四川省绵阳市2024届高三年级上册第一次诊断性考试理科数学试题

四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数

学试题

一、单选题

1.集合/={-2,-1,0,1,2,3},集合3={x|x=2%T丘N},则集合中元素的个数

为()

A.2B.3C.4D.5

2.已知平面向量值与B的夹角为45。为石=2,且同=2,则可伍+町=()

A.-272B.-2C.2D.2亚

3.已知a>6>0,则下列关系式正确的是()

A.若c>0,贝1」优>6"B.若。〉0,贝!J—〉不

ab

C.若c>0且cwl,则c“>dD.若c<0,贝明|<匠|

4.已知5"=10",则2=()

a

A.1B.2

C.log510D.l-lg2

5.已知函数/(x)的定义域为R,“产/(x)+〃r)为偶函数”是“/(x)为偶函数”的

()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

.已知a为第三象限角，若tana=3,贝!]$也[々一彳)=(

2出口后「曲「M

--------£>.C.U.

5105

7.已知等比数列{%}的前"项和为J,2s3=%-%,且々+。4=15,贝!|%+%=)

试卷第1页，共4页

9.若函数/（x）=f-◎与函数g（x）=hw+2x的图象在公共点处有相同的切线，则实

数。二（）

A.-2B.-1C.eD.—2e

4

10.命题夕：“若AASC与满足：AB=DE=x.BC=EF=2,cos^4=cosD=—,则

/\ABC=/\DEF^\已知命题夕是真命题，则工的值不可以是（）

107

A.1B.2C.—D.-

33

11.从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建

设.根据规划，本年度追加投入4000万元，以后每年追加投入将比上年减少!，本年

度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，

预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元，则至少经过（）年新兴产

业的总收入才会超过追加的总投入.

A.3B.4C.5D.6

12.已知函数小）=40妙-曰（。＞0）,73在区间0,|上的最小值恰为一。，则

所有满足条件的。的积属于区间（）

A.(1,4]B.[4,7]C.(7,13)D.[13,+«)

二、填空题

13.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行

该程序框图，若输入的。，6分别为21,14,则输出的斫.

试卷第2页，共4页

14.已知点(-2,加)，若向量旃与2=(加,-2)的方向相反，贝|

同=-

(X2r>3

15.已知函数〃x)='.1,若关于x的方程/(x)+cosx-a=0恰有2个不等实

[(x-6)~,x<3

根，则整数。的最小值是.

16.已知函数/(x),g(x)的定义域为R,且/(-x)=/(x+6),/(2-x)+g(x)=4,若

31

g(x+l)为奇函数，"2)=3,则»>(左)=.

k=l

三、问答题

17.已知等差数列｛%｝的公差为2,且成等比数列.

⑴求数列｛%｝的前"项和S”；

(2)若数列低｝的首项乙=1也+%=(夜户,求数列出“｝的通项公式.

18.已知函数/(x)=tan(@x+9)10>O,闸的最小正周期为号，且=

⑴求函数的解析式；

⑵函数v=g(x)的图象是由函数丁=〃x)的图象向左平移〃彳>0)个单位长度得到，若

g\]=-/(o),求久的最小值.

四、证明题

19.函数/(无)=(2/+加)(%-加+2).

试卷第3页，共4页

⑴若〃X)为奇函数，求实数加的值；

⑵已知/(X)仅有两个零点，证明：函数y=-3仅有一个零点.

20.在斜三角形/3C中，内角4瓦。所对的边分别为a,6,c,已知

cos(C-S)siih4=cos(C-y4)siii8.

(1)证明：A-B；

(2)若“8C的面积S=[,求的最小值.

2ca

五、问答题

21.已知函数/(x)=(hu—2x+a)hu.

⑴当。=2时，求/(力的单调性；

「X-

(2)若---x+ax-a,求实数。的取值范围.

'_1

X~t+1fx=2+2cosa

22.已知曲线G，G的参数方程分别为G：”为参数)，G：。•

1Iy=zsincr

y=t—

、t

(a为参数).

(1)将G，C2的参数方程化为普通方程；

7T

(2)以坐标原点。为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.若射线。=二(">0)

与曲线分别交于48两点(异于极点)，点P(2,o),求AP/B的面积.

六、证明题

23.已知函数/(》)=%+3小-5].

