高考数学一轮复习：集合常用逻辑用语【导学案】

第一章I集合常用逻辑用语

第一节集合

课程标准

1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语

言刻画集合，了解全集与空集的含义.

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一

个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.

4.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.

基础扎牢基础不牢•地动山摇

［由教材回扣基础］

1.集合的有关概念

⑴集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

⑵集合与元素的关系：若“属于集合A,记作“GA；若b不属于集合A,记作期与

⑶集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)五个特定的集合：

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

2.集合间的基本关系

示

文字语言记法

关系

子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AU3或B2A

集合间集合A是集合3的子集，并且5中至少有一个元A5或3_

真子集

的基本素不属于AA

关系集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合4U5且5=4

相等

B中的每一个元素也都是集合A中的元素自4=5

空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3.集合的三种基本运算

符号表示图形表示符号语言

并集AUB02)AU3={x|xea,或xGB}

交集4-3=3x64,且xGB}

若全U,则集合A

补集%[〃4={x|xe。，且xCA}

的补集为[:UA

4.集合基NM运算的性质

(1)AHA=A,A00=0.

(2)AUA=A,AU0=4.

(3)AnCtM=0,AU[[M=r,Cl7(ClM)=A.

(4)AG504ClB=A^AU5=30CUA2CUB^AC(CUB)=0.

澄清微点•熟记结论

1.有限集的子集个数

设集合A是有"("GN*)个元素的有限集.

(1)4的子集个数是2n;

(2)4的真子集个数是2zz—1;

(3)4的非空子集个数是2n-l;

(4)4的非空真子集个数是2n-2.

2.[U(4C3)=(1UA)U(CUB).

3.CtZ(AUB)=(C[7A)n(C[7B).

[练小题巩固基础]

一、准确理解概念(判断正误)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.()

(2){xly=x2+l}={j[y=x2+l}={(x,y)\y=x2+l}.()

(3)若{X2,1}={0,1},贝！|x=0或x=l.()

(4)对于任意两个集合A,B,(An5)U(AUJB)恒成立.()

答案：⑴X(2)X⑶X(4)7

二、练牢教材小题

1.(新人教B版必修①P9T4改编)已知集合4={0,1,x2-5x},若一4GA,则实数x的值为

答案：1或4

2.(新人教A版必修①P14习题1.3T4改编)设全集为R,A={x|3^x<7},B=(x|2<x<10},

贝!l[R(AU3)=,(CRA)nB=.

答案：{x|xW2或x210}{x[2<x<3或7Wx<10}

3.(新北师大版必修①P7练习T3改编)集合3(*—1)(工一2)(工-3)2=0}的子集个数为

,非空真子集的个数为.

答案：86

三、练清易错易混

1.(忽视元素的互异性)已知集合4={1,3,洞,B={1,m},若5UA,贝(b〃=()

A.1B.0或1或3

C.0或3D.1或3

解析：选C由3CA,得，〃=3或帆=＜而，Mm=y[m,得桃=0或m=l,由集合元

素的互异性知,.m=0或m=3.

2.(忽视空集的情形)已知集合拉={x|x—a=0},N={x\ax-l=0},若MCN=N,则实数a

的值为()

A.-1B.1

C.-1或1D.0或1或一1

解析：选D由MCN=N,得NJM,当N=0时，a=0;当NW。时，：=a,解得a=

±1,故a的值为±1,0.

3.(忽视集合运算中端点取舍)已知集合4={*归》3},B={x\x^m},且AU3=A,则实数相

的取值范围是.

解析：由AU3=A,得如图所示，所以机23.,..一

0~1~2~3"14~5~6^

答案：[3,+8)

考法研透—方向不对•努力白费

命题视角一集合的基本概念(自主练通)

1.已知集合4={(x,y)|x2+y2W3,x^Z,jGZ},则A中元素的个数为()

A.9B.8

C.5D.4

解析：选A将满足％2+y2W3的整数x,y全部列举出来，即(一1,—1),(—1,0),(―

1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.

2.如果集合A={x|ax2+4x+l=0}中只有一个元素，则。的值为()

A.0B.4

C.0或4D.不能确定

解析：选C当a=0时，集合4={一；},只有一个元素，满足题意；当时，由集

合A中只有一个元素，可得4=42—4a=0,解得a=4.综上，a的值为0或4.

