人教版中考数学专项复习训练：平行线的判定【九大题型】

专题5.1平行线的判定【九大题型】

【人教版】

【题型1对顶角的识别及其性质】..............................................................1

【题型2平行、垂直】.........................................................................2

【题型3平行公理及其推论】...................................................................4

【题型4同位角相等，两直线平行】............................................................5

【题型5内错角相等，两直线平行】............................................................6

【题型6同旁内角互补，两直线平行】...........................................................7

【题型7平行线的判定方法的综合运用】........................................................8

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】....................................................9

【题型9平行线判定的实际应用】.............................................................11

【题型1对顶角的识别及其性质】

【变式1-1］（2022•广东•揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、相交于点O,OE平

分E1AOC,0EOC=|0COB.

OB

D

⑴图中的对顶角有对，它们是.

（2）图中互补的角有对，它们是.

⑶求SE。。的度数.

【变式1-2]（2021•山东•济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB,CD相交于点。，OELCD,。e平

分〃。£）,若〃。。=50°.求NEOF的度数.

u

【变式1-3]（2022•辽宁•鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线ZB,CD相交于点0,OE平分ABOD,OF平

（2）若乙8。尸=36。，乙40C的度数是多少？

【题型2平行、垂直】

【例2】（2022•福建•厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线//上，点、B,C在直线办

A.点A到直线/2的距离等于4

B.点C到直线//的距离等于4

C.点C到A8的距离等于4

D.点2到AC的距离等于3

【变式2-1]（2022・广西・钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（）

A.在同一平面内，a,b,c是直线，S.a\\b,b\\c,则a||c

B.在同一平面内，a,b,c是直线，且a16,b1c,则a1c

C.在同一平面内，a,b,c是直线，S.a\\b,b1c,则a||c

D.在同一平面内，a,b,c是直线,且，a||b,b||c则a1c

【变式2-2]（2022・吉林•公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为4B11,BC11,B为垂足，所以

4B和8c重合，其理由是（）

A

C

-----------=]---------1

B

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.垂直同一条直线的两条直线平行

D.垂线段最短

【变式2-3]（2022•江苏•九年级）如图，点A、点8是直线/上两点，AB=10,点M在直线/外，MB=G,

MA=8,HAMB=90。，若点尸为直线/上一动点，连接MP,则线段的最小值是.

M

APB

【知识点平行线的判定】

1.平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行」

2.平行线的判定方法

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行.

③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）

【题型3平行公理及其推论】

【例3】（2022•江西上饶，七年级期中）同一平面内的四条直线若满足alb,b1c,cId,则下列式子成

立的是（）

A.a\\dB.bldC.aidD.b\\c

【变式3-1］（2022•河南漠河•七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和乩得到a|山,

A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【变式3-2］（2022•湖北武汉•七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③a,b,

c是同一平面内的三条直线，若a//b,b//c,则a//c；④a,b,c是同一平面内的三条直线，若alb,

则“，c；其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3-3］（2022・四川•甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图，ABWCD,如果N1=42,那么EF与

4B平行吗？说说你的理由.解：因为N1=N2,

所以II.（）

又因为4BIICD,

所以阴IEF.)

DC

【题型4同位角相等，两直线平行】

【例4】(2022•甘肃・陇南育才学校七年级期末)如图，AB1MN,垂足为8,CD1MN,垂足为D,N1=N2.在

下面括号中填上理由.

因为4B1MN,CD1MN,

所以N2BM=NC£W=90。.

又因为N1=N2(),

所以N4BM--N2(),

即=

所以EB||FD()

【变式4-1](2022•湖北•靳春县向桥乡白水中学七年级阶段练习)如图，过直线外一点画已知直线的平行

【变式4-2](2022•山东泰安•七年级期末)如图，AB1BC,Zl+Z2=90°,Z2=Z3.请说明线段BE与

OF的位置关系？为什么？

【变式4-3］（2022•北京东城•七年级期末）如图，直线I与直线48,CD分别交于点E,F,N1是它的补角的

3倍，Z1-Z2=90°.判断2B与CD的位置关系，并说明理由.

