集合（5大压轴考法）解析版 -2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题01集合

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练........................................................2

题型一、集合的子集、真子集及参数问题......................................2

题型二、集合的交、并、补运算及参数问题....................................5

题型三、韦恩图及容斥原理的应用............................................10

题型四、集合中的结构不良问题...............................................14

题型五、集合中的新定义问题.................................................17

压轴能力测评（12题）..............................................25

说明：试题或者解析中区间的概念说明：设。，6是两个实数，而且我们规定:

定义名称符号

\^x\a<x<b^闭区间[a,b]

{x[a<x<b^开区间

半闭半开区间[a,b)

{X[Q<x<b^半开半闭区间(a,可

8解题知识必备♦♦

一、集合的有关概念

1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

3.元素与集合的两种关系：属于，记为e；不属于，记为C.

4.五个特定的集合及其关系图：N*或N+表示正整数集，N表示非负整数集（或自然数集），Z表示整数集,

Q表示有理数集，R表示实数集.

NQN

二、集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A

为集合B的子集.记作AU8(或B2A).

⑵真子集：如果集合但存在元素xdg,且尤仁A,就称集合A是集合2的真子集，记作A堂区

(3)相等：若AU8,且8UA,则A=B.

(4)空集的性质：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合

符号表示AUBAAB

A的补集为CuA

S3

图形表示

AUBJ©

集合表示{x\x^Af或1£团{小且工£3}[x\x^U,B-X^A]

四、集合中的新定义问题

1.集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加

以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题.

2.集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合数学中原

有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的.

3.集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.我们通过可以结合相应的集合

概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题.

4.集合新定义问题处理步骤

①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦;

然后找出要素分别是什么

②看：看所求是什么？

③代：将己知条件代入新定义的要素

④解：结合数学知识进行解答

常用结论

(1)若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2'-1个，非空真子

集有2'—2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

⑶AcB-»AnB=A<=>AU5=B<=>CVBcCVA.

♦♦压轴题型讲练♦♦

【题型一集合的子集、真子集及参数问题】

一、单选题

1.（2024高一上•全国・专题练习）已知集合加=卜«=幺詈±45°，建21,P=1|X=£^±90。,丘Z

则集合M,P之间的关系为（）

A.M=PB.MPC.P=MD.MoP=0

【答案】B

【分析】化简集合，由集合间的关系求解即可.

Ik12f）°]

【详解】因为尤|x=^—±45°,《eZ={x[x=（2左±l）-45°,ZeZ},

所以集合〃中的元素是45。的奇数倍,

IK1QQ°）

因为p=jx|x=^—±90°,左cz1={x|x=（左±2）-45°,%eZ},

所以集合P中的元素是45。的整数倍，

所以MP.

故选:B.

二、填空题

2.（23-24高一下•湖南长沙•阶段练习）设集合4={大公…“,}={2,3,…,37},（n>2,〃cN）且A中任意

两数之和不能被5整除，则〃的最大值为.

【答案】16

【分析】先根据{2,3,…,37}中的数除以5的余数将集合A进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案.

【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组：

4=（5,10,15,20,25,30,35},则card（4）=7,

A={6,11,16,21,26,31,36},则card（A）=7,

4={2,7,12,17,22,27,32,37},则card⑷=8,

A={3,8,13,18,23,28,33},贝!Jcard(A)=7,

A={4,9,14,19,24,29,34},则card(4)=7,

A中的任何两个数之和不能被5整除，故4和A,4和A,中不能同时取数，且4中最多取一个，

.•.最多的取法是取4。4和4中的一个元素，card(A)1rax=7+8+1=16,故〃的最大值为16.

故答案为：16

【点睛】两数之和能被5整除，则两数分别除以5的余数之和能被5整除.本题的分析方法是先求得

{2,3,…,37}中所有数除以5的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被5整除的知识来求得正确答案.