⑴求不等式/'(x)>0的解集M；

(2)若加是的最小值，且正数a,b,c满足a+b+c+w=0,证明:

111、3

-----1-----1-----之一.

a+bb+cc+a4

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据给定条件，利用交集的意义求出4c3即得.

【详解】集合/={-2,-1,0,1,2,3},B={x\x=2k-l,ke^},则/nB={-M,3},

所以集合NcB中元素的个数为3.

故选：B

2.C

【分析】首先根据已知条件结合数量积的定义运算求出忖，然后再根据向量的运算法则进

行求解即可.

【详解】a'=|a|-|fi|-cos450=2xx|i|=2,解得：恸=也.

因此可得：(a-^)-(o+^)=a2-P=|a|2-|fe|2=4-2=2.

故选：C

3.A

【分析】A选项，由〉=/的单调性得到/>6。；BD选项，由不等式的性质得到B错误,

D正确；C选项，当0<c<l时，由7=/的单调性得到C错误.

【详解】A选项，因为c>0,故y=x°在(0,+s)上单调递增，

因为a>b>0,所以a。>6。，A正确；

11cc

B选项，因为a>b>0,所以0<上<：,因为c>0,所以一〈工，B错误；

abab

C选项，若则>="在R上单调递减，

因为a>b>0,所以c错误；

D选项，因为所以同>同，

因为o<0,则k|>0,故为|>怔|,D错误.

故选：A

4.D

【分析】根据条件lg5“=lgl0j然后化简可得'

【详解】5"=10",

答案第1页，共14页

lg5fl=lglO\

：.a\g5=b,

.■.-=lg5=l-lg2.

a

故选：D.

5.C

【分析】令尸(x)=〃x)+〃r),求出厂(-x)的表达式，根据偶函数的定义，以及必要条

件、充分条件的判定，即可得出答案.

【详解】令〃x)=x显然不是偶函数，

但y=/(-x)+/(x)=O是偶函数，

所以，“了=/(x)+/(f)为偶函数”不是“〃龙)为偶函数”的充分条件；

若〃无)为偶函数，则有〃-x)=/(x),

令尸(x)=/(x)+=2/(x),

则尸(r)=2〃r)=2〃x),

所以，尸(x)为偶函数,即y=/(x)+/(—X)为偶函数,

所以，“昨/⑴+/(-x)为偶函数，，是“/(x)为偶函数”的必要条件.

综上所述，“y=/(x)+/(-x)为偶函数”是“/(x)为偶函数，，的必要不充分条件.

故选：C.

6.A

【分析】先根据同角三角函数以及"的范围得出cosa,sina的值，然后根据诱导公式以及两

角和的正弦，即可得出答案.

cinzy

【详解】由已知可得tana=----=3,所以sina=3cosa.

cosa

又sin?i+COS?6/=1,所以lOcos2a=1,解得cosa=±.

10

又a为第三象限角，

的I、JVlO.,3丽

所以，cosa=---，sma=3cosa-----.

1010

答案第2页，共14页

mz.(7兀)./,兀).兀.兀3屈V2V10V226

所以，sina----=sma+—=sinacos—+cosasin—=——-——x----------x——=———.

I4JI4；441021025

故选：A.

7.D

【分析】首先确定再利用等比数列的前〃和公式代入即可求出答案.

【详解】若公比4=1,则％=5，2s3=6%=45,右边为-q=0,等式不成立，故471,

则显然q3_iwo,所以方=-1,解得q=3,

\-q八)l-q

又因为出+&=出(1+/)=15,代入得出=!■，

所以牝+%=“2+d)=/X(3+33)=45,

故选：D.

8.C

【分析】计算出》€卜兀,-^时，/(幻=黄＞0,排除A；

T加时，/(x)=1^<0,排除D；/(-K)-|/(7t)|=l>0,c正确.

【详解】当时，cosx＜0,/一1＜0,故/(乃=窘＞0,排除A；

/兀)cosX

当匕，兀J时，cosx<0,e”-l>0,故/(%)=_]<°，排除D,

COS(-TL)1COS71

/(—兀)=>0,〃兀)=

e-71-1-1—e—兀e兀一1

则〃r)-1/(砌=］一＜=乙一＜=匕故/(一几)＞|/(砌，C正确，B错误.

故选：C

9.B

【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.