【题型5内错角相等，两直线平行】

【例5】（2022•山东・曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线。E上，ABEL4c于A,回1与EIC互

余，OE和8C平行吗？若平行，请说明理由.

【变式5-1］（2022•北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知41=75。，Z2=35°,43=40。，求证:

a\\b.

【变式5-2］（2022•福建・莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，CF是△力BC外角乙4cM的平分线,

ZXCB=4O°,ZX=7O°,求证：ABWCF.

AF

BCM

【变式5-3]（2022•辽宁•阜新市第十中学七年级期中）如图，ABWDE,EI1=0ACB,回。48=扣BAD,试说明

ADWBC.

【题型6同旁内角互补，两直线平行】

[例6]（2022•河北衡水•七年级阶段练习）已知：乙4=NC=120°,乙4EF=乙CEF=60°,求证：ABWCD.

BA

F~^E

DC

【变式6-1]（2022•西藏昂仁县中学七年级期中）如图，0040=20°,05=70°,AB0AC,求证：AD\\BC.

【变式6-2]（2022•甘肃,平凉市第七中学七年级期中）如图，Z1=30°,ZB=60°,ABVAC.

（1）+48等于多少度？

（2）AD与8c平行吗？请说明理由.

【变式6-3]（2022•北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在8C上，BD^AC,EF^AC,垂足分

别为。，F,点M,G在AB上，GF交BD于点H,0BMD+0ABC=18O°,01=02,求证：MDWGF.

下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据.

证明：0BDSAC,EI^AC,

00B£»C=9O°,0£FC=90°（①）.

WDC^EFC（等量代换）.

回8冽万尸（同位角相等，两直线平行）.

EB2=EIC8D（②）.

回回1=回2（已矢口）.

ffll=ECBD（等量代换）.

回③—（内错角相等，两直线平行）.

00BM£）+EL4BC=180°（已知），

0MDIIBC（④）.

0MDIIGF（⑤）.

【题型7平行线的判定方法的综合运用】

【例7】（2022•广西贺州•七年级期末）如图，有下列条件：①N1=N2；②N3+N4=180。；③45+46=

180°；④N2=N3.其中，能判断直线矶6的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式7-1]（2022•浙江台州,七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道N2

是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不熊判断两条直轨是否平行（）

A.Z1B.Z3C.44D.45

【变式7-2]（2022•山西临汾•七年级期末）在下列图形中，已知41=42,一定能推导出kll"的是（）

【变式7-3]（2022•山东日照•七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DEIIBC的是（）

A.Z.1=Z.2B.Z.3=Z.4C.Z.5=Z.CD.+Z.BDE=180°

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】

【例8】（2022•吉林・大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形A8C。中，乙4DC+乙4BC=180°,

AADF+^AFD=90°,点、E、F分别在。C、AB上，且8E、。尸分别平分0ABC、0ADC,判断BE、DF是

否平行，并说明理由.

【变式8-1]（2022・江苏•扬州市邢江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整:

已知：如图，点E在AB上，且CE平分0AC。，01=02.求证：ABWCD.

证明：I3CE平分E1ACD（已知），

032=13（）.

1301=132（已知）,

回回1=回（）.

0715IICD（）.

【变式8-2]（2022•辽宁沈阳•七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整

如图，直线分别与直线AC、OG交于点B、F,且加=132.0A8F的角平分线BE交直线ZJG于点E,0BFG

的角平分线FC交直线AC于点C.

求证：BE||CF.

证明：回回1=回2（已知）

EL4BF=E1（对顶角相等）

0BFG=EI2（）

BBABF=（等量代换）

E1BE平分E1AB/（已知）

SZ.EBF=-（）

2-----------------------------------------

团尸C平分团3厂G（已知）

-1

团NCF8=-（）

2-----------------------------------------

团团碎尸=

团BEIICF（）

【变式8-3］（2022•内蒙古•扎贲特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点G在C。上，已知4BAG+乙4G。=

180°,E4平分/BAG,FG平分N4GC.请说明AE||GF的理由.

