苏科版八年级数学上册重难点专项训练：等腰三角形中易漏解或多解得问题（原卷版+解析）

专题07易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解得问题

聚焦考点

易错点一求长度时忽略三边关系

易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论

易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论

A易错点一求长度时忽略三边关系

例题：已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm,则它的周长为（）

A.13cmB.VIcmC.13或17cmD.10cm

【变式训练】

1.等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（）

A.22厘米B.17厘米C.13厘米D.17厘米或22厘米

2.已知实数x,y满足|x-5|+（y-10）2=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A.20B.25C.20或25D.以上答案均不对

3.（2022•河北•石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8,则它的周长等于

4.（2021•云南•富源县第七中学八年级期中）若等腰三角形的周长为26°相，一边为8cm,则腰长为—.

5.（2022・河南•驻马店市第十中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为6和5,则这个等腰三

角形的周长为.

6.（2022•黑龙江•肇东市第十中学八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5c7打2cm,则该等腰三角

形的周长是.

7.（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长.

（2）己知一个等腰三角形的三边长分别为2元-l,x+l,3x-2,求这个等腰三角形的周长.

A易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论

例题：若等腰三角形的一个角等于80。，则其顶角的度数为（）

A.80°B.20°C.100°D.80°或20°

【变式训练】

1.已知等腰三角形的一个内角是72。，那么这个等腰三角形的顶角是____度.

2.有一张三角形纸片ABC,NA=80。，点。是AC边上一点，沿2。方向剪开三角形纸片后，发现所得两

张纸片均为等腰三角形，则/C的度数可以是.

3.如图，直线a,b交于点。，Z«=40°,点A是直线。上的一个定点，点3在直线6上运动，且始终位于

直线a的上方，若以点。，A,8为顶点的三角形是等腰三角形，则°.

4.（2022・山东烟台・七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于35。，则这个等腰三角形的顶角的度数为

5.（2022•江西吉安•七年级期末）在AMC中，NB=36°,点尸是射线BA上的任意一点，当为等腰三

角形时，/BPC的度数为.

6.（2022.江西赣州•八年级期末）如图，AABC中，AB^AC,NABC=40。，点。在线段BC上运动（点。

不与点8,C重合），连接4D,作ZA£>E=4O。，DE交线段AC于点E.当AADE是等腰三角形时，ZSW的

度数为.

A易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论

例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50。，则这个等腰三角形的底角的度数为（）

A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°

【变式训练】

1.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56。，则这个等腰三角形底角度数是.

2.（2022•陕西・交大附中分校七年级期末）已知AABC中，ZB=20°,在AB边上有一点若CD将AABC

分为两个等腰三角形，则ZA=.

3.（2021•江西育华学校八年级期末）已知AABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三

角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为AA8C的关于点8的二分割线.如图

1,放反42。中，显然直线2。是AABC的关于点B的二分割线.在图2的AABC中，110°,若直线

8。是AA8C的关于点B的二分割线，则NCOS的度数是

专题07易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解得问

题

聚焦考点

易错点一求长度时忽略三边关系

易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论

易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论

A易错点一求长度时忽略三边关系

例题：已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7c，，z,则它的周长为（）

A.13cmB.YlemC.13或17c加D.10cm

【答案】B

【解析】

【详解】

由题意得：三角形的三边可能为3、3、7或3、7、7,然后根据三角形的三边关系可知只能

是3、7、7,

周长为3+1+7=11cm.

故选B.

【变式训练】

1.等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（）

A.22厘米B.17厘米C.13厘米D.17厘米或22厘米

【答案】A

【解析】

【详解】

解：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4<9,则三角形不存在；

若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为9+9+4=22

（厘米）.

故选A.

2.已知实数x,y满足|工-5|+（〉-10）2=。，则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是

（）

A.20B.25C.20或25D.以上答案均不对

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可.

