+3最小值为1,故D正确.

故选：ABD.

14.已知复数2=正些，贝IJ（）

2-V2i

A.Z的实部为X22

B.z的虚部为一§

6

c*4

D.亍在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】AC

【分析】复数除法化简的z,再根据复数Z的实部、虚部、模和共辗复数的几何意义判断各

个选项;

（应+i）（2+0i）正

所以的实部为"，虚部为故

【详解】由题意得z=^~法—廿=?+1i,zA

（2-V2i）（2+V2i）6363

正确B错误;

rvi2

，彳在复平面内对应的点--位于第四象限.故C正确D错

6

故选：AC.

15.已知复数则下列命题中正确的是（）

A.若㈤="|,则Z2=±Z]

B.Zj,z2=Zj,z2

C.若Z?=Z],则㈤=团

D.若[Z]+Z2|=匕「Z2I，则2泾=0

【答案】BC

【分析】举反例排除AD,设4=。+及/2=。+力(。也0/€区)，根据复数的运算性质和求

模长的公式判断BC,从而得解.

【详解】A选项，令句=1/2=/则团=%|=1,但不满足Z2=±Z],A错误；

B选项，=a+b\,z2=c+d\{a,b,c,deR),贝Ij4,Z2=(ac-6d)+(ad+6c)i,

z；-z2=(ac-bd)-(ad+6c)i,Z].z?=(a-6i)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc^i,:.z{-z2=zx-z2,B

正确；

C选项,设％=a+历(a,6eR),则z?=a-6i,则R=㈤=J'+从,㈤=㈤,C正确；

D选项，令4=1/2=i,则卜+22|=卜-22|=3,但不满足2必2=0,口错误.

故选：BC.

16.已知z是复数，I是其共轨复数，则下列命题中正确的是()

A.z2=|z|2

B.若z=(l-2i『，则复平面内1对应的点位于第二象限

C.若0=1,则的最大值为忘+1

D.若l-3i是关于x的方程x2+px+q=0MqeR)的一个根，贝l]q=10

【答案】BCD

【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数I判断

C；利用复数相等求出9判断D.

【详解】对于A,设z="+〃(“,6eR),则|z『=q2+//2=g+6i『+2々历，诽「,

A错误；

对于B,z=(l-2i)2=-3-4i,z=-3+4i,则复平面内I对应的点位于第二象限，B正确；

对于C,由目=1知，在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上，可看

作该单位圆上的点到点(1,1)的距离，则距离最大值为亚+1，c正确；

对于D,依题意，(1-3i)2+2(1-3i)+q=0,整理得(夕+q_8)+<-3p_6)i=0,

[p+q-8=0

而°,qeR,因此〈,解得p=-2,q=10,D正确.

[-3p-6=0

故选：BCD

17.若复数4刍是方程/-2》+5=0的两根，则()

A.Z]/2虚部不同B.ZI/2在复平面内所对应的点关于实轴对

称

C.1^1=75D.与旦在复平面内所对应的点位于第三象

限

【答案】ABC

【分析】利用一元二次方程的虚根是共辗，并加以计算，就可以判断各选项.

2+4i

【详解】由方程J?-2X+5=0的求根公式可得：z1=—=l+2i,z2=l-2i,

故A正确；

由4/2在复平面内所对应的点分别为(1,2),(1,-2),显然关于实轴对称，故B正确；

由㈤=|1+2R=指，故C正确；

z,+z,22(2+i)4+2i42.

由于一=丁=£它对应的点位于第一象限，故D错误；

2-12-1+555

故选：ABC.

18.已知复数Ze满足|z|-4i|=|z「5i|,卜2T+2i|=2(i为虚数单位)，三,三是方程

2Y+3"+/_a=o(aeR)在复数范围内的两根，则下列结论正确的是()

A.区-司的最小值为gB.匕2-旬的最小值为4

C.当0<a<1时，则H+民|=互箸D.当-8<°<0时，则图+网=12(/_冷

【答案】AD

【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点Z-Z?的轨迹方程，可判断AB选项；

复数范围解一元二次方程，讨论判别式△>0,A<0分别求解，用根与系数的关系化简求值,

在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项.

【详解】设在复平面内4,z2的对应点分别为4(4必),心优,％),

由|z「4i|=忆一5i|得必=|,所以Z1在直线V=|上.

由"-l+2i|=2得每一1)2+(%+2)2=4,所以Z?在圆尸:(x-l)2+(y+2)2=4上.