3.(23-24高一上•上海•期中)。是有理数集，集合川=卜卜=4+退伍a,6eQ,尤#0卜在下列集合中：

①卜卜=^/§7,fe〃}；②{x|无=»,小“}；

③{x[x=石+々，玉eM,X2eAf}；④{尤[x=玉*2eAf}.

与集合M相等的集合序号是.

【答案】④

【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集

合M一致即可.

【详解】对于①，因为teM,设1=a+0b,a,bwQ,

则-\/3?==13a+36b,

不妨取a=2力=0,可知2eA1,而#e卜卜=疝，，已。}，显然«任加，所以①与集合“不相等；

对于②，令1=a+Kb,a,bcQ,贝！J〃=(a+百6)=a2+3b2+2y/3ab,

显然-1+百eV,但-1+上任{x|x=/2,fe“},即②与集合M不相等；

对于③，当菁=a+66,无2=—a—6b,a,bwQ时,此时x=为+x、=0,艮|J0e{尤|x=%+尤2，%eeA/},

而集合M中不包含元素0,所以③与集合M不相等；

对于④，令占=4+也4(。1，4eQ,芯片0),尤?=%+石优(。2也eQ,%*0),

则x=x1x2=(a1a2+3她2)+6(01b2+a2bx),其中01a2+3她，她.+a2bleQ,x^0,

所以④与集合M相等；

故答案为：④

4.(23-24高一上.吉林四平•阶段练习)已知集合〃={x|lWxW10,xeZ},对它的非空子集A,将A中的每

个元素上都乘以(-1)'再求和，如4={2,3,6},可求得和为(-1)2X2+(-1)3X3+(-L)6X6=5,试对M的所有

非空子集，求这些和的总和=.

【答案】2560

【分析】考虑集合〃中的元素左VlO/eZ)在总和中出现的次数，根据不含“左”的〃子集共有29个,

则可得含“左”的M子集共有2©-29=29个，从而可根据题意可求得结果.

[详解】考虑集合M中的元素k(l<k<10,keZ)在总和中出现的次数，

因为M的子集共有严个，其中不含“左”的M子集共有29个，

所以含“左”的M子集共有2i°-29=29个，

所以，由题意得这些和的总和为

[(-1)X1+(-1)2X2+(-1)3X3+---+(-1)10xl0]x29

=[(2-l)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)]x29

=5x512=2560,

故答案为：2560

【点睛】关键点点睛：此题考查集合非空子集的应用，解题的关键是求出含“左”的加子集的个数，考查计

算能力，属于较难题.

5.(22-23高二下•北京•期中)己知全集。=｛。,丫)|工€2»€2｝,非空集合S=若在平面直角坐标系

中，对s中的任意点p,与p关于x轴、y轴以及直线，=彳对称的点也均在s中，则以下命题：

①若(l,3)eS,则(-l,-3)eS；

②若(0,4)wS,则S中至少有8个元素；

③若(0,0)至S,则S中元素的个数可以为奇数；

④若｛(X切元+y=4｝口S,则｛(尤,y)||x|+|y|=4｝cS.

其中正确命题的序号为.

【答案】①④

【分析】①根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断；

②若(0,4)eS,贝！JS中至少有4个元素，故错误；

③若(O,O)eS,贝！JS中元素的个数一定为成对出现，故为偶数；

④根据|x|+lyl=4,显然图象关于X轴，y轴，和y=x轴对称，判断即可.

【详解】S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于X轴、y轴和直线y=x均对称.