【详解】

解：•,­|%-5|+(y-10)2=0,|^-5|>0,(y-10)2>0

---x-5=0,y-10=0,

解得x=5,y=10,

当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10,

V5+5=10,

不能组成三角形；

当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10,

能组成三角形，周长=5+10+10=25,

所以，三角形的周长为25,

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根

据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0,求出尤、y的值是解题的关键，难点在于

要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断.

3.(2022•河北•石家庄石门实验学校八年级期末)己知等腰三角形的两边长分别为4和8,

则它的周长等于.

【答案】20

【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论.当腰长为4或是腰长为8两种情况.

【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和8,

当腰长是4时，则三角形的三边是4,4,8,4+4=8不满足三角形的三边关系；

当腰长是8时，三角形的三边是8,8,4,三角形的周长是20.

故答案为：20.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目

一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点

非常重要，也是解题的关键.

4.(2021•云南・富源县第七中学八年级期中)若等腰三角形的周长为26c7外一边为8c7",则

腰长为一,

【答案】8cm或9cm##9cm或8cm

【分析】分8cm的边是腰长与底边长两种情况讨论求解即可.

【详解】解：①8c机是腰长时，底边为：26-8x2=10cm,

三角形的三边长分别为8aw、8cm、10cm,

V8+8=16>10,

，能组成三角形，

②是底边长时，腰长为：gx(26-8)=9cv7j,

三角形的三边长分别8cM1、9cm.9cm,

能组成三角形，

综上所述，该等腰三角形的腰长是8cm或者9cm.

故答案为：8cm或者9cm.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判

定是否能组成三角形.

5.(2022.河南.驻马店市第十中学八年级阶段练习)已知等腰三角形的两边长分别为6和5,

则这个等腰三角形的周长为.

【答案】16或17

【分析】分边长6是等腰三角形的腰和底两种情况讨论，即可求解.

【详解】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5,

能组成三角形，

周长=6+6+5=17,

②6是底边时，三角形的三边分别为6、5,5,

能组成三角形，

周长=6+5+5=16,

综上所述，三角形的周长为16或17.

故答案为：16或17.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题时注意分情况讨论，避免出现错漏.

6.(2022•黑龙江•肇东市第十中学八年级期末)已知等腰三角形的两边长分别为5c2cm,

则该等腰三角形的周长是.

【答案】12c〃z##12厘米

【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论.当腰长为或是腰长为5c机两种

情况.

【详解】解：等腰三角形的两边长分别为2c,”和5cm,

当腰长是5的时，则三角形的三边是5cm,5cm,2cm,5cm+2.cm>5cm,满足三角形的三边

关系，

三角形的周长是5+5+2=12(cm)；

当腰长是2c»t时，三角形的三边是2CTM,2cm,5cm,2cm+2cm<5cm,不满足三角形的三边

关系.

故答案为：12c优.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目

一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点

非常重要，也是解题的关键.

7.(1)等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长.

(2)已知一个等腰三角形的三边长分别为2x-l,x+l,3x-2,求这个等腰三角形的周长.

【答案】(1)8,8,11或者10,10,7；(2)周长为7或者8

【解析】

【分析】

(1)根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论.

(2)分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案.

【详解】

⑴设腰长为2x,底为y,根据题意得：

①…[(x2+x+yx==1215

解得：x=5,y=7

•••三边为10,10,7

(2x+x=12

②达

[犬+y=15

解得：x=4,y=11

二•三边为8,8,11

故本题答案为：8,8,11或者10,10,7

(2)①当2%—1=1+1时，解x=2,止匕时3,3,4,能构成三角形.

此时周长为10

②当2%-1=3%-2时,解光=1,此时1,2,1不能构成三角形.

3

③当x+l=3x-2,解得A：二,

此时2,注,能构成三角形，周长为=7

22

综上，三角形的周长为7或者10.

【点睛】

本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题.

