2024-2025学年高二年级上册期中模拟考试数学试题（天津专用测试范围：人教版必修第一册第一-三章）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（天津）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第三章

5.难度系数：0.6。

第I卷

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

2

1.空间四边形。13c中，=OB=b，OC=c，点M在3上，点N为的中点，

则MN=（）

上-2"；

A.B.——a+—b+—c

232322

221

C.D.—a+—b——c

222332

【答案】B

211

【解析】如图，连结QV,因0M点N为5c的中点，则QN=5（O3+OC）=5S+C）,

__.]_2?11

于是，MN=ON-OM=-(b+c)——a=——Q+'+i.故选B.

23322

o

2.过点（0,1）且与直线2%-y-1=0平行的直线方程是（）

A.2%—y+l=0B.2x—y—2=0

C.2%+y—1—0D.2%+y—2=0

【答案】A

【解析】与直线2x-y-l=0平行的直线方程可设为2元一y+〃2=0（〃?w—l）,

因为点（0,1）在直线2x-y+租=0上，

所以2x0—l+〃z=0n〃2=l,

即过点（0,1）且与直线2无-y-1=0平行的直线方程是2元-y+1=0,

故选A

3.抛物线y=2x2的准线方程为（）

A.x=~—B.x=~—C.y=~—D.y=

4248

【答案】D

【解析】抛物线y=2Y的标准形式为则2p=；,解得p=5,

即抛物线的准线为y=故选D.

8

4.在平行六面体ABCD-A4GA中，其中AB=BC=8B]="ABB、=/ABC=NB^BC=g,则题1=(

A.12B.2石C.6D.2A/6

【答案】D

【解析】根据条件，以54，BC，8片作为一组基底，

因为B*=BC+CD+DR=BC+BA+BB],

所以2D：MIBA+BC+B与丫，

.2.2-2'2••.

即BQ=BA+BC+BB]+2BABC+2BABBl+2BCBB],

所以忸。『=网2+1+网2+2阿,qcos/ABC+2网阿kos/A网+2]叫|区“cosNB[BC,

TT

因为AB=BC=BB\=2/ABBi=ZABC=ZB,BC=~,

所以IB。#=4+4+4+2x2x2cos—+2x2x2cos—+2x2x2cos—=24,

11333

所以忸R|=2".故选D.

5.已知圆尤？+V+4x—2y—4=0与圆龙2+y?—12x+10y+61—"~=。（。>0）相交，则。的取值范围为（）

A.（7,13）B.（7,12）

C.（6,11）D.（6,10）

【答案】A

【解析】圆炉+丁+4x_2y-4=0化为标准方程得（x+2）2+（y-l）2=9,

则其圆心£（-2,1）,半径13,

圆％2—i2x+10y+61—a?=0（a>0）化为标准方程得（*-6）2+（y+5）2=a2,

则其圆心。2（6,-5）,半径4=。，

因为两圆相交，所以作一目<|GC2k4+4，

即|3-a|<J（-2-6y+（l+5）2<3+a,解得7<a<13,

所以。的取值范围为（7,13）.

故选A.

22

6.已知双曲线=1（“>0,分>0）的左，右焦点分别为耳，F,过F2作一条渐近线的垂线，垂足为A,

ab2

延长&A与另一条渐近线交于点B,若SB*=3SAOB（。为坐标原点），则双曲线的离心率为（）

A.y/3B.2C.#D.76

【答案】D

【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围

【分析】利用已知条件求出A点坐标，求出点耳（-。,0）到渐近线了=-：尤的距离d,结合SB",=3SA°B

bd.

