重庆市铜梁某中学2024-2025学年高三年级上册10月月考数学试题（含解析）

高三10月月考数学试题

第I卷（选择题，共58分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合人”,2,3,4,},3={九2一尸6<0},则人口人（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式得集合5,再由交集定义求解.

【详解】•/3={x|x2-x-6<0j={%|-2<%<3）,/.Ar|5={l,2}.

故选：B.

【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键.本题属于基础题.

2.若「为第二象限角，则（）

A.sin2a>0B.cos2a<0C.sincr—coscr>0D.sincr+cos6Z<0

【答案】C

【解析】

【分析】根据角a的范围可取特殊值验证选项ABD错误，再由第二象限正弦、余弦值的符号可得C正确.

7兀7兀

【详解】若a为第二象限角，当。=——时，可得2a=—在第四象限，此时sin2a<0,cos2a>0,

84

即A错误，B错误；

当&=’时，可得sina+cosa=——+------=0,即D错误；

42I2J

由a为第二象限角可得sina>0,cosa<0,所以sine—cosa>0,即C正确.

故选：C

3.下列命题为真命题的是（）

A.命题“Hr>1,x2+2x+3=0"的否定是"Vx<+2x+3w0”

B.若a>b,贝！lac?〉/?。?

c.y(x)=工的单调减区间为(—,o)u(o+8)

D.Y+x—2>0是x>l的必要不充分条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用存在量词命题的否定判断A；举例说明判断B；求出函数的单调区间判断C；利用充分条件、

必要条件的定义判断D.

【详解】对于A,命题“三%>1,%2+2%+3=0”的否定是“VX〉1,X2+2X+3W0”，A错误；

对于B,a>b,当c=0时，ac1=bc?，B错误；

对于C,函数/(x)=’的单调减区间为(一。,0),(0+8),C错误；

X

对于D,d+x—2>0QX<—2或%>1,因此炉+才―2>。是％>1的必要不充分条件，D正确.

故选：D

4.英国著名数学家布鲁克・泰勒(TaylorBrook)以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提

357

出了适用于所有函数的泰勒级数,泰勒级数用无限连加式来表示一个函数,sin%=x-—+---—+

3!5!7!

357

其中〃!=1义2义3义…><〃.根据该展开式可知，与2—土2+土2—土2+…的值最接近的是()

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

【答案】C

【解析】

【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.

【详解】原式=sin2标sin(2x57.3°)=sin(90°+24.6°)=cos24.6°,

故选：C.

5.已知函数/(x)=liu+@(aeR)的最小值为1,则a=()

x

11

A.—B.eC.—D.1

e2

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出了(%)的单调区间，即可求解函数的最值求解.

【详解】函数/(%)的定义域为(0,+8)，7•'(1)='—===,

XXX

当aW0时，/'(X)>0在(0,+8)内恒成立，所以函数/(%)在(0,+8)内为增函数，此时/(%)无最小值,

当a>0时，由/''(%)>。，得x>a,由/''(x)<0得0<尤<。

二函数/(%)在(0,a)内为减函数，在3,内)内为增函数，故当了=。时，/(%)取最小值，

即/⑺皿=/(a)=lna+l=L故a=l,

故选：D

(JT71\I

6.已知函数/(x)=Asin(0x+e)[A〉O,0〉O,-5<o<5j的部分图像如图所示，若则

吁+7片.

一;一；

2277

A.——B.-C.——D.-

9999

【答案】D

【解析】

从而得/(^)-s^nf

【分析】先由图像以及题意求出/(x)的解析式，

5兀1.1c兀)兀

f\20---=sin2—O+—+—,

I3JL123)2]进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.