解：因为N8AG+Z.AGD=180。(己知),

乙4GC+乙4G。=180°(),

所以4B4G=^AGC().

因为EA平分4BAG,

所以41=2砌).

因为FG平分乙4GC,

所以N2=m,

得41=42（等量代换），

所以（）.

【题型9平行线判定的实际应用】

【例9】（2022•全国•七年级课时练习）如图，若将木条。绕点。旋转后使其与木条方平行，则旋转的最小

角度为（）

A.65°B.85°C.95°D.115°

【变式9-1]（2022•河南•郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿进行折叠的方法

图1图2图3图4

A.如图1,展开后测得回1=回2B.如图2,展开后测得回1=02且回3=04

C.如图3,测得m1=回2D.在图4中，展开后测得回1+回2=180°

【变式9-2]（2022•全国•七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向

相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）

A.第一次向右拐40。，第二次向右拐140。.

B.第一次向右拐40。，第二次向左拐40。.

C.第一次向左拐40。，第二次向右拐140。.

D.第一次向右拐140。，第二次向左拐40。.

【变式9-3]（2022,江苏•南京外国语学校七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，N1=70°,Z2=100°,

现将木棒。、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则

秒后木棒a,6平行.

2

1

专题5.1平行线的判定【九大题型】

【人教版】

【题型1对顶角的识别及其性质】...............................................................1

【题型2平行、垂直】.........................................................................2

【题型3平行公理及其推论】..................................................................18

【题型4同位角相等，两直线平行】............................................................21

【题型5内错角相等，两直线平行】............................................................23

【题型6同旁内角互补，两直线平行】.........................................................26

【题型7平行线的判定方法的综合运用】.......................................................28

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】...................................................31

【题型9平行线判定的实际应用】..............................................................35

»纭芦，£二

【题型1对顶角的识别及其性质】

【例1】（2022•内蒙古呼伦贝尔•七年级期中）下列各图中，回1与团2是对顶角的是（）

【答案】C

【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可.

【详解】解：A、粗与回2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；

B、与囱2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；

C、国1与国2是对顶角，故此选项符合题意；

D、团1与团2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角

的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义,

正确判断.

【变式1-1](2022•广东•揭西县阳夏华侨中学七年级期末)已知：如图，直线A3、O相

交于点O,OE平分0AoC,SEOC^COB.

⑴图中的对顶角有对，它们是.

⑵图中互补的角有对，它们是.

(3)求&EOD的度数.

【答案】(1)两；0Aoe和OB。。，EIBOC和0AO。

⑵八；0Aoe和回BOC,EL4OC和0AO。，EIBOD和EA。。，勖。£)和回BOC,EIAOE和回BOE,0EOC

和I3E0。，I3EOC和I3EO8,MOE和I3EO。

(3)140°

【分析】(1)根据对顶角的定义，判断即可；

(2)根据补角的定义进行判断即可；

(3)根据OE平分EAOC,得出此0c=EAOE,设M0C=尤，贝l]MOC=0AOE=|x,列出关

于X的方程，解方程即可得出aeoc的度数，再求出回DOE的度数，即可得出结果.

(1)

解：图中的对顶角有：EAOC和回8。。，I38OC和她。£).

故答案为：两；0Aoe和I3BOO,EIBOC和0AOZ).

(2)

图中互补的角有：13Aoe和EIBOC,0AOC和EL4。。，回80。和0AOO,团8。£＞和I3B0C,13AoE

和I3B0E,I2E0C和国E。。，

EIOE平分0AOC,

EHAOE=EICOE,

EEAOE+[3BOE=180°,

EIEICOE+0BOE=18O°,

EEEOC和ELEOB互补，

BHCOE+团E0D=180°,

H3AOE+EIEOD=180°,

EBAOE和EIEOD互补.