3.设4=卜，3,a2~3a,«+^+7),5={|°—2|,3},已知4WA且4蜘则a的取值集合为

解析：因为4£A,即4E12,3,al—3a,a+1+7j-,所以〃2—3a=4或a+(+7=4・

2

若a2-3a=4,贝Ua=-1或a=4;若〃+-+7=4,即〃2+3a+2=0,则a=-1或a=-2.

2_

由。2—3a与a+%+7互异，得a#—1.故a=-2或a=4.又4阵3,所以|a-2|W4,解得aW

一2且a#6.综上所述，a的取值集合为{4}.

答案：{4}

4.设集合A={-4,2“-1,al},B={9,a-5,l-a),且A,3中有唯一的公共元素9,则实

数a的值为.

解析：由题意知9WA.若2.—1=9,即a=5,此时4={-4,9,25},3={9,0,—4},则

集合A,8中有两个公共元素一4,9,与已知矛盾，舍去.若a2=9,则a=±3,当a=3时，

A={-4,5,9},B=［9,-2,~2},5中有两个元素均为一2,与集合中元素的互异性矛盾，

舍去；当”=-3时，A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意.综上所述，。=-3.

答案：一3

［一“点”就过］

与集合元素有关问题的解题策略

(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，

还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是

否满足元素的互异性.

命题视角二集合间的基本关系

［典例］⑴已知集合4={小2—2x-3W0,xGN*},则集合A的真子集的个数为()

A.7B.8C.15D.16

(2)已知集合4={幻一2忘*45},B^{x\m+l^x^2m-l},若5GA,则实数m的取值

范围为.

［解析］(l)A={x|—1WXW3,x《N*}={l,2,3},其真子集的个数为23—1=7.

⑵因为5UA,所以，①若B=0,贝42m~l<m+1,此时m<2.②若B柳,则

{2/M—l>»z+l,

m+V>~2,解得.由①、②可得，符合题意的实数机的取值范围为(一—3］.

2m—1<5.

［答案］(1)A(2)(—8,3］

［方法技巧］

解决有关集合间的基本关系问题的策略

(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，

需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论.

(2)确定非空集合A的子集的个数，需要先确定集合A中的元素的个数.不能忽略任何

非空集合是它自身的子集.

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区

间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法.

［针对训练］

1.已知集合M={My=yi-x2,xFR},N={x\x=m2,m^M},则集合M,N的关系是()

A.MNB.NM

c.D.

解析：选B依题意知，M={x\y=y［l—x2,xGR}={x|-IWXWI},N={x\x=ml,m

GM}={x|OWxWl},所以NM.故选B.

2.已知集合4={%年2—3x+2=0,xGR},B={x|0<x<5,xGN},则满足条件AUCU3的集

合C的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选D求解一元二次方程，得4={1,2},易知3={1,2,3,4}.因为ACCC3,所

以集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22

=4个，故选D.

命题视角三集合的运算

考法(一)集合间的交、并、补运算

［例1］(1)(2021•全国乙卷)已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},贝比。(M

U2V)=()

A.{5}B.{1,2}

C.{3,4}D.{1,2,3,4}

(2)(2021年1月新高考八省联考卷)已知M,N均为R的子集，且(RMGN,贝！|MU(［RN)

=()

A.0B.M

C.ND.R

［解析］(1)由题意，得MUN={1,2,3,4}.又U={1,2,3,4,5},所以(U(MUN)={5}.故选

A.

(2)如图所示，易知答案为B.

［答案］(1)A(2)B

［方法技巧］解决集合运算问题的3个技巧

看元素集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的

构成关键

对集合有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明

化简了、易于解决

应用数离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，

形常借助数轴求解

考法(二)利用集合的运算求参数

［例2］(1)(2020•全国I卷)设集合A={x|x2—4W0},5={x|2x+aW0},且AC3={x|一

20W1},则a=()

A.-4B.-2C.2D.4

(2)集合A={0,2,a},B={1,al},若AU5={0,l,2,4,16},则a的值为.

［解析］(1)易知A={x|-2WxW2},5={xxW-f},因为AnB={x|-2WxWl},所

以一g=l,解得a=-2.故选B.

(2)根据并集的概念，可知{a,a2}={4,16},只能是a=4.

［答案］(1)B(2)4

［方法技巧］

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到.

⑵若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)

求解.

提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性).

