解直角三角形-2024年中考数学考试易错题

专题08解直角三角形

易错点1：赵爽弦图

勾股定理专题

易错点：

1.审题不清：例如，在解决与勾股定理相关的问题时，学生可能会忽视题目中的关键信息，如是否明确指

出某个角是直角，或者是否给出了直角三角形的两条直角边的长度。这可能导致错误的解题方向。

2.概念理解不透彻：例如，对于勾股定理及其逆定理的理解不透彻。勾股定理说的是在直角三角形中，直

角边的平方和等于斜边的平方。而其逆定理是，如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形。学生可能会在应用这些定理时发生混淆或错误。

3.运算错误：在进行勾股定理的计算时，学生可能会因为运算错误（如加法、减法、乘法、除法等）而得

出错误的结果。

4.忽视特殊情况：例如，当直角三角形的两条直角边长度相等时，它同时也是一个等腰直角三角形。这种

情况下，学生可能会忽视这个特殊性质，导致解题错误。

5.无法灵活运用：勾股定理的应用并不仅限于求解三角形的边长，还可以应用于其他领域，如计算物体的

斜抛距离等。学生如果不能灵活运用勾股定理，就可能在一些实际问题中无法正确应用。

易错点1:赵爽弦图

例：“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄做，如图所示的“赵爽弦图”是

由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12,

小正方形的面积是49,则大正方形的面积是（）

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理和求正方形的面积，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为6,则

。=12,小正方形的面积为则（a一6）2=49,可得6=5,则大正方形的面积为1+〃，即可求解.

【详解】设直角三角形较长直角边长为°,较短直角边长为6,贝h=12,

又：小正方形的面积为（。-6）2,贝lj（a-b）2=49,

解得6=5,

二大正方形的面积为/+/=122+52=169.

故选：C.

变式1：如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵

爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果

图1中的直角三角形的长直角边为6,短直角边为2,图3中阴影部分的面积为S,那么S的值为.

【答案】32

【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解.利

用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积.

【详解】解：如图，

图2图3

由题意得/。=病百=2函，AB=CD=2,△48。是直角三角形,

则大正方形面积=/C2=40,

.,.△ADC面积=2x2=2,

・•・阴影部分的面积5=40-4x2=32，

故答案为：32

变式2:数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将

一个量算两次，从而建立等量关系.”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而

得到一个等式.

(1)如图1,大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图

中大正方形的面积.

方法1：S大正方形=；方法2：$大正方形=;

根据以上信息，可以得到的等式是;

(2)如图2,大正方形是由四个边长分别为。，b,c的直角三角形(c为斜边)和一个小正方形拼成，请用两

种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到“，b,c之间的数量关系；

⑶在(2)的条件下，若。=3,b=4,求斜边c的值.

【答案】(l)(a+6)2,a2+2ab+b2>(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)<?2+b2=c2;

(3)c=5.

【分析】(1)用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式；

(2)用整体法和分割法分别表示即可，进而得到；

(3)把。=3,6=4代入至I」(2)中的关系式中计算即可求解；

本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键.

【详解】(1)解：方法1：S大正方形=(。+»2,

方法2：S大正方形=1+2仍+/，

可以得到的等式是：(。+6)2=/+2仍+/,

故答案为：(a+6『，/+++=a2+2ab+b2；

(2)解：方法1：$小正方形=/，

方法2：邑、正方形=(a+6)—2ab,

c2=(0+-2ab,

••cr+b2=c2;

(3)解：把a=3,6=4代入得,

c2=3、42=25,

c=-\/25=5•

易错点2：勾股定理的折叠问题

例：如图，在矩形/BCD中，N3=10cm,点/是的中点，M是/。上一点，N是8C上一点，将矩形

48CD沿着折叠，点。落在点E处，点C恰好落在点尸处，若=则。M=()

A.2.5cmB.逐cmC.遍cmD.3cm

【答案】B

【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解决问题的关键.

设DM=xcm,则/M=4xcm,根据折叠的性质可得四边形CDMN和四边形的W关于儿W对称，然后根

据勾股定理可得AF2+AM2=CD2+DM2,进而即可解决问题.

