中考数学专项复习：因式分解（解析版）

专题4.1因式分解

典例精析

【典例11【阅读与思索】整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式口/+法+。进行因

式分解呢？我们已经知道，(aix+ci)(a2X+ci)=aiai^-vaiC2X+a2Cix+ciC2=aia^+(aiC2+a-ici)x+aci.

2

反过来，就得到：ara2x+(aiC2+a2c1)x+crc2=(ciiX+c^{a2x+c2).

我们发觉，二次项的系数a分解成。遂2,常数项c分解成QC2,并且把a/,ci,C2如图①所示摆放，

按对角线交叉相乘再相加，就得到的。2+a2c1，假如＜2遥2+a2cl的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b,

那么a/+6刀+c就可以分解为(a/x+c/)(a2X+C2)，其中al,cl位于图的上一行，。2，。2位于下一行.

像这种借助画十字交叉图分解系数，从而关心我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.

例如，将式子/一久一6分解因式的详细步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1x1,

把常数项一6也分解为两个因数的积，即一6=2x(—3)；然后把1,1,2,—3按图②所示的摆放，按对角线

交叉相乘再相加的方法，得到lx(—3)+lx2=-1,恰好等于一次项的系数一1,于是产一万一6就可以分解

为(x+2)(x-3).

请同学们认真观看和思索，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法"分解因式：x2-x-

6=.

【理解与应用】

请你认真体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：

⑴2x2+5%-7=；

⑵6x2—7xy+2y2=.

【探究与拓展】

对于形如a/++cy2++冲+/的关于％,y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法〃来分解.如

图④，将〃分解成机〃乘积作为一列，c分解成pq乘积作为其次列，/分解成乘积作为第三列，假如+

np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2歹U、第2,3列和第1,3列都满意十字相乘规那么，那么原

式=(蛆+py+j)(rvc+qy+%),请你认真阅读上述材料并尝试挑战以下问题:

〔1〕分解因式3/+5xy—2y2+%+9y—4=；

(2〕假设关于x,y的二元二次式久2+7%y-18y2-5久+my-24可以分解成两个一次因式的积，求相的

值；

(3〕x,y为整数，且满意％2+34/+2y2+2%+3y=—L请写出一组符合题意的x,y的值.

【思路点拨】

【阅读与思索】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；

【理解与应用】〔1〕利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；

〔2〕利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；

【探究与拓展】〔1〕依据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；

〔2〕依据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；

〔3〕依据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解.

【解题过程】

解：【阅读与思索】画十字交叉图:

.'.x2—x-6=(x3)(x+2).

故答案是：(x3)(尤+2)；

【理解与应用】［1)画十字交叉图:

27

2X2+5尤-7=(x-1)(2%+7),

故答案是：(x-l)(2x+7)；

⑵画十字交叉图：

2

3-2

6X2-7xy+ly2=(2x-y)(3x-2y),

故答案是：(2x-y)(3x-2y)；

【探究与拓展】11)画十字交叉图:

+5xy-2冉x+9y-4=(x+2y-l)(3x-y+4),

故答案是：(x+2y-1)(3%-j+4)；

⑵如图,

,关于x,y的二元二次式一+7盯―18y2—5x+«ty—24可以分解成两个一次因式的积，

,存在1x1=1,9x(-2)=—18,(-8)x3=-24,7=lx(-2)+lx9,-5=lx(-8)+lx3,

.'.771=9x3+(—2)x(—8)=43或OT=9X(—8)+(—2)x3=—78.

.••根的值为：43或一78；

[3)Vx2+3xy+2y2+2x+3y=-1,

.".%2+3xy+2y2+2x+3y+1=0,

画十字交叉图：

(x+2y+1)(%+y+1)=0,

.".x+2y+1-0或x+y+1=0,

y为整数,

.".x=—l,y=0是一组符合题意的值.

学霸必刷

1.[2023春・江苏•七班级专题练习）因式分解：15/+13孙-44）；2=

【思路点拨】

利用十字相乘法，分别对二次项系数，常数项进行因数分解，交叉乘加，检验是否得中项的系数，从而确

定适当的“十字〃进行因式分解.

【解题过程】

解：利用十字相乘法，如图,

融常数项

3

11

3x11-4x5=13

将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案,

15x2+13xy-44y2=(3x-4y)bx+lly).