如图所示：

II9—

对于A："-即表示复平面内圆P上的点Z2到直线了=-5上点Z1的距离，

所以的最小值为-4-13=；,故A正确；

9

对于B：忤一句|表示复平面内圆尸上的点Z?到直线y=］上点Z］的距离，

QQ

所以"-zj的最小值为:-0=',故B错误；

对于CD：因为玉，马是方程2—+3办+〃—Q=o(tzGR)在复数范围内的两根,

*23Qa2-a

丹以再

1+x2=-,Xj-x2=---.

若4=9/_8/+8〃20,即〃20或。4一8,此时XJ/ER，

“2—Q)+(Q3

・••当Q21或4V—8时，|xj+|x|=-Q

22

当0<〃<1时，归|+民|=，故C错误;

若A=9Q2_8Q2+8Q<0,即—8<Q<0,止匕时，玉为一对共物虚根,

a1-a,故D正确.

故选：AD.

19.已知复数4=3-2i,(l+i)-z2=l-3i,则()

A.z2=-l-2iB.z「2z2在复平面内对应的点位于第一象

限

C.|z,+Z2|=2|Z2|D.zz为纯虚数

【答案】ABC

【分析】根据复数除法运算可得Z2=T-2i,即可判断A,根据复数的减法运算以及几何意

义可判断B,根据模长公式可判断C,根据乘法运算，结合纯虚数定义可判断D.

,、(l-3i)(l-i)-2-4i

【详解】(1+1)<2=1-31=2?=■---=一1一21,故A正确，

U+1JU-1)2

Z1-2z2=3-2i-2(-l-2i)=5+2i,对应的点为(5,2),故B正确，

22

zt+z2=2-4i,;.|zl+z2|=商+(-4)2=2y[5,2\z2\=2^(-1)+(-2)=2#>,故卜+z2|=2|z2|,

C正确，

2

z1-z2=(3-2i)(-l-2i)=-3-6i+2i+4i=-7-4i,不为纯虚数，故D错误，

故选：ABC

20.设句，Z2为复数，下列说法正确的是().

A.|zj=zfB.|ziz2|=|zi||z2|

C.若Z]=Zz，则㈤=㈤D.若Zi+Z?是实数，则Z]-Z2为纯虚数

【答案】BC

【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于

C：根据共轨复数的定义结合模长公式分析判断.

【详解】设Z]=a+6i,z2=c+di,a,b,c,deR,

对于选项A：例如4=-i,贝值『=1厅=一1,两者不相等，故A错误；

对于选项B：因为空2=(a+历)(c+di)=(ac-6d)+(ad+6c)i,且阂=十七，㈤=+屋,

则I"?|二｛(ac-bd)。+(ad+)c)2=y/a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=^a2+^2)(c2+^2)，

即上匐=|前Z2I，故B正确；

对于选项C：若Z2=z=a-bi,则阂=J.。+62,%|=Ja?+(-by=<6+b。,

所以故C正确；

对于选项D：例如Z|=Zz=l是实数，则Z|-Z2=0也为实数，故D错误；

故选：BC.

考点03:复数相等的充要条件

复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复

数相等.即：

\a=c

如果仇c,deR,那么a+质=c+成=〈

[b=d

特另！]地：a+bi=0<^>a=b=0.

(1)一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.

根据复数。+历与c+由相等的定义，可知在a=c,6=d两式中，只要有一个不成立，

那么就有a+bi^c+di(a9b,c,deR).

(2)一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就

可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

21.设z=a+6i,其中a,6eR,若i(a+i)=b-2i,则彳=()

A.-1-2.1B.-l+2iC.-2-iD.-2+i

【答案】D

【分析】利用复数相等求参数，再根据共朝复数的的形式，即可求解.

【详解】因为i(a+i)=b—2i,所以一l+ai=b-2i,所以。=一2,6=-1,

所以z=—2—i,故亍=—2+i.

故选：D

22.设(a+2i)i=b—3i(a/£R),其中i为虚数单位，则〃+6=()

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合复数乘法运算及复数相等求解即得.

【详解】由（a+2i）i=6-3i,得一2+ai=b-3i,而a,6eR,因此a=-3,6=-2,

所以a+6=-5.

故选：A

23.已知复数Z],Z?的模长为1,且Zi+Z2="2，则w+z?的值是（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

【分析】设句="+历(a,6eR),z?=c+di(c,deR),分别计算完,Z[，Z[Z]，Z[Z[，111

Z1+z2=z/2可得一=H—==1,即可求得〃+c=l,b+d=0,即可求解Z1+Z2.

