高中数学专项训练：解三角形小题常考题型归类（解析版）

专题04解三角形小题

盛型大裳合

型大通关

____二__一___一一—.一

正余弦定理解三角形

1.（2324高一下•江苏南京•月考）已知AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

2b2-2a1=3a+18，且c=3,贝UcosZ?的值为（）

A.姮B.-C.-姮D.--

4444

【答案】D

【解析】因为2/一2/=3。+18,且c=3,所以26一2^=。。+2c"KPa2+c2-b2=­ac,

所以由余弦定理得cosB2+02-62-i.故选:口

2acac4

2.(2324高一下•福建泉州•期中)已知AABC中，C4=3,CB=5,C=120°,贝！JsinB=()

【答案】A

【解析】在AABC中，由余弦定理得AB=VAC~+BC2-2AC-BCcosC=A/32+52+3X5=7，

由正弦定理得.ACsinC3班.故选：A

sinBD=-----------=------=-------

3.（2324高一下.广东佛山•期中）在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4=30。,

ac=6,且sinA+sinC=2sin（A+C）,则6的值为（）

A.4+2括B.4-26C.73-1D.百+1

【答案】D

【解析1sinA+sinC=2sin（A+C）=2sin（兀一3）=2sin3,

由正弦定理角化边得a+c=2"

又ac=6,所以q2+c2+12=4Zj2①，

由余弦定理得廿=a2+c2-2accos30°=a2+c2-6A/3②，

联立①②求解得〃=4+2石=（1+若『，所以6=i+&.故选：D

4.（2324高一下糊南•期中）设AABC的内角AB,C的对边分别为6,c,已知/=tanA,%?=tanB,且

a'b,则角C=（）

717T2兀3兀

A.—B.—C.—D.—

4234

【答案】B

1

【解析】由/=tanA,/=tanB,得'一=—,~^~=,D>

sinAQCOSASIILDbcosB

ah

由正弦定理----=----，得《cosA=Z?cosi5，

sinAsinB

sin2A=sin2B,A=5或2A+25=兀.

jrjr

又QwZ?,Aw氏3+A=—C=—.故选：B.

22

5.（2324高一下•重庆万州•期中）在AABC中，sin（B-A）=1,2a2+c2=2^2,则sinC=（）

A.-B.1C.3D.克

3223

【答案】A

【解析】因为2"+°2=2/，所以2/一2〃=一02,

因为一/=2accosB,b2+c2-a2=2bccosA,

两式相减，得2片-2b2=2accosB-2bccosA=-c2,「.2acosB-2bcosA=—c,

由正弦定理，得2sinAcosB—2sinBcosA=—sinC,即2sin（_B—A）=sinC,

i?

因为sin（3—A）=§,所以sinC=§.故选：A.

三角形解的个数问题

1.（2324高一下.福建南平・期中）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知。=2,6=2指,4=2

6

,则此三角形（）

A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定

【答案】C

,2_2&r-

【解析】由正弦定理三=马，得—一嬴/解得sinB=^,

smAsinBsin—2

6

因为。<8,所以,

又因为340,兀），所以8=々或3=4，

故此三角形有两解.故选：C.

71

2.（2324高一下•福建厦门・月考）在"1BC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,A4=—

3

。=6，b=显,则此三角形的解的情况是（）

A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定

【答案】A

ab

【解析】由，得.□b-sinA

sinB=---

sinAsin5a

TTTT

又a>b,A=p故3只能为锐角，即8=2,

故该三角形只有一解.故选：A.

3.（2324高一下.辽宁•期中）在AABC中，cosB=±,AC=2,AB=m,贝恰有一解”是

3

“0<7〃V2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由AC2=A52+5C2—2A5-5Ccos5,a2+m2-4=0,

3

22

方程〃2-ma_I_m-4-0的判别式A=32加_4疗+I6=i6-^m,

399

0A=4m2+16=16--m2=0,解得加=±6.