所以当(x,y)eS,则有(x,-y)wS,(-x,y\eS,(y,x)eS,

进而有：(-x,-J)eS,(-y,x)eS,(y,r)eS,㈠,-x)eS,

①若(l,3)eS,贝！](T-3)eS,故①正确；

②若(O,4)eS,则(OT)eS,(4,0)eS,(T,0)eS,能确定4个元素，故②不正确；

③根据题意可知，(x,y)eS,若x=0,y/0能确定4个元素，

当尤片0,>=。也能确定4个，当XHO,y*0也能确定8个所以(0,0)eS,

则S中元素的个数一定为偶数，故③错误；

④若{(x,切x+y=4”Z,yeZ}=S,由S中的点在平面直角坐标系无Qy内形成的图形关于x轴、V轴和直

线y=x均对称可知，

贝[|{(x,y)|x_y=4,xeZ,yeZ}uS,{(尤,1)|-%+y=4,尤eZ,yez}=S,{(x,y)卜x-y=4,尤eZ,yez}uS,

即{(x,y胭+|y|=4,尤eZ,yeZ}[S,

即{(%刈N+M=4}qS,故④正确，

综上：①④正确.

故答案为：①④.

【题型二集合的交、并、补运算及参数问题】

一、单选题

1.（23-24高一上.上海嘉定.期中）已知集合P,。中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P,Q

中的元素都为正数；②对于任意都有feP；③对于任意eP（awb）,都有MeQ；则

b

下列说法正确的是（）

A.若尸有2个元素，则。有3个元素

B.若P有2个元素，则尸UQ有4个元素

C.若尸有2个元素，则「口。有1个元素

D.存在满足条件且有3个元素的集合P

【答案】C

【分析】若集合尸中有2个元素，设「={。2},根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断

出选项ABC；假若尸有3个元素，设「={044,再根据题设条件推导分析，可得到尸中还有第四个元素，

推出矛盾，从而可判断出D选项.

【详解】若P有2个元素，设2={44（。＞0,6＞0,4*6）,则"wQ,

因为。至少有2个元素，所以。中除仍外至少还有一个元素，

不妨设xeQ,x^ab,则x＞0,2eP,兹eP,

abx

若［=或，贝！|/=（。切2且》＞0,4匕＞0,

abx

所以X=仍，与假设矛盾，所以吃力或，

abx

%ab1—x,ab

所以，二。,一=b^--=b,一=a,

abxabx

当二二a,兹=b时，贝!==所以〃=工，

abxa

若。=1,则a=Z?=l,与标＞矛盾，所以awl,同理可知bwl,

所以此时尸=卜,1},0={1,。},PUQ=k』,J,PIQ={a};

当三="地=。时，则必=1,所以。=g,

abxb

若4=1,则。=6=1,与球力矛盾，所以awl,同理可知bwl,

此时尸={,，，,0={1,耳，PUQ=.』，+，PIQ={b}.

由上可知，当尸有2个元素，则。有2个元素，PUQ有3个元素，PCI。有1个元素，

故A错误，B错误，C正确；

不妨假设P有3个元素，设尸={a,A,c},贝!dc为互不相等的正数，

由③可知：abeQ,aceQ,bceQ,

又因为a,。,c为互不相等的正数，所以",改,左也为互不相等的正数，

由②可知：2,£於5二,2都是集合「={帖,耳的元素，

aabbcc

因为a也c为互不相等的正数，所以?:今;二上都是不等于1的正数，所以幺噂,£工3，,，

aabbccabacbc

又因为反。为互不相等的正数，所以，*3,£二2,

bcaa

考虑到2蟾和34,若也3,则?为互不相等的正数，

abbcacbac

又因为“4,所以好£,所以£是与1，2二不相等正数，

acbaabac

因为都是集合尸的元素，所以集合尸中至少有4个元素，这与假设矛盾，

abac

ha

因此考虑±=区的情况，所以"=加，同理可得〃=ac,c2=ab,所以〃=方3=,

ac

所以。=6=c,这与集合中元素的互异性矛盾，所以尸有3个元素不可能成立，故D错误；

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在

于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中

元素个数的目的.

2.（23-24高一下.安徽安庆•开学考试）已知实数集A满足条件:若awA,则手€人，则集合A中所有元素

的乘积为（）

A.1B.-1C.±1D.与。的取值有关

【答案】A

【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案.