A易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论

例题：若等腰三角形的一个角等于80。，则其顶角的度数为（）

A.80°B.20°C.100°D.80°或20°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的一个角是80°,分两种情况考虑这个角为顶角与底角解答即可.

【详解】

解：•..等腰三角形的一个角是80。，分两种情况考虑，

当80。的角为底角时，顶角为180°-1600=20°,

当80。的角为顶角时，顶角为80。，

...该等腰三角形的顶角是80。或20°.

故答案选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质.

【变式训练】

1.已知等腰三角形的一个内角是72。，那么这个等腰三角形的顶角是____度.

【答案】72或36

【解析】

【分析】

本题应分底角为72。、顶角为72。这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在.

【详解】

解：①当72。角是顶角时，顶角为72。，

②当72。角是底角时，顶角=180。-72以2=36。，

综上顶角为72。或36°.

故答案为：72或36.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养，在

计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关

键.

2.有一张三角形纸片ABC,NA=80。，点。是AC边上一点，沿8。方向剪开三角形纸片

后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则NC的度数可以是.

【答案】25。或40。或10°

【解析】

【详解】

【分析】分AB=A£＞或或40=80三种情况根据等腰三角形的性质求出再求

出ZBDC,然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.

【详解】由题意知AABD与AOBC均为等腰三角形，

对于可能有

@AB=BD,此时NAOB=NA=80。，

ZBDC=180°-ZADB=180°-80°=100°,

ZC=1(180°-100°)=40°,

®AB=AD,此时(180°-ZA)=|(180°-80°)=50°,

ZBDC=180°-ZADB=180°-50°=130°,

ZC=1(180°-130°)=25°,

®AD=BD,止匕时，ZADB=180°-2x80°=20°,

NBDC=180°-ZADB=180°-20°=160°,

zc=y(180°-160°)=10°,

综上所述，ZC度数可以为25。或40。或10°

故答案为25。或40。或10°

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论.

3.如图，直线a,6交于点O,Na=40。，点A是直线a上的一个定点，点B在直线6上运

动,且始终位于直线a的上方，若以点。，A,B为顶点的三角形是等腰三角形，则N

OAB=°,

【答案】40或70或100

【解析】

【分析】

根据AOAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当02=42时，②当时，③当04=08

时，分别求得符合的点2,即可得解.

【详解】

解：要使AOAB为等腰三角形分三种情况讨论：

①当。修=A修时，ZOAB=Za=4Q0；

②当OA=A4时，ZOAB=180°-2x40°=100°；

③当04=023时，ZOAB=ZOBA=^(180°-40°)=70°；

故答案为：40或70或100.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.

4.(2022•山东烟台•七年级期末)若等腰三角形中有一个角等于35。，则这个等腰三角形的

顶角的度数为.

【答案】35。或110。

【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当35。为顶角，和当35。为底角两种情况即

可得出答案.

【详解】解：当35。为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为35。；

当35。为底角时，顶角度数为：180o-35°x2=110°；

故答案为：35。或110。.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键.

5.(2022•江西吉安•七年级期末)在AABC中，48=36°,点P是射线BA上的任意一点，当

△尸3c为等腰三角形时，NBPC的度数为.

【答案】108。或72。或36。

【分析】分三种情况讨论：当=时，推出/外"=/8=36°,推出

ZB^C=180°-(ZB+Z7fCB)=108°；当88=BC时，推出ZB£C=g(180°-ZB)=72°；当

CB=C4时，推出N3AC=NB=36°.

【详解】解：当片B时，N£CB=NB=36°,

：.=180°-(ZB+Z^CB)=108°,

当时，ZBP2C=1(180°-ZB)=72°,

当CB=CA时，ZBP3C=ZB=36°.

综上，ZBPC的度数为108。或72。或36°.

故答案为：108。或72。或36。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性

质，三角形的三个角都有可能是顶角，分类讨论.

