重庆市某中学2025届高三年级上册开学考试数学试卷（含答案）

重庆市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

X

1.已知集合4={xIlog2(2x-1)<1],B={%||<2<2),则AUB=()

A.11<x<1jB.{x|x<|}

C.I—1<x<D.{%|—1<x<1]

2.若暴函数/(x)=(m2-m-5)x"m在(0,+8)上单调递减，则实数m的值为()

A.-3B.-2C.2D.3

3.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于能语•卫灵公》此名言中的“善其事”是

“利其器”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知定义在R上的函数f(x)满足/(久)-2/(-x)=ex,则曲线y=/(乃在点(0/(0))处的切线斜率为()

11

A.-1B.C.|D.1

5.已知函数y=/(久)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()

(2f3n2X+Icosx

2X+1D2%-1

6.已知函数f(x)=sinx+久3_a久是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是()

A.(—8,1)B.(-co,1]C.(-00,2)D.(-oo,2]

7.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x-1)的图象关于直线x=1对称，f(3x+2)是奇函数，则下列选项

中值一定为0的是()

A./g)B./(2024)C./(l)D./(|)

8.若存在实数a,使得关于％的不等式[a]—(m+l)ex](ax—Inx)<0在(0,+8)上恒成立，则实数TH的取值

范围是()

A.("v.,；)B.(-3c.t*—1)C.(e~-L+x)D.(——1,+oc)

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若正实数居y满足2x+y=1,则下列说法正确的是()

A.孙有最大值为28.§+；有最小值为6+4，1

C.4/+*有最小值为3D.x(y+1)有最大值为：

10.已知函数/(无)=In久—9—1,则下列说法正确的是()

A)。)在区间(0,1)上单调递增

B.7(/0520242025)+7(/0^0252024)=2

C.若/(a)=f----Z?ln2,aE(0,1),be(0,+oo),则a•2°=1

2—1

D.函数fO)有唯一零点

11.定义在(0,+8)上的可导函数fQ)满足+2%/(%)=In%,若f(e)=0,则下列说法正确的是()

A.函数/(%)在％=?2处取得极大值

B./。。方4)>f(2。945)>f(|)

C.过原点可以作2条直线与曲线y=/(x)相切

D.若/(尤)+|<e2x-zn在(0,+8)上恒成立，则实数m的取值范围是(一8,2]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数/(%)=ex+2/(0)cosx,则尸(0)=.

13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，

有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为我没有思路的题只能从4个选项中随机

选一个答案.若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为.

14.已知函数/(%)=ex—2,g(%)=e2x—aex+a+24(a6R),用min｛m,n｝表示m,九中较小者,若函数

ft(%)=min(/(%),g(%)｝有三个零点，则实数a的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知定义在(-Lb)上的奇函数/(%)=恒*.

(1)求实数a,b的值：

(2)若/(%)在(皿71)上的值域为(一1,+8),求实数TH,九的值.

16.(本小题12分)

甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局.首先获得

4分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是|.

(1)求比赛结束时恰好打了5局的概率：

(2)若甲以2:1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.

17.(本小题12分)

已知函数/'(x)=xlnx+ax+b在x=时取得极值，且满足/'(1)=1.

(1)求函数/(均的解析式；

(2)若存在实数x>0,使得依>f(久+1)成立，求整数k的最小值.

18.(本小题12分)

已知椭圆：1的右焦点尸与抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点重合.

(1)求抛物线C的方程：

(2)已知P为抛物线C上一个动点，直线4：x=—1,Z2:x+y+3=0,求点P到直线口"的距离之和的最小

值；

(3)若点。是抛物线C上一点(不同于坐标原点。)，/是团DOF的内心，求回/OF面积的取值范围.

19.(本小题12分)

/b

如果函数F(x)的导数F'(x)=f(x),可记为F(1)J若f(x)>0,则/〃工)&=Fib)-F(a)表

示曲线y=/(x),x-a,久=6以及x轴围成的曲边梯形”的面积(其中a<6).

(1)若F(x)=fxdx,且尸(1)=1,求尸(久)；

(2)当0<a<］时，证明：a-cosa<cosxdx；

⑶证明：1+^+寺+…+；>ln(n+1)+2(1)5eN*).

