2025年高考数学复习之填空题：相等关系与不等关系（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：相等关系与不等关系

（10题）

一.填空题（共10小题）

1.（2024•运城二模）已知集合力={x6<3^+1<27},B={x\^-3x+m=O],若1e4CB,则AUB的

子集的个数为.

2.（2024•长宁区校级三模）已知函数/（x）=/+2x,若加>0,n>0,且/（2机）=/（0）,则

12

一+一的最小值是.

mn

21

3.（2024•樊城区校级模拟）已知正实数%,y满足4x+7y=4,则-----+--的最小值

x+3y2x+y

为.

4

4.（2024•宜宾三模）已知x>l,求尤+』的最小值是

X—1

41

5.（2024•历城区校级模拟）在△A3C中，角A,B,C的对边分别为mb,c,若Q+0+C=2,则--+一的

a+bc

最小值为.

11

6.（2024•河池模拟）若实数a>l>b>0,且/+25=62+2°,则——+工的最小值为

a-1b

7.（2024•保定三模）设a,b,c>0,则史史竺也叵的最大值为______.

a+b+4c

8.（2024•浙江模拟）若〃>0,b>0,则m讥b,a+j）}=-

9.（2024•下陆区校级三模）设a,Z?GR+,若〃+4。=4,则但三!二的最小值为__________________，此

\ab

时a的值为.

1Q

10.（2024•平罗县校级模拟）已知机，nE（0,+°°）,—+n=4,则小+7的最小值为_______.

mn

2025年高考数学复习之小题狂练600题(填空题)：相等关系与不等关系

(10题)

参考答案与试题解析

一.填空题(共10小题)

1.(2024•运城二模)己知集合4={KCN|g<3计1<27},2={工仔-3x+m=0},若leACB,则AU2的

子集的个数为8.

【考点】指、对数不等式的解法；并集及其运算；交集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】8.

【分析】先求出集合A,然后结合集合的交集运算及元素与集合关系先求出加，进而可求8,结合集合

的并集及集合子集的个数规律即可求解.

【解答】解：因为4={久€7[<3'+1<27}={0,1},B={x|/-3x+m=0},

若ICAAB,则1CB,

所以1-3+机=0,即机=2,B={\,2},

AUB={0,1,2),子集个数为23=8.

故答案为：8.

【点评】本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合子集个数的判断，属于基础题.

2.(2024•长宁区校级三模)已知函数/(x)=/+2无，若机>0,〃>0,且/(2加)4/(〃-1)=f(0),则

—+2的最小值是8.

mn

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算.

【答案】8.

【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可得加，〃的关系，然后利用乘1法，结

合基本不等式即可求解.

【解答】解：因为/(x)=X3+2X,

所以/(-x)=-x3-2尤=(尤)，即/(x)为奇函数，

因为y=%3与y=2x都为R上递增的函数，

故/(%)在R上单调递增，

若机>0,n>0,且/(2m)4/(几-1)=f(0)=0,

则/(2加=-/(n-1)=f(1-n),

所以2m=1-小即2m+n=1,

122m+n4m+2n刀4m

一+—=------+-----------=4+-+—>4+2

mnmnTH几

11

当且仅当九=2相，即m=彳，九=亍时取等号.

4z

故答案为：8.

【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属

于中档题.

219

3.(2024•樊城区校级模拟)已知正实数无，y满足4x+7y=4,则-----+------的最小值为一

x+3y2x+y-4-

【考点】运用“1”的代换构造基本不等式.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】由4x+7y=2(l+3y)+(2x+y),结合基本不等式求解即可.

【解答】解：因为4x+7y=4,

―21121

所以-----+------=~[2(%4-3y)+(2%+y)](---------+--------),

x+3y2x+y4Lv-v”、+3y2x+yy

2112(x+3y)+2(2x+y)

所以•+=力4++1],

x+3y2x+y2x+yx+3y

因为X一为正实数,所2(%以+3/y)^,。，2(2^+y)

>0,

x+3y

2(%+3y)2(2x+y)

所以+--------------------------=4,

2x+yx+3y2x+yx+3y

当且仅当。!:^7-4+V时等号成立，即％=磊，y=2时等号成立，

yftX十/y=41313

2119QA

所以——+---->-(4+4+1)=-,当且仅当％=yr/y=同时等号成立,

x+3y2x+y441515

219

所以^+；一的最小值为了，

x+3y2x+y4

9

故答案为：--

4

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

4

4.(2024•宜宾三模)已知x>l,求x+T的最小值是5

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值.