当相=6时，a2-^^ma+m2-4=0转化为/一8&〃+32=0,解得G=4A3符合题意；

当机=-6时〃2一士松+加2—4=0转化为/+801+32=0,解得a=T拒不符合题意;

_QO24

（2）A=W4m2+16=16--m2>0,且两木艮之积根？<0,

可得。有一正根和一负根，负根舍去，此时AABC有一解，此时。〈机<2；

_Q724

（§）A=W4m2+16=16-—m2>0,且两根之积]一4=0，解得加=±2,

当加=2时，/_这°=0,解得°=逋符合题意；

33

当加=一2时/+述。=0,解得°=_还不符合题意；

33

故若AABC有一解，贝!]0<相42或〃1=6,

故"AABC恰有一解"，是“0<加<2”的必要不充分条件故选：B.

4.（2324高一下•浙江宁波・期中）在AABC中，a=x,b=2,B=60°,若三角形有两解，则x的取值范围

是（）

A.2<x<2-$/3B.1<x<—'fiC.y/3<x<2D.2<x<

【答案】B/

A

【解析】由题设，过C作C。，居于£）,如下图示，/\

[C£>=xsin60°<24r_\2

贝，可得2<尤若时，三角形有两解./

当xsin6（F>2,即时，三角形不存在；------------

3BxC

AL

当尤=2或（有时，△ABC分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；

当x<2时，在射线8。方向上有一个△A3C,

而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；故选：B

5.（2324高一下•河南周口・月考）在AASC中，a=x,b=2,3=45。.若利用正弦定理解AABC有两

解，则x的取值范围是（）

A.2<x<2-s/3B.2Vx<2&

C.x>2D.V2<X<2A/2

【答案】B

【解析】如图，3=45。，过C作CDLAB于。，

则CD=BC-sin45°=asin45°=xsin45°»

以C为圆心，C4=Z?=2为半径画圆弧，

要使疑。有两个解，则圆弧和A5边应该有两个交点，

故C4>CD且C4vC6,即xsin45o<2<x,解得2Vx<2后.故选：B.

三.三角形的形状判断

1.（2324高一下•浙江・月考）已知。，b,。分别是融。三内角A,B,。的对边，则

“asinC+〃cosC=b+c”是“AABC为直角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】在AABC中，由正弦定理可得：sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC,

由A+C=TI—3,可得：sinAsinC+sinAcosC=sin（A+C）+sinC,

所以sinAsinC=cosAsinC+sinC,因为。£（0,兀），所以sinC〉0,

即sinA=cosA+l,所以sinA—cosA=V2sin^A——=1,

因为Ae（O,7t）,所以［A-：｝［-：，］），

所以==所以"IBC为直角三角形，

442

故"asinC+acosC=6+c”是“AABC为直角三角形”的充分条件；

JT

若"1BC为直角三角形，设C=5，a=3,b=4,c=5,

则sinC=1,cosC=0,所以asinC+acosC=3,b+c=9,

所以asinC+acosCHb+c,

所以“asinC+acosC=b+c"不是“"IBC为直角三角形”的必要条件；

即“asinC+acosC=6+c”是“ULBC为直角三角形”的充分不必要条件.故选：A.

2.（2324高一下•山东.期中）在AABC中，若（《-。（2$3）$1113=0-805。悔也，则这个三角形是（）

A.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】因为（。一ticosB）sinB=（/?-ccosC）sinA,

由正弦定理可得（。一acosBW=S—ccosC）a,

化简可得"-必cos5=H-accosC,

BPcosBsinB-cosCsinC=0,

即sin2B-sin2C=0,所以25=2。或23+2C=兀，

jr

即B=C或者B+Cu},所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：A

2

3.（2324高一下.云南丽江・月考）在AASC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

b-b-cosC+c-cosB,tanA=石，则AABC是（）

A.钝角三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】由6=6cosC+ccos8及正弦定理可得sin3=sin3cosc+sinCcos3,得sinB=sin（B+C）,

