中考数学一轮复习突破训练：圆（原卷版+解析）

专题28圆

【考查题型】

圆周角定理

圆周角定理推论

已知圆内接四边形求角度

【知识要点】

知识点一圆的有关概念

圆的定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径。

圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作好，读作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

考查题型一圆的周长和面积问题

典例1.（2021•江苏徐州・统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正

方形的对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

变式LL（2022•山东潍坊・中考真题）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟

数学之美.如图，正方形MCD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形AB'C'D,

若A?:AB=2:1,则四边形AB'C'D'的外接圆的周长为.

变式-2.（2021・四川内江•四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆心为O,半径为厂的小圆面积增加一倍，

两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排

列）是—.

变式1-3.（2021・广西百色・统考中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平

行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆

形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间.

某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道.小王同学计算了各圈的长：

第一圈长：87x2+2兀（36+1.2x0）=400（米）；

第二圈长：87x2+2兀（36+1.2x1）=408（米）；

第三圈长：87x2+2兀（36+1.2x2）=415（米）；

请问：

（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？

（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），

在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇.若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍,

求他们的平均速度各是多少？

（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）

变式1-4.（2021•江苏宿迁•统考一模）一块含有30。角的三角板ABC如图所示，其中NC=90。，ZA=3O°,

BC=3cm.将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周.

（1）画出边旋转一周所形成的图形；

（2）求出该图形的面积.

知识点二垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt^,用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。

考查题型二利用垂径定理求解

典例2.（2022.安徽.统考中考真题）已知。。的半径为7,是。。的弦，点尸在弦上.若B4=4,PB

=6,则OP=（）

A.714B.4C.V23D.5

变式2-1（2022・四川泸州.统考中考真题）如图，AB是。。的直径，OO垂直于弦AC于点。，。。的延长

线交于点若AC=4&，DE=4,则3C的长是（）

A.1B.72C.2D.4

变式22（2021.四川凉山•统考中考真题）点尸是。。内一点，过点尸的最长弦的长为10cm,最短弦的长

为6cm,则OP的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

变式2-3.（2021・四川自贡・统考中考真题）如图，A8为。。的直径，弦COLAS于点孔OE1AC于点E,

若OE=3,OB=5,则CO的长度是（）

A.9.6B.46C.5A/3D.19

变式2-4.（2022・青海・统考中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分,

如果C是。。中弦A8的中点，CD经过圆心。交。O于点。，并且AB=4m,CD=6m,则。。的半径长

为m.

变式25（2022.上海・统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛。，点C在弦AB上，AC=11,BC=2L

OC=13,则这个花坛的面积为.（结果保留乃）

变式2-6.（2022.黑龙江牡丹江•统考中考真题）。。的直径CD=10,A8是。。的弦，AB1CD,垂足为

OM:OC=3:5,则AC的长为.

变式2-7.（2021•广西河池•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以“（2,3）为圆心，A8为直径的圆

与x轴相切，与y轴交于A,C两点，则点8的坐标是.

考查题型三利用垂径定理求解实际问题

典例3.（2022.湖北鄂州•统考中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了

一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90。，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所

示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已

知。。的直径就是铁球的直径，是。。的弦，CD切。。于点E,ACLCD.BDLCD,若CZ）=16cm,

AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

变式3-1.（2021.贵州黔东南.统考中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦

片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端量的弧的中心C到AB的距离

CQ=1.6cm,AB=6.4cm,很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm.

变式3-2.（2022.四川自贡.统考中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长

20厘米，弓形高CO为2厘米，则镜面半径为____________厘米.

变式33（2022・湖北荆州•统考中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20cm,

底面直径BC=12cm,球的最高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.

变式3-4.（2022.贵州遵义•统考中考真题）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28。，求北

纬28纬线的长度.

小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二：如图2,赤道半径Q4约为6400千米，弦3C/OA,以3C为直径的圆的周长就是北纬28。纬线

的长度；（参考数据：兀=3,sin28°«0.47,cos28。70.88,tan28°®0.53）

根据以上信息，北纬28。纬线的长度约为千米.

变式3-5.（2021.湖北恩施.统考中考真题）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：

今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.间径几何？如图，大意是，今有一圆柱

形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材

的直径是多少？（1尺=10寸）

答：圆形木材的直径寸；

变式36（2022・湖北宜昌•统考中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的

赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，

桥的主桥拱是圆弧形，表示为4i.桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m,设45所在圆的圆心为。，半径

OC±AB,垂足为£>.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接08.