【详解】由题意，若aeA,步eA,

l-a

I+〃

1+-----

I-CI--eA,

11+Q

1------a

1—Q

yCl—1

1+-----

〃+]=aGA,

1------

〃+1

I1a—11+〃]

综上,集合A=

所以集合A中所有元素的乘积为分1.

故选:A.

二、填空题

3.（23-24高一上.上海•期中）设集合A={1,2,3,4},B={1,2],若C=A且台0。/0，则所有满足条件的集

合C的个数为.

【答案】12

【分析】正面求解复杂，先求集合A的子集的个数即可

【详解】按题意，集合C是A的子集，且与8的交集不为空集

集合A的子集有24=16个

其中与8的交集为空集的子集，即{3,4}的子集，有于=4个

故满足题意的集合C的个数为16-4=12

故答案为：12

4.（24-25高一上•上海•课后作业）若4={1,3,4，2={f,l},AJ5={1,3,%},则实数x的值所组成的集合

C为.

【答案】{0,点-8

【分析】依题意有3右4,即/eA,且分类讨论求机的值.

【详解】因为A={1，3,x},B={%2,1},AUB=〃,3,X},

所以A<JB=A9

所以

所以f=3或％2=%，

当f=3时，解得x=土百，合题意，

当％2=%时，解得％=0或%=1,

若x=0,A={1,3,0},B={0,l）,合题意，

若x=l,A={1,3/},B=不满足集合中元素的互异性，舍去,

综上所述，C={0,73,-73）.

故答案为：{0,石，-上}.

三、解答题

5.（24-25高一上•上海•课后作业）设集合P={尤1-2<尤<3},Q^{x\3a<x<a+1］；

（1）若。1尸，求实数。的取值范围；

（2）若尸cQ=0,求实数。的取值范围.

【答案】⑴-g，+e］

1

(2)(-8,-3L一,+8

2

【分析】（1）分为Q=0和QW0两种情形进行讨论，根据。口尸，列不等式组求实数a的取值范围;

（2）分为Q=0和Qw。两种情形进行讨论，根据尸列不等式组求实数a的取值范围；

【详解】（1）由题意，集合尸={引-2<%<3},Q=P,需分为Q=0和两种情形进行讨论：

当Q=0时，3a>a+l,

解得，6Z>—,满足题意；

当。工0时，

因为Qq尸，

3〃N—2

所以<a+l<3,

3〃<〃+1

21

解得，

综上所述，实数0的取值范围为［-早2+8）.

（2）由题意，需分为。=0和。*0两种情形进行讨论:

当。=。时，3a>a+\,

解得，a~^2,满足题意；

当Q*0时，

因为「口。=0,

[〃+1«—2

所以。「解得。4一3,

[3a<a+l

_[3a>3乙

或,[无解；

[3a<a+l

综上所述，实数。的取值范围为（-应-3]口1,+^.

12

6.（24-25IWJ一■上,上海,课后作业）设集合SuN,SW0,且满足xeS,则1H-------£S.

x-1

⑴求出只含2个元素的集合S；

⑵满足题设条件的集合S共有几个？列举出来.

【答案】（1）{2,13},{3,7},{4,5}

（2）7个，{2,13},{3,7},{4,5},{2,13,3,7},{2,13,4,5},{3,7,4,5},{2,13,3,7,4,5}

【分析】（1）根据1+」三的形式，先确定x的取值，再代入验证；

x-1

（2）根据（1）的结果，列举满足条件的集合.

12

【详解】（1）；S只有2个元素，且xeN且1+」土eN,

x-1

12

...x可取2或3或4或5或7或13,代入1+——，

X-1

1919

当％=2代入1+1，得13,将13再代入1+1，得2,满足双元素集合{2,13},

x-1x-1

1919

当尤=3代入1+士；，得7,将7再代入1+产，得3,满足双元素集合{3,7},

x-1x-1

1o10

当x=4代入1+」一，得5,将5再代入1+3,得4,满足双元素集合{4,5},

x-1x-1

5,7,13都是对应上述双元素集合中的元素，不需再代入，不合要求，

所以双元素集{2,13},{3,7},{4,5}.