故3=3+C（舍去）或B+8+C=7I,即23+C=7i,

又A+B+C=TI,所以A=3，

因tanA=6,Ae（O,兀），得4=^,故A=2=C=g,

故AABC是等边三角形，故选：B

4.（2324高一下•江苏盐城・月考）已知AABC中，角A5,C的对边分别是a,b,c,若

a_b_c

sin('A)一2cos2m-JcosC，则AABC是(

A.钝角三角形B.等边三角形

C.锐角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

ab_c

【解析】由./兀~-2cos2J「8sC，

sin（--A）

2

结合正弦定理可得*■=竺0=、£,所以tanA=tanB=tanC,

cosAcosBcosC

又因为A,B,C是AABC的内角，故A=8=C,所以AABC是等边三角形.故选：B.

5.（2324高一下.河南安阳•期中）（多选）已知AABC的内角AB,C所对的边分别为0力,c,下列说法错误的

是（）

A.若acosA="cos5,则AABC是等腰三角形

B.若B=60°,〃=QC,则金。是直角三角形

C.若—=5五与，贝必MC是直角三角形

2c2

D.是“AABC是等边三角形”的充分不必要条件

cosAcosB

【答案】ABD

【解析】对于A项，由acosA=》cosB和正弦定理，sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin23,故得2A=23或24+23=兀，

即A=B或A+B=m，即41BC是等腰三角形或直角三角形，故A项错误；

对于B项，因B=60°,b2=℃,由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB,

代入化简得，（。-。）2=0,即得”=c,故从1BC是等边三角形，故B项错误；

对于C项，由匕=sirO和正弦定理，smC「sm"=l-cos',化简得,sinA=sinCeos3（*）,

2c22smC2

因A=兀一（C+5）,贝ijsinA=sinCcosB+cosCsinB，代入（*）,得sinBcosC=0,

JT

因0<3,。<兀，sinB>0,贝UcosC=0,故C=；,即C项正确；

对于D项，若"RC是等边三角形，贝1］。=仇。。$4=。。53=工,即」一=一也必成立，

2cosAcosB

nh

故"'y是“URC是等边三角形”的必要条件，故D项错误.故选：ABD.

cosAcosB

四.三角形的面积与周长问题

1.（2324高一下•云南・月考）在AASC中，cosC=1,AC=3,AB=2叵,则的面积为（）

A.20B.V2C.竽D.1

【答案】B

【解析】因为cosC=!>0,角C是锐角，所以sinC=RI,

33

Q_L_Q1

由余弦定理，cosC="吐一-=解得NC=1,

6BC3

所以4WC的面积s=、3xlx名旦=逝.故选：B.

23

■JT

2.（2324高一下•浙江丽水・期中）已知在"1BC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若8=0,

c=2,3C边上的高等于三，贝的面积为（）

A.-B.9C.垣D.3J3

22”

【答案】A

【解析】由S/^c=7。。sin3=7x0x7,BP—6!x2x=—xax—,得Q=3A^,

2232223

16Z9

所以&ABC=士〃*彳=工.故选：A.

3.（2023•内蒙古赤峰•二模）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是。，b,c,已知

ccosB+Z?cosC=2acosA,〃=2,的面积为代，则△ABC的周长是（）

A.4B.6C.8D.18

【答案】B

【解析】ccosB+Z?cosC=2acosA,由正弦定理得，sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,

又sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA,所以sinA=2sinAcosA,

因为A«0,兀），所以sinAwO,故cosA=；,

因为A«0,兀），所以A=?