故答案为：八；0Aoe和EIBOC,EIAOC和固4。。，回8。£)和0AOD的。£)和勖。C,0A0E和

^BOE,SEOC^EOD,I3EOC和团EOB,EIAOE和EIEOO.

(3)

I3OE平分她OC,

EHEOC=0AOE,

设的9C=无，贝物EOC=0AOE=|x,由平角定义得，

22

-x+-x+x=180°,

解得：x=100°

QEEOC=BAOE=-(180--100°)=40°,

2

EB£)OE=100°+40°=140°,

答：ae。。的度数为140。.

【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义,

根据题意求出SBOC的度数，是解题的关键.

【变式1-2](2021・山东・济南市钢城区实验学校期末)如图，直线AB,C。相交于点O,0E1CD,

OF平分乙4。。，若乙4。。=50°.求NE0F的度数.

【答案】650

【分析】根据角平分线的定义可得回/0〃=她0尸=扣40〃=25。，根据垂线的性质可得

E£O£>=90°,再进行解答即可.

【详解】解：回。b平分E1AOD,EL4O£)=50。，

1

^\FOD=^\AOF=-^AOD=25°,

2

回。砸CO,

团团E。。=90°,

^\EOF=^EOD-^FOD=90o-25o=65°.

【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的

关键.

【变式1-3](2022•辽宁•鞍山市第二中学七年级阶段练习)直线CD相交于点。，0E平

分乙BOD,。尸平分“。E.

⑴若〃0C=76°,乙BOF=度.

(2)若NBOF=36°,乙4OC的度数是多少？

【答案］⑴33

(2)0AOC的度数是72。

【分析】(I)根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出aeob和团EOB的度数，再根据

角的和差即可得SBOP的度数；

(2)根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用aBOE的等式表示0AOC,再根据角分线

的定义，列出等式即可求得结果.

(1)

Z40C=76°,

•••乙BOD=AAOC=76°,

•••0E平分乙BOD,

Z.BOE=4DOE=38°,

•••/.COE+Z.DOE=180°,

乙COE=180°-4DOE=142°,

。尸平分NCOE,

•••乙EOF=/-COF=71°,

Z.BOF+乙BOE=/.EOF,

••Z.BOF=4EOF—乙BOE

=71°-38°

=33°

故答案为：33；

(2)

设N40C=

•1.Z.BOD=Z.AOC=x°,

•••OE平分乙BOD,

."B0E=CD0E=3X。，

•••乙COE+乙DOE=180°,

••・乙COE=180°-(DOE=180°--x°,

2

•••。尸平分“OE,

•­,乙EOF=Z.COF=|(180。-疗)°,

•••乙BOF+乙BOE=乙EOF,乙BOF=36°

•••36°+-x°=-(180°-ixo>)°,

22I2J

•••x=72°.

【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个

角相等，哪些角相加得180度.

【题型2平行、垂直】

【例2】（2022・福建・厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线//上，点

B,C在直线/2上，ABSl2,ACSh，AB=4,BC=3,则下列说法正确的是（）

BCh

A.点A到直线办的距离等于4

B.点C到直线。的距离等于4

C.点C到AB的距离等于4

D.点8到AC的距离等于3

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答

案.

【详解】解：点A到直线/2的距离为A8的长，等于4,故A正确；

点C到直线的距离为AC的长，大于4,故B错误；

点C到AB的距离为8c的长，等于3,故C错误；

同理，点8到AC的距离也不是3,故D错误，

故选：A

【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键.

【变式2-1］（2022•广西•钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（）

A.在同一平面内，a,b,c是直线，且a||b,b||c,则a||c

B.在同一平面内，a,b,c是直线，且alb,b1c,则a_Lc

C.在同一平面内，a,b,c是直线，S.a\\b,b1c,贝！］a||c

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且，a||b,b||c则a1c

【答案】A

【分析】根据平行线的性质分析判断即可.

【详解】A.在同一平面内，a,b,c是直线，且a||b,b||c,则a||c,故选项正确，符合题意.

