平面向量中等和线的应用-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展14平面向量中等和线的应用(精讲+精练)

、知识点梳理

一、平面向量共线定理

已知而=49+〃51,若;I+〃=1,则A,B,C三点共线，反之亦然.

二、等和线

平面内一组基底无施及任一向量而，而=几宓+〃5瓦若点P在直线AB上或者在平行

于A8的直线上，则几+〃=左(定值)，反之也成立，我们把直线A8以及与直线平行的直线称为等和

线.

(1)当等和线恰为直线A8时，k=l;、、由

(2)当等和线在。点和直线AB之间时，左e(0,l);

(3)当直线A8在点。与等和线之间时，ke(l,+oo)；

(4)当等和线过。点时，k=0；

(5)若两等和线关于。点对称，则定值A互为相反数.°、

三、证明步骤

如图1,P为AAOB所在平面上一点，过O作直线///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=%。4+yOB

图1

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若Pe/时，则射线0P与/无交点，由///AB知，存在实数4,使得加=4而

而通=砺—0X,所以赤=4历—2函，于是x+y=4U=0

②若时，

(i)如图1,当P在/右侧时，过P作CD//AB,交射线Q4,08于C,。两点，则

AOCD-AOAB,不妨设AOC。与AQ43的相似比为人

由P,C,。三点共线可知：存在2eH使得：OP=AOC+(l-A)OD=kAOA+k(l-^OB

所以x+y=kZ+^(1-A)=k

(ii)当尸在/左侧时，射线0P的反向延长线与A5有交点，如图1作尸关于。的对称点P',由6)的

分析知：存在存在/LGH使得：OP'=AOC+(l-^OD=kAOA+(l-^OB

所以声=-左/l赤+-(1—2)OB于是x+y=-左2+-k(l-A)=-k

»

综合上面的讨论可知：图1中而用雨,砺线性表示时，其系数和x+y只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为

三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过。作A3边的垂线设

点P在/'上的射影为P,直线/'交直线A3于点则次1=告胃(左的符号由点尸的位置确定)，因此

Iu勺I

只需求出QPI的范围便知y的范围

一般解题步骤：(1)确定单位线(当2+〃=1时的等和线)；(2)平移等和线，分析何处取得最值；

(3)从长度比计算最值.

/

二、题型精讲精练

【典例1】设。,E是AABC边上的点，=若诙〃而，则2+〃=()

【解析】因为瓦=理—近，所以荏一罚=4通+〃/，因为AD=gAB,所以

AE=^2+1^AB+//AC,由于此时等和线为BC,所以2+：+〃=1,即2+〃=g.

【典例2】如图，四边形Q43c是边长为1的正方形，点。在Q4的延长线上，且AZ)=2,点P是AHCD

(含边界)的动点，设赤=4祝+〃砺，则2+〃的最大值为()

B

【解析】当点P位于点3时，过点5作GH//DC,交OC,OD的延长线于G,H，则OP=xOG+yOH,

且X+y=l,所以赤=砺=%而+、闻=—%双+—丁丽=；1瓦+"赤，所以

333

A+ju=—x+—y=—.

222

3

故答案为：—.

2

【题型训练-刷模拟】

一、单选题

1.已知。为AABC的外心，若A(0,0),8(2,0),AC=1,ABAC=120°,且豆=2AB+//AC,则2+〃=

()

—1-----

2.在AABC中，M为边2C上的任意一点，点N在线段AVf上,且满足4V=1MW,丽=4通+〃正(Z〃eR),

则彳+〃的值为()

A.-B.-C.1D.4

43

3.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若丽=九诵+〃而，则

4+〃的最大值为()

A.3B.2V2C，V5D.2

4.在AABC中，点D是线段BC上任意一点,且满足AD=3AP，若存在实数m和n,使得而=mAB+nAC，

贝Um+n=()

5.已知抛物线V=4y的焦点为F,点C（0,-2）,过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛

物线上任意一点，若而=//五+〃在，则m+n的最小值为（）

1123

A.-B.-C.-D.一

3234

6.在矩形ABCD中，43=1,40=2,动点「在以点。为圆心且与3£）相切的圆上，若彳巨=力而+〃而,

则的最大值为（）

A3B2V2C75D2

7.已知。是AA3C内一点，且8+加+元=0，点M在AO2C内（不含边界），若不0=4通+〃/，则

2+2〃的取值范围是（）

A.k|）B.（1,2）

8.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若Q=x通+则2尤+2y的最大

值为（）

8

A.B.2D.1

33

二、填空题

1.如图，在同一个平面内，向量5A无,反的模分别为1,1,、历，而与。1的夹角为a,且tane=7,

而与的夹角为45°，若/