J3.71兀一心71

【详解】由图可知A=l,/(0)=sin°=,由——<夕<一可知夕=一,

2223

7147171

故f(%)=sin(4v+—),又由图sin(yco+-)=0,

4兀31

故由图一co+—=2kn+n,kGZ,=>(o=—Z+—①,

3322

〜罚4兀c/T.2兀、8兀/3公

由图----0<—,nT=——>—neo<一②，

32834

1171

又。>0,结合①②可得0=5,故〃x)=sin(e九+可)，

所以/(，)=sinm

故选：D.

7.已知函数y=/(x)和y=g(x)的定义域及值域均为[―。闷(。＞0),它们的图像如图所示，则函数

y=/(g(x))的零点的个数为()

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解.

【详解】由题意，知函数y=/(g(x))的零点，即方程/(g(x))=0根.

^g(x)=t,t^[-a,a],则/(g(x))=/寸)=0.

当。,0]时，满足方程/⑺=0的，有2个，此时g(尤)=/有4个不同的实数根;

当时，满足方程/⑺=0的/有1个，此时g(九)=/有2个不同的实数根.

综上可知方程f(g(⑼=0共有6个实数根，即函数y=/(g⑺)共有6个零点.

故选：D

COSX

8.已知函数/(%)二——，若A,B是锐角VA5C的两个内角，则下列结论一定正确的是()

A./(sinA)>/(sinB)B./(cosA)>/(cosB)

C./(sinA)>/(cosB)D./(cosA)>/(sinB)

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得—8>0,根据余弦函数的单调性，得出cosA<sin5,由/(%)的单调性

即可判断选项.

-、cosxll…「，/、-xsinx-cosx

【详解】因为/(%)=----，所以/(%)=--------.------,

XX

当时，sinx>0,cosx>0,所以',皿：。。‘九口。,即尸(工)<(),

所以/(%)在3上单调递减

TTJTJT

因为A,3是锐角VA3C的两个内角，所以A+5〉一，则一>A>——B>0,

222

因为y=cosx在［o,：］上单调递减，

IJIjJI

所以0<cosA<cosI--5l=sinB<l<-^,

故/(cosA)>/(sinB),故D正确.

同理可得/(cos5)>/(sinA),C错误；

而的大小不确定，故sinA与sin8,cosA与cos3的大小关系均不确定，

所以/(sinA)与/(sin3),/(cosA)与/(cos3)的大小关系也均不确定，AB不能判断.

故选：D

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.若。》〉0,则下列各式中，一定成立的是()

1al.

A.lg(")=lg“+lgbB.lg-=lgalgZ?

b

D.Ig/abj=glg(ab)

【答案】CD

【解析】

【分析】根据对数的运算性质可一一判断各项.

【详解】对于A：当。＜0,》＜0时，等式右边无意义，A错;

对于B：当。＜0,》＜0时，等式右边无意义，B错；

对于C：v^＞0,.-.1lgM=咤,C正确；

对于D：;ab>0,:.1g0(abj=lg(ab)3=；lg(a。),D正确.

故选：CD.

10.对于函数/（%）定义域中任意的七户2（%WX2），有如下结论，①（%-％2）（/（石）一/（尤2））＞0，②

/（%—2）+/（2—%）=0,③叫""）,④/（2%）+/（2+2%）=0.下列函数能

同时满足以上两个结论的有（）

A./0）=身B.〃x）=sin[x]

C.〃x）=e'D.f（x）=x3

【答案】BCD

【解析】

【分析】先对四个结论进行解读，得出函数的单调性，奇偶性，周期性和凹凸性，对选项一一判断，即得结

果.

【详解】由①（%―七乂/■（石）一/（%））＞0可得，函数八％）在定义域内增函数；

由②“%—2）+/（2—%）=0可得，〃尤）+/（—%）=0,即函数〃可为奇函数；

由③生产]＜/（%）；/（乙）可得,函数7（%）的图象向下凸.；

由④〃2%)+/(2+2%)=0可得，/(x+2)=-/W,

即“X+4)=-y(x+2)=/(x),说明函数了(%)的周期为4.