Z2Z2Z\Z\

【详解】设Zi=a+bi(a,beR),z2=c+di^c^deR),

贝|JZi二Q-bi,z2=c-di,

所以Z4=(a+bi)(a-bi)=/+Z)2=1,

z2z2=(c+di)(c-di)=/+/=1，

22

因为匕J=+小=1,|z2|=yjc+d=1,所以/+/二],02+/=],

11GW

因为Z1+Z2=2/2，所以一+—="所以一=+上=1,

Z2Z1Z2Z244

即Zi+Z2=1,所以a_6i+c_di=(a+c)_(b+d)i=l,

所以Q+C=1,b+d=0,

所以Z]+Z2=a+bi+c+di=(Q+c)+(b+d)i=l.

故选：A.

24.已知复数句=加+(4-加2)i/2=2cos6+(X+3sine)i,(m,4ewR),且4=z2,则几的取

值范围是()

【答案】B

【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得2=Jsin。-2,再根据正弦

I8J16

函数的取值范围与二次函数的性质可得2的取值范围.

【详解】复数马=机+(4-加2)i/2=2cos6+(4+3sine)i,(加M&cR),且弓=z2,

[m=2cos^..(9

所以cc.八，贝！)X=4—4cos<9—3sine=4sin6—3sine=4sin。——---

[4一加2z=X+3sin<918j16

3Q

因为0eR,所以sin。e[-1,1],当sine=j时，4nm=一2，当4=T时，4mx=7

o16

E「91

所以2的取值范围是-;7,7.

_16_

故选：B.

25.已知下列命题正确的是()

A.卜/=(zj2

B•目母

C.若40=0,则z”Z2至少有1个为0

D.若4/2是两个虚数，Z1+z2eR,zrz2eR,则为/?为共轨复数

【答案】BCD

【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据除法运算结合共轨复数概念分析判断；对

于C：根据复数乘法结合复数相等分析判断；对于D：根据复数的四则运算结合复数的相关

概念分析判断.

[详解】z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dGR,

对于选项A：例如4=i,则匕『=i,(zj2=_1,

显然匕/w(zj2,故A错误；

对于选项B：因为Z2WO,

4_a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbc-ad.

2222

人z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d'

ac+bdbe-ad.

—;-------z-l

c2+d2c+d

又因为Z]=。一加/2=。-di,

可得2=a-b\_+_ac+bdbe-ad.

2222

Z2c-di(c-di)(c+di)c+dc+d

所以[2]=2,故B正确;

VZ1)Z2

对于选项C：因为Z]-z?=(a+bi)(c+di)=(ac-6d)+(ad+6c)i=0,

\ac-bd=0

可得，,解得a=b=O或c=d=O,

\aa+be=n0

即向=0或Z2=0,所以Z”Z2至少有1个为0,故C正确；

对于选项D：若az?是两个虚数，贝那20,"/0,

因为Z]+z2=(a+c)+(6+d)ieR,则6+d=0,即6=-",

又因为Z],Z2=(a+Z?i)(c+tZi)=(ac-M)+(atZ+6c)ieR,

则ad+6c=0,即ad-de=0,可得a=c,

所以Z|=c-di=W，即Z|/2为共轨复数，故D正确；

故选：BCD.

26.若z=r-2k+ki(keR),则下列结论正确的是()

A.若，为实数，则上=0

B.若zi=l+3i,贝!|左=3

C.若z+T=-2,则|2|=也

D.若z在复平面内对应的点位于第一象限，贝蛛＞3

【答案】AC

【分析】根据复数的概念、共辗复数的概念、复数的模长公式、复数相等以及复数的乘除法

运算逐个选项判断可得答案.

【详解】若z为实数，则虚部为0,即左=0,故A正确；

会.一才mu1+篁(1+汕&•

右21=1+31,则z=^—=——=3-1,

11

［k2-2k=3

则7।，解得左=-1,故B错误；

［左=一1

若z+7=-2,贝！］2仰一2」)=一2,解得左=1,

则z=-1+i,|z|=Jl+1=^2，故C正确；

若Z在复平面内对应的点位于第一象限，则一产＞。,

［左〉0

解得上＞2,故D错误.

故选：AC.

27.已知i是虚数单位，则下列说法正确的有()

A.a+i(aeR)是关于x的方程/-4x+5=0的一个根，贝！!。=3

B.“a=0”是“复数a+bi(a,b^R)是纯虚数”的必要不充分条件

C.若复数z=a+i(aeR),且同=2,贝卜=6

D.若复数z满足2z+W=3-2i,则复数的虚部为-2

【答案】BD

【分析】将“+i代入方程，化简后利用复数相等列式求解即可判断A；根据纯虚数的定义

及充分性和必要性得定义即可判断B；根据复数的模的计算求出。，即可判断C；设复数

z=a+历(a,6eA),根据复数的加法运算及复数相等的条件即可求出复数z,即可判断D.