由三角形面积公式可得工匕原足人二更^^二班，故历=4,

24

由余弦定理得cosA=〃+j=（6+c）、2仆』="-8-4=J_,

2bc2bc82

解得6+c=4或T（舍去），

故三角形周长为4+2=6.故选：B

4.（2324高一下•广西钦州•期中）在"1BC中，角AB,C所对的边分别为0,期c,若

sin2A-sin%+sin2C=sinAsinC,且MBC的外接圆的半径为26,则AASC面积的最大值为—

【答案】9百

【解析】在AABC中，sin2A-sin2B+sin2C=sinAsinC,

由正弦定理得a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB="一"一'=j_,

2ac2

TT

因为3为AABC的内角，则0<3<兀，所以8=

因为AASC的外接圆的半径为2瓜由正弦定理得三=二=三=4百.

sinAsinBsmC

所以/?=4j5sinB=4^f3x—=6,由余弦定理得b?=a2+c2—2tzccosB,BP36=+c2—ac,

2

因为。2+/22。。,所以。。＜36,当且仅当。=c=6时取等号，

故MBC的面积S=；acsinBV94,所以AABC面积的最大值为9也.

5.（2324高一下•重庆渝中•期中）在AABC中，角A,B,C对应的边分别为a,6,c,已知

c=l,b>c,sinBsinC=,且asinA—Z?sinB=V5csinB+csinC，则4=△ABC的面积为

【答案】乎3兀41/0.5

42

【解析】因为asinA-bsinB=V2csinB+csinC，

在URC中，由正弦定理得力—从二四庆+.

由余弦定理得cosA='十°2一百=-正，

2bc2

因为4«0,兀），所以4=1兀；

因为在AASC中，由正弦定理3=3=，｝,即缶=刍==]

sinAsinBsinCSIILDsinC

h1b>/2所以"=爰匕'

所以sinBsinC=-7=-----j=-

y/2ayj2a2?-KT

所以/=62+。2一26久054=62+1+伤=：缶，所以2〃一3回+2=0,

所以b=e或b泻（舍），

因为△ABC的面积为S=—bcsinA=—.

22

五.三角形的外接圆问题

1.（2324高一下.江西・月考）在△ABC中，5C=8,A=60。，则AABC的外接圆的面积为（）

64兀256兀

A.-----B.64兀D.256兀

33

【答案】A

BC8_86

【解析】由正弦定理得.c的外接圆的半径-端=*=亍

64兀心、生

所以AABC的外接圆的面积S=---.故选:A.

2.（2324高一上•甘肃定西•开学考试）如图，AASC内接于。O,若AB=&6,AC=3如，BC=1,则

。。的半径是（）

【答案】A

【解析】"WC中，由余弦定理知，cosA=*+3叱=（而）2否*—49二变,则

2ABAC2MS也10

..7叵

sinA=------,

10

2R==5A/2

由正弦定理，外接圆半径为R,则sinA772,

^KT

所以。。的半径是里.故选：A

2

3.（2324高一下•江苏镇江・月考）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,

b2+c2-a2=bc,若BC边上的中线AD=J7,则AABC的外接圆面积是（）

A.4兀B.8兀C.12KD.16K

【答案】A

【解析】因为^+C2-/=历，所以cosA="二£=《，

2bc2

JT

又OVAVTI,所以A=4,

又。是2c中点，所以而=:（通+可，又AC=6=2,

所以莅2=1（AB+AC）2=-（AB2+2AB-AC+AC2）,

44

1-jr

即7=—（c2+2cx2xcos—+22）,解得c=4（负值舍去），

43

22

所以4=从+c2-2bccosA=2+4-2x2x4cos—=12,贝！=2^3,

3

所以2R=/n=1T=4,即R=2,

sin—

3

所以AABC的外接圆面积为S=7TR2=4兀，故选：A.

4.（2324高一下•浙江・月考）在AASC中，角A,3,C的对边分别为。也。，满足bsinA=7^COS8,AABC外

接圆的半径为G，则6=.

【答案】3

【解析】因为6sinA=A/^OCOSB,所以sinBsinA=GsinAcosB,

因为OVAVTI,所以sinAwO,

所以sin5=^3cosB，cosBwO,所以tanB=6，

又因为0<5<兀，所以3=1，

从而sinB=¥，又AABC外接圆的半径为百，

所以由正弦定理得6=2心皿8=2*b、走=3.