对于A,函数/(x)=hw不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，故排除；

(兀、T=—=4

对于B,函数/(x)=sin,X是奇函数，且周期为"一工一,故符合要求；

对于C,函数/(x)=e*在R上单调递增，且其图象向下凸，故符合要求；

对于D,/(x)=%3是奇函数，且在R上单调递增，故符合要求.

故选：BCD.

11.已知函数/(x)=sin，x+m],下列说法正确的是()

27r

A."%)的最小正周期为彳

B.点为图象一个对称中心

兀兀1、反

C.若/(x)=a(aeR)在xe上有两个实数根，则当＜。＜1

L189J2

D.若了⑴的导函数为尸⑴，则函数y=〃％)+1(%)的最大值为加

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,直接由周期公式即可判断；对于B,直接代入检验即可；对于C,画出图形，通过数形

结合即可判断；对于D,求得后结合辅助角公式即可得解.

27c

【详解】由题意可得7=]，故A正确；

f-ksin—=-^0,所以不是“力图象的一个对称中心，故B错误；

c兀।兀兀/0兀,2兀

令A％=3%+—,由----＜一得一——，

318963

IJr]717c

根据题意可转化为直线y=a与曲线/(%)=sin3%+耳，xe有两个交点,

i

4

y=sin(3x+yy1

2

■>

717171x

18189

数形结合可得走Wa<1，故C正确;

2

设广⑺为〃尤)的导函数,

贝1J/(x)+/〈x)=sin(3x+-|-j+3cosf3x+g)=A/lOsinf3x+-|-+^其中tan0=3,

JTJTsjrOJzjr

当且仅当3x+—+°=—+2E,左eZ,即当且仅当％=—=+—+—，AeZ时等号成立，故D正确,

323183

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线/(%)=(x+l)e，在点(0,/(0))处的切线方程为.

【答案】y=2无+1

【解析】

【分析】直接计算得到/(O)=l，f(0)=2,然后使用切线的定义即可.

【详解】由/(x)=(x+l)e\知/'(x)=e*+(x+l)e*=(x+2)e".

所以/(O)=l,f(0)=2,故所求切线是经过点(0,1)且斜率为2的直线，即y=2无+1.

故答案为：y=2x+l.

sin(兀一a)+cos(cr—兀)_

13.已知角a的终边经过点P(2,-3),贝：./兀一'7一""________.

sin(-+a)+cos(--a)

【答案】5

【解析】

3

【分析】利用任意角三角函数的定义可得tana=—-,再结合诱导公式及商数关系即可求解.

2

3

【详解】由角。终边经过点P(2,—3)可知：tan«=——,

2

sin（兀一a）+cos（a—兀）sina-cosatana-l

--------------------------------=--------=j

则sing+a）+cosg—a）cosa+sina1+tana-

故答案为：5.

14-设函数人加…’则使得不等式〃2x+l)-)成立的，的取值范围是

【答案】FT

【解析】

【分析】根据函数解析式，判断函数单调性以及奇偶性，利用函数性质再解不等式即可.

【详解】令y=ev+e-v,x>0,则y'=e'—0，

当x>0时，ev>1>e~x<1，故6'—片”>0，即V>0,

故y=ev+e-x在［0,-H»)上单调递增；

又y=lg(V+2)在［o,y)上单调递增且函数值恒正，

1

所以y=一炮1+2)在10，+8)上单调递增，

故y=在［0,+8)上单调递增；

又/(%)的定义域为R,且/(f)=「+e-=/+e--还号=/(力,

故/(%)为偶函数，

故〃2x+l)</(x—2)o/(|2x+l|)</(|x—2|)o|2%+l|<|%-2|,

也即(2x+l)2<(x—2)1

整理可得：3X2+8X-3<0.即(3X—1)(X+3)<0,

解得xe3,—.

故答案为：f_3,jj.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量

比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质

量检测，测得样本中甲产品的优质品率为一，乙产品的优质品率为1.

(1)若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；

(2)若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为X,求

X的分布列和数学期望.