图1图2

（1）直接判断AD与8。的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）.

知识点三与圆有关的角

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，

所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等。

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=|圆心角）

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考查题型四弧、弦、圆心角之间的关系

典例4.（2021・四川广安•统考中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有

观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、3是圆上的点，。为圆心，ZAOB=120。，小强从A走到

B,走便民路比走观赏路少走（）米.

A.6兀-66B.6兀一

C.12%-94D.12^-1873

变式4-1.（2021•甘肃武威•统考中考真题）如图，点45C2E在0。上，AB=CD,ZAOB=42°,贝iUCEE>=

()

A.48°B.24°C.22°D.21°

变式4-2.（2021・湖北武汉・统考中考真题）如图，A8是。。的直径，2c是。。的弦，先将8C沿BC翻折交

A8于点O.再将沿A3翻折交于点E.若BE=DE，设NABC=a,则a所在的范围是（）

A.21.9。<a<22.3。B.22.3°<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<a<23.5°

变式43（2020•山东青岛•中考真题）如图，8。是的直径，点A,C在。。上，AB=AD>AC交BD

于点G.若/COD=126。.则NAG3的度数为（）

D

A.99°B.108°C.110°D.117°

变式4-4.（2020•四川泸州•中考真题）如图，。0中，淞ZABC=10°.则N80C的度数为（）

B.90°C.80°D.70°

变式4-5.（2020・贵州贵阳・统考中考真题）如图，AABC是。。的内接正三角形，点。是圆心，点。，E分

别在边AC,AB上，若DA=EB,则NOOE的度数是___度.

变式4-6.（2022•江苏盐城•统考中考真题）证明：垂直于弦AS的直径8平分弦以及弦所对的两条弧.

变式4-7.（2022.湖南怀化・统考中考真题）如图，点A,B,C,。在。。上，AB=CD.求证:

（1）AC=B£＞；

（2）AABEs^DCE.

变式4-8.（2021•山东临沂・统考中考真题）如图，已知在。。中，AB=BC=CD,0c与AD相交于点E.求

证：

(1)AD//BC

（2）四边形8COE为菱形.

考查题型五圆周角定理

典例5.（2022.甘肃兰州.统考中考真题）如图，△ABC内接于。。，CO是。。的直径，ZAC£>=40°,贝！JN5=

()

A.70°B.60°C.50°D.40°

变式5-1.（2022.浙江嘉兴.统考中考真题）如图，在。。中，N3OC=130。，点A在R4c上，则N84C的度

A.55°B.65°C.75°D.130°

变式5・2.（2022.山东枣庄.统考中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点。在半圆

上•点A,5的读数分别为86。，30°,则NAC8的度数是（）

A.28°B.30°C.36°D.56°

变式53（2022・湖北宜昌•统考中考真题）如图，四边形ABC。内接于。0,连接QB,OD,5。，若NC=U0。,

A.15°B.20°C.25°D.30°

变式54（2022・陕西・统考中考真题）如图，的。内接于。。NC=46。，连接Q4,则NOAB=（）

A.44°B.45°C.54°D.67°

变式5-5.（2022•浙江湖州•统考中考真题）如图，已知AB是。。的弦，120°,OC±AB,垂足为C,

0c的延长线交。。于点D.若/4尸。是AD所对的圆周角，则NAP。的度数是

D

变式5-6.（2022.江苏常州•统考中考真题）如图，A4BC是0O的内接三角形.若/AfiC=45。，AC=母,

则。。的半径是.

变式5-7.（2022.四川雅安.统考中考真题）如图，NDCE是。。内接四边形ABC。的一个外角，若NDCE

=72。，那么NBOD的度数为.