故答案为：［3x-4y)(5x+lly).

2.〔2023春•江苏•七班级专题练习）分解因式：%6-28x3+27=.

【思路点拨】

利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解.

【解题过程】

解：原式=（久3）2一28/+27,

=(%3—l)(x3—27),

-(x—l)(x2+x+l)(x-3)(%2+3x+9).

故答案为：(*—l)(x2+x+l)(x—3)(/+3x+9).

3.〔2023春•七班级课时练习）分解因式：a4—4a3+4a2—9=

【思路点拨】

此题有。的四次项、。的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因

式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项连续利用平方差公式分解因式.

【解题过程】

解：a，-+4a2—9

=(a4—4a3+4a2)—9

=a2(a-2)2-32

二(Q2—2a—3)(Q2—2a+3)

=(a—3)(a+l)(a2—2a+3)

故答案为：(a—3)(a+l)(cz2—2a+3).

4.(2023春•七班级课时练习)因式分解：x3-6^+11%-6=.

【思路点拨】

首先将1b拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案.

【解题过程】

I?：x3--6

-6/+9%+2%-6

=x(x2-6x+9)+2(x-3)

=x(x-3)2+2(x-3)

=(x-3)[x[%-3)+2]

=(x-3)(x2-3x+2)

—(x-3)(x~2](x-1).

故答案为：(x-2)(x-1).

5.(2023春•七班级课时练习〕因式分解：6x2-5xy+y2+17%-7y+12=.

【思路点拨】

将原式进行拆解变形为6/-5xy+y2+8%-4y+9%-3y+12后，先将前面几项利用十字相乘法因式分

解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.

【解题过程】

解：6x2—5xy+V+17%—7y+12

=6x2—5xy+V+8%—4y+9%—3y+12

=(2x—y)(3x—y)+4(2%—y)+3(3x—y)+12

=(2%-y)(3x-y+4)+3(3x-y+4)

二(2%—y+3)(3%—y+4).

所以答案为(2%-y+3)(3%-y+4).

6.[2023春•七班级课时练习)分解因式：(X+y-2%y)(%+y-2)+(%y—1)2=.

【思路点拨】

先利用乘法公式绽开、合并得到原式=(%+y)2-2(%+y)-2xy(x+y)+(xy)2+2xy+1,再进行分组得

到完全平方公式，所以原式=[(%+y)-(%y+l)]2,然后再把括号内分组分解即可.

【解题过程】

解：原式=(%+y)2—2(%+y)-2xy(x+y)+4xy+(xy)2—2xy+1

=(x+y)2—2(%+y)—2xy(x+y)+(xy)2+2xy+1

=(%+y)2-2(%+y)(xy4-1)+(xy+l)2

=[(x+y)—(xy+l)]2

=(%+y—xy—l)2

=[(x-l)(y-l)]2

=(%—1)2(y—I)2.

故答案为：(x-l)2(y-l)2.

7.[2023春・江苏•七班级专题练习〕分解因式：

⑴%2-7%+10

⑵X2%2—9%+18

⑶%2%2—5x—6

⑷x2x2—9x—22

⑸X23X2+%—2

⑹X23X2+%—4

⑺%2-12%2+25%-12

⑻x2—3x2—%+10

⑼x2x2—y2—x—y

(10)X2X3++%+1

〔11)%2。2+4。—9b2+4

[12)x2a2—4b2—2a+4&

【思路点拨】

11）利用十字相乘法分解因式即可；

12）利用十字相乘法分解因式即可；

13）利用十字相乘法分解因式即可；

14）利用十字相乘法分解因式即可；

15）利用十字相乘法分解因式即可；

16）利用十字相乘法分解因式即可；

[7）利用十字相乘法分解因式即可；

18）利用十字相乘法分解因式即可；

19）利用分组分解法分解因式即可；

[10）利用分组分解法分解因式即可;

111）利用分组分解法分解因式即可;

（12）利用分组分解法分解因式即可.