（2）满足题设条件的集合共有23-1=7（个）,分别是{2,13},{3,7},{4,5},{2,13,3,7},{2,13,4,5},{3,7,4,5},

{2,13,3,7,4,5}.

【题型三韦恩图及容斥原理的应用】

一、单选题

1.（23-24高一上.河南郑州•阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲

座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记

A={x|x是听了数学讲座的学生},8={x|x是听了历史讲座的学生},C={x|x是听了音乐讲座的学生}.

用card（Af）来表示有限集合加中元素的个数，若card（Ac3）=17,card（AnC）=12,card〈BcC）=9,

Ac3cC=0,贝U（）

A.card（AuB）=143B.card（AuBuC）=166

C.card（BuC）=129D.card（AnBnC）=38

【答案】B

【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断.

【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图，

对A：card（AuBuC）=46+42+17+12+9=126,故A错误；

对B：card（AuBuC）=46+42+40+17+12+9=166,故B正确；

对C：card（BuC）=42+40+17+12+9=120,故C错误；

对D：card（AnBnC）=0,故D错误；

故选：B.

\c407

2.（23-24高一上・陕西•阶段练习）下列表示集合M=]xeN|/eN1和双=卜|（尤2_5x）2=36]关系的

图中正确的是（）

A.B.

【答案】A

【分析】由题意先分别把集合M,N求出来，然后对比集合，观察它们所具有的关系即可求解.

【详解】由题意可知集合M是由6的正因数构成的集合，

而6的正因数有1,2,3,6,

所以"={1,2,3,6},

若（一―5x）~=36,贝！|/一5尤=±6,

即x?-5x+6=0或X?-5x-6=0,

即（x_2）（x_3）=0或（无一6）（尤+1）=0,

分别解得x=2或x=3,无=6或x=-l,

所以N={—1,2,3,6},

从而可知集合M,N是部分交叉的关系.

故选：A.

3.（23-24高一上・辽宁•阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚

运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱.小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游

泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20

人没观看过田径类比赛,16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失,记为机，

则由上述可推断出山=（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】A

【分析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有x人，观看过球类与游泳类比赛的有y人，观看过田径类与

游泳类比赛的有z人，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为。，b,c,画出Veen图结合题意

求解即可.

【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有了人，观看过球类与游泳类比赛的有，人，

观看过田径类与游泳类比赛的有z人，则机=尤+y+z,

只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为。，b,c,如图，贝！|a+6+c+x+y+z=50-15=35①，

因为有18人没看过球类比赛，所以b+c+z=18,

因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以a+c+y=20,a+b+x=16,

所以2（a+b+c）+x+y+z=54②，由①②得a+/?+c=19,则〃?=16.

故选：A.

4.（23-24高一上•湖南长沙•期末）已知全集为U,集合M,N满足MNU,则下列运算结果为。的是

).

A.MuNB.（皆N）u（

C.D.NU（MM）

【答案】D

【分析】根据〃NU,结合交并补的运算即可判断选项

【详解】如图,

因为MNU,所以MUN=NNU,故A错误;

因为（刎）。（〃加）=飘"门必=£/加中。，故B错误;

因为MNU,所以故C错误；

因为MNU,所以Nu（dM）=U,故D正确.

故选：D

二、填空题

5.（23-24高一上.陕西・阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班

课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名

声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：

①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；

②只报名舞蹈的有36人；

③只报名声乐的有20人；

④报名两门课程的有14人.

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【分析】画出Venn图，结合图形求出同时报名舞蹈和报名太极的人数，再逐一分析即可得解.

【详解】如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人，

贝！)45+26+33—90=5+8+无，解得x=l,

所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人，

只报名舞蹈的有45-8-1=36人，只报名声乐的有33-8-5=20人，

报名两门课程的有8+5+1=14人.