考查题型六圆周角定理的推论

典例6.（2022•贵州铜仁•统考中考真题）如图，0408是。O的两条半径，点C在。O上，若NAOB=80。,

则-C的度数为（）

A.30°B,40°C,50°D.60°

变式6-1.（2022•广西梧州•统考中考真题）如图，OO是的外接圆，且AB=AC,/BAC=36。，在弧

上取点。（不与点A,8重合），连接瓦）,4。，则N54D+N/®）的度数是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

变式6-2.（2022•黑龙江牡丹江•统考中考真题）如图，BO是。。的直径，A,C在圆上，ZA=50°,/DBC

的度数是（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

变式6-3.（2022•辽宁营口•统考中考真题）如图，点4,B,C,。在上，AC±BC,AC=4,ZADC=30°,

则BC的长为（）

r

A.4后B.8C.40D.4

变式6-4.（2022•四川广元•统考中考真题）如图，A8是。。的直径，C、。是。。上的两点，若/CAB=65。,

则NAOC的度数为（）

c

B

A()

D

A.25°B.35°C.45°D.65°

变式6-5.（2022・四川自贡・统考中考真题）如图，四边形ABC。内接于。。，AB为。。的直径，AABD=20°,

则N3CD的度数是（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

变式6-6.（2022.山东泰安.统考中考真题）如图，A3是。。的直径，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,

则。。的半径为（）

A.2石B.3行C.2A/5D.非

变式6-7.（2022・四川资阳•中考真题）如图，AABC内接于。O,AB是直径，过点A作。O的切线4£）.若

NB=35°,则ZDAC的度数是___________度.

变式6-8.（2022・山东日照・统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师

傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为.

变式6-9.（2022・广东・统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于AC为。。的直径，ZADB=/CDB.

（1）试判断AABC的形状，并给出证明；

（2）若AB=，AD=1,求CD的长度.

变式6-10.（2022・贵州遵义•统考中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用

上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段AC同侧有两点8,D,连接AD,AB,BC,CD,如果=那么A,B,C,D

四点在同一个圆上.

探究展示：

如图2,作经过点A,C,。的。。，在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），连接AE,CE则

ZAEC+ZD=180°（依据1）

图2

;NB=ND

.-.ZAEC+ZB=180o

，点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.••点5,。在点A,C,E所确定的。。上（依据2）

点A,B,C,E四点在同一个圆上

（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：;依据2：.

（2）图3,在四边形ABCD中，Z1=Z2,/3=45。，则N4的度数为

（3）拓展探究：如图4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,点。在3C上（不与8C的中点重合），连接AD.作

点C关于AD的对称点E,连接并延长交AD的延长线于尸，连接AE,DE.

①求证：A,D,B,E四点共圆;

②若AB=26,的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

知识点四圆内接四边形

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫

做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

例：ZBCD+ZDAB=180°,ZBCD=ZDAE

考查题型七已知圆内接四边形求角度

典例7.（2022・吉林长春•统考中考真题）如图，四边形ABCD是。。的内接四边形.若ZBCD=121。，则ZBOD

的度数为（）

B.121°C.118°D.112°

变式7-1.（2022・湖南株洲•统考中考真题）如图所示，等边AABC的顶点A在。。上，边48、AC与。。分

别交于点。、E,点尸是劣弧DE上一点，且与。、E不重合，连接。尸、EF,则"EE的度数为（）

C

A.115°B.118°C.120°D.125°

变式72（2022•江苏淮安・统考中考真题）如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，若NAOC=160。，则

D

/ABC的度数是（）

A.80°B.100°C.140°D.160°

变式7-3.（2021・广西贵港•统考中考真题）如图，点A,B,C,。均在。。上，直径AB=4,点C是台。的

中点，点。关于A8对称的点为E,若/QCE=100。，贝后玄CE的长是（）

A.26B.2C.73D.1

变式7-4.（2022.甘肃武威.统考中考真题）如图，在。。内接四边形ABCD中，若NABC=100。，则NAZ）C=

变式7-5.（2022・辽宁锦州•统考中考真题）如图，四边形A8CZ）内接于00,为。。的直径，ZADC=130°,

连接AC,则/8AC的度数为

变式76（2022•辽宁沈阳•统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD内接于。。，则AB的长是

（结果保留无）

变式7-7.(2021•山东枣庄.统考中考真题)如图，。。是AABC的外接圆，点。在BC边上，的平分

线交于点。，连接BO,CD,过点。作。。的切线与AC的延长线交于点P.

(1)求证：DP//BC；

(2)求证：AABD^ADCP；

(3)当AB=5cm,AC=12cm时，求线段PC的长.

变式7-8(2021.湖南益阳.统考中考真题)如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB^AC,过点8作BDLAC

于。，延长80交AASC的外接圆于点E,过点A作AFLCE于RAE,8C的延长线交于点G.