【详解】解：如图，连接〃尸，

设DM=xcm,

贝UAM=4xcm,

:四边形NBCD是矩形，^5=10cm,

DC=AB=l0cm,ZA=ZD=9Q°,

由折叠可知：四边形和四边形EEMN关于九W对称，

：.EMDMxcm,ND=/E=90。,DC=EF=10cm,MF=MC,

•.•尸是48的中点，

AF=g/B=5cm,

在RtdFM和RUCDM中,根据勾股定理得：

FM1=AF2+AM2-CM2=CD2+DM2,

：.AF2+AM2=CD2+DM2,

52+（4x）2=102+x2,

解得了=右（负值舍去），

•*.DM=石cm.

故选：B.

图①图②图③

第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕E尸;

第二步:将△/EG和△BE”分别沿EG,翻折，AE,3E重合于折痕E尸上;第三步:将△GEM和

分别沿EM,EN翻折，EG,即重合于折痕E尸上.已知/8=20cm,AD=20V2cm，则必？的长是

cm.

【答案】(10亚-io)

【分析】

本题考查矩形的性质，折叠的性质.由矩形的性质得到乙4=90。，AE//DF,AB=CD,图①由折叠的性

质得到：/E=；/B=10(cm),FD=\CD,推出四边形/跖。是矩形，图②由折叠的性质得到四边形NE4G

是正方形，因此/G=4E=10亚(cm),图③由折叠的性质得到=，由平行线的性质得到

ZGME=ZMEG',因此/GEN=NGAffi,推出GA/=GE=10后(cm),由=N。-GAf-4G求解即可.

【详解】

解：；四边形4BCD是矩形，

NA=90°,AE//DF,AB=CD,

图①由折叠的性质得到：^=1^=jx20=10(cm),FD=；CD,

AE=DF,

'：AE//DF,AA=90°,

四边形/£/叫是矩形，

图②由折叠的性质得到：EA'=EA，Z4=〃=90。，

ZAEA'=90°,

四边形/E4G是正方形，

AG=AE=10(cm),GE=41EA=10V2(cm),

图③由折叠的性质得到：ZGEM=AMEG',

四边形/EFD是矩形，

GM//EF,

:.ZGME=ZMEG',

ZGEM=ZGME,

GM=GE=10y/2(cm),

:.MD=AD-GM-AG=2072-15-1011m-16)cm.

故答案为：(10C-10).

变式2：(1)【探究发现】如图①，已知矩形N8CD的对角线NC的垂直平分线与边NO,8C分别交于点£、

F.求证：四边形NFCE是菱形；

(2)【类比应用】如图②，直线"分别交矩形4BCD的边AD、BC于点、E、F,将矩形/BCD沿EF翻折,

使点。的对称点与点/重合，点。的对称点为若AS=6,BC=8,求四边形48FE的周长；

(3)【拓展延伸】如图③，直线E尸分别交平行四边形/BCD的边BC于点、E、F,将平行四边形/BCD

沿E厂翻折，使点C的对称点与点4重合，点。的对称点为若48=6后，BC=U,ZC-45°,求EF

的长.

【答案】(1)见解析；(2)21.5；(3)2V10

【分析】(1)利用矩形和垂直平分线的性质，证明A£4。也△尸CO(ASA),得到N£=C下，可证四边形/RTE

为平行四边形，再由斯2/C,即可证平行四边形/FCE为菱形；

725

(2)过点尸作方4。于利用折叠的性质和勾股定理，求出:，AF=CF=--,再由平行线的

44

759

性质和等角对等边的性质，得到=证明四边形NAFH是矩形，得到期=；,再利用勾股定理，求

42

出斯=二，即可得出四边形4出Z的周长；

(3)过点/作NN,BC,交C3的延长线于N,过点尸作FM，于先求得3C,得出AN=BN=6,

由折叠的性质可知：AF=CF,ZAFE=/EFC,再由等腰三角形的性质以及勾股定理，得出“£=/尸=10,

证明四边形■是矩形，通过勾股定理，AM=8,再在RtAMEE中，求出口的长即可.