故答案为：②③④.

【题型四集合中的结构不良问题】

一、解答题

1.(23-24高一上•湖北孝感•阶段练习)在①4=卜|尤2-3%+2=0},②A={尤12/-3x-2=。}这二个条件中

任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合,集合8=卜卜2+25+1)》+/-5=()}.

(1)若集合8的子集有2个，求实数。的值；

(2)若4口8=3,求实数。的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

【答案】⑴a=-3

⑵条件选择见解析，{小—3}

【分析】(1)根据子集确定集合元素个数，即可得实数。的值；

(2)根据集合与集合的关系确定集合8中的元素情况，即可得实数。的取值范围.

【详解】(1)•••集合2的子集有2个，.•・集合8元素个数为1

.-.A=4(a+l)2-4(a2-5)=0,即8(a+3)=0解得：«=-3

(2)选①：集合A={小2一3%+2=0}={1,2}

AoB=B,:.BA

对集合8讨论：

当A<0时，即。<-3时，B=0,满足条件;

当A=0时，即。=-3,此时8={2},满足条件；

当A>0时，要满足条件，必有3={1,2},

由根与系数的关系有：卜：=此方程组无解，不满足条件舍去.

1x2=。-5

综上所述，实数。的取值范围是{4aW-3}.

选②:集合&=同2/-3x-2=0}=]-；,2

Ar>B=B,.\BA

对集合B讨论：

当△<()时，即3时，B=0,满足条件；

当A=0时，即a=—3,此时3={2},满足条件;

当A>0时，要满足条件，必有8=

--+2=-2(a+l)

2,此方程组无解，不满足条件舍去

由根与系数的关系有：

--X2=CZ2-5

2

综上所述，实数。的取值范围是{布-3}.

2.(23-24高一上•广东汕头•阶段练习)已知4=口|2。-1<彳<a+1),2={%]-1<》43}.

(1)若a=_g，求AU氏An(43);

(2)在①“xwA”是“xe3”的充分不必要条件；®A<JB=B；③AC3=0；这三个条件中任选一个，补充

在下面问题中，并进行解答.

问题：若,求实数。的取值范围构成的集合P.

注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.

【答案】（1）AUB={X|-2<XW3},An^B={x|-2<x<-1}

(2)答案见解析

【分析】(1)利用集合补集和交集的概念求解即可；

(2)根据集合的包含关系分情况讨论即可.

[详解]⑴当a=J时，A=L|-2<x<|j,^B={x\-l<x<3},

所以AU5={X|-2<X<3},={x\x<-l^x>3],

A^B)={x\-2<x<-l}.

(2)选①“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，贝!IA共8

若A=0,此时2a—12a+l,解得a22；

若&H0,此时。<2,只需，°(且等号不同时成立)

[a+1W3

解得0Va<2,

所以满足条件的实数a构成的集合尸={aIa20}.

选②=则AUB；

若A=0,此时2a—12a+l,解得〃N2；

若Aw0,此时a<2,只需<1八，解得0Wa<2；

[a+l<3

综上所述，满足条件的实数。构成的集合P={a|〃20}.

选③AcB=0,

若A=0,此时2a-I2a+l,解得a22；

若Aw0,此时〃<2,只需2〃一123或a+l«-1,

显然2々一123即2无解，解。+14—1得a4—2；

综上，满足条件的实数。构成的集合P={，|aW-2或。22}.

3.(22-23高一上.重庆沙坪坝.期中)己知A={尤k2-6X+5=。},B={x|ar-l=0}.

(1)若a=l,求Ac(&B)；

⑵从①AU(%B)=R;②=③8c他A)=0这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行

解答.