6.（2022•江西赣州.八年级期末）如图，AABC中，AB=AC,NABC=40。，点。在线段3c

上运动（点。不与点B,C重合），连接AD,作ZAPE=4O。，交线段AC于点E.当AADE

是等腰三角形时，ZBAO的度数为.

【答案】30。或60°

【分析】根据三角形内角和定理可得/BAC的度数，AAOE是等腰三角形，分情况讨论：①

AO=AE时，②EA=EL＞时,③D4=OE时，分别求解即可.

【详解】解：'：AB=AC,ZABC=40°,

ZACB=ZABC=40°,

AZBAC=100°,

ZADE=4Q°,

△ADE是等腰三角形，分情况讨论：

①A£）=AE时，ZAED=ZADE=40°,

：.ZDAE=W0°,

此时。点与B点重合，不符合题意；

②EA=E。时，ZEAD=ZADE=40°,

：.ZBAD=l00°-40°=60°；

③以二。“时，ZDAE=ZDEA=10°,

AZBAD=100°-70°=30°,

综上，/瓦⑦的度数为60。或30。，

故答案为：60。或30。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质

是解题的关键，注意分情况讨论.

►易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论

例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50。，则这个等腰三角形的底角的度数为

()

A.20°B.50°或70°C.70°D.20。或70°

【答案】D

【解析】

【分析】

首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现

题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况.

【详解】

(1)当这个三角形是锐角三角形时，如图所示：

:高与另一腰的夹角为50。，即NABD=5O。，

顶角ZA=90°-50°=40°,

•：ZABC=ZACB,

ZABC=ZACB=1(180°-40。)=70°；

(2)当这个三角形是钝角三角形时，如图所示:

ZABD=50°,BDLCD,

ZBA£>=90°-50°=40°,

VZABC^ZC,ZABC+ZC=40°,

/.ZABC=ZC=-x40°=20°；

2

综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70。或20。.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的高线，

可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时

应分类讨论.

【变式训练】

1.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56。,则这个等腰三角形底角度数是.

【答案】73。或17°

【解析】

【分析】

在等腰AABC中，AB=AC,3。为腰AC上的高，ZABD=56°,讨论：当8。在AABC内

部时，如图1,先计算出4AD=34。，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出ZACB；

当3D在AABC外部时，如图2,先计算出3）=34。，再根据等腰三角形的性质和三角形外

角性质可计算出ZACB.

【详解】

解：在等腰AABC中，AB=AC,8。为腰AC上的高，ZABD=56°,

当3D在AABC内部时，如图1,

QBD为高,

:.ZADB=90°,

ZBAD=90°-56°=34°,

-.-AB=AC,

NABC=ZACB=g（180。-34。）=73°；

当BD在AABC外部时，如图2,

QBD为高,

:.ZADB=90°,

ZBAD=90P-56°=34°,

■.■AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

而ZBAD=ZABC+ZACB,

ZACB=-ZBAD=17°,

2

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为73。或17。.

故答案为：73。或17。.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

2.（2022•陕西•交大附中分校七年级期末）已知“IBC中，ZB=20°,在48边上有一点

若CD将AA5c分为两个等腰三角形，则/A=.

【答案】100°,70°,40。或者10°

【分析】分BD=CD、BC=CD、三种情况讨论即可求解.

【详解】第一种请况：时，如图，

,:BD=CD,NB=20。,

：.ZB=ZDCB=20°,

：.ZADC=ZB+ZDCB=40°,

(1)当0A=OC时，ZA=ZACD,

VZA+ZACD+ZAZ)C=180°,ZADC=40°,

/.ZA=ZACD=70°；

(2)当ZM=AC时，即有NA£>C=/ACZ)=40。,

ZA=180°-ZADC-ZACD=100°；

(3)当CD=C4时，ZA=ZA£)C=40°；

第二种请况：BC=a)时，如图，

VZB=20°,BC=CD,

：.ZB=ZBDC=20°,

：.ZADC=180