B.在同一平面内，a,b,c是直线，且a1b,b1c,贝Ua〃c,故选项错误，不符合题意.

C.在同一平面内，a,b,c是直线，且a||b,blc,则a_Lc,故选项错误，不符合题意.

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且，a||b,bile则a〃c,故选项错误，不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键.

【变式2-2］（2022・吉林•公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为ABI/,BC11,

B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（）

A

C

----------------------1

B

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.垂直同一条直线的两条直线平行

D.垂线段最短

【答案】B

【分析】利用"平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误

答案即可.

【详解】解：A.点4C可以确定一条直线，但不可以确定三点2、4C都在直线/的垂线

上，故本选项错误；

B.直线BA、都经过一个点2,且都垂直于直线/,故本选项正确；

C.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；

D.此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握和运用各定义

和性质是解决本题的关键.

【变式2-3］（2022•江苏•九年级）如图，点A、点B是直线/上两点，AB=10,点M在直

线/外，MB=6,MA=8,若点P为直线/上一动点，连接MP,则线段的

最小值是.

【分析】根据垂线段最短可知：当MPEA2时，有最小值，利用三角形的面积可列式计

算求解WP的最小值.

【详解】解：当MP0AB时，MP有最小值，

EL4B=10,MB=6,MA=8,0AA/B=9O°,

^AB»MP=AM»BM,

即10MP=6x8,

解得MP=4.8.

故答案为：4.8.

【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关

键.

【知识点平行线的判定】

1.平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

2.平行线的判定方法

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两

直线平行）.

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两

直线平行.

③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两

直线平行.）

【题型3平行公理及其推论】

【例3】（2022•江西上饶,七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a16,b1c,c1d,

则下列式子成立的是（）

A.a\\dB.bldC.aidD.b\\c

【答案】C

【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证allc,再结合cld,可

证a1d.

【详解】解：:alb,b

Ea||c,

Ec1d,

0a1d,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质，解题的关键是掌握同一平面内，垂直于同一

条直线的两条直线平行.

【变式3-1］（2022•河南漫河•七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘A8的垂线

A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】B

【分析】三条直线48、。、6位于同一平面内，且直线。与直线6都垂直于AB,即可根据在

同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出a\\b.

【详解】回直线AB、a、》位于同一平面内，且A施a、AB勖

加怙（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

故答案为B.

【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同

时垂直于一条直线是本题的关键.

【变式3-2］（2022・湖北武汉•七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是

钝角；③a，b,c是同一平面内的三条直线，若a//b,b//c,则a//c；④a,b,c

是同一平面内的三条直线，若则其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据平行线性质可判断①，根据两锐角的大小求和可判断②，根据平行公理推论

可判断③，根据垂直定义得出如=回2=90。，然后利用同位角相等，两直线平行的判定可判断

【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故①不正确；

②两个锐角的和可以是锐角，直角，钝角，故②不正确；

③b,c是同一平面内的三条直线，若功仍，b//c,则〃〃c,故③正确;

（4）a,b,c是同一平面内的三条直线，如图

团。-L6,6-Lc,

001=90°,02=90",

001=02

Ela0c,故④不正确；

回真命题只有1个.

故选A.

【点睛】本题考查平行线的性质与判定，两锐角和的大小，掌握平行线的性质与判定，锐角

定义是解题关键.

【变式3-3］（2022•四川・甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图，ABWCD,如果Nl=N2,

那么EF与平行吗？说说你的理由.解：因为41=42,

所以II.（）

又因为4BIICD,

所以力BIIEF.（）

【答案】CDWEF-,内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行

【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解.

【详解】解：因为N1=N2,

所以COIIEF.（内错角相等，两直线平行）

又因为ABIICD,

所以4BIIEF.（平行于同一直线的两条直线平行）

【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【题型4同位角相等，两直线平行】

【例4】（2022•甘肃•陇南育才学校七年级期末）如图，AB1MN,垂足为B,CD1MN,

垂足为D,Z1=Z2.在下面括号中填上理由.

