人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：1 1 1 空间向量及其线性运算

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第一章空间向量与立体几何〖数学文化〗——了解数学文化的发展与应用向量最初被应用于物理学，很多物理量都是向量，如：力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度.大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的合力可以用平行四边形法则得到.“向量”一词来自力学、〖解析〗几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿.历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量的运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学知识和数学体系.〖读图探新〗——发现现象背后的知识空间向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学、卫星发射与运行等方面也有着广泛的应用.问题1：港珠澳大桥是我国桥梁建设史上的又一座丰碑，它必定在推动经济发展中起到巨大的作用.在港珠澳大桥的建设过程中，涉及到很多空间的直线(如把大桥的斜拉索看成直线)和平面(如把海平面看成平面)的夹角问题，这些夹角如何计算？如何保证这些夹角的大小达到设计要求？问题2：北斗导航系统是在地球赤道平面上设置2颗地球同步卫星，卫星的赤道角距约60°.GPS是在6个轨道平面上设置24颗卫星，轨道赤道倾角55°，轨道面赤道角距60°.在设计过程中如何计算这些角？链接：两个问题中都涉及到空间角的计算问题，这些问题我们在高中数学的必修课中已经学习了它们的计算方法，但是运算方法技巧性强，不适合现代工程设计的实践和应用，不适合应用计算机进行大量的数据处理，我们本章学习的空间向量，就可以把这些问题代数化，可以很方便地应用计算机解决.

1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算课标要求素养要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算.在空间向量概念的形成和进行线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养.自主梳理1.空间向量的有关概念(1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模.(3)表示法：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①几何表示法：空间向量用有向线段表示.,②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向,量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记,作\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|\o(AB,\s\up6(→))|.))2.特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量3.空间向量的线性运算(1)如图，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算：①a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))；②a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))；③当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量线性运算的运算律(其中λ，μ∈R)①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.4.空间向量共线的充要条件(1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线.5.空间向量共面的充要条件(1)向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.(2)向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.(3)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.(4)空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)若a＝－b，则|a|＝|b|.(√)(2)若两个向量的终点重合，则这两个向量的方向相同.(×)〖提示〗两个向量的终点重合，起点不知如何，则其方向的关系不能确定.(3)零向量与任意向量平行.(√)2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AC1,\s\up6(→))＝()A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a＋b－c D.a－b－c〖答案〗A〖解析〗eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c.3.在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0 D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))〖答案〗C〖解析〗∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴点M与点A，B，C必共面.4.化简：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝________.〖答案〗eq\o(AD,\s\up6(→))〖解析〗eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).题型一空间向量的概念〖例1〗(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，则eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D.相等向量其方向必相同(2)(多选题)下列命题为真命题的是()A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝bB.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝pD.空间中任意两个单位向量必相等〖答案〗(1)D(2)BC〖解析〗(1)A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小，故选D.(2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以选BC.思维升华空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.〖训练1〗如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)试写出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模.解(1)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3个.(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝3.题型二空间向量的线性运算〖例2〗如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.思维升华利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.〖训练2〗如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果不为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))〖答案〗D〖解析〗A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))，故选D.题型三向量共线问题〖例3〗如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线？解法一∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).①又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，②①＋②得2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线.法二∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(CE,\s\up6(→))共线.思维升华判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.〖训练3〗如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))是否共线.解设AC的中点为G，连接EG，FG，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))共线.题型四向量共面问题〖例4〗已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面.(1)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).解(1)∵eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))为共面向量，又eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))过同一点P，∴P与A，B，M共面.(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→))，根据空间向量共面的充要条件可知，点P位于