【解题过程】

（1）解：%2-7%+10

.'.x2—7%+10=(%—2)(x—5)；

(2)解：%2-9x+18

.'.x2—9%+18=(x—3)(%—6)

[3)解：%2-5x-6

1

x/-6

.'.x2—5%—6=(%+1)(%—6)；

(4)解：%2-9%-22

.'.x2—9x—22—(x+2)(x—11)；

(5)解：3/+》一2

3x2+x-2=(x+1)(3%—2)；

(6)解：3%2+X一4

3x2+%—4=(x-1)(3%+4)；

(7)解：-12x2+25x-12=-(12x2-25x+12)

原式=—(3x—4)(4%—3)；

(8)解：-3x2-x+10=-(3x2+%-10)

*,*原式=—(%+2)(3%—5)；

(9)解：x2—y2—x—y

=(%+y)(x—y)—(%+y)

=(x+y)(x-y-1)；

(10)解：%3+%2+%+1

=/(%+1)+(%+1)

=(%2+1)(%+1)；

(11)解：a?+4a-9b2+4

=a2+4a+4—9b2

=(a+2)2—9b2

=(a+2+3b)(a+2—3b)；

(12)解:a2—4b2—2a+46

=a2—4b2—(2a—4b)

=(a+2b)(a-2b)—2(a—2b)

=(a+2b—2)(a-2b).

8.(2022秋・全国•八班级专题练习〕因式分解:

⑴X2—2x3+16%2—24%；

(2)x2(a2+62—c2)2—4a2/)2；

(3[％2(%2_x_3)(%2_x_5)_3；

⑷%2(%+y)3—x3—y3；

⑸x2x3—9%+8.

【思路点拨】

“)先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解.

(2)运用公式法进行因式分解.

(3)先化简，再运用十字相乘法进行因式分解.

(4)先化简，再运用提公因式法进行因式分解.

(5)先分组，再提公因式进行因式分解.

【解题过程】

⑴解：⑴—2x3+16x2—24%

=-2x(x2—8%+12)

=—2x(x—2)(%—6).

⑵(a2+&2—c2)2—4a2b2

22222

=(Q2+h-c+2ab)(a+b-c-2ab)

=[(a+b)2一c2][(a-b}2-c2]

=(a+b+c)(a+b—c)(a—b+c)(a—b—c).

(3)(x2—x—3)(x2—%—5)—3

二(%2—%)2—8(x2—%)+15-3

=(x2—%)2—8(x2—x)+12

=(%2—%—2)(x2—x—6)

=(%+1)(%—2)(%+2)(%—3)

(4)(%+y)3—x3—y3

=(久+y)2(%+y)—%3—y3

=(%2+y2+2xy)(%+y)—%3—y3

=x3+x2y+xy2+y3+2%2y+2xy2—x3—y3

=3x2y+3xy2

=3xy(x+y).

⑸x3—9%+8

=x3—%—8%+8

=x(x2—1)—8(%—1)

=x(x+l)(x—1)—8(%—1)

=(%—l)(x2+%—8).

9.(2023春•七班级课时练习)因式分解：

⑴x2a2-4b2+12bc—9c2；

⑵x2x2—2x—15；

⑶x2x2—y2—4%+6y—5.

【思路点拨】

(1)利用分组法变形为-(4h2-12bc+9c2)后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可.

12)利用十字相乘法:x3分解因式即可.

X—3

(3)变形为(%2一4%+4)-(y2-6y+9)后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可.

【解题过程】

(1)解：原式=小—(助2—12bc+9c2)

=a2—(2b—3c7

=(a+2b-3c)(a—2b+3c)；

⑵解：原式=(%—5)(%+3)；

⑶解:原式=(x2—4%+4)—(y2—6y+9)

=(%—2)2—(y—3)2

=(%+y-5)(x-y+1).

10.(2022秋・江西景德镇•七班级景德镇一中校考期末〕分解因式:

⑴3a(/+9)2—108加；

(2)2b3—b2—6b+5a—10ab+3；

,+枳小枳收)

⑶计算:

[4[4%2—14xy+6y2—7x+y—2.

【思路点拨】

(1)综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得；

[2)利用分组分解法进行因式分解即可得；

13)先利用公式法分解和0+1)4+；,从而可得上空的值，再代入计算即可得;

444

x+4-

14)先利用十字相乘法分解4/—I4xy+6y2,再利用提公因式法进行因式分解即可得.