【详解】(1)证明：..•四边形/BCD是矩形，

AE//CF,

：.NEAO=ZFCO,

,：EF垂直平分/C,

/.ZAOE-ZCOF=90°,AO=OC,

△£L4O^AFCO（ASA）,

AE=CF,

又•:AE//CF,

・・・四边形AFCE为平行四边形，

EF1AC,

・・・平行四边形ZRSE为菱形；

（2）解：如图，过点、F作FH_LAD于H,

由折叠可知：AF=CF,ZAFE=NEFC,

v=8,48=6,

/.AF=CF=BC—BF=8—BF,

在/中，AF2=BF2+AB2，即（8-=5尸2+36,

7

：.BF=-

4

25

・・.AF=CF=—

4

IAD//BC,

NAEF=/EFC=ZAFE,

25

AE=AF=——，

4

ZB=/BAD=ZAHF=90°,

・・・四边形Z①火是矩形,

7

AB=FH=6,AH=BF=—

4

：,EH=AE-AH=^-l=^9

2

EF=lEH'FH?

2

7251543725

・•・四边形4BFE的周长=45+5/+/月+£尸=6+—+—+—=—+——；

442244

(3)解：过点4作ZN_L5C,交CB的延长线于N,过点/作尸于

・・•四边形是平行四边形，ZC=45°,

：.ZABC=135°,

/ABN=45°,

ANIBC,

：.AABN=ZBAN=45°,

••AN=BN=AB=x6A/2=6,

22

由折叠的性质可知：AF=CF=BN+BC—NF=\8—NF,ZAFE=ZEFC,

AD//BC,

：./AEF=NEFC=ZAFE,

AE=AF,

•/AF2=AN2+NF2,

：.4尸2=62+08—4/)2,

AF=10,

JAE=AF=10f

VAN//MF,AD//BC,

・・・四边形/MM是平行四边形，

ANIBCf

・・・四边形ZMM是矩形，

・•・AN=MF=6,

在RM/AZF中，AM=4AF1-MF2=V100-36=8，

：.ME=AE-AM=10-S=29

在RtzJWFE中，EF7MF?+ME2=也+36=2屈・

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等

腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握特殊的四边形的判定和性质是解题关

键.

易错点3：勾股定理的证明

例：勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体

在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设/8=c,BC=a,AC=b,证明中用到的面

积相等关系是（）

A.S^ABC+S^AED二S^AFG+SREF

B.\^BCEF=^/\ABC+^/\ABF+/\AEF+84FGH

c.S梯形=^/XABC+S“BF+/\AEF

D.S^BDH-S^FGH

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建

立等量关系是解题的关键.通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理.

【详解】解：•.•矩形旋转得出矩形ZG尸

LABC%4FAE,

AB=AF=c,AC=EF=b,BC=AE=a,Z.BAC=Z.AFE,

ZAFE+ZEAF=90°,

ZBAC+ZEAF=90°,

.•.段时是等腰直角三角形，

由题意知：S梯形死所=；（〃+»•（Q+»=；（〃+6）2=$2+QH#,

1111

^AABC+^AABF+^^AEF=~a^+~a^+~C2=Clb+-C2,

••一/+abH——abH—/,

222

.­.a2+b~=c2

故选：C.

变式1:人们很早就发现直角三角形的三边a,ac满足的关系/+/=c2,我国汉代“赵爽弦图”(如图)就

巧妙的利用图形面积证明了这一关系.下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图

有.(直接填写图序号)

\，臼ba:

abcacbabab

①②③④

【答案】③④/④③

【分析】本题考查了勾股定理的证明方法,解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明.分别求

出①②③④的面积，进行化简即可得.

【详解】解：①长方形的面积：(a+6+c)c'=ac+bc+3,

^(Q+C+b+C)C211

②1----------=c+—ac+-bTc,

222

(3)(a+b)2=+4x—ub,

整理，得/+/=。2,

④((a+6Xa+b)=+,

整理，na2+b2=c2,

故答案为：③④.