【解答】解：由于x>l,所以X-1>O,

所以％+=(%一1_)+々+1Z2(x—1),丫，1+1=5,当且仅当冗=3时，等号成立.

故答案为：5

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题.

41

5.(2024•历城区校级模拟)在△A3C中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若〃+。+°=2,则一+一的

a+bc

9

最小值为--

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

9

【答案】--

【分析】根据基本不等式的性质求解即可.

【解答】解：因为a+6+c=2,

41

所以-z+一

a+bc

141

=5(----+-)(〃+/?+c)

乙a+bc

(5+4^+—)

2a+bc

、1“J4ca+b、

)

>2□(5+2\a—+nb:---c--

9

=2)

4ca+b

当且仅当----=----，即q+b=2c时等号成立，

a+bc

419

故+一的最小值为

a+bc2

9

故答案为：—.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题.

11

6.(2024•河池模拟)若实数〃>1>/?>0,且〃2+28=房+2〃，则---+;■的最小值为4

a-1b

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算.

【答案】4.

11

【分析】根据题意化简已知等式，可得〃-1=1-。，从而将——+工化简为关于b的式子，利用基本不

a-1b

11

等式求出「+工的最小值，可得答案.

a-1b

【解答】解：由。2+20=房+2〃，得（4-1）2=（6-1）2,结合〃>1>人>0,可得〃-1=1-/?,

1111b+1-b11

所以言+3==+3=^^=^^2^^=4,

k27

当且仅当Z?=l-A,即时，+T■的最小值为4.

乙a-1b

故答案为：4.

【点评】本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题.

7.（2024•保定三模）设a,b,c>0,则竺空字空叵的最大值为2.

a+b+4c

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算.

【答案】2.

【分析】根据a、b、c均为正数，证出2碗登+26,4V赤矍+8c,由此代入题中式子，得到

a+2y[ab+4Vaca+2VaF+4Vac

<2,利用基本不等式取等号的条件求出的最大值.

a+b+4ca+b+4c

【解答】解：因为。〉0,b>0,所以2而4+24当且仅当］=26时，即〃=4。时，等号成立.

又因为〃>0,c>0,所以4VHE<?+8C,当且仅当]=8c时，即〃=16c时，等号成立.

,a+2Vab+4y[ac。+(§+26)+(号+8，)2a+2b+8c

因此，-------------<--~~---——=—;------=2,

a+b+4ca+b+4ca+b+4c

a+2ylab+4\[ac

当正数a、b、c满足出b：c=16：4：1时，---------上一的最大值为2.

a+b+4c

故答案为：2.

【点评】本题主要考查不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题.

8.（2024•浙江模拟）若a>0,b>0,则7ni7i{nia久（a,b,++》）}=_V2.

【考点】不等关系与不等式.

【专题】不等式的解法及应用.

【答案】见试题解答内容

112

【分析】不妨设a^b>0.分以下三种情况讨论：①Q>b>遮时，由=-<—<b,可得max{a,

azbzbz

1ii1

b,—+—}=a>V2；②a之冠之b时，可得加b,—+—}=a>V2；

③好>a>b时，可得max{a,4/+靠}='+/2V2,综上即可得出zn讥{?na%（a,b,今+表）}：

V2.

【解答】解：不妨设〃20>0.

11211

①aNb之迎时，V—+—<—<6,b,—+—}=a>V2；

azb,匕zazb乙

「X3L,2112223厂2113厂

②a2/2时’+正工商/三乐=返三法根”'b,-+-}=«>V2；

Z-x3/—11223r~11113f—

③迎NaNb时，*.,—+—>—>YP=v2,max{a,b,—+—}=-7+-7>v2.

a2i?2a2V4a2b2次『

综上可知：则久（a,b,+-^）}=V2.