可以得到点A到渐近线y=-2X的距离为T,进而利用点到直线的距离公式求出a与c的关系，然后求

a3

解双曲线的离心率.

hb

【解析】由题意知，双曲线E的两条渐近线方程分别为y=y=

aa

过点F且与渐近线v=垂直的直线方程为y=（x-c）,

2ab

be

d

点耳（-c,0）到渐近线y=--x的距离=I:2=b,

“rbJ

bh

因为SEOF,=3SAOB，所以点A到渐近线，=X的距离为刀,

a3

321

7.如图所示,ABC。一EEGH为边长等于1的正方体，若尸点在正方体的内部且满足AP=-AB+-AD+-AE,

则尸点到直线BC的距离为（）

AB.—d

-i4-4

【答案】B

【解析】如图,以Z）为坐标原点,所在直线分别为尤，y,z轴建立空间直角坐标系,

则40,0,0）,0（0,0,0）,5（1,1,0）,E（1.0,l）,C（0,l,0）

UUU

所以AB=（0,l,0）,A£>=（-1,0,0）,AE=（0,0,1）,

uun3uun9UUUI1uun23j_]_3j_

QAP=—AB+—AO+—AE=，.二p

4323^239492

uur211UL1U

...BP=,BC=(-1,0,0),

342

故选B.

8.在平面直角坐标系xOy中，若圆弓：(彳-1)2+(丁-4)2=/(厂＞0)上存在点?，且点P关于直线x+y-l=0

22

的对称点。在圆C2:x+(y+4)=9±,则r的取值范围是()

A.(2,+oo)B.[2,+oo)C.(2,8)D.[2,8]

【答案】D

【解析】G:(x—l)2+(y_4『=心圆心坐标G(1,4),

设(1,4)关于直线x+y-1=0的对称点为(a,b),

a+1b+4

+-----1=0

2a=-3

由“,可得

b-4b=0

=1

、a—1

所以圆£:(x-丁+(y-4)2=/关于直线无+y-1=0对称圆的方程为C。：(x+3)2+产=产,

则条件等价为：G:"+3)2+/=r与C?:尤?+(y+弁=9有交点即可，

两圆圆心为G(-3,0),G(0，Y),半径分别为『，3,

则圆心距|C°G|=3-+(0+4)2=5,

贝||有|r-3区5Wr+3,

由，-3归5得-2WrW8,由厂+325得厂22,

综上：2<r<8,

所以厂的取值范围是[2,8],

故选D.

22_

9.已知双曲线3=1(。>0)的右焦点到其一条渐近线的距离等于及，抛物线y2=2p%(p>0)的焦点与

双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线4：4x-3y+8=0和3兀=-3的距离之和的最小值为

()

人11「14-16-21

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】D

22

【解析】双曲线与啧=1(Z?>0)的渐近线=0,右焦点/(也+加,0)，

依题意，=72,解得6=夜，因此抛物线的焦点为尸(2,0),方程为y2=8x,其准线为》=—2,

扬+2

[4x-3y+8=0c°—

22

由2o消去x并整理得：y-6j+16=0,A=6-4X16<0,即直线4与抛物线丁=8尤相离，

b=8x

过点尸作仪上4于点尸，交抛物线于点M,过M作于点。交直线x=-2于点N,

4x2+821

则有|MP|+|MQ|=|MP|+|MAq+|NQ|=|MP|+|Mr|+l=|FP|+l=(3)2+1=：，

在抛物线丁=8x上任取点力，过M'作M'P'14于点p,作M'Q'112于点Q',交准线于点N，连MRFP,

如图，

显然1Mpl+|"。'|=|"「'|+|'''|+|乂。|=函尸|+|川力|+1才/7叫习尸产|,当且仅当点"与点"重合

时取等号，

21

所以抛物线上一动点M到直线乙：4x-3>+8=0和4:无=-3的距离之和的最小值为?.

故选D

第n卷

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.直线〃a一,一2=0被圆/+(,+1)2=4截得的弦长的最小值为.

【答案】2月

【解析】直线如一＞一2=0恒过定点P(0,-2),

而圆尤2+0+1)2=4的圆心为C(0,-1),半径r为2,

可得P在圆C内，经过点P与线段CP垂直的弦的长度最短，

此时弦长为2〃2-|CPF=2"万=2A/3.

故答案为：24.

11.如图，正四棱柱ABC。-AqGR中，设4。=1。口=3,点尸在线段CQ上，且£尸=2尸C,则直线吊尸

与平面PBD所成角的正弦值是.