变式2：综合与实践

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力,千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，

也有业余数学爱好者.

(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽

弦图”.在RtZ\/3C中，44cB=90。，若NC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明/.

(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt^ABC和RSDNE按如图2

所示的方式放置，ZDAB=ZB=90°,AB=AD=b,BC=AE=a,AC=DE=c,连接CE,CD,用a,

b,c分别表示出梯形/BCD,四边形NEC。，AEBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从而证

明勾股定理.请你补充该证明过程.

【答案】(1)说明见解析；

(2)补充证明见解析.

【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，全等三角形的性质，数形结合是解答本题的关键.

(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三

角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；

(2)先证明然后分别表示出出梯形/BCD,四边形NEC。，的面积，再根据四边形

的面积四边形/ECD的面积=A8EC的面积即可求解.

【详解】(1)..•大正方形面积为直角三角形面积为5仍，小正方形面积为他一°)2,

,12

**•/=4x—ab+(。-b)-2ab+/-2ab+f

BPc2=a2+b2;

(2)RtA^^C^RtADAE,

・•・AACB=ZAED,ZABC=/BAD=90°,

・・・NBAC+ZACB=90°=ZBAC+ZAED,

JZAFE=90°,

：.AC1DE,

直角梯形ABCD的面积=：(BC+/O)xNB=,

四边形AECD的面积=S.+S.ACD=^ACxDE=^c2,

△BEC的面积——a(b—a)=—ab—u2,

四边形ABCD的面积一四边形AECD的面积3EC的面积

2

.ab+b1112

••--------------c2——ab7—a,

2222

化简得：a2+b2=c2.

易错点4：勾股定理的平方关系

例：如图，在。8c中，AB=BC=AC,AE=CD,4D与5E相交于点P,于0.则5P与2。

的关系为()

A.8尸2=2802B.38尸2=4802c4BP2=3BQ?D.2BP?=3BQ?

【答案】B

【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力,

证明"DCABEA是解题的关键.

【详解】解：•••/8=8C=/C,

08c是等边三角形.

ABAC=ZC=60°.

AB=AC,AE-CD,

：.AADCABEA(SAS),

ZABE=ACAD.

'：ZCAD+ZBAD=60°,

：.ZABE+ZBAD=60°.

：.ZBPQ=60°.

•；BQ1AD,

：.ZPBQ=30°.

：.BP=2PQ,

•/ABQP=90°,

BP2-PQ2^BQ2,

:.BP2-^BP^=BQ2

：.38尸2=4802

故选：B.

变式1：如图，己知/BCD是正方形，尸是对角线4C上一点，PBPD(填或“<”)，

延长3P,与4D于点0,与C。的延长线交于点G,〃为G。的中点，连接，则尸B、PH、"G的数量

关系为.

【答案】=HG2+PB2=PH2

【分析】利用正方形的性质，证明△/尸3名△^尸。，得至根据7/为G。的中点，得到GH=DH,

ZGDH+ZADH=900,继而证明△CD尸之△CBP(SSS),得到NCDP=/CAP,即可推出/他尸=90。，根据勾

股定理得到+Dp2=pH2,等量代换即可得解.

【详解】解：•••四边形/BCD是正方形，

AD=AB,ZBAP=ZDAP=45°,

在A4PB与AAPD中，

AD=AB

<NBAP=NDAP=45°,

AP=AP

△AP3/尸。(SAS),

：.PB=PD,

•・•〃为G。的中点，ZADG=90°,

GH=DH,ZGDH+ZADH=90°,

ZG=ZGDH,

在RM5CG中，ZG+NCBG=90°,

在△CZ)尸与ACBP中,

PB=PD

，CD=CB,

CP=CP

.-.△CDP^ACfiP(SSS),

ZCDP=ZCBP,

ZGDH+ZCDP=90°,

ZHDP=90°,

DH2+DP2=PH2，

,:DH=GH,DP=PB,

HG2+PB-=PH2,

故答案为：=,HG2+PB1=PH2.

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等

边对等角.

变式2:综合与实践

问题情境：小华发现这么一类四边形，有一组对角之和为直角的四边形，小华将这类四边形命名为对余四

边形.