(1)判断E4是否平分/DEF,并说明理由；

(2)求证：①BD=CF；®BD2=DE2+AEEG.

专题28圆

【考查题型】

圆周角定理

圆周角定理推论

已知圆内接四边形求角度

【知识要点】

知识点一圆的有关概念

圆的定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径。

圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作读作

圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

考查题型一圆的周长和面积问题

典例1.（2021.江苏徐州•统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已

知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【答案】B

【分析】设。B=x,则OA=3x,BC=2x,根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积,

进而即可求解.

【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD,OB=OC,

•••圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,

设OB=x,则OA=3x,BC=2x,

••.圆的面积=兀（3了）2=9收2,正方形的面积==2x2,

9

/.9TIX2-?2X2=—«14,即：圆的面积约为正方形面积的14倍，

故选B.

【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各

个图形的面积，是解题的关键.

变式1-1.（2022•山东潍坊・中考真题）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”

度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中

心，作它的位似图形AB'C'D,若4?:AB=2:1,则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为

A

【答案】4立兀

【分析】根据正方形ABC。的面积为4,求出4?=2,根据位似比求出AB'=4,周长即可

得出；

【详解】解：•.・正方形ABC。的面积为4,

AB=2,

•••A'B':AB=2:1,

AB'=4，

'''A'C=y/42+42=472，

所求周长=40万;

故答案为：40兀.

【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解

题关键求出正方形ABC。的边长.

变式-2.（2021.四川内江.四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆心为。，半径为r的小

圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个

圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是—.

【答案】1：V2：73：2

【分析】设最小的圆的面积是。，则其它三个圆的面积分别是2a,3a,4a.由题意得四个

圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案.

【详解】解：设最小的圆的面积是。，则其它三个圆的面积分别是2a,3a,4a,

所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，

因而半径的比是1:五:括:2,周长的比等于相似比，即半径的比，是1:0:括:2.

故答案为：1::6：2.

【点睛】本题主要考查了圆相似形时，解题的关键是：掌握面积的比等于相似比的平方，周

长的比等于相似比.

变式1-3.（2021・广西百色.统考中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标

准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直

道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00

米之间.

某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道.小王同学

计算了各圈的长：

第一圈长：87x2+27：（36+1.2x0）=400（米）；

第二圈长：87X2+2TT（36+1.2x1）=408（米）；

第三圈长：87x2+2兀（36+1.2x2）=4三（米）；

请问：

（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？

（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠

边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇.若邓教练平

均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？

（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）

【答案】（1）第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米;（2）小王的速度为6.79m/s,

老师的速度为13.58m/s.

【分析】（1）根据题意，计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问，根据题中路程公式,

可解得第八圈的路程；

（2）分析两人在左边的直道上相遇，且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛

道长度的差，小王的速度为nm/s,则老师的速度为2vm/s,列关于"的一元一次方程，解

方程即可解题.

【详解】解：（1）根据题意得，第三圈弯道比第一圈弯道长：

87x2+2万（36+1.2x2）-87x2-2%（36+L2xO）=15（米）；

第八圈长：87x2+2万（36+1.2x7）=453（米）

答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米.

（2）由于两人是第一次相遇，教练的速度更快，且是在直道上两人相遇，

那么两人一定在左边的直道上相遇，

两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：

万（36+1.2x2）—万（36+1.2x0）=7.536（米）

设小王的速度为vm/s,则老师的速度为2nm/s

20(v+2v)=400+7.536

/.v=6.79m/s

「.2v=13.58m/s

答：小王的速度为6.79m/s,老师的速度为13.58m/s.

【点睛】本题考查圆的计算、一元一次方程的应用等知识，理解相关路程公式的计算是解题

关键.

变式1-4.(2021・江苏宿迁•统考一模)一块含有30。角的三角板43c如图所示，其中NC=90。,

NA=30。，BC=3cm.将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周.

(1)画出边8C旋转一周所形成的图形；

(2)求出该图形的面积.

【答案】(1)画图见详解；(2)BC扫过的面积S幽、==9万.

【分析】(1)由三角板ABC可求AB=2BC=6cm,由勾股定理：AC=

^AB2-BC-=A/36^9=373>边BC在平面内绕顶点A旋转一周.图形是以AB为半径的圆

去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示；

(2)BC扫过的面积S圆环=万回2-万472计算即可.