【详解】设函数=/-办与函数g(x)=lnx+2x的图象公共点坐标为(％,%),

XQ-axQ=Inx0+2x0XQ+InXQ—1=0

求导得/'(x)=2x-a,g'(x)=，+2,依题意,

o10，于是<c1c

2XQ-a=---F2a=2XQ-----2

%

令函数〃a)=/+lnx—1,显然函数〃(%)在(0,+8)上单调递增，且函1)=0,

则当/z(x)=0时，x=l,因此在x；+In/-1=0中，x0=1,此时a=-l,经检验。=-1符合

答案第3页，共14页

题意,

所以a=-l.

故选：B

10.D

【分析】根据己知可知三角形有唯一解，根据已知结合正弦定理，以及x与2的大小关系、

正弦函数的取值范围，求解即可得出答案.

【详解】

.2

在中，由已知可得，sin^=Vl-cos2^=-

4

又cos/=y>0,所以A为锐角.

由正弦定理可得，匹;=坐,

sinAsinC

3

X

所以，.「ABsinA53

smC=-=上一二一x

BC210

要使命题P是真命题，则C有唯一满足条件的解.

3

若0<x<2,贝人inC<m，显然。有唯一满足条件的解；

若％=2,则。=/,满足；

3

右）>2,且sinCcl,即历x<l,

即2<x<当，此时C有两解满足条件，此时命题P是假命题;

当x=g时，此时有sinC=l,C=］有唯一解，满足；

当时，此时有sinC>l,显然C无解，不满足.

综上所述，当0<xV2或x=?时，命题？是真命题.

故选：D.

11.B

【分析】根据等差数列、等比数列的知识列不等式，由此求得正确答案.

答案第4页，共14页

【详解】设等比数列｛%｝的首项％=4000,公比4=

设等差数列也｝的首项4=2000,公差1=1000,

依题意2。。。〃+?><1。。。>

整理得喈

431

当“=1时，左边=右边=1一二=:，左边〈右边.

32-8,44

10597

当〃=2时,左边=右边=1-77=7，左边＜右边.

32~1611616

18362737

当〃=3时,左边=右边=1-==三，左边〈右边.

326464

28_224....81175.,,,

当〃=4时,左边=，右边=1-Z77=^77，左边〉右边.

32~256256256

52+3X540当〃>时，单调｝弟增

当”=5时，左边二->1,5

323232

而右边1-1j

<1,所以当"25时，左边〉右边,

所以经过4年新兴产业的总收入超过追加的总投入.

故选：B

12.C

【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.

【详解】当代0,|时。*兰+春会-］，因为此时〃x）的最小值为一。<0,

所以茨4W，即。>:.

若看冷，此时〃x）能取到最小值一4,即-。=-4no=4,

代入可得乃，满足要求；

若〃无）取不到最小值-4,则需满足乃，即。<?,

所以0=4或者0〈彳?），所以所有满足条件的0的积属于区间（7,13）,

故选：C

13.7

答案第5页，共14页

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量。的值,

模拟程序的运行过程，可得答案.

【详解】解：执行该程序框图，若输入的6分别为21,14,

第一次执行循环体后，。=7,不满足退出循环的条件；

第二次执行循环体后，6=7,满足退出循环的条件，输出。值为7.

故答案为：7.

14.272

【分析】利用向量共线的条件、向量的模运算即可得解.

【详解】解：由题意，点加)，则加=(一1,加一1),

:向量旃与7=(加,-2)的方向相反，即荻与N共线，

2-m(m-l)=0,解得：加=-1或7〃=2,

当加=-1时，MN=(-1,-2),«=(-1,-2),而^与7的方向相同，故舍去加=T；

当他=2时，=5=(2,-2),砺F与a的方向相反，所以加=2,

.•.旃=(-1,1),5=(2,-2),

•••|a|=^22+(-2)2=2>/2.

故答案为：2vL

15.9

【分析】令g(x)=-cos无+“，根据已知得出了(X)的对称性以及最小值，转化为

/W=g(x),结合图象以及余弦函数的值域，即可得出答案.

【详解】令g(x)=-cosx+。，

由己知可知/(X)关于直线X=3对称，且在x=3处取得最小值9.

关于x的方程/(x)+cosx-。=0恰有2个不等实根，

等价于=g(无)恰有2个不等实根.

答案第6页，共14页

又因为TV-cosxVl,所以。一1Vg(无)Wa+1.

显然应有。+1>9,即。>8.

又。为整数，

若°=9,则g(3)=-cos3+9>9=〃3),

显然满足题意.

故答案为：9.