(1)若四边形是对余四边形，则NB与/D的度数之和为.

(2)如图1,在。。上有4,B,C三点，儿W是OO的直径，AM,CN相交于点D四边形/3C。是对余四

边形吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由，拓展探究：

(3)如图2,在对余四边形48co中，AB=BC,ZABC=60°,ZADC=30°,则线段/DCD和8。之间有

怎样的数量关系？请给出你的猜想，并说明理由.

【答案】⑴90°或270°；

(2)是，证明见详解；

⑶=m2,理由见详解.

【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；

（2）根据对余四边形的定义，由圆周角定理得出NA4M+/2CN=90。，说明N8CD=90。即可；

（3）将绕着点8逆时针旋转60。得到48”尸，连接阳，利用已知条件得出"40=90。，利用勾股

定理可得结论.

【详解】（1）解：•••四边形/BCD是对余四边形，

4+"=90°或ZB+ZD=9Q°

4+/C=90°时，Z5+Z£>=270°.

/3+/。=90°或270°.

证明：是。。的直径，点/,B,C在。。上，

ZMCN=90°,/BAM+NBCM=180c

NBAM+ZBCN=90°.

^ZBAD+ZBCD=90°.

四边形ABCD是对余四边形.

（3）猜想：线段ND,C。和2。之间的数量关系为：AD2+CD2=BD2.理由如下:

AB=BC,

.•.将△8CD绕着点8逆时针旋转60。得到△胡尸，连接ED,如图，

BF=BD,AF=CD,NBDC=NBFA.

:.△BFD为等边三角形.

\BF=BD=DF,

•/Z^DC=30°,

ZADB+ZBDC=30°.

：.NBE4+N4DB=30。.

ZFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180。，

60°+30°+ZAFD+ZADF=180°.

ZAFD+ZADF=9（P.

ZFAD=90°.

AD2+AF2=DF2.

/.AD2+CD2=BD2.

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了对余四边形的定义、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判

定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键.

锐角三角函数专题

易错点：

1.理解意义不清：对于锐角三角函数的概念理解不够深入，例如误认为锐角三角函数的值与边的长度有关，

而实际上，锐角三角函数值与角的大小有关，与边的长度无关。

2.边角关系对应出错：在解题过程中，学生可能会误把某个边当作某个角的邻边或对角边，导致计算错误。

因此，在解题时，需要明确每个角和每条边的对应关系。

3.利用勾股定理解题漏解：当题目中没有明确哪个角为直角时，学生可能会忽略分类讨论的可能性，导致漏

解。因此，在解题时，需要全面考虑所有可能的情况。

4.利用勾股定理弄错第三边：在利用勾股定理计算时，学生可能会误认为第三边为斜边，其实第三边可能是

斜边，也可能是直角边。因此，在解题时，需要明确每个边的角色和属性。

易错点1：特殊角的三角函数值

例：在“3C中，若三个内角NAZB：ZC=1：2：3,则sin4sinB等于（）

A.1：2B.1：V3C.1:3D.2忑

【答案】B

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和.熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.先求

出//、N5的度数，即可计算得到结论.

【详解】解：NB、/C的度数之比为123,1+2+3=6,

AZ^=-xl80°=30°,ZS=-xl80°=60°,

66

1h

siiL4=sin30°=-,sinB=sin60°=一

22

sirU：sinB=—

2

故选：B.

变式1：如果直线了=^^和直线y=所夹的锐角为0,那么sin。-cos。-tan6的值为.

【答案】2

4

【分析】本题考查的是一次函数的应用，锐角三角函数的应用，熟练的构建图形是解本题的关键，先画图

求解。=30。，再利用特殊角的三角函数值计算即可.

【详解】解：如图，直线x=2与两函数的交点分别为。（2,2⑹，£2,手，与x轴的交点为尸（2,0）,

,ZDOF=60°,/EOF=30°,

・・・/。0£=30。，即。=30。，

.夕夕,A1百61

2234

故答案为：—

4

变式2：(1)计算：(3.14-万)°一夜一卜3|+4$亩60°；

(2)先化简，再求值：之二1一土竺L一士，其中。=2.

