《函数的单调性》说课稿和教学设计

《函数的单调性》说课稿各位老师，你们好！我今天说课的内容是全日制普通高中教科书第一册（上）第二章第三节《函数的单调性》。以下我从六个方面来汇报我是如何研究教材、备课和设计教学过程的。一、教材分析1、教材内容本节课是人教版第二章《函数》第三节函数单调性的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题。2、教材所处地位、作用函数的单调性是对函数概念的延续和拓展，也是后续研究几类具体函数的单调性的基础；此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。在方法上，教学过程中还渗透了数形结合、类比化归等数学思想方法。它是高中数学中的核心知识之一，在函数教学中起着承上启下的作用。二、学情分析1、知识基础高一学生已学习了函数的概念等知识，并且接触了一些特殊的单调函数。2、认知水平与能力高一学生已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下解决问题。3、任教班级学生特点学生基础较扎实、思维较活跃，能较好地应用数形结合解决问题，但归纳转化的能力还有待进一步提高，观察讨论能力有待加强。三、目标分析（一）知识技能1.让学生理解增函数和减函数的定义；2.根据定义证明函数的单调性；3.了解函数的单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间。（二）过程与方法1.通过证明函数的单调性的学习，培养学生的逻辑思维能力;2.通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。（三）情感态度与价值观让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲。领会用从特殊到一般，再从一般到特殊的方法去观察分析事物。由教学目标和学生的实际水平，我确定本节课的重、难点:教材的重点、难点、解决策略教学重点：函数单调性的概念与判断。教学难点：利用函数单调性定义或者函数图象判断简单函数的单调性。解决策略：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比化归的思想，层层深入，通过学生自主观察、讨论、探究得到单调性概念；同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点。四、教学法分析（一）教法：1、从学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。2、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用。具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。3、应用多媒体，增大教学容量和直观性。（二）学法：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的认知飞跃。五、过程分析教学流程：（一）问题情景，引出新知（3’） （二）学生活动，归纳特征（5’）（三）对比抽象，建构定义（7’） （四）定义讲解，理解概念（3（五）数学应用，巩固提高（18’）（六）归纳讨论，引导小结（5教学环节教学过程设计意图(一)引入新课近六届世界杯进球数变化折线图：绵阳某天气温变化曲线图：让学生观察两个图象从左到右变化趋势，指出图象这种在某区间内上升或下降的性质，正是今天要讲的函数的单调性。1.通过学生熟悉的实际问题引入课题。为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。2.提出问题，引出困惑。需要从新的高度来认识函数。对此提出进一步学习函数单调性的必要性。（板书课题）教学环节教学过程设计意图(二）引入直观性定义观察下列图象变化趋势xy24xy24-211-10ooxy-111问题2：这两个函数图象的变化趋势？（上升？下降？）问题3：函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小；特殊到一般特殊到一般PPT展示讨论结果，给出单调递增函数和单调递减函数的直观性定义。由特殊到一般的转化过程，培养了学生观察讨论的能力，而且为下一步给出严格的数学语言打下了铺垫。(三)数学语言定义难点：定义中“任意性”的提出。处理方式：反例说明。图象在区间I内呈上升趋势当x的值增大时，函数值y也增大区间内有两个点、，当时，有问题：若区间内有两点时，有，能否推出是单调递增函数？动画演示反例，由学生得出应为“任意的”。给出严格的数学语言（见PPT）；建议：只强调单调递增函数的关键词：同一区间、任意性、有大小等,鼓励学生自己得出单减函数的定义。同时让学生自主学习单调性和单调区间的概念。强调：函数单调性相对于定义域而言可以是局部性质。例如函数在上是单调增函数，但是在整个定义域上不是增（减）函数。反例的构造，使学生完成从感性到理性的认识！培养学生类比化归能力。-212345-23-212345-23-3-4-5-1-1O环节教学过程设计意图(四)定义应用主要考查图象法和定义法判定单调性：例1．下图是定义在[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。332-4215431-1-2-1-5-3-2ox教学中解决易错点和疑点：单调区间一般不能合并；当端点满足单调性定义时，可开可闭。处理方法：引导教学提出问题，构造反例，详见课件。例2．试判断函数在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。难点在于：证明步骤的形成；关键在于：作差法的引入及论证技巧。处理：引导式提出问题：(1)判定单调性的方法？(2)如何利用定义判定单调性？(3)如何比较大小？提示：如何比较3和2的大小？从而引入作差法！鼓励学生自己写出过程；教师统一步骤：取值、作差、定号、下结论。思考：在证明中,你对“任意性”的意义有何认识？解答：有了“任意性”，在区间内不管取哪两个值，其证明过程和结论都是一样的！