因为AB1MN,CD1MN,

所以N4BM=NCDM=90。.

又因为41=42（）,

所以NABM-N1=/CDM—N2（）,

所以EB||FD（）

【答案】已知等量减等量，差相等同位角相等，两直线平行

【分析】根据垂线的定义，得出乙4BM=NCDM=90。，再根据角的等量关系，得出=

4FDM,然后再根据同位角相等，两直线平行，得出EBIIFD,最后根据解题过程的理由填写

即可.

【详解】因为2B1MN,CD1MN,

所以/ABM=乙CDM=90°.

又因为41=42（已知），

所以乙48M—N1=ZCDM—42（等量减等量，差相等），

即4E8M=Z_F0M.

所以£8|尸。（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定

理.

【变式4-1］（2022•湖北,新春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画

已知直线的平行线的方法叫"推平行线”法，其依据是

【分析】作图时保持回g团2,根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线.

【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫"推平行线”法，其依据是：同位角

相等，两直线平行.

故答案为：同位角相等，两直线平行.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的

判定和性质.

【变式4-2］（2022•山东泰安•七年级期末）如图，ABIBC,zl+Z2=90°,Z2=Z3.请

说明线段BE与。F的位置关系？为什么？

【答案】BEWDF,见解析

【分析】由已知推出团3+回4=90。，利用41+42=90。,Z2=Z3,得到如=团4,即可得到结论

BEWDF.

【详解】解:BEWDF,

SAB1BC,

EBABC=90°,

003+04=90°,

0Z1+Z2=90°,Z2=Z3,

001=04,

SBEWDF.

【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键.

【变式4-3］（2022•北京东城•七年级期末）如图，直线/与直线SB,CD分别交于点E,F,Z1

是它的补角的3倍，Z1-Z2=9O°.判断4B与CD的位置关系，并说明理由.

【答案】AB||CD；理由见解析

【分析】先根据补角的定义求出41的度数，然后求出团CFE和团2的度数，最后根据平行线

的判定进行解答即可.

【详解】解:AB||CD-,理由如下：

回41是它的补角的3倍，

13设Nl=a,则N1的补角为1a,

回a+5a=180。，

解得：a=135°,

0Z1=135°,

回NCFE=180°-Z1=45°,

0Z1-Z2=90°,

回42=41—90°=45°,

0Z2=乙CFE=45°,

SAB||CD.

【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出N2=乙CFE=45。,

是解题的关键.

【题型5内错角相等，两直线平行】

【例5】（2022•山东•曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线。E上，ABMC

于A,如与EIC互余，OE和8C平行吗？若平行，请说明理由.

【答案】平行，理由见解析

【分析】由垂直定义可得SBAC=9O。，根据平角定义得回l+aBAC+回CAE=180。，即可得出

团1+回C4E=90。，由如与国C互余，根据余角的性质即可得出国CAE=囱C,根据平行线的判定定

理即可得出结论.

【详解】解：平行，理由如下：

0AB0AC,

团团A4C=90°,

酿1+团团1C+团CAE=180°,

盟11+团CAE=90°,

团团1与团C互余，即团1+团C=90。，

团团CAE二团C,

WEWBC.

【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【变式5-1]（2022•北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知41=75。，42=35。,

Z3=40°,求证：a\\b.

【答案】见解析

【分析】先根据三角形内角和性质，求得/4=75。，再根据乙1=75。，即可得到乙1=44,

进而判定allb.

【详解】证明：如下图：

•・•44=43+42=75°,

又•・•Z1=75°,

•••Z1=乙4,

a\\b.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和性质，解题时注意：内错角相等，

两直线平行.

【变式5-2]（2022•福建•莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，CF是AABC外角NACM

的平分线，乙4c8=40。，乙4=70。，求证：ABWCF.

AF

BCM

【答案】证明见解析

【分析】由角平分线的定义及补角的定义可求得乙4CE的度数，即可得乙4=N4CE,进而可

证明结论.