问题：若,求实数“的所有取值构成的集合C.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴Af)={5}

⑵条件选择见解析，c=jo,|,ij

【分析】(1)当。=1时，求出集合8、A,利用补集和交集的定义可求得集合AC&B)；

(2)选①，分。=0、。片0两种情况讨论，在“=0时，直接验证即可；在awO时，求得8={十>，根据

AU瓜3)=R可得出关于。的等式，综合可得出集合C；

选②，分析可知8=A,分“=0、a/0两种情况讨论，在。=0时，直接验证即可;在。/0时，求得8=，，，

根据3=A可得出关于。的等式，综合可得出集合C；

选③，分。=0、"0两种情况讨论，在。=0时，直接验证即可;在"0时，求得2=弓，，根据BC做A)=0,

可得出关于。的等式，综合可得出集合C.

【详解】⑴解：当a=l时，B={X|X-1=0}={1},

又因为A={小②_6尤+5=0}={1,5},故AQ(胡)={5}.

(2)解：若选①，当。=0时，B=0,则\B=R,满足AU(-3)=R,

当年0时，2=修，若AU低3)=R,则：=1或5,解得“=1或，

综上所述，c=|o,|,ij;

若选②，-：AC\B=B,则

当。=0时，B=0,满足3g4；

当awO时，3=14,因为3=则工=1或5,解得。=1或9.

综上所述，C=|o,|,lj;

若选③，当。=0时，5=0,满足Bc(\A)=0；

当awO时，贝”=£}，因为3c做A)=0,贝[=1或5,解得a=l或1.

综上所述，c=|o,1,ij.

【题型五集合中的新定义问题】

一、单选题

1.(24-25高一上・上海・单元测试)若X是一个非空集合，"是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足:

(1)X&M,0eM；(2)对于X的任意子集A,B,当AeM且Be〃时，有AuBeM；(3)对于X

的任意子集A,B,当4©/且3€河时，有AcBeM,则称M是集合X的一个——集合类”，例如：

〃={0,抄},{耳,松,0},{。,6,0}}是集合*={4,瓦＜7}的一个----集合类”.已知X={a,b,c\,则所有含{b,

c}的——集合类”的个数为().

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】确定M中一定含有0,{仇c},{4,6,c},再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答

案.

【详解】X={a,6,c}的子集有0,M,{b},{c},{a,b],{a,c},{b,c},{a,b,c),

由题意知M中一定含有0,{仇c},"c},

则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合⑷,㈤,{c},{a,6},伍©中选取；

当剩余的5个集合都不选时，M={0,{b,c},{a,b,c}},共1个；

当只取1个时，M={0,{a},{6,c},他,6©}或/={0,{勿,{>,<?},{a,6,c}},

或加={0,{c},{瓦c},■力,c}},满足题意,此时M有3个；

当取2个时，/={0,{6},{。,6},{6,。},{。,"。}}或/={0,{6},{。},{6,。},{。,6,。}},

或"={0,{小{。©,协,。},{。,6©},满足题意，此时M有3个；

当取3个时,"={0,{。},{。},{。,。},{仇。},伍,6©}或/={0,{6},©,他©,屹©,伍,6©},

或川={0,{矶,{8},{4,6},{6©,{4,"£?}}或川={0,{6},©,{°,6},{6©,{4,瓦碇},满足题意,此时M有4个;

当取4个时，没有符合题意的情况；

当5个全选时，M=\0,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}},共1个,

故所有含物,。}的“M—集合类”的个数为1+3+3+4+1=12,

故选：D

2.（23-24高一上•上海•期末）已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若aeS,则当且仅当。=相+”

（其中正整数加、〃eS且加片〃）或。=。+4（其中正整数。、q比S且现有如下两个命题：①5wS；

②集合{xW=3〃,〃eN*}aS.则下列判断正确的是（）

A.①对②对B.①对②错C.①错②对D.①错②错

【答案】A

【分析】根据集合S的定义即可判断①是假命题，根据集合S的定义先判断5eS,3〃eS,再由VxwA,

有x=3〃+5,3neS,5eS且3a/5,所以xeS,可判断②是真命题.