例1主要考查图象法。强调单调区间的写法。例2主要考查定义法。让学生归纳证明单调性的一般步骤，使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性，从而提高学生的推理论证能力。通过解题，帮助学生初步构建解题模式。提出思考，使学生体会定义中“任意性”的合理性和严谨性。(五)巩固练习课上练习：P65页1、3（多媒体展示图象）主要考查图象法和定义法判定单调性思考题：1：简单含参（见PPT）2：函数在R上单增，那么的符号有何规律？培养学生类比化归的能力；为导数判定单调性做铺垫。教学环节教学过程设计意图(六)课堂小结师生互动，由学生得出总结，详见视频！函数的单调性定义。2.判定函数单调性：（1）方法：图象法，定义法；（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明确的认识，能抓住重点进行课后复习。(七)课下作业必做：1、4、6选做：7重点练习图象法、定义法判定单调性同时，体现分层要求。(八)黑板设计函数单调性一、函数单调性概念1.单调递增函数2.单调递减函数3.单调区间(主板书)二、例题及解答例1例2(副板书)议练活动(辅助性板书)六、评价分析1.设计体现了新课标的核心要求：发展学生的能力：新课的引入数形结合的能力；直观性概念提出由特殊到一般观察讨论的能力；数学语言的提出由感性到理性归纳总结的能力；概念的应用由一般到特殊学以致用的能力。2.目标达成:概念的形成知识目标1 数学应用知识目标2深化理解能力目标 问题解决情感目标3.教学随想：数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。——华罗庚以后教学中，要注意“数”和“形”的和谐统一。《函数的单调性》教学设计（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识.利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.（三）教学方法讨论式教学法.在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题观察一次函数f(x)=x的图象：yx1yx11O函数f(x)=x的图象特征由左到右是上升的.师：引导学生观察图象的升降.生：看图.并说出自己对图象的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.引入深题观察二次函数f(x)=x2的图象：OxyOxy函数f(x)=x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x…–4–3–2–10f(x)=x21694101234…14916…x∈(–∞，0]时，x增大，f(x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f(x)也增大，图象上升.师：不同函数，其图象上升、下降规律不同.且同一函数在不同区间上的变化规律也不同.这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由–4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降.称函数为减函数.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”.从定性分析到定量分析.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）；xx1xx1x2Oyf(x1)f(x2)y=f(x)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasingfunction）.xxxx1x2Oyf(x1)f(x2)y=f(x)师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f(x)=x2在区间(0，+∞)上.任取x1、x2.若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，即x12＜x22.师：称f(x)=x2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.应用举例例1如图是定义在区间[–5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉.画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.例2物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.训练题2：证明函数f(x)=–2x+1在R上是减函数.师投影生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1【解】：y=f(x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5].其中y=f(x)在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.训练题1答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.（2）增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.例2分析：按题意，只要证明函数在区间（0，+∞）上是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，即.由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞0.由V1＜V2，得V2–V1＞0.又k＞0，于是p(V1)–p(V2)＞0，即p(V1)＞p(V2).所以，函数，V(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.师：投影训练题2生：自主完成