参考答案

l.c

2.D

3.2

4.C

5.4

6.5

7.8

8.D

9.ABC

10.AC

11.AD

12.1

13.1|或0.78125

14.(12,28)

15.解：(1)由于一1+6=0,故6=1,

fM=炮器，由/0)=恒公为奇函数得

…+/⑺=他当+馆塞=馆箓鬻潦=°，

故臀窗=1，解得a=1或一1(舍)，

故Q=b=1;

1—V,,1—V1

(2)/(%)=lg—>-1,故,>元，

又一1V%V1,

解得—1VX<亮,

故772=-1,71=4,

16.解：（1）第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜,

则概率为A=cl（I?1264

X3X3=^3；

第二种情况：比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，

则概率为P2=4(1一|)3X|X(1—|)=白；

所以比赛结束时恰好打了5局的概率为P=P]+P2=白+黑=白.

(2)••・甲队以2:1的比分领先，甲队目前的战绩两胜一负，

・•・接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，

局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛,

••.X的可能取值为2,3,4,

又P(X=2)=(|)2=I，

P(X=3)=心(|鸡)(|)+6©3=捺+方寸

P(X=4)=C|x(|)2x|=|,

••.随机变量X的分布列为：

X234

412

P

939

E(X)=2x^+3x|+4x1=y,即X的数学期望为半

17.解：⑴由题意知/(%)=xlnx+ax+b的定义域为(0,+8),/'(汽)=In%+1+a,

由于函数f(%)=xlnx+ax+b在久=c-时取得极值，且满足/(l)=1,

故/=—3+1+a=0,且/(I)=a+h=1,

解得a=2,b=-1,则/'(%)=Inx+3,

经验证函数/(%)在％=e-3时取得极小值，适合题意

故/(%)=xlnx+2%—1；

(2)由题意存在实数久>0,使得质成立，

即人〉(x+l)ln(x+l)+2x+l恒成立;

X

令g(无)=(x+l)ln(；D+2x+l,%>0；则“(无)=匕上臀2,久e(0,+8),

令九(%)=x-1-ln(x+1),则/(%)=1——>0在(0+8)上恒成立,

■XI_L_LIA-

故九(%)=x—1—ln(x+1)在(0+8)单调递增,

又九(2)=1-ln3<0,/i(3)=2-ln4>0,

故存在唯一的%o6(2,3)使得h(%o)=0,即％°-1=ln(%0+1)，

则当0<x<g时,h(x)<0,即g'(%)<0,当%>%。时，h(x)>0,即g'(%)>0,

所以g(x)在(O,%o)上单调递减，在(%o,+8)上单调递增，

故gQ)min=9(比0)=a。+1)皿%+1)+2殉+1=(劭+1)(6-1)+2和+1=Q+？，

%0第0

故k>g+2，结合比6(2,3),得出+26(4,5),故整数k的最小值为5.

18.解：(1)由题可知，椭圆右焦点坐标为(1,0),抛物线焦点坐标为啰,0)

所以与=1=>p=2,

所以抛物线方程为y2=4x,

由题可知，人为抛物线准线，所以点P到％的距离等于点P到焦点(1,0)的距离四；

联立「nV+4y+12=0n(y+2尸+8=0,

v%十y十j-u

显然无实数根，故直线"与抛物线相离，记点P到6的距离为42，

所以d]+d2的最小值为焦点(1,0)到直线0：x+y+3=0的距离为誓坦=2/2

J12+12

(3)

设点Qg,yo),回知点0(0,0),尸(1,0)

.1

所以回DOF的面积S.DOF=第（）|,

设团DOF的内切圆半径为r,

111

则有SEI.OF=-\OF\r;S@IDF=-\DF\r;S@IOD=-\OD\r,

^SaiOF-.SBIDF-.SaiOD:SBDOF=\0F\-.\DF\-.\0D\-(|0F|+\DF\+\0D\),

所以品/,+黑叫叫。尸=J帝，+]+]*扑。I，

因为点。是抛物线C上一点(不同于坐标原点。)，

纹

所&-O

4yo

1

所以s-X

回-

F2yo

4金

y0

/o-+++2

1-64

经整理得：——-)

]羽+16+,0什闲

构造函数/(久)=Vx2+16+x+'(x>0),

得八”）=点一£+1'

显然广（久）=-4+1单调增，

P+S*_

令/'（久）=-r=-4+1=0,解得X=浮

4+淳

所以当Xe（o,殍）时，f'W）<0,/（X）单调递减;

当xe（殍,+8）时，f（%）>o,/（£）单调递增;

所以/（%）之/17V3

4

所以S"0F=7^e(°，堂］

22

19.1?：(1)因为(3)'=x