QUU—1

【答案】(1)-2；(2)二；4

【分析】此题考查了实数的混合运算、绝对值、分式的化简求值及特殊角的三角函数值，解答本题的关键

是熟练各部分的运算，一定要细心运算.

(1)先计算零指数幕，二次根式，绝对值及特殊角的三角函数值，再计算加减即可；

(2)先根据分式的混合运算法则化简，再将a=2代入计算即可.

【详解】解：(1)(3.14-^)°-Vi2-|-3|+4sin60o

=1-2A/3-3+4X—

2

=1-26-3+26

=-2；

/c、3a—3a~-2a+1a

(2)+-----；---------

uuci—1

a2a

a(Q-I)?a

3aa

ci—1ci—1

_2a

_^T；

,,—t、2x2

当a=2时，原式=----=4.

2-1

易错点2：锐角三角函数的增减性

例：sin77。，cos77°,tan77°的大小关系是()

A.tan770<cos770<sin77°B.cos770<tan770<sin77°

C.sin770<cos770<tan77°D.cos770<sin770<tan77°

【答案】D

【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin77。和cos77。都小于1,tan77。大于1,故tan77。最大；只

需比较sin77。和cos77。，又cos77。=sinl3。，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较.

【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin77°<l,cos77°<l,tan77°>l.

又cos77o=sinl3。，正弦值随着角的增大而增大，

sin77°>cos77o=sinl3°.

故选D.

变式1:若//是锐角，cos//>也，则NN应满足.

2

【答案】0°<N/<30°

【分析】首先明确cos30°=且，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案.

2

【详解】解：：cos30°=走，余弦函数随角增大而减小，

2

0°<ZA<30°,

故答案为：0°<ZA<30°.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的

关键.

变式2：(1)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度

数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；

(2)根据你探索到的规律，试比较18。，34°,52°,65°,88。，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；

(3)比较大小：(在空格处填写或“〉”或“=”)

若/a=45°,则sinacose；若/a<45°,则sinacose；若Na>45。，贝！］

sinacosa；

(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sinl0°,cos30°,sin50°,

cos70°.

［答案］（1）见解析；（2）sin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sinl8°；cos880<cos650<cos520<cos340<cosl8°；

（3）=,<,>；（4）cos30°>sin50°>cos70°>sinlO0

【分析】（i）在图（I）中，令"4=力与=/4，用于点G，52c于点居于点C3,

有耳G>82c2>B3C3,NB［AC>AB.AC>ZB3AC.利用正弦公式求得sin/BM。>sinZB2AC>sinZS^C；

依据余弦公式得到cosZB.AC>cosZB.AC>cos/4/C；

（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，即可得到答案；

（3）利用概念分别得到30。、45。、60。的正弦值和余弦值，比较即可得到答案；

（4）由cos30o=sin60。,cos70°=sin20°,利用（1）的结论解答即可.

【详解】（1）在图（1）中，令/4=/⑦=/用，用4，/。于点£,与于点C”层C3,4c于点G，

显然有：Bg>BG>B3c3,ABXAC>ZB2AC>ZB3AC.

VsinZB.AC^^-,sinN8,/C=丝后，sin/%4c=昌耳，

123

AB,AB2AB3

31G〉B2c2〉B3c3

加AB2AB3.

・・・sinZ^AC>sinZB2AC>sinZB3AC.

在图（2）中，RM/CK中，ZC=90°,

ArACAC

cosZBAC=——,cosZB.AC=——,cosZB.AC=——,

1}23

AB.AB2AB3

・.・AB3<AB2<AB{,

ACACAC

...--->---->----

AB.AB2AB3•

即cosZB3AC>COSZB2AC>cos/B/C.

(2)由(1)得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小,

Jsin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sinl8°；

cos880<cos650<cos520<cos340<cosl8°.