【答案】巫昌叵

33

【解析】以。为坐标原点，D4,OC,OR所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则A(1,0,3),尸(0,1,1),3(l,l,0),D(0,0,0),

设平面PBD的法向量为加=(X,y,Z),

m-DP=(x,y,z)(O,l,l)=y+z=0

则

m-DB=(^x,y,z)(l,l,0)=x+y=0

令y=i,则％=z=-i,故m=(一1,1,一1),

设直线A/与平面PH。所成角大小为e,

则sin6=卜os(m，4P，=

Vl+l+lxVl+1+4-V3xV6-3

故答案为：巫

3

12.已知直线/：x-y+3=0被圆C：（x-q）2+（y-2）2=4g>0）截得的弦长为20，则。的值为.

【答案】1

【解析】依题意可得圆心C（a,2）,半径r=2,

,一2+3|Id：+11

则圆心到直线的距离d="+（_］）2=~7r，

由勾股定理可知，屋+［当J=/，代入化简可得,+1|=2,

且。>0,解得a—\.

故答案为：1.

13.在平面直角坐标系X0y中，动点P与两个定点£（-2,0）和耳（2,0）连线的斜率之积等于;，记点P的轨

迹为曲线E,直线/：、=人（》-3）与后交于人，B两点，则E的方程为;若|AB|=4则直线

/的斜率为.

【答案】户±2）土耳

【解析】令尸（x，V），由题意得：-^--^-=7-即得三一/=1（%#±2）,

x+2x-244

"=1

设直线/与曲线E的交点4%，X）,8（X2，%）,联立曲线E与直线/的方程4,一，整理得:

y=k（x-3）

2222

(4女2-l)x-24kx+36k2+4=0,4fc-1^0,A=16(5fc+1)>0,

24k236^+44A/1+N，I+522

,而MM=\/l+k2|%/1=4,代入整理：|AB\==4,

\4k2-l\

即行/=《或产=0（舍去），故心土耳.

>^54

故答案为：=l(xw±2)；k=+

11

14.如图，在平行六面体ABCD-ASG2中，=ZAAB=ABAD=60°,例=AB=AD=3,点E为

线段82上靠近于点B的三等分点，设AB=a,AD=b，A4,=c,则AE=(用含有a>b，

工的表达式表示)；若点G为棱cq上的一个动点，则EG-RG的最小值为

【答案】L+4+L

3334

【解析】由题意得AEnAB+BEua+g1BOi=0+3(40+9一筋)=0+；(6+)-a)

333

设QG=XC1C,04X41,则RG=RG+^QC=a-A,c,

2122

EG—ED】+D[G=—(/?+(?—CL)+a-Ac=—tz+—Z7+(——A)c,

19

由题意可知4.8=〃.0=。为=3乂3乂_=一,

22

122

EG,D]G-[—<2+—Z?+(——X)c],(a-Ac)

=-a--Aa-c+-b-a--Ab-c+(^-A)c-a-(^-A)Ac

333333

3-12x2+2x9_2Ax92_92_

323232323

=9A2-152+9=9(2--)2+—,0<A<l,

64

当2=|时，9("|)2+9取得最小值?，

即则EGDXG的最小值为?,

_LLg*、r21,111

故答案为：-a+-b+-c-—

15.若对圆(x-3)2+(y-2)2=l上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9］的取值与x,y无关，则实数

的取值范围是

【答案】［4,田)

|3.X-4^+A||3x-4j-9p

【解析】设z=|3尤一4y+a|+|3尤一4y-9|=5

.A/32+4£6+4、

贝lJ|3x-4y+d+|3x—4y-9|可以看作点P(x,y)至lJ直线加:3x-4y+。=(),

与至1J直线/：3万一4丫一9=。的总巨离之和的5倍.

因为|3x—4y+a|+|3x—4y—9]的取值与无关,

所以上述距离之和与点P在圆上的位置无关.

如图，当直线相平移时，点尸到直线相，/的距离之和均为冽与/间的距离,

即此时圆在两直线之间.