【解题过程】

解：(1)原式=3矶(。2+9)2-36匕2]

=3a(》2+9+6b)(b2+9—6b)

=3a(b+3)2(b—3)2；

(2)原式=(2匕3—庐)+(5a-lOci/?)—(6b—3)

=b2ab-1)-5a(2b-1)-3(26-1)

=(2b—1)(力2—5a―3)；

(3)v%44-i=(%2_|_0—X2=(汽2+汽+[2—X+0,

1rI]2

(x+I)4+-=1(%+I)2+-I—(x+I)2

=(x+I)2+(x+1)+赳(x4-1)2-(%+1)+|

=(%2+3%+§(%2+X+0,

(x+l)4+^(%2+3%+|)(%2+%+习X2+3X+|

x4+^(X2+x+1)(x2-x+1)x2-x+|'

,。4+抓44+抓64+》

(14+1)(34+1)(54+1)

l24-3x1+S32+3x3+?52+3x5+3

=----------X--------------x-----------

l2-l+i32-3+552_5+5

134185

=Z*ZxZ

-11341

=85；

(4)原式=(%—3y)(4x—2y)—7%+y—2

=(%—3y)(4x-2y)+(%—3y)—8x+4y—2

=(x-3y)(4x—2y+1)—2(4%—2y+1)

=(4%—2y+1)(%—3y—2).

11.12022秋・全国•八班级专题练习)把以下多项式分解因式:

⑴a2+4ab+4b2—ac—2bc

⑵ax2+bx2+b%+a%+ex2+ex

⑶a2—b2—x2+y2-2ay+2bx

⑷(1+y)2—2X2(1—y2)+x4(l—y)2

【思路点拨】

(1)[2)(3)利用分组分解法分解即可；

(4)利用完全平方公式分解即可.

【解题过程】

解：(1)a2+4ab+4Z?2—ac—2bc

=(a+2b尸—c(a+2b)

=(a+2b—c)(a+2b)；

(2)ax2+bx2+b%+a%+ex2+ex

=(ax2+bx2+ex2)+(ax+b%+ex)

=(a+b+c)x2+(a+b+c)x

=x(x+l)(a+b+c)；

⑶a2—b2—x2+y2-2ay+2bx

=a2—2ay+y2—(fo2+x2-2bx)

=(a—y)2—(6—%)2

二[(a—y)+(b—x)][(a-y)-(fo-%)]

=—(%—a—h+y)(%+a—b—y)；

⑷(1+y)2—2X2(1—y2)+x4(l—y)2

=(1+y)2—2x2(l+y)(l-y)+x4(l—y)2

=[(1+y)-x2(l-y)]2

=(x2y—%2+y+l)2.

12.(2023•全国•九班级专题练习)因式分解：

(1)2a(a—l)?—28a2(1—a)+18am—1)

⑵(%2+3%)2—8(%2+3x)—20

(3)4%3—2x2—9xy2—3xy

(4)y(y—4)—(m+2)(m—2)

【思路点拨】

(1〕利用提公因式法分解因式求解即可；

(2)利用换元法设/+3%=t,然后利用十字相乘法分解因式求解即可；

(3)首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最终再利用提公因式法分解因式即可求解;

(4)首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最终利用平方差公式分解因式求解即可.

【解题过程】

(1)2a(a—l)?—28a2(1—+18a(a—1)

=2a(a—1)2+28a2(a—1)+18a(a—1)

—2a(a—l)(a-1+14a+9)

=2a(a—l)(15a+8)；

⑵设%24-3%=t,

.・.原式=t2-8t-20=(t+2)(t-10)

(%2+3x)2—8(%2+3%)—20

=(%2+3%+2)(%2+3%—10)

=(%+1)(%+2)(%—2)(%+5)；

⑶4x3-2x2—9xy2—3xy

=x(4x2—2x—9y2-3y)

=x[(4x2—9y2)—(2%+3y)]

=x[(2x+3y)(2x-3y)—(2x+3y)]

=x(2x+3y)(2x—3y—1)；

⑷y(y—4)—(m+2)(m—2)

=y2—4y—m24-4

=y2—4y+4—m2

=(y—2)2—m2

=(y—2+m)(y—2—m).