【详解】证明：回乙4cB=40°,

回4力CM=180°-40°=140°,

EICF是△48c夕卜角乙4cM的平分线，

回乙4。尸=戛4cM=70。，

2

回乙力=70°,

团N4=N4CF=70°,

EXBHCF.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质和平行线的判定，证得乙4=乙4。尸

是解题的关键.

［变式5-3］（2022•辽宁•阜新市第十中学七年级期中）如图,ABWDE,01=0ACB,SCAB=^\BAD,

试说明ADWBC.

【分析】根据平行线的性质得UR4c=如，等量代换得她尊=回54（7,根据乙乙48="比4。可

得0ACB=［3D4C,即可得.

【详解】证明：SABWDE,

RBBAC=m,

0EI1=EIACB,

SSACB=^BAC,

^/.CAB=-/.BAD,

2

团她C3二团ZMC,

^1AD\\BC.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质.

【题型6同旁内角互补，两直线平行】

[例6]（2022•河北衡水,七年级阶段练习）已知：zX=ZC=120°,^AEF=乙CEF=60°,

求证：ABWCD.

BA

F~^E

DC

【答案】见解析

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证

明结论.

【详解】证明：4力=NC=120°,/-AEF=乙CEF=60°,

•••Z.71+Z.AEF=180°,Z.C+乙CEF=180°,

AB||EF,CD||EF,

：.AB||CD.

【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定.

【变式6-1]（2022•西藏昂仁县中学七年级期中）如图，EICA£）=20o,回8=70。，AB0AC,

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行证明即可.

【详解】解：HABI3AC,

00BAC=9O°,

E0CA£）=20°,郎=70°,

00B+EIBAD=7OO+9OO+2OO=18OO,

EL4DIIBC.

【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键.

【变式6-2]（2022•甘肃•平凉市第七中学七年级期中）如图，Z1=30°,ZB=60°,AB1AC.

（1）N£MB+NB等于多少度？

(2)4。与BC平行吗？请说明理由.

【答案】(1)0£>AB+0B=18O°

(2)AD||BC；理由见解析

【分析】(1)由己知可求得回£>48=120。，从而可求得EIDA8+EIB=：L80。；

(2)根据同旁内角互补两直线平行可得2DIIBC.

(1)

解：EIABEIAC,

aaBAC=90°.

又021=30",

00BA£)=12O°,

038=60°,

E0£>AB+0B=18O°.

(2)

解：AD||BC.理由如下：

ffl0Z)AB+0B=18O°,

固4。IIBC.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行.

【变式6-3](2022•北京市第五中学分校七年级期末)如图，已知点E在BC上，BDSAC,

EF^AC,垂足分别为。，F,点、M,G在上，GF交BD于点、H,0BMZ)+0ABC=180°,01

=回2,求证：MDWGF.

下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据.

证明：0BDEL4C,EM3AC,

032。。=90°,(BE尸C=90°(①).

00B£)C=0EFC(等量代换).

0BDHEF(同位角相等，两直线平行).

002=ECB£>(②).

001=02(已知).

0EI1=ECB£)(等量代换).

回③—(内错角相等，两直线平行).

00BMD+0ABC=18O°(已知)，

13Moi18c(④).

SMDWGF(⑤).

【答案】垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF^BC,同旁内角互补，两直线平行；

平行于同一直线的两直线平行.

【分析】根据垂直定义得出回BOC=SEFC,根据平行线的判定推出瓦兆£凡根据平行线的

性质得出13cB。=m2,求出EIC8O=EI1,根据平行线的判定得出GRSBC,GR3M。即可.

【详解】证明：0BDEAC,E/WC,

00B£）C=9O°,I3EFC=9O。（垂直的定义）.

^BDC^EFC（等量代换）.

回以加所（同位角相等，两直线平行）.

EEI2=fflCB£）（两直线平行，同位角相等）.

001=02（已知）.