(3)sin45°=——，cos45°=——，

22

若Z,a=45°,则sincr=cosa；

in

Vsin30°=—,cos30o=sin60°=——，

22

・••若/a<45°,贝sina<cosa；

/?i

*.*sin60°=——，cos60°=sin30°=—,

22

・••若/a>45°,则sina>cosa.

故答案为：=,<,>；

(4)cos30°=sin60°,cos70°=sin20°,且sin60°>sin50°>sin20°>sinl0°,

cos30°>sin50°>cos70°>sinl0°.

【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法是解题

的关键.

易错点3：同角三角函数关系

例：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为〃、

6、c的的面积为名《"=(，。2廿一的边a、b、c所对的角分别是/B、

“则Smf6sincfcsin*6csin/.下列结论中正确的是()

a*12+b2-c2a2+b2-c2

A.B.cosC=

2ab2ab

a2+/-c2a2+b2-c2

C.cosC=D.cosC=

2ac2bc

【答案】A

【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可.

【详解】解：IS，\^=1^sinC,

2

,£a2+b2-c217•厂

a2b2-=—absinC

222

2

a1+b2-c2

即a2b2-=a2b2sirfC，

2

+b2-c2

a2b2(\-

2

2+/—2

cos2C=

、2ab

a2+b2-c2

cosC=

2ab

故选：A.

【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉sin2C+cos2C=l是解题的关键.

-tj-2sm6Z+cosa,,

变式1：已知tana=2,则「----------的值为

sina-cosa

【答案】5

【分析】分子分母同时除以cosa,化成正切代入tana=2即可得到结论.

【详解】解：sina=q,cosa=2,

asina

・・tana=一

bcosa

*.*tana=2,

sina=2cosa,

.2sina+cosa_4cosa+cosa

••■一

sina—cosa2cosa-cosa

故答案为：5.

变式2：同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：sin（a-』）=sinacos£-cosasin/,

sin(a+,)=sinacos〃+cosasin,；cos(〃一/?)=cosacos/?+sinasin/?,

cos(a+6)=cosacos/3-sinasin0.

/7_/y

例：sinl5°=sin(45°-300)=sin450cos300-cos450sin30°=7：

⑴试仿照例题，求出cos75。的值；

(2)若已知锐角a满足条件sini=；,求sin2a的值.

【答案】(1)固二立

4

⑵哈

【分析】(1)把75。化为30°+45°直接代入三角函数公式cos(a+/?)=cosacos夕-sinasin，计算即可；

(2)把2a化为a+a直接代入三角函数公式sin(a+/?)=sinacos，+cosasin，计算即可.

【详解】(1)解：Vcos(«+/?)=cosacosj3-sinasin/3,

・•・cos750=cos(30°+45°)

=cos30cos45-sin30sin45°

V3V21V2

=-------X-----------------X--------

2222

"4'

(2)解：:sina=；,sin2a+cos2=1,a为锐角，

解得cosa=冬旦，

3

sin2a=sin(a+a)

=sinacosa+cosasina

c12后

=2x—x----------

33

_4A/2

~~9~'

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结

合特殊角的三角函数值来求解.

易错点4：胡不归

例：如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=/+3x-4与x轴交于/、C两点，与y轴交于点2,若P是x

轴上一动点，0(0,2),连接尸。，则尸C+回0的最小值是()

A.6B.8C.2eD.472

【答案】A

【分析】连接BC,过点尸作/W，8c垂足为〃，过点0作QHUBC垂足为〃，，先求出/,C,8的坐标,

得到△OBC为等腰直角三角形，求出尸”=孝尸C,得到尸C+回0=也仍0+尸〃），利用垂线段最短可

知，尸0+P8的最小值为登'，进而得出结果.

【详解】解：如图，连接3C,过点P作尸垂足为H,过点。作QHUBC,垂足为H，，

令1=0,即无2+3X-4=0，

解得：x=—4或x=1,

C（-4,0）,

当x=0时，＞=一4,

「.03=00=4,NBOC=90。,

NPCH=45。,

PH=PC-sin45°=—PC,

2

V2

.:.-^-PC+PQ=PQ+PH,

即PC+立PQ=6比Q+PH）,

根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为四'的长度,

•••BQ=OB+OQ=4+2=6,ZQBH'=45°,

:.DH'=sin450-BQ=342,

:.6(PQ+PH)=6DH'=6,

即PC+41PQ的最小值为6.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数中的线段最值问题，等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数的应用,

垂线段最短等知识，解题的关键得到尸。+PH的最小值为"，的长度.