13.(2023春・全国•七班级专题练习〕因式分解：%2+%y—2y2—3xz—12yz—10z2

【思路点拨】

前三项利用十字相乘法分解，再设多项式分解因式为(孙+〃)(x+2y+b),绽开后利用等式的性质求得〃=5z,

b=2z9即可分解.

【解题过程】

解：x2+xy—2y2—3xz—12yz—10z2

=(%—y)(%+2y)-3xz—12yz—10z2,

设多项式分解因式为(孙+〃)(x+2y+A),

那么(xy+d)(x+2y+b)=x2+xy2y2+(a+b)x+(2ab)y+ab,

2

a+b=3zf2ab=12z,ab=10z,

解得：a=5z,b=2z,

.\x2+xy-2y2—2xz—12yz—10z2

=(x—y—5z)(%+2y+2z).

14.(2022秋・全国•八班级专题练习)因式分解：

⑴2(x2+6]+I)2+5(%2+l)(x2+6%+1)+2(%2+I)2

⑵x2(y—z)3+y2(z—%)3+z2(x—y)3

【思路点拨】

(1)先将%2+6%+1和/+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解,

最终利用公式法中的完全平方公式因式分解；

(2)原式是关于x、y、z的轮换式，假设将原式视为关于x的多项式，那么当x二y时，原式=0,故原式含

有因子％-y,又由于原式是关于x,y,z的轮换对称式，故原式还含因子y-z,z-x,又由于原式为x,y,

z的五次式，因此可以设%2(y—z)3+y2(z—%)3+z2(x—y)3=(x—y)(y—z)(z—x)[A[x2+y2+z2)+

B(xy+yz+zx)],利用待定系数法即可求解.

【解题过程】

⑴解:2(x2+6%+I)2+5(x2+l)(x2+6%+1)+2(%2+l)2

=(2%2+12%+2+/+1)(%2+6%+1+2x2+2)

=9(x2+4%+1)(/+2%+1)

=9(x2+4%+1)(%+l)2

(2)解：当％=y时，原式等于0,故原式含有因子％-y,

又由于原式是关于x,y,z的轮换对称式，故原式还含因子y-z,z-x,

又由于原式为X,y,Z的五次式,故可设％2(y—z)3+y2(z—%)3+z2(%一y)3=(x—y)(y—Z)(Z—

%)[A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)]

令％=-1,y=0,2=1得24-8=-1,

令久=0,y=Ifz=2得5/+2B=2,

解得Z=0,B=1,

所以/(y—z)34-y2(z—x)3+z2(x—y)3=(x—y)(y—z)(z—x)(%y+yz+zx).

2

15.〔2022秋•北京海淀•七班级清华附中校考期末)当m为何值时，多项式6/+mXy—5y—15%+38y—21

可以分解为两个关于％,y的一次三项式的乘积？

【思路点拨】

先将％项和常数项进行十字分解，设出两个因式，两式相乘与原式比拟，列出方程求解即可.

【解题过程】

解：利用“十字相乘法"分解二次三项式的学问，可以判定给出的二元二次六项式6/+6盯—5y2—15%+

38y-21中6/-15%-21三项应当分解为：(2x-7)(3%+3),

现在要考虑y,只须先改写作(2x-7+ay)(3x+3+by),

然后依据-5V，38y这两项，即可断定是：%广获二,

解得：a=1,b=-5或a=弓，b=—

又m=2b+3a,

・•・当a=1,b=—5时，m=—7,

、忆35[3_L239

当。=—，b=——HQ于，m=——.

377

16.12022秋•全国•八班级专题练习)阅读以下材料：

材料1：将一个形如x?+px+q的二次三项式因式分解时，假如能满意q=7"〃且p=机+w那么可以把x2+px

+q因式分解成(x+m)(%+"),如：(1)/+4x+3=(尤+1)(x+3)；[2)x2-4x-12—(x-6)

[x+2).

材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1,解：将“x+y看成一个整体，令尤+y=A,那么原式=42+24

+1—(A+1)2,再将"A"复原得：原式=〔x+y+1)2

上述解题用到“整体思想〃整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答以下问题：

[1)依据材料1,把f+2x-24分解因式；

12)结合材料1和材料2,完成下面小题；

①分解因式：(x-y)2-81x-y)+16；

②分解因式：“z-2)(m2-2m-2)-3

【思路点拨】

〔1)将/+2x24写成/+(64)x+6x(4),依据材料1的方法可得5+6)54)即可；

[2)①令孙=4原式可变为484+16,再利用完全平方公式即可；

②令B=m[m2)=m22m,原式可变为B[82)3,即利用十字相乘法可分解为(83)(B+1),再

代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可.