【详解】解：(1)：三角板ABC,ZC=90°,ZA=30°,BC=3cm,

AB=2BC=6cm,

，由勾股定理：AC=y/AB2-BC2=V36-9=373>

边BC在平面内绕顶点A旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形

成的圆环，如图所示：

(2)BC扫过的面积S画环二万钻？一万AC?=36万一27%=9万.

【点睛】本题考查画旋转图形，勾股定理，30。直角三角形的性质，圆环面积，掌握画旋转

图形方法，勾股定理，30。直角三角形的性质，圆环面积求法是解题关键.

知识点二垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RtZk,用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。

考查题型二利用垂径定理求解

典例2.（2022・安徽•统考中考真题）已知0。的半径为7,是。O的弦，点尸在弦A8上.若

B4=4,PB=6,则OP=（）

A.714B.4C.723D.5

【答案】D

【分析】连接。4,过点。作OC，四于点C,如图所示，先利用垂径定理求得

AC=BC=^AB=5,然后在R/AAOC中求得oc=2C，再在&APOC中，利用勾股定理即

可求解.

【详解】解：连接。4,过点。作OCL45于点C,如图所示，

则AC=BC=—AB,OA=7,

2

:B4=4,PB=6,

AB=R4+PB=4+6=10,

AC^BC^-AB=5,

2

PC=AC-PA=5-4=1,

1

在RrAAOC中，oc=JoA-3=42-52=2",

在RfAPOC中，OP=Joe'+PC?=+12=5,

故选：D

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键.

变式2-1（2022•四川泸州•统考中考真题）如图，A5是。O的直径，OD垂直于弦AC于点。，

。。的延长线交。。于点E.若AC=40,DE=4,则2C的长是（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可.

【详解】设O£）=x,则。EuCMuDE-ODud-尤.

「AB是。。的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=472

AD=DC=-AC=2.42

2

,。。是△ABC的中位线

：.BC=2OD

,/OA2=OD2+AD2

（4-x）2=£+（20）2,解得x=i

：.BC=WD=2x=2

故选：C

【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出。。的长是解

题的关键.

变式2-2.（2021・四川凉山•统考中考真题）点P是。。内一点，过点P的最长弦的长为10cm,

最短弦的长为6cm，则OP的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】B

【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点尸且垂直于过

点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得。尸

的长.

【详解】解：如图所示，COLA8于点P.

根据题意，得

AB=10cm,CD=6cm.

.\OC=5,CP=3

•：CD±AB,

：.CP=^CD=3cm.

根据勾股定理，得OP=doc2—CP。=4cm.

故选B.

【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理.正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的

弦.

变式2-3.（2021.四川自贡.统考中考真题）如图，为。。的直径，弦于点E

OE/AC于点E,若OE=3,OB=5,则CO的长度是（）

A.9.6B.475C.5括D.19

【答案】A

【分析】先利用垂径定理得出AE=EC,CF=FD,再利用勾股定理列方程即可

【详解】解：连接OC

'：AB±CD,OELAC

：.AE=EC,CF=FD

\"OE=3,OB=5

：.OB=OC=OA=5

.•.在刈△O4E中

AE=VOA2-OE2=A/52-32=4

：.AE=EC=4

设OF=x,贝I]有AC2-AF2-OC2-OF2

82-（5+X）2=52-X2

X=IA

在RtXOFC中，FC=y]0C2-OF2=752-1.42=4.8

CD=2FC=9.6

故选：A

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键

变式2-4.（2022・青海・统考中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心

的圆的一部分，如果C是。。中弦A3的中点,经过圆心。交。。于点。，并且AB=4m,

CD=6m,则QO的半径长为m.

【答案】y##31

【分析】连接。4,先根据垂径定理、线段中点的定义可得OCLAB,AC=2m,设。。的半

径长为nn,则。4=OD=nn,OC=（6-r）m,再在Rt^AOC中，利用勾股定理即可得.

【详解】解：如图，连接。4，

・•,C是。。中的弦A8的中点，且AB=4m,

:.OC1AB,AC=-AB=2m,

2

设。。的半径长为rm,则OA=OD=rm,

,/CD=6m,

/.OC=CD-OD=（6-r）m,

在RSAOC中，OC2+AC2=OT,即（6-4+22=产，

解得r=］，

即。。的半径长为gm,

故答案为：

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键.