［针对训练］

1.(2021•全国乙卷)已知集合5=35=2n+1,nSZ},T={t\t=4n+1,nSZ},贝！)SCT=()

A.0B.SC.TD.Z

解析：选C集合S是由奇数组成的集合，集合7是由被4除余1的整数组成的集合，

所以TCs,则snr=T.故选c.

2.(2021•新高考II卷)设集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},则AC(CU3)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}

D.{1,3}

解析：选BCt/B={l,5,6},An(Ct7B)={l,6},故选B.

3.已知集合4="卜<3},B={x|x>a},若405n0,则实数a的取值范围为()

A.[3,+00)B.(3,+°°)

C.(一8,3)D.(-8,3]

解析：选C因为所以结合数轴可知实数a的取值范围是（一8,3）,故选

■思维激活-灵活不足•难得高分

数学建模.练抽象思维—集合中的创新应用问题

1.（攀悟数学文化）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三

三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知

A={x|x=3/z+2,〃eN*},5={x|x=5〃+3,nGN*},C={x|比=7〃+2,zzGN*},若xd

（AABnC）,则整数x的最小值为（）

A.128B.127C.37D.23

解析：选D•求整数的最小值，.•.先将23代入检验，满足A,B,C三个集合，故选

2.（创新学科情境）设。是一个非空集合，尸是。的子集构成的集合，如果尸同时满足：①

0GF,②若A,BGF,则An（（u3）eB且AU3GK那么称歹是。的一个环.下列说

法错误的是（）

A.若U={1,2,3,4,5,6},贝！]歹={0,{1,3,5},{2,4,6},U}是U的一个环

B.若。=心，b,c},则存在。的一个环凡尸含有8个元素

C.若。=2,则存在。的一个环F,尸含有4个元素且{2},{3,5}GF

D.若。=比则存在U的一个环尸，F含有7个元素且[0,3],[2,4]G尸

解析：选D由题意可得F={0,{1,3,5},{2,4,6},U}满足环的两个要求，故尸是。的

一个环，故A正确；若[7={a，b,c},则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合尸

满足环的定义，且有8个元素，故B正确；如尸={0,{2},{3,5},{2,3,5}}满足环的要求，

且含有4个元素，{2},{3,5}GF,故C正确；4^4=[0,3],B=[2,4],'：A,B^F,AAnC

UB=[0,2）G尸，BAC[74=（3,4]GF,AUB=[0,4]GF,设C=[0,2）,则AC[；UC=[2,3]e尸，

设Z>=[0,4],£=[2,3],则Z>nCUE=[0,2）U（3,4]Gb,再加上0,F中至少有8个元素，故D

错误.故选D.

3.（走向生产生活）某班45名学生参加“3T2”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两

项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”两个等级，结果如下表：

优秀合格合计

除草301545

植树202545

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最

多为（）

A.5B.10C.15

D.20I-/-X

解析：选C用集合A表示除草优秀的学生，集合5表示植树优秀AAj

的学生，全班学生用全集。表示，贝武表示除草合格的学生，

［U3表示植树合格的学生，作出Venn图，如图.设两个项目都优

秀的人数为x,两个项目都合格的人数为y,由图可得20—x+x+30—x+y=45,化简

得x=y+5,因为ymax=10,所以xmax=10+5=15.故选C.

4.（创新学科情境）若集合{a,b,c,d}={l,2,3,4},且下列四个关系：①”=1；②方W1；③c

=2；④dW4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组（a,b,c,

d）=,符合条件的全部有序数组（a,b,c,4的个数是.

解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；

a=2,a=3,a=3,

b=3,b=2.b=l.

若②正确，贝门或《若③正确，贝N

c=l,C=L,c=2,

、d=4、d=4.、d=4.

a=2,'a=3,"a=4,

b=l,b=l,b=l,

若④正确，贝甘或《或《

c=4,c=4,c=3,

、d=3、d=2、d=2.

所以符合条件的数组共6个.

答案：（3,2,1,4）（填一个正确的即可）6

［课时跟踪检测］

1.（2021•北京高考）已知集合4={*|一1＜》＜1},3={x|0WxW2},则AU5=（）

A.{x|0Wx〈l}B.{x|—l<x^2}

C.{x|l<x^2}D.{x|0<x<l}

解析：选B由集合的基本定义可得AU5={x|-1VXW2},故选B.