16.-1

【分析】由〃x)的对称性及“2-x)+g(x)=4得g(x)=g(-2-x),再由g(x+l)为奇函数

得g(x)=-g(x-4),从而得g(x-8)=g(x),即g(x)是周期为8的周期函数，再利用周期

可得答案.

【详解】由g(x+l)为奇函数,得g(f+l)=_g(x+l),即g(2-x)=-g(x),

由〃T)=〃X+6),#/(2-x)=/(x+4)=/[2-(-2-x)],又〃2-x)+g(x)=4,

于是4-g(x)=4-g(-2-x),即g(x)=g(-2-x),从而g(2-x)=-g(-2_x),

即g(尤+4)=-g(x),因此g(x-8)=-g(x-4)=g(x),函数g(x)的周期为8的周期函数，

显然g⑴+g(5)=g(2)+g(6)=g(3)+g(7)=g(4)+g(8)=0,又g(32)=g(0)=4-/(2)=1,

318

所以2g⑻=42g的-g(32)=4x0-1=T.

k=lk=l

故答案为：-1

【点睛】结论点睛：函数“X)关于直线x=a对称，则有〃“+x)=/(a-x)；函数“X)关

于(a,b)中心对称，则有〃2a-x)+/(x)=26；函数〃无)的周期为2a,则有

f(x-a)=f(x+a).

答案第7页，共14页

2

17.(l)Sn=n+n

⑵&=亍4〃-1

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前〃项和公式，即可进行基本量的计算求解;

（2）对数列a+6用=2〃进行迭代相减，再累加计算，即可求得数列｛&｝的通项公式.

【详解】⑴因为2M4成等比数列，所以用二。d%，

又等差数列｛%｝的公差为d=2,

所以(q+2)2=q(%+6),

可解得q=2,

n(n-l)2

所以数列｛%｝的前〃项和=〃・4+---------•d=n+n；

2

(2)々+4=(血广=(血『=2"@,

当〃=1时，bx+b2=2,可得Z>2=1,

可得6向+4+2=2.②，

由②式减①式，得&2—勿=2向-2〃=2〃，

所以打〃=(b2n一&-2)+(&-2一，2〃-4)+…+("—勿)+打

筋一242

=22+2"-+...+2+1=40-4)4〃_]

+1=-------

1-43

4〃一1

且仇=1符合上式，所以以=

3

371

18.(l)/(x)=tan-x-\--

88

⑵彳

【分析】（1）根据正切型函数的周期和定点求④夕，即可得函数解析式；

（2）根据三角函数图像变换可得g（x）=tan]|x+|%+T，结合=⑼，分析可得

37兀7i

-----------------1-kjl,kGZ,运算求角军即可.

8328

答案第8页，共14页

兀8兀3

【详解】(1)因为T=d=三，且。＞0,解得。=三，

回38

又因为/H=tan(m+q=l,则1+9=£+防1,左eZ,

jr

解得。=一+而，左eZ,

8

且|同＜9，可得％=o,夕=9，

2o

所以/(x)=tan]：x+胃.

(2)由题意可知：g(x)=tan||%+|A+^-|,

oo)

因为-/(0)=-tanm=tan]-：,

由gj]=一/⑼，即匕11['+1f]=tangj，

—.3c7兀7ijj_bn，口。118klij

0Xr知一4=---Hkit,kGZ,角牛A=---TtH-----，左£Z,

8328123

7兀

且几＞0,所以4的最小值为

4

19.(1)2

(2)证明见解析

【分析】(1)利用奇函数的定义计算机的值即可；

(2)利用/(x)仅有两个零点确定沉的值，之后研究函数y=/(x)-3的单调性，进而研究

函数零点个数.

【详解】(1)解：因为/(x)=(2%2+%)(%一加+2)=2/一2(加一2)九2+加工一双加一2)为奇函数，

所以可知〃x)的定义域为R,且/(X)+/(T)=0,

即2/-2(加—2)x2+mx—m(jn—2)+2(—x)3—2(m—2)(—x)2+m(—x)—m(m-2)=0,

即一2(机—2)x2—m(rn—2)=0,

1—2(加—2)=0

所以；:、八，解得加=2.