当直线机与圆(尤-3)2+(y-2)2=1相切时,

13x3-4x2+4]

化简得|。+1|=5,

解得。=4或。=-6(舍去).

所以即ae［4,+e).故答案为：［4,a)

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(14分)

已知VABC的三个顶点4-5,0),3(3,-3),C(0,2).

(1)求边A3所在直线的方程；

(2)求边A3上的高所在直线的方程.

【解析】(1)直线的斜率为人==^=-之，

—J-JO

3

直线AB的方程为y-0=-++5),

O

即3x+8y+15=O.(7分)

3

(2)由(1)知直线A3的斜率为2=-三，

O

Q

所以由垂直关系可得边高线的斜率为1,

因为A3上的高过点C（0,2）,

Q

所以45上的高线方程为=

化为一般式可得：8x-3y+6=o.（14分）

17.（15分）

己知。=（1,5,-1）,b=（-2,3,5）.

⑴当（Xa+b）//（a-3b）时，求实数久的值；

（2）当（Z-3加（虎+吩时,求实数2的值.

【解析】⑴解：因为。=（1,5,-1）,1=（-2,3,5）,

所以；la+6=（/-2,52+3,-2+5）,a-3b=（7,-4,-16）。

..丸—252+3—A+5A”/日,1/八、

.（X。+。）〃（。-3。），——=---=——,解得/=-=；（7分）

7-4-163

（2）因为0_3历_1_（忘+石）,

所以（a-3bA（2a+b）=0,

所以7（4-2）-4（54+3）-16（-2+5）=0,

解得力=华.（15分）

18.（15分）

已知双曲线过点尸（-3后L,4）,它的渐近线方程为y=±14x.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设月和F?是这双曲线的左、右焦点，点尸在这双曲线上，且|尸耳卜归闾=32,求/甲风的大小.

【解析】（1）解：根据题意，双曲线的渐近线方程为〉=土］%,

22

可设双曲线的方程为L一上=2，2^0；

916

双曲线过点P（-30,4）,将尸的坐标代入可得竽与="解得4=1,

916

则所求的双曲线方程为片-亡=1；（7分）

916

（2）解：设|P7"=4，\PF2\=d2,则&&=32，

又由双曲线的几何性质知14-41=2〃=6,

4〜+d;—24do=36即有d;+d：=36+241。=100,

又IEXI=2c=10,

2

二.|［苞「=100=d；+d；=1PFtI+\PF2^

所以，PEK是直角三角形，则/耳「瑞=90。.（15分）

19.（15分）

己知抛物线G：/=2Pxm°）与离心率为孝的椭圆C?：，+/=1（°>人>1）的一个交点为尸（L。，

点P到抛物线G的焦点的距离为2.

（I）求G与g的方程；

（II）设。为坐标原点，在第一象限内，椭圆G上是否存在点A,使过。作Q4的垂线交抛物线G于

点、B,直线A3交y轴于点E,且NOAE=/EOB?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】解：（I）因为抛物线方程为y2=2px（p>0）,则准线方程为：x=-光，点尸（1,。到焦点的

距离等于到准线的距离，所以有1+1=2,解得：p=2,抛物线方程为：y2=4x.

则尸（1,2）或尸（1,-2）,且点p在椭圆上，有3+3=1,又椭圆离心率为电，即即与‘，

ab2a2a2

院=9x2j2i

联立求解：，29，所以椭圆方程为99一1.（6分）

I22

（II）由题意，直线。4斜率存在且大于0,设直线的方程为：y=kx（k>0）,因为Q41.O3,则有

直线的方程为：>=-手，

k

3

x=-.-----=/

'，即A33k

3kA/1+2%2'+

y=i

y=kx

-.2_A,

x—4k2\

由＜i得：＜,即3（4严9,一左）.（10分）

y=—xy=-4k

设直线AB与％轴交于点。，因为在第一象限内，满足/OAE=/EOB,又NOAB=NEOD=90。,所以

有NQW=/DOA,ZDOB=ZDBO,所以