2.(2021•全国甲卷)设集合M={x|0VxV4},N={x},则MCN=()

A.jx0<x^|rBJX1^X<4\

C.{x|4^x<5}D.{x|0<x^5}

解析：选B因为拉={x|0VxV4},N={xj,所以"nN={x1^x<41故

选B.

3.集合A={3,2a},B={a,b}.若AC3={4},则AU8=()

A.[2,3,4)B.{1,3,4}

C.[0,1,2,3)D.{1,2,3,4)

解析：选AVAnB={4},：.2a=4,则a=2,b=4.：.AUB=[2,3,4}.

4.设a,集合P={x|(x—1产(》一a)=0},e={x|(x+l)(x-*)2=0},若尸=Q,则a

b={)

A.0B.1C.-2

D.2

{19a},f{-l,b},b^-1,

解析：选C由题意得尸=Q=,八i因为尸=。，所

.{1},a=l,1{-1},b=~l,

以当且仅当a=—1,>=1时P=0成立，故“一/)=-2.

5.(2022•成都石室中学月考)已知集合"={*|(*-1>(*一2)忘0},N={x|x>0},贝！|()

A.N&MB.M£N

C.MAN=0D.MUN=R

解析：选BM={x|(x-l)(x-2)<0}={x|lWxW2},N={x|x>0},所以MUN.

6.(2022•长沙长郡中学月考)已知集合4={6，y)|x+y=8,x,yGN*},B={(x,j)ly>x+l},

则AC5中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.5

解析:选B依题意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中满足

+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以AC3={(1,7),(2,6),(3,5)},有3个元素.故选B.

7.已知全集。={x|—l<x<9},A={x|l<x<a},A是。的子集，若A#。，则a的取值范围是

()

A.{a|o<9}B.{a|aW9}

C.{a|a>9}D.{a|l<a^9}

解析：选D由题意知，集合AN。，所以a>l,又因为A是。的子集，故需“W9,所

以a的取值范围是{a[l<aW9}.

8.已知集合4={-1,0,1},B={x\x2-3x+m=0},若AC3={0},则5的子集有()

A.2个B.4个C.8个D.16个

解析：选BVAnB={0},AOSB,.\/n=0,.•.5={x|x2-3x=0}={0,3}.：.B的子集

有22=4个.

9.已知集合4={*旧一*一2<0},B^{x\a-2<x<a}.若An3={x|-l<x<0},则AU3=()

A.(-1,2)B.(0,2)

C.(-2,1)D.(-2,2)

解析：选D因为A={x[—l<x<2},B={x\a—2<x<a],且An3={x[—所以a

=0.故3={x|-2<x<0},所以AU5={x|-2<x<2}.故选D.

10.(2022•长春质量监测)设全集U=R,集合A={x|4-*2》0},B={X|X^-

1},则如图所示阴影部分表示的集合为()

A.(-1,2]B.[-1,2]

C.[-2,-1)D.(-00,-1]

解析：选AA={x|-2WxW2},CU3={x|x>-l},易知阴影部分为集合Ar)([UB)=(一

1,2].

11.(2022•广东湛江一模)已知(CRA)03=0,则下列选项中一定成立的是()

A.AQB=AB.AQB=B

C.AUB=BD.AUB=R

解析：选B作出Venn图如图所示，则BCA,所以

12.已知集合A=x|x=k+/,kGN,B=|x|x=y—I，mGNn.1

C=x”=5+不，

则集合A,B,C的关系是()

A.ACBB.CAB

C.AB=CD.ABC

解析：选A•・•集合C={x|x=5+1,〃£N),,当〃=2a(a£N)时，X=^+T=«+7,

/uo

此时C=A,.\AC.当〃=＞一1①£N*)时，工=与」+；=§—：S£N*).而集合5

={x[x=^—WIGN},当机=0时，—但一；.集合CB.综上,ACB,

故选A.

13.已知集合P={y炉-y—2>0},g={x|x2+ax+Z>^0},若PUg=R,PC0=(2,3],则a

+b—.

解析：P=U*—y—2>0}=Uly>2或><一1},VPUg=R,png=(2,3],AQ={x|-

-1+3=­a,

1WXW3},工一1,3是方程必+依+方=o的两根，由根与系数的关系得J_

(—1)X3=6,

Q=-2,

答案：一5

14.若集合{x|P+2履+1=0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是

解析：由题意知，方程/+2乙+1=0有两个相等实根，.•./=442—4=0,解得左=±1,

二满足条件的实数发的取值集合是{1,-1}.