2

5.（2324高一下.福建莆田.期中）在41BC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且

2

ccosB+Z?cosC=aJ若3+C=2A,则AABC外接圆半径为.

【答案】昱

3

【解析】由CCOSB+Z?COSC=Q2及正弦定理得sinCcos3+sin3cosc=asinA,

即sin（3+C）=asinA,即sinA=asinA,由A«0,7i）,贝iJsinA>0,所以a=l,

TT

因为3+C=2A,所以兀—A=2A,所以A=],

a_1_V3

所以由正弦定理得，AABC的外接圆半径为云启=—X=T.

2x——

六.解三角形在几何中的应用

1.（2324高一下•山西•月考）已知AABC非直角三角形，G是的重心，GALGB,则

tanA-tanB

tanC(tanA+tanB)

A.1B.1C.73D.2

【答案】D

【解析】因为G是AABC的重心，所以而=|x；（荏+/）=；（通+配），

金沼（丽+网=；例+网，

因为G4_LGB,所以而.苑=0，

所以（荏+衣）•（而+元）=0,所以一福2+旗反+前丽+彩能二。,

所以一寸-diecosB-feecosA+abcosC=0,

而I、I2a2+c2-b2,b2+c2-a2,a2+b2-c2„_

所以一(？一“ex-----------------bex------------------\-abx---------------=0,即0n/2+^z22-5c22=0，

lac2bclab

sinAsinB

所以tan4tan8=cosA,cos3=_________sinAsin3_________

1

tanC(tanA+tanB)-sinCfsinA+sinBVsinCz.nAcosB+cosAsinB)

cosCIcosAcosBJcosC

sinA-sinBsinA-sinBsinA-sinB-cosCab•cosCa2+b2-c2

=2

sinCsinCsin2C2c2.故选：D

•sin(A+B)•sinC

cosCcosC

2.（2324高一下•重庆•期中）AABC内角A,3,C对应边分别为〃，"c.若AsinA=gacos5,人=6,点尸在

边AC上，并且AP=3尸C,。为AABC的外心，则OP之长为（）

A.与B.与C.721D.277

【答案】B

【解析】连结。4、OC,

因为bsinA=J^acosB，根据正弦定理得sinBsinA=gsinAcosB,

则tan3=百，即5=1,

1AC_16_r-

且“IBC外接圆半径3高万

Sm3

2兀

即在AAOC中，OA=OC=2y/3,ZAOC=—

无13

所以NOCP=—,且PC=—AC=—,

642

在△OCP中，OP2=OC2+PC2-2OC-CPcosZOCP=12+--2x2V3x-x^=—,

4224

所以。尸=叵.故选：B

2

3.（2324高一下•江西抚州•期中）已知AABC中，BD+CD=0,2NC4D+442）=180。，若

AC=—BC,贝"NA5C=()

4

A.正B,301373

224~T~24

【答案】D

【解析】由丽+①=0，可得。为5C中点,

因为2/C4O+/B4D=180°,故N84C+/CW=18O°,

ABBC

----------=-----------①

sinZACBsinZBAC

ADCDn

在△ACD中，由正弦定理,sin/ACD-sin/CA。②

A3BC

两式相除可得，-=2；AD-x,AB=2x,AC=y9BC-2\/2y,

ADCD

222222

x+2y-4xx+2y-y32

而2.x・亚y+2.x•亚y-可,*=寸

4x2+8y2-J1373士.、上

则cos^ABC==F­•故选：D.