(2)证明：①当加〉0时，2X2+加＞0,

所以函数/a)=(2,+加)(%一根+2)不可能有两个零点，此时不合题意；

②当机＜0时，令/(%)=0,解得：x=或加-2,

答案第9页，共14页

又因一起加一2<0，

则要使得/(x)仅有两个零点，则加-2=-总，

即2/_7加+8=0,此方程无解，此时不合题意；

③当〃2=0时，即/(x)=2x3+4x2,

令/(x)=0,解得x=0或尤=一2,符合题意，所以机=0.

22

令A(X)=/(x)-3=2丁+4x-3,贝!]h'(x)=6x+8x=2x(3x+4),

44

令〃(x)>0,解得：x>0^x<--,令"(x)<0解得：--<x<0,

44

故g)在(-8,-今，(0,+⑹上递增，在(_?0)上递减，

417

又K--)=~—<0,Xf+00J(x)->+8

故函数y=〃x)-3仅有一个零点.

【分析】(1)根据给定条件，利用差角的余弦公式，结合正切函数单调性推理即得.

(2)利用三角形面积公式，把3-二表示为sinB的函数，换元并结合二次函数最值求解

ca

即得.

【详解】(1)由cos(C-B)sin/=cos(C-4)sin8,得

答案第10页，共14页

(cosCcosB+sinCsin5)sinA=(cosCcosA+sinCsinA]sinB,

整理得cosCcos5sinZ=cosCcos4sin5,又^ABC为斜三角形,即cos。w0,

于是cos5sin4=cosZsin8,即tan/二tanB,而48、(0,九),显然4,5都为锐角，

所以Z=

(2)由A/3C的面积S=q,^S=-absmC=-,则工=sinC,

222b

由S=LqcsinB=@,则l=sin5,由(1)知4=8,即a=b,

22c

因此!--^=sin2S-sin2C=sin2B-sin2(J+5)=sin2B-sin22B

ca

=sin25-4cos2Bsin2B=sin25-4(1-sin2B)sin28=4sin43-3sir?3,

39

令sin?8=fe(0,1),函数/(/)=4/2-3f=4(f--)2--,

o16

3o

于是当时，/⑴取得最小值，且/'(r)mm=-，

O1077

119

所以万—2的最小值为-77・

ca16

21.(1)单调递减区间为(0,§,(1,+«0；单调递增区间为(11)

⑵a"4

【分析】(1)利用导数直接求单调区间即可；

(2)先将不等式由分式化整式，再用指对互化构造同构，换元后再分参处理恒成立问题即

可解决

【详解】(1)当〃=2时，/(x)=(lnx-2x+2)lnx,

r(x)=(i-2)lnx+-2=-2(x-l)(lnx+l),

XXX

令/'(x)>0得：-<x<l；

e

令/(x)<0得：0<x<L或x>l,

e

所以/(x)的单调递减区间为：(0」)，(l,+oo);

e

单调递增区间为：d,i).

e

(2)因为/(%)《亍-%2+ax—a在(0,+oo)上恒成立，

答案第11页，共14页

所以产出-(％-111%)2(*)在(0,+8)上恒成立,

,JQ-]

令f=g(x)=x-lnx,贝(jg'ah:——,

X

则g(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增.

所以g(X)的最小值为g(D=l,即以1,

贝！J(*)式化为：

当1=1时，显然成立.

产_d

当，>1时，恒成立,

令〃0)=———(Z>1),则田%^f),

%—1

Y-2)(e'T)

“⑺=

(I)，

当f>l时,g(x)在(1,+ao)上递增.

所以g(f)>g(l)即f-lnf>1,可得/>l+lnf,

所以efe.，即e,>te

可得e'-1>te-1=/(e-1)>0,

当1</<2时，

当然2时，〃⑺<0,

所以她)在(1,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

所以购m.x=/K2)=4-e2,

所以实数。的取值范围为：a>4-e2.

【点睛】方法点睛指对同式时的不等式问题，可用指对同构法来处理，即用指对互化来实

现同构.

22.(1)X2-/=4；(x-2)2+y2=4

(2)"上

【分析】(1)利用消参法与完全平方公式求得£的普通方程，利用8$2。+5亩2。=1得至1」。2

的普通方程;

答案第12页，共14页

(2)分别求得G，G的极坐标方程，联立射线，从而得到处，PB，进而利用三角形面积公

式即可得解.

1

X=t~\—

；为参数）,

【详解】(1)因为曲线G的参数方程为G

y=t--

2

贝|12=/+-^+2,,y=+--2,

两式相减，得G的普通方程为：x2-/=4；

IX=2+2COS6Z