答案：{1,-1}

15.(2022•云南师大附中月考)已知集合知={-1,0,1},N={—cos万工，"。M,,则集

合MCIN的真子集的个数为.

I-2L\„

解析：1—cos<2'=1,1—cos0=0,1—cos3=1,则N={0,l},MDN={0,l},MC\N

的真子集的个数为22-1=3.

答案：3

16.设集合A={x|x+m20},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(［"4)CB=0,则实数机的

取值范围为.

解析：由已知得4={*|*2一机},；.C°A={x|x<-7〃}.•.,3={x|-2<x<4},(［tZA)

—m^—2,即的取值范围为［2,+°°).

答案：［2,+8)

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

1.理解命题的概念.了解“若0,则/形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分

析四种命题的相互关系.

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

基础不牢•地动山摇

［由教材回扣基础］

i.命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫

做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及相互关系

3.四种命题的真假关系

(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性;

⑵两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

⑶在四种形式的命题中，真命题的个数只能是酷4

4.充分条件与必要条件的相关概念

记p,q对应的集合分别为A,B,则

P是q的充分条件p0qA^B

p是q的必要条件QpA^B

p是q的充要条件p今q且q〉pA=B

p是4的充分不必要条件paq且q今/pAB

p是q的必要不充分条件p0/q且q0PAB

P是g的既不充分

p*q且q=/pA8且AB

也不必要条件

澄清微点•熟记结论

(1)A是B的充分不必要条件分㈱B是㈱A的充分不必要条件.

(2)在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)今01(大范

围)，x>l(大范围)0/x>2(小范围).

［练小题巩固基础］

一、；隹确理解概念(判断正误)

(1),(x2+2x-3<0^^是命题.()

(2)当q是〃的必要条件时，p是g的充分条件.()

(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()

(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()

答案：⑴X(2)V(3)V(4)V

二、练牢教材小题

1.(人教B版选修2—IP24T2(3)改编)命题“若a=w，贝!Itana=l”的逆否命题是()

A.若贝！JtanaWlB.若3=不贝!JtanaWl

C.若tanaWL贝!ID.若tanaWl,贝!I3=彳

答案：C

2.(新人教B版必修①P40T9改编)设0)£R且而W0,贝！I“面>1”是“〃>/”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：D

3.（人教A版选修2-1P30T4改编）命题“若x2<4,则一2<x<2”的否命题为,

为（填“真”或“假”）命题.

答案：若无2N4,则或xW-2真

4.（人教A版选修2—1P7例4改编）命题“若a2+52=0,a,feGR,则a=%=0”的逆否命

题是.

答案：若aWO或6WO,a,BWR,贝!Ja2+Z»2#0

三、练清易错易混

1.（忽视大前提）已知命题"对任意若ab>0,则a>0"，则它的否命题是

答案：对任意用分GR,若而W0,则aW02.（对充分、必要条件的；ft念理解不清）已知p

是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是夕的

条件.

答案：充分不必要

考法研透--方向不对，努力白费

命题视角一命题及其关系（自主练通）

1.命题“若。>一3,则“>一6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为（）

B.2

C.3D.4

解析：选B因为原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题.原命题的否命题“若aW

—3,则aW—6"为假命题，原命题的逆命题“若a>—6,则a>一3"为假命题.故选

B.

2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然

而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是（）

A.不拥有的人们不一定幸福

B.不拥有的人们可能幸福

C.拥有的人们不一定幸福

D.不拥有的人们不幸福

解析：选D根据原命题与逆否命题是等价命题可知，“幸福的人们都拥有”的逆否命

题是“不拥有的人们不幸福”，故选D.

3.已知命题：若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除.写出它的逆命题：

答案：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0

4.能说明“若於)乎(0)对任意的xd(0,2］都成立，则_/U)在［0,2］上是增函数”为假命题的一

个函数是.

rJTTT

解析：设a)=sinx,则於)在0,2上是增函数，在5，2上是减函数.由正弦函数图

象的对称性知，当xW(0,2］时，/(x)»0)=sin0=0,故｛x)=sinx满足条件｛x)»0)对任意

的xW(0,2］都成立，但/>)在［0,2］上不一直都是增函数.