2・2x-2垃y24

4.（2324高一下.重庆・期中）如图，已知BC=3,D,E为AABC边8c上的两点，且满足

«n.BF1

ZBAD=NCAE,无瓦=“则当2。取最大值时’皿C的面积等于（）

「3A/3

\-x.-----D.2A/3

2

【答案】C

【解析】不妨设/54D=NC4E=a/ZME=a,

分别记AABEUACE,AA5E,AAC。的面积为S.ABD，S.ACE，S.ABE，SSCD,

ABADSin6)

n.SABDBD2'ABAD_

贝3^=-----------=--------ffi

」LCECELAE.ACsin0A?ACJ

2

SABEBE5ABSEsin(O+a)AB.AE

cdADAC

S-ACD:ADACsin(6>+a)

BDBEABADABAEAB21,,

由①，②两式左右分别相乘，可得:-------=----------------=--=-.故得Z0AC=2AB.

CDCEAEACADACAC24

Q4Y2-r213

设AB=x,在A4BC中，由余弦定理，cosZACB=^—^——=-(%+-),

2x3x2x4x

因x>0,贝I」X+3N2代，当且仅当了=石时，等号成立，此时cos/ACBW走,

X2

JTJT

因OvNACBv兀，i^0<ZACB<-,/ACB取得最大值二,

66

此时AABC的面积等于、3><26*5皿色=地.故选：C

262

5.(2324高一下•江苏・月考)(多选)如图，“BC的角A,B,C所对的边分别为°,瓦c,

73(6/cosC+ccosA)=2bsinB,且NCA8=g,若点。在AABC外，DC=l,DA=3f则下列说法中正确的有

()

一71

B.ZABC=-

3

C.四边形A3CD面积的最大值为迈+3

2

D.四边形ABCD面积的最大值为|+2g

【答案】ABC

【解析】因为逝(〃cosC+ccosA)=2bsinB,由正弦定理得省(sinAcosC+sinCcosA)=2sin25,

即V3sin(A+C)=石sinB=2sin2B,

因为Be(O,?t),可得sin8>0,所以sinB=立，

2

又因为NCA3=1,可得3e(0,§),所以8=m，所以JBC为等边三角形，

DDJ

717T

可得ZA3C=§,ZACB=~,所以A、B正确；

设NADC=“e(O,兀),

在AACD中，由余弦定理得|AC|2=|OC|2+|flA|2-2\DC\\DA\COS6=10—6cos6,

ii3

且NACD--||sin0=—x1x3sin—sin0,

可得，ABC=¥|AC「=孚一孚cos。，

所以四边形的面积为S=SMc+S=—--cos0+-sin0=—+3sW--),

△/IDC△ACCZDZ2222'3/

当。-巴=工时，四边形ABC。的面积最大，最大值为述+3,所以C正确，D错误.故选：ABC.

322

七.解三角形与向量结合

1.(2324高一下.吉林长春•期中)在“LBC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,J向量

~p={a+c,-b),q=(a+b,a-c),若万〃Q,则角C的大小为()

,71717127r

A.lB.一C.—D.—

6323

【答案】D

【解析】因为0=(4+°,-。),4=(4+6,4-C),万〃],

22

所以(a+c>(a—c)—(-6〉(《+Z?)=。，即_a6=q2+b-c,

因为Ce(0,7r),所以C=(,故选：D.

2.(2324高一下•吉林白城・月考)在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量

/=(26+c,sinC),向量为=(sin3,2c+，)，且满足元.元=2asinA，则角A=()

71—兀一2兀r5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】因为血=(2b+c,sinC),向量万=(sin8,2c+/?),且正j=2asinA，

所以2〃sinA=（2/?+c）sini5+sinC（2c+Z?）,

由正弦定理得2/=（2Z?+c）b+c（2c+5）,EPa2=b2+c2+be,

由余弦定理得=/?2+c2-2Z?ccosA,

所以cosA=-：1,因为Ae（O,兀），所以A=号?7T，故选：C.

3.（2324高一下.重庆渝中.月考）在“IBC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若

5cos5-8cosC=cosA;又闻昭的面积s=io右，且3+C=2A,则近.阮+品・国+无•通=

6C-5ba

A.64