【答案】(1)—

60

52

(2)£(%)=—,分布列见解析

【解析】

【分析】(1)根据分层抽样方法可知，甲产品具有7件，乙产品具有3件，从这个容量为10的样本中再随

机抽取3件，可得抽取的方法种类为C；。，至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为C；C；+C；,求出概

率；

(2)由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有4件优质品，有3件不是优质品，乙产品中有2件优

质品，有1件不是优质品，则X的所有可能取值为L2,3,4,求出概率，写出分布列，计算期望.

小问1详解】

73

由分层随机抽样方法知，抽取的容量为10的样本中，甲产品有10x—=7件，乙产品有10x—=3件，

1010

...从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为C：。，其中至少抽到2件乙产品的不

同抽取方法种数为C；C；+C；,

c1C2+C311

至少抽到2件乙产品的概率为一^~.

C：。60

【小问2详解】

由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有7x；=4件优质品，有7-4=3件不是优质品，乙产品

中有3x|=2件优质品，有3—2=1件不是优质品，则X的所有可能取值为1,2,3,4.

P(X=I)=CV7=—,p(x=2)=,

\211'C7C37

P(X=3)=J,p(x=4)=g=2

\'C；C；2117C；C；21

；.x的分布列为

X1234

2282

p

2172121

L/s,2c3c8,252

_E(X)—lxF2x—F3x---F4x—=—

v7217212121

16.设VA5C的内角A民。的对边分别为。，"c，已知sin（A+3）=2Gsii?g

（1）求角C的大小;

（2）若c=石，且VA3C的面积为,求VA3C的周长.

兀

【答案】（1）

⑵3+73

【解析】

【分析】U）由二倍角的正弦公式和弦切互化结合特殊角的三角函数值化简可得;

（2）由三角形的面积公式结合余弦定理计算可得.

【小问1详解】

由sin(A+3)=sinC=2A/5sin?g,

..cC、瓜.2c

..20sm-cos一=2v3sin一,

222

CnC

又0<。<兀,0<2<^,.・.sin—>0,

222

•.向/*4*得

【小问2详解】

由已知可得，S=La〃sinC=

2

可得4b2+a2-4ab=0,/.(2b-a)2=0,a=2b.

JT

又由余弦定理可得c2=3=b2+a2-2abcos-，

3

化简得，b2+a2—ab=3

联立解得b=l,a=2,

所以VA3C的周长为3+百.

17.如图，在四棱锥P—A5C。中，AD//BC,ABA.AD,AB=AD=2,BC=L平面MB.

(1)求证：平面B4O；

(2)求PC的长；

(3)若PD=L求直线E4与平面尸CD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)75

⑶处

19

【解析】

【分析】(1)根据平面A45,ABu平面B45,通过线面垂直的性质定理得到PD,A3,结合

AB1AD,利用线面垂直的判定定理得到ABL平面75Ao.

(2)取中点。，连接PO,CO,在三角形PC0中利用勾股定理求解.

(3)以。为坐标原点，0C，而为X,y轴的正方向，以过。且与平面A3CD垂直向上为Z轴的正方向

建立空间直角坐标系，求出直线外的方向向量西和平面PCD的法向量力，利用空间向量夹角余弦公式求

解即可.

【小问1详解】

由？平面RW，ABu平面已45，得

又/WJLAD,且FDu平面4尸£)，ADu平面4尸£)，PD^AD=D，

所以AB,平面APQ.

【小问2详解】

取AD中点。，连接尸0,CO,由3C〃AO,且BC=AO,

所以四边形ABC0为平行四边形，所以0C〃A5,

由(1)AB,平面APD得OC，平面APD,

由OPu平面APD,所以OCJ_PO,

由「平面RW，APu平面B4B,

得PDLAP,所以。。=J4。=1,

2

又OC=AB=2,所以尸C=Jo尸2+。。2=也.