【详解】对于A,因为a+i(aeR)是关于x的方程/-以+5=0的一个根，所以

(a+i)~-4(a+i)+5=0,

2、［a—2=0

即(0-2)一+(2。-4»=0,所以.「八，解得。=2,故A错误；

对于B,当。=0时，若6=0,复数a+bi=0是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性

不成立；

当。+历(a,6eR)是纯虚数，贝1］。=0且640,故必要性成立，故B正确；

对于C,若复数z=a+i(aeR),则忖=病11=2,解得"土百，故C错误；

对于D,设复数z=a+bi(a,6eR),则2z+1=2a+2历+"历=3a+历=3-2i,

所以。=1]=_2,故2=1一2i,所以复数的虚部为-2,故D正确.

故选：BD.

28.设加eR,i为虚数单位.若集合/={1,2机+(m-l)i},8={0,1,2},且N=8,则m=

【答案】1

【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.

【详解】由集合/={1,2机+(机B={0,1,2},因为NgB,

f2/rz—0

当2加+(加-l)i=0时，此时方程组无解；

m-1=0

127^/=2

当2加+(m-l)i=2时，此时《,解得机=1,

m-1=0

综上可得，实数加的值为1.

故答案为：1.

2

29.已知aeR,且ai+——=1,则。=_____.

a+i

【答案】1

【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a的方程，解之即可.

.、“5、.2.2(a-i),2a-2i2Q/2Y

【详解】-+—=-+(—

a1a1+\)

la_

2]

所以,+1,解得。=1.

故答案为：1

30.已知复数4/2满足Z1+2,=3-i,|z2-z"=l,则--例的最大值为____.

【答案】V2+1/1+V2

【分析】设出句的代数形式，利用复数相等求出4,再借助复数的几何意义求解即得.

【详解】设复数W=a+bi,a,6eR,由4+2[=3-i,得a+历+2(。一历)=3-i,

整理得3〃一历=3-i,于是3a=3,-6=-1,即〃=1,6=1,%=1+1

由匕-句|=1,得复平面内表示复数22的对应点在以表示复数4的对应点(1,1)为圆心，1为

半径的圆上，

£-川表示这个圆上的点到表示复数2i的对应点(0.2)的距离,

距离的最大值是7(1-0)2+(1-2)2+1=0+1.

故答案为：V2+1

考点04:复数代数形式的除法运算

设Z1=a+bi,z2=c+diQa,b,c,deR),我们规定：

-z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i

z,a+bi(Q+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.

------------------^=^3-------1-------I

2222

z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

(D两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把『换成-1,并且把实部

与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

(2)在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以

分母的共朝复数(分母实数化)，化简后写成代数形式.

31.已知i为虚数单位，若复数z=M的实部与虚部相等，则实数。的值为()

2-1

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

/7—i

【分析】根据复数的除法运算，求得z=F—的实部和虚部，解方程即可求得答案.

2-1

r,辛初y小旦而音市徂a_i_(q―i)(2+i)_2u+l+(q2)i,

2-i5

2a+1ci—2

故,解得a=—3,

55

故选：A

2-mi

32.已知=i，m,n£R),则%=)

l+〃in

1

A.B.C.2D.-2

【答案】A

2—mi

【分析】将"%=i化为2-加i=i(l+〃i),根据复数的相等，求得加=T,〃=-2,求得答案.

1+m

2—mi

【详解】由下「可得2-〃“川+啕,

BP2-mi=-«+i,故加=-1,〃=一2,

故选：A

33.已知i是虚数单位，若复数z=M（aeR）的实部是虚部的2倍，则。=（

A.—B.-C.—D.；

3322

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案.

+-i）_Q+11-a.+lgI—。

【详解】（i+i）（i-i）~~r+^rx所以=,

解得"g,

故选：B.

34.已知i是复数的虚数单位，且丁=a+历（a,6eR）,则。+6的值为.

【答案】-5

3-2i

【分析】计算出乙一，从而求出。，6以及6的值.

1

【详解】因为三&（3-2仇3i+2

-1

所以〃=—2,b=—3,

所以Q+b=—5,

故答案为：-5.

35.已知复数4=2+ai（aeR）,Z2=3+i，如果a为纯虚数，那么。=

Z2

【答案】-6

【分析】根据丸为纯虚数，进行化简，使实部为0,求出a即可.

Z2

【详解】解:由题知Z]=2+ai,Z2=3+i,

Z12+qi（2+qi）（3—i）6+q+（3q—2）i

3+i-（3+i）（3-i）-

•••4■为纯虚数，

Z2

..6+tz=0,

a=-6.

故答案为:-6