答案：/(x)=sinx(答案不唯一)

L"点”就过］

有关四种命题及其相互关系的问题的解题策略

(1)求一个命题的其他三个命题时，需注意：

①对于不是“若P,则g”形式的命题，需先改写为“若p,则g”的形式；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.

(3)当不易直接判断一个命题的真假时，根据互为逆否命题的两个命题同真同假，可转化

为判断其等价命题的真假.

命题视角二充分条件与必要条件的判断

［典例］⑴设“GR,则7>1”是72>.”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2021•浙江高考)已知非零向量a,b,c,则%・c="c”是"a=b"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］⑴由al>a得a>l或a<0,反之，由a>l得a2>a,贝『%>1"是“2>a”的充分不必

要条件，故选A.

(2)若a-c="c,则(a-Z>>c=0,推不出a=3,充分性不成立；若a=Z>,则0c="c必成

立，必要性成立，故"a-c=b-c"是“a=b”的必要不充分条件.

［答案］(1)A(2)B

［方法技巧］充分、必要条件的判断方法

定义法直接判断''若P,则g”“若g,则p”的真假.在判断时，确定条件是什

么、结论是什么

利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范

集合法

围，即可解决充分必要性的问题

［针对训练］

历

1.asina=)”是"sina=cos"”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选D由sina=乎,可得<Z=4+2ATT(«GZ)或4=乎+2痴(462),当a=^?~+2kn(k

57t

£Z)时，sinaT^cosa,所以充分性不成立；反之，当sin“=cosa时，令”=彳，此时，

sina——),所以必要性不成立,所以“sina=)"是"sin<z=cos的既不充分也

不必要条件.故选D.

2.已知偶函数{x)在［0,+8)上单调递增，则对实数”，b,aa>\b\n是“f(a)>fe)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A因为偶函数八x)在［0,+8)上单调递增，所以若网，则仙)>加川)=加)，

即充分性成立.若八4)〉八方)，则等价为川丽>人网)，即⑷>网，即叫或“V—网，

即必要性不成立，则%>网”是"f(a)>f(b)”的充分不必要条件.

命题视角三根据充分、必要条件求参数范围

［典例］若“x>2”是“x>a”的必要不充分条件，则实数。的取值范围是()

A.{a\a<2}B.{a|〃W2}

C.{a\a>2}D.{a\a^2］

［解析］“由x>2”是的必要不充分条件，知{x|x>a}是{x|x>2}____।»

02G%

的真子集，将这两个集合表示在数轴上(如图)，由数轴知。>2,故选C

［答案］C

［方法技巧］

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后

根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.

(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的

关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现

漏解或增解的现象.

［针对训练］

3

1.已知“x>H是“弟<1”的充分不必要条件，则左的取值范围为（）

A.(-8,-1]B.[1,+00)

C.[2,+°°)D.(2,+~)

解析：选C由：得"即(x+l)(x—2)>0,解得x<—1或x>2.由题意可得

IJLIJL

{x|x>*}"收—1或x>2},所以k22,因此，实数左的取值范围是［2,+8）.

2.若关于“的不等式|“一1|<〃成立的充分条件是0vxv4,则实数〃的取值范围是（）

A.(-OO,1]B.(-00,1)

C.(3,+8)D.[3,+8)

解析：选D由仅一l|v〃，得1-"xva+l,若|x—l|v〃成立的充分条件是0vxv4,

1—“W0,

则解得〃23.

1+。24,

■思维激活—灵活不足•难得高分

一题多变•练发散思维——充分、必要条件的应用问题

已知P={x|x2-8x-20^0},非空集合S={x|l—/wWxWl+M.若x&P是的

必要条件，则小的取值范围为.

,

［解题观摩］由x2-8x-20W0,得一2<x<10,..P={x|-2^x^lO}）由尸是xG

1一/TlWl+ffl,

S的必要条件，知SQP.则“1一m2一2,

」+/nW10,

.•.当0W/nW3时，xGP是xWS的必要条件，即所求机的取值范围是［0,3］.

［发掘训练］

1.（变结论）本例条件不变，若超P是超S的必要不充分条件,则实数机的取值范围为.

解析：由例题知尸={x|-2Wx<10},,遇产是遇S的必要不充分条件，...xG尸是xES

1—mW—2,fl-/n<—2,

的充分不必要条件..,.［-2,10］［l-/n,l+m］,.I,或，、：,