故答案为近.

【点评】熟练掌握不等式的性质和分类讨论的思想方法是解题的关键.

9.（2024•下陆区校级三模）设a,66R+,若a+4b=4,则迎生的最小值为2&，此时a的值为2

7ab------------

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算.

【答案】2五,2.

【分析】先利用基本不等式求出油的范围，然后结合二次函数的性质即可求解.

【解答】解：因为a,6CR+,

1

所以4=a+4b>2V4a4,当且仅当a=4b=2,即〃=2,b=鄂寸取等号,

所以0<abWl,

1111

所以一+2+-^>2,

ab7ab7aby/ab

Va+2Vd2a+4b+4VHs4+4而F/11

贝1J（F-）'=一施—==4（石+漏）2，

故绊誓的最小值为2企.

\ab

故答案为：2VL2.

【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在函数最值求解中的应用，属于中档题.

1Q

10.(2024•平罗县校级模拟)已知加，几6(0,+8),—+n=4,则租+-的最小值为4

m九-----

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算.

【答案】4.

【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解.

1

【解答】解：因为m,nE(0,+8),—+n=4,

m

gi91igiIQ~

贝！Jzn+-=7(m+-)(-+n)=y(10+mn-l---)>彳(10+2\mnx——)=4,

n4nm4mn4\mn

当且仅当H2〃=3时取等号.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

考点卡片

1.并集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合8的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AUB.

符号语言：或无62}.

AU3实际理解为：①％仅是A中元素；②％仅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

运算性质：

®AUB=BUA.®AU0=A.®AUA=A.@AUB2A,@AUB=B^AQB.@AUB=0,两个

集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(CUA)n(CUB).

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；注意并集中元素的互异性.不能重复.

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数

的定义域，值域联合命题.

2.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合2的元素组成的集合叫做A与2的交集，记作ACR

符号语言：AHB={X\XGA,且XCB}.

ACS实际理解为：尤是A且是8中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算性质：

®AHB=BnA.②AC0=0.®AAA=A.@AHBQA,ADBQB.@AHB=A^AQB.@AAj?=0,两个

集合没有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

3.不等关系与不等式

【知识点的认识】

48

不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如二与一就是相等关系.而

不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说〃>儿a-b

>0就是不等式.

不等式定理

①对任意的b,有a>b0a-b>0；a=b=>a-b=0；a<b<^a-b<0,这三条性质是做差比较法的依据.

②如果。>b,那么匕<〃；如果那么

③如果a>b,且b>c,那么〃>c；如果a>b,那么a+c>b+c,

推论：如果〃>b,且。>d,那么〃+c>Z?+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果c<0,那么ac<bc.

【命题方向】

例1：解不等式：siiuN*.

解：*.*sinx>-2,

・'.2匕r+/二-（左CZ）,

oo

・，.不等式siiix>*的解集为{x|2E+看WxW2E+得，％EZ}.

这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这

个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解.

11

例2：当次?>0时，〃>/?0一<一.

ab

1

证明：由次?>0,知一7〉0.

ab

1I11

又•••46,•而〉力语即尸了

“11„,11

右一贝！|一•ab<—■ab

abab

'.a>b.

这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，

这种技巧在选择题上用的最广.

4.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：—^―>y[ab(a20,6N0),变形为(―^―)2或者a+b^l4ab.常

常用于求最值和值域.

实例解析

例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

2abX2+242

Atciib均为负数，则+22.B：i---->2.C：sinxH—：—>4.D：ci&R+>(3—a)(l)<0.

b2aVx2+1sinxa

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、2、D均满足条件.

对于C选项中sintW±2,

不满足“相等”的条件，

再者sinx•可以取到负值.

故选：C.

A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；8分子其实可以写成

?+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=占的最值？当0〈尤<1时，如何求y=黑的最大值.