【详解】因为若“eS,则当且仅当。=根+〃（其中机,“eS且加工〃），或a=p+q（其中0，4隹5,°,“€2*且

且集合S是由某些正整数组成的集合，

所以1史S,2e5,

因为3=1+2,满足。=。+4（其中0应e5,0应€2*且。34）,所以3eS,

因为4=1+3,且leS,3eS,所以4eS,

因为5=1+4,US,4e5,所以5wS,故①对；

下面讨论元素3n（n>1）与集合S的关系，

当”=1时，3eS；

当"=2时，6=2+4,2eS,4e5,所以6eS；

当"=3时，9=3+6,3eS,6eS,所以9eS；

当〃=4时，12=3+9,3eS,9cS,所以12eS；依次类推，

当〃23时，3月=3+3（”—1）,3eS,3（M—1）eS,

所以3〃eS,贝!|{x|x=3",〃eN*}uS,故②对.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断"S,2eS,3eS,4eS,再根据集合S的定义求解.

二、填空题

3.(23-24高一上•北京•期中)定义集合尸={尤I。耋圻的“长度”是6一0,其中小bwR.已如集合

13

M={x\m<x<m+-},N={x\n--<x<n},且M,N都是集合{x|1VxV2}的子集，则集合McN的“长度”

的最小值是—；若〃7="|，集合MuN的“长度”大于g,则”的取值范围是.

【答案】[?SM?2]

【分析】空1：根据区间长度定义得到关于北〃的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入”=!得到

M=p|<x<^j,再根据区间长度大于：，得到关于〃的不等式组，解出即可.

13

【详解】集合M={%I根根+耳},?/={x|w--<x<n},且M,N都是集合{x|l<%«2}的子集，

38

由<1—可得14加工=，由<n--5>一l,可得匚W〃K2.

m+—<22/c5

12Vi<2

要使McN的“长度”最小，只有当加取最小值、〃取最大或加取最大、〃取最小时才成立.

当机=1,n=2,=“长度”为巧_(=白，

IJ乙I4JAV*

、“38””f尸”，8〕“心旱31

当根=5,n=-,=“长度”为y5=5，

故集合MCN的“长度”的最小值是:；

若“6M»=^f-传</x<J-7|].

要使集合MUN的“长度”大于g,故，一|<[-|或”>|+1,

即”[或〃>：,又沁42,故〃佟2.

故答案为：A；[|《)((2.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合

分类讨论的思想即可.

三、解答题

4.（23-24高一上.北京.阶段练习）设整数集合A=oo},其中14%%<205,且对于

任意盯若i+则生+“小4.

⑴请写出一个满足条件的集合4

⑵证明：任意尤e{101,102,…,200},xgA.

【答案】⑴A={1,2,3,…,100}（答案不唯一）

（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意可设4=〃，满足条件即可得解；

（2）根据满足任意x©{10L102,…,200},要证尤任A的形式，考虑反证法即可证明.

【详解】（1）令%=〃，满足IV%<?<…<%oo-205,

当仃（1W注JW100）时，若满足i+则4+%=i+jeA成立，

即可写出一个满足条件的集合4={1,2,3,…,100}.

（2）假设存在一个％e{101,102,...,200）使得/eA,

令％=100+s,其中seN且IWSWIOO,

由题意，得卬为+见仁人，

由久为正整数，得4oo+4>Goo，这与Goo为集合A中的最大兀素矛盾，

所以任意X€{101,102,…,200},X交A.

【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个演©{101,102,…,200}使得首先把与拆

成x°=100+s是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且4。。最大是解题的另外一个关键点.

5.（23-24高一上•上海杨浦•开学考试）已知数集4={q,外…凡}<…<。”,〃上2）具有性质产：对任

意的U（1V注力,q%与鱼两数中至少有一个属于A.

ai

⑴分别判断数集{L3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质尸，并说明理由；

⑵证明：4=1且对任意都是孙的因数；

⑶当〃=5时，若%=2,求集合A.

【答案】（1）{L3,4}