【解题过程】

解：11)X2+2X24=X2+〔64)x+6x〔4)=〔尤+6)1x4)；

[2)①令孙=4,那么原式可变为A28A+16,

A28A+16=(A4)2=(xy4)2,

所以(孙)28(孙)+16=(孙4)2；

②设B=m22m,那么原式可变为5182)3,

BPB22B3=(33)〔3+1)

=(m22m3][m22m+1)

=(m3)(m+1)(ml)2,

所以根(m2)(m22m2)3=(m3)(m+1)(ml)2.

17.(2022秋.全国.八班级专题练习〕将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式连续分解的方法是因式

分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2〃分法、“3+1〃分法、“3+2〃分法及“3+

3〃分法等.

如“2+2〃分法：

ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(%+y)+b(x+y)=(%+y)(a+b)

请你仿照以上方法，探究并解决以下问题：

[1)分解因式：x2-y2-x-y；

(2)分解因式：9m2—4x2+4xy—y2；

(3)分解因式：4a2+4a—4a2b2—b2—4ab2+1.

【思路点拨】

(1)先运用平方差公式，再提取公因式即可；

(2)先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最终提取公因式即可；

(3)先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可.

【解题过程】

(1〕解：x2-y2-x-y

=(%—y)(x+y)—(%+y)

=+y)(x-y-1)；

(2)解：9m2-4x2+4xy—y2

=97n2-(4%2—4xy+y2)

=9m2—(2%—y)2

=(3m+2%—y)(3m—2%+y)；

(3)解：4a24-4a—4a2/72—b2—4ab24-1

=(4a2—4a2b2)+_4ab2)+(i—fo2)

=4a2(1—b2)+4a(1—fo2)+(1—b2)

=(4a2+4a+1)(1—fe2)

=(4a2+4a+1)(1—h2)

=(2a+1)2(1+6)(1—b).

18.12022秋・全国•八班级期末)因式分解与整式乘法互为逆运算.如对多项式，-7%+12进行因式分解：

首先，假如一个多项式能进行因式分解，那么这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的.故可

写成/-7%+12=〔x+加(九+Z?),即x2-7%+12=f+[〃+/?)x+ab(对任意实数x成立〕，由此得〃+/?=-

7,ab=12.易得一组解：a=-3,b=-4,所以f-7x+12=[％-3)5-4).像这种能把一个多项式进

行因式分解的方法，称为待定系数法.

[1)因式分解：x2-15x-34=.

⑵因式分解：x3-3X2+4=(x+a)(f+bx+c),请写出一组满意要求的a,b,c的值：.

⑶请你运用待定系数法，把多项式3汴+5加〃-2/+m+9〃-4进行因式分解.

【思路点拨】

11〕用十字相乘法分解.

(2)依据因式分解的结果进行计算，比拟系数即可求解；

(3)先分组，再用待定系数法分解.

【解题过程】

(1)解：X2-15X-34

=/+(-17+2)x+(-17x2)

=(x-17)5+2).

故答案为：(x-17)5+2).

(2)(x+a)(f+Ox+c)=/+(ab+c)x+ac.

Ax5-3/+4=/+(〃+。)x2+(〃0+c)x+ac.

・・。+。=-3,〃Z?+c=O,ac=4.

解得：a--2,b—-1,c=-2或q=l,b—-4,c=4.

应选填一组即可.

故答案为：a=_2,b--1,c--2.

(3)原式=3疗+(5〃+1)m-]2/-9几+4)

=(3x1)m2+[3mx[In-1)-mtn-4)]-[2n-1)[n-4)

=(3m-n+4)[m+2n-1).

19.12023秋・湖北襄阳•八班级期末)常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上

述方法无法分解，例如％2—4y2_2%+4y,我们细心观看就会发觉，前两项可以分解，后两项也可以分解,

分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，详细分解过程如下：

x2—4y2—