【小问3详解】

以。为坐标原点，0C,历为％，V轴的正方向，以过。且与平面ABCD垂直向上为z轴的正方向建立

由PD=1,得APOD为正三角形，所以尸

又4（0,—1,0），C（2,0,0）,D（0,l,0）,所以①=（一2,1,0）,功=。，十，

/、n-CD=0

设平面PCD的法向量为二(x,y,z),则＜_.

n-PD=0

取z=2,得到平面PCD的一个法向量n=（A2A/3,2）.

（3百）

又AX=,设直线BA与平面PCD所成角的大小为e,

I22J

I—.1\n-.PAI4J34J19

则sin6=cosn,PA='।=厂「=———,

।1|H|-|PA|A^-A/1919

所以直线与平面PCD所成角的正弦值为生叵.

19

18.已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为且，对称轴为坐标轴，且经过点

3

（1）求椭圆E的方程;

/、|CP|

（2）若过P（0,l）的直线交椭圆E于C、。两点，求扁的取值范围.

22

【答案】（1）土+匕=1

94

⑵[?3_

【解析】

【分析】（1）利用椭圆的性质，离心率定义，以及点在曲线上，建立方程求得a,b,c,即可得解;

\CP\

（2）分斜率存在与不存在两类进行直线方程的处理，将转化为C、。两点的横坐标的比:

震=耳=一%，利用（」+"）=%+2+三,结合韦达定理，求出土的范围，从而得解.

【小问1详解】

依题意，可设椭圆E的方程为2=1（。〉6〉0）.

ab

由£=好得。=述,,又因为a2=b2+c2,所以8=2且c，则w工+上

a355~c-c

因为椭圆经过点代入上述方程解得°2=5,则/=9,〃=4,

22

所以椭圆E的方程为土+乙=1.

94

【小问2详解】

由（1）可知：4（0,2）,5（0,—2）,

\CP\\AP\

当斜率不存在时，若点C与A重合，。与3重合.此时卞才=笳1

3

\CP\BP

若点。与A重合，3与C重合，则局=~\3\=3.

DP\AP

当直线斜率存在时，设直线CD:y=丘+1,。（西,乂）,£>（%2，%），

y=Ax+1,

联立得《炉/消去y可得（4+9-）尤2+186—27=0,显然△>（）,

194

184

„ISk27,日4+942

则n…“石记卬-一万记可得

274+942

4+9万2

整理可得上+2+三=—12k241—-，

X?西4+9左23

4T，。,

因为4+9左2>4，可得一一€

4+9左2

令%=/。<0),则—±</+^+2<0,解得—3</<—!，即上e—3,一2

%23t3/I3

CP

所以

DP

ri

综上，■cp的\取值范围为-,3

19.已知函数/(x)=ar-ln(x+a)(aeR).

（1）当a=2时，求"％）的单调区间；

（2）若〃x）»a—：恒成立，求。的取值范围；

打2

（3）若数列｛4｝满足。1=1,4+1=六----记S〃为数列｛〃〃｝的前几项和.证明：S2n>2n-1.

Ha”十J-

【答案】（1）/（%）的单调递减区间为1―2,—T），单调递增区间为［一|,+8

⑵(0,1].

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解,

(2)根据题意可得了(X)而n2〃-)，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为

1—+Intz—d~\—20,构造函数g(〃)=1—/+]na—〃H—,求导即可求解最值求解，

aa

(3)根据(2)的求解可得不等式InxW光—1和Ind1—L即可根据,工=ln4+』，得

t4+iIn)

an+l+an>2-^,由累加法以及裂项求和即可求证.

n

【小问1详解】

当a=2时，/(x)=2x-ln(x+2)(x>-2),

12x+3

ra)=2-x+2x+2

故当单调递减；

当xe1-|>+oo)/'(x)〉0,/(x)单调递增.

综上，/(%)的单调递减区间为2,—I],单调递增区间为T，+s]

【小问2详解】

由题意，

,/\