解：当％=0时，y=0,

当时’丫=熹=5|'

用基本不等式

若x>0时，OVyW?，

若x〈0时，一?WyVO,

综上得，可以得出—?Wy〈孝，

•'-y=的最值是一字与今

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于o,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【解题方法点拨】

基本不等式的应用

1、求最值

例1：求下列函数的值域.

（1））=3x2+*（2）尸X+]

解：（1））=3x2+专22y3x2.圭=*二值域为所，y）

⑵当x>0时，y=x+；>2\/X4=2；

当x<0时，尸x+：=-（-x-：）W-2,/x±=-2

...值域为（-8,-2iur2,WO）

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、b、ceR+,且a+b+c=l。求证：；1-1；；1-1^I-?[>8

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

工_1=匕£="£4返，可由此变形入手。

aaaa

初・•入u.L,1.1.1-4b+c、2庭闩工田1.2-Jac1

解：•a、b、ceR>a+b+c=lo..——1==---2-----。I口」理一一1之----->——1士-----。

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

[1-1^1-1手.手.乎=8。当且仅当a=b=c寸寸取等号。

3、基本不等式与恒成立问题

1Q

例3：已知x>0/>0且一+―=1,求使不等式x+y之初恒成立的实数加的取值范围。

xy

知人.19.x+y9x4-9y_IOy9x.

解：x4~v=fc.x>0A.v>0A.—+—=l,..----+------=1l./.—+—+—=I

xykxkykkxky

ina

>2-o.\jt>16,we(-oo,16]

kk

4、均值定理在比较大小中的应用

例4:若a>b>LP=Jlga-lg=；Qga+lg6),&=lg(^^),则PQ,&的大小关系是

分析：,/a>b>1.0.1ga>OJg6>0

Q=\(lga+lgb)>Jiga/gb=p

R=lg(土，^)>lg-fab=；lgab=Q

.\R>Q>Po

【命题方向】

技巧一：凑项

例1：已知x<2,求函数丫=4式-2+---的最大值。

44x-5

解：因4x-5<0,所以首先要，调整节号，又(4X-2A—!-不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项，

4x-5

•・。<£二5-4%>0，/.j=4x-2+——=一；’5—4'——-—：+34-2+3=1

4,4x-5I5-4xJ

当且仅当5-4X=K。，即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，％,=1。

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.

技巧二：凑系数

例2：当0<x<4时，求y=;c(8-2x)的最大值.

解析：由0<x<4知，8-2尤>0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积

的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可.

112x+8—2x0

y=x(8-2x)=丸2x・(8-2x)]<1(-------------)2=8

当2x=8-2x,即x=2时取等号，当x=2时，y—x(8-%2)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求y=/普(x>-1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离.

x+7x+10(x+1)+5Q+l)+4z[、14

尸％+1=-------申-------=(x+1)+申+5c，

当x>-1,即x+l>0时，y22J(%+1)xJj+5=9(当且仅当x=l时取号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令t=x+l,化简原式在分离求最值.

技巧五：结合函数/(x)=x+£的单调性.

例4:求函数y=二的值域。

解：令々+4=/«之2),则［一£-5

y/x：-4JW+4t

因=但/=：解得，=±1不在区间［2+8),故等号不成立，考虑单调性。

因为),=/+1在区间［L+o。)单调递增，所以在其子区间［2+8)为单调递增函数，故)后：.

t2

所以，所求函数的值域为

技巧六：整体代换

10

例5：已知x>0,y>0,且一+一=1,求x+j的最小值。

xy

错解-'''x>0,y>0,且—।—=1»--x+y=1—+-j(i+j)>2/—2-fig^=12故(x+y).=12°

XyVxy)［xyv•

错因：解法中两次连用基本不等式，在X+P22历等号成立条件是X=p,在1+222区等号成立条

XVV号

19

件是±=二即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等

xy

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检蛤转换是否有误的一种方法。

1Q(19、19x

正解：,.,x>0j>0n—+—=1>二x+>=(x+y—+—=--+—+1026+10=16

xy\xy)xy

vtQy19

当且仅当上=三时，上式等号成立，又一+—=1,可得X=4)=12时，(x+y)10m=16。

xyxy

点评：多次连用最值定理求最值时，