0EH=fflCBZ）（等量代换）.

EGfBBC（内错角相等，两直线平行）.

EHBMO+0ABC=18O°（已知），

EIMDE1BC（同旁内角互补，两直线平行）.

0MZMGF（平行于同一直线的两直线平行）.

故答案为：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GfBBC；同旁内角互补，两直线平行;

平行于同一直线的两直线平行.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

【题型7平行线的判定方法的综合运用】

[例7]（2022•广西贺州•七年级期末）如图，有下列条件：①Nl=Z2；②N3+Z4=180°；

③45+46=180。；④42=43.其中，能判断直线矶6的有（）

【答案】B

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.依

据平行线的判定方法即可得出结论.

【详解】解：①由如=团2,可得川也

②由团3+团4=180°,可得allb；

③由团5+回6=180°,03+06=180°,可得回5=03,即可得到。|仍；

④由回2=回3,不能得到。|也

故能判断直线的有3个，

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键.

【变式7-1］（2022•浙江台州•七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，

如图，已经知道N2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不熊判断两条直轨是否平行（）

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】因为回2是直角，只要找出与回2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据

平行线的判定定理判定即可得到正确答案.

【详解】因为团2是直角，回4和回2是同位角，如果度量出44=90°,

根据"同位角相等，两直线平行"，就可以判断两条直轨平行，

回5■和回2是内错角，如果度量出45=90°,

根据"内错角相等，两直线平行"，就可以判断两条直轨平行,

团3和团2是同旁内角，如果度量出43=90°,

根据"同旁内角互补，两直线平行"，就可以判断两条直轨平行，

所以答案为：A.

【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理.

【变式7-2］（2022•山西临汾•七年级期末）在下列图形中，已知Nl=/2,一定能推导出人||"

的是（）

【答案】D

【分析】根据邻补角的定义，对顶角相等和平行线的判定定理即可求解.

【详解】解：A.如图,

Vzl=z2,+43=180°,

•••N2+N3=180°,

・••不能推导出kII%，不符合题意;

■B.如图,

Vzl=z2,zl+Z3=180°,

.•・42+43=180°,

・•・不能推导出人11%，不符合题意;

C如图,

•・•z.1=Z2,zl+Z3=180°,

匕2+43=180°,

，不能推导出人II%，不符合题意;

D汝口图，

zl=z2,zl=乙3,

•••z2=z3,

二一定能推导出kII",符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两

直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识点.

【变式7-3］（2022•山东日照•七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DEIIBC的

是（）

aE

2

BC

A.Z1=Z2B.Z3=Z4C.z5=Z-CD.(B+乙BDE=180°

【答案】B

【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可.

【详解】因为41=42,

所以DEIIBC,

故A不符合题意；

因为43=Z.4,

不能判断DE||BC,

故B符合题意；

因为45=Z.C,

所以DEIIBC,

故C不符合题意；

因为NB+乙BDE=180°,

所以DEIIBC,

故D不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】

【例8X2022•吉林・大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABC。中，乙4DC+

N4BC=180°,AADF+^AFD=90°,点E、/分另1J在DC,AB1.,且8E、。/分另U平分0A8C、

0A£）C,判断BE、。尸是否平行，并说明理由.

【分析】先根据角平分线的定义可得N4BE=（乙4BC,乙4DF=（乙4DC,从而可得N4DF+

乙4BE=90°,再结合4WF+AAFD=90。可得乙4BE=乙AFD,然后根据平行线的判定即

可得.

【详解】解：BE||DF,理由如下：

BE,DF分别平分乙4BC,N/WC,

^ABE=-Z.ABC,Z.ADF=-^ADC,

22

•••Z.ADC+/.ABC=180°,

•••^ADF+^ABE=|（4WC+乙4BC）=90°,

又•••Z.ADF+Z.AFD=90°,

Z.ABE=Z-AFD,

・•・BE||DF.

【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键.

【变式8-1］（2022•江苏,扬州市祁江区实验学校七年级期