变式1：如图，在“8C中，/A4c=90。，AB=2,/C=4也，点。是8c边上的动点，连接AD，则3/D+DC

的最小值为.

【答案】y32/102j

【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形、勾股定理等知识.作点A关于8c的对称

点尸，连接。尸，作DEJ.4C,垂足为E,利用勾股定理求得BC=6,利用三角函数求得。。=3。E，将

34D+OC转化为3(40+。£),当RD、E共线时，AD+DE="+庞有最小值，最小值为EE的长,

据此求解即可.

【详解】解：作点A关于3C的对称点尸，连接。尸，作。垂足为£,

；•BC7ABz+AC。=6,

21

sinC=—=

8c63

•ZF=90°-ZFAC=ZC,

cosF=cosC=^402立

BC63

AC3

/G=9C=苧

..=2/G考

CD3

CD=3DE,

:点A与点厂关于BC对称,

AD=DF,

**•AD+DE=DF+DE,

当RD、£共线时，AD+DE=如+小有最小值，最小值为FE的长.

在RM4在中，cosF=%=巫,

AF3

32

FE=——，

9

3232

3AD+DC=3(AD+DE)=3FE=—,即3AD+DC的最小值为y.

32

故答案为：y.

变式2：如图，抛物线>=尔+乐_4与x轴交于点/(-1,0)1(4,0),与夕轴交于点C,连接BC.

(1)点P在8C下方的抛物线上，连接BPCP,若求点P的坐标;

(2)点N在线段OC上，若/N+'CN存在最小值力求点N的坐标及〃的值.

【答案】⑴（2+亚，&-4）或（2-百,-逝-4）；

5/?

⑵(0,-1),三.

【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、三

角形的面积、垂线段最短等知识，综合性很强，难度适宜.

（1）可分别得到点A和点8的坐标，再代入抛物线解析式，求解得函数关系式，过点P作了轴的平行线，

交于点。，设点P的坐标为（加，机2-3机-4）,则点。的坐标为m-4）,再求解即可；

（3）作NELCB,垂足为点E,先证得△"口?为等腰直角三角形.可得

万B

NE=NC-sin45°=—NC.AN+—CN=AN+NE.当点N,N,£共线时，/N+NE■有最小值.最小值

22

〃为线段/E的长.再求解邓可.

a-b-4=0

【详解】（1）将3（4,0）坐标代入抛物线解析式得,

16。+46-4=0

4Z—1

解得

b=—3

二•抛物线的解析式为：J=X2-3X-4,

令x=0,得歹=-4,

则C（0,-4）,

设直线BC的解析式为丁=mx+n,

14加+几=0[m=l

则”,解得.，

[n=-4[n=-4

，直线BC的解析式为y=x-4,

如图，过点P作尸〃轴，交BC于点、D.

设点尸的坐标为（加，m2-3m-4）,则点。的坐标为（加，加-4）.

**«DP=-m2+4m.

由黑小尸=~S^BOC,得5（一加2+4加）><4=5><5><4乂4.

解得mx=2+V2,m2=2—y[2.

:.点尸的坐标为(2+®,6-4)或(2-拒，-拒-4卜

(2)如图，作NELCB,垂足为点瓦

•.-C（0,-4）,5（4,0）,

/.OB=OC=4,

ZOCB=45°,

.•.△NCE为等腰直角三角形.

5

・•・NE=NC,sin45°=—NC.

2

：.AN+—CN=AN+NE.

2

当点4,N,E共线时，4N+7VE有最小值.

最小值n为线段4E的长.

・•・△NCE为等腰直角三角形.

/CNE=45。,

ZANO=ZCNE=4S,

「.△/ON为等腰直角三角形.

/NAO=45。,

△.♦.△4BE