变式2-5.（2022•上海•统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛。，点C在弦上,

则这个花坛的面积为.（结果保留万）

【详解】解：过点。作OD_LAB于。，连接。8,如图,

：.AB=AC+BC=32,

：0r>_LA2于。,

：.AD=BD=^AB=16,

：.CD=AD-AC=5,

在HfAOCD中，由勾股定理，得

OD=yJoC2-CD2=，132-52=12,

在RfAOB。中，由勾股定理，得

OB=^BD2+CD2=7162+122=20，

，这个花坛的面积=2()27r=400兀，

故答案为：4007r.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求

线段长是解题的关键.

变式2-6.(2022.黑龙江牡丹江.统考中考真题)的直径CD=10,A8是。。的弦，AB1CD,

垂足为M,OM:OC=3:5,则AC的长为.

【答案】2指或4逐

【分析】分①点M在线段OC上，②点M在线段0。上两种情况，连接Q4,先利用勾股定

理求出40的长，再在RbACM中，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：由题意，分以下两种情况：

①如图，当点M在线段0c上时，连接。4,

•••0。的直径CD=10,

.•@=OC=5,

■：OM.OC^3:5,

3

:.OM=-OC=3,CM=OC-OM=2,

ABLCD,

:.AM=yJo^-OM2=A/52-32=4，

AC=^AM'+CM2="2+2?=2石；

②如图，当点/在线段0D上时，连接。4,

同理可得：OC=5,OM=3,AM-OM2=4.

:.CM=OC+OM=8,

AC=^]AM2+CM2=A/42+82=475；

综上，AC的氏为2坞或4A后，

故答案为：2指或46.

【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键.

变式2-7.（2021・广西河池•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以“（2,3）为圆心,

A8为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A,C两点，则点8的坐标是.

C

~O

【答案】（4,3-上）

【分析】如图，连接BC,设圆与x轴相切于点。，连接交BC与点E,结合已知条件,

则可得BCLMO,勾股定理求解进而即可求得3的坐标.

【详解】如图，连接BC,设圆与x轴相切于点。，连接血交BC与点E,

C

~oDx

贝IJ"D_Lx轴,

,.•AB为直径，则NACB=90°,

:.BCYMD,

.•.3C//X轴，

•.•“（2,3）,

：.MB=MD=3,CE=EB=2,

:.ME=dMB2-EB2=打_22=石，CB=4,

DE=MD-ME=3-45,

•.•3C〃x轴，

.­.8（4,3-石）.

故答案为：（4,3-石）.

【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定

理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键.

考查题型三利用垂径定理求解实际问题

典例3.（2022•湖北鄂州•统考中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符

合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90。，将形状规则的铁球放

入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）

是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知。。的直径就是铁球的直径，A8是。。的弦，

。切。。于点E,ACLCD,BD±CD,若CZ）=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为

（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【答案】c

【分析】连接。4,OE,设OE与AB交于点尸，WAC=BD,AC±CD,BDLCD得四

边形ABOC是矩形，根据CO与切于点E,OE为。。的半径得OELCD,OE±AB,

即R4=P8,PE=AC,根据边之间的关系得R4=8cm,AC=BD=PE=4cm,在R4OAP,

由勾股定理得，PA2+OP2^OA2,进行计算可得。4=10,即可得这种铁球的直径.

【详解】解：如图所示，连接。4,OE,设OE与A2交于点P,

VAC^BD,ACLCD,BDYCD,

四边形ABOC是矩形，

与。O切于点E,OE为。。的半径,

；・OE1CD,OE±AB,

:・PA=PB,PE=AC,

AB=CD=16cm,

PA=8cm,

,/AC=BD=PE=4cm,

在必△OAF,由勾股定理得，

PA2+OP2=OA2

82+（OA-4）2=OA2

解得，OA=10,

则这种铁球的直径=2Q4=2x10=20cm,

故选C.

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点.

变式3-1.（2021.贵州黔东南.统考中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一

个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB,

量的弧A8的中心C到AB的距离CZ）=1.6cm,AB=6Acm,很快求得圆形瓦片所在圆的半

径为cm.

【分析】圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接AC,作AC的中垂线，与直线的

交点就是圆心，已知圆心即可作出圆；连接圆心与A,根据勾股定理即可求得半径.

,：CD是弦AB的垂直平分线,

AD=-AB^3.2,

2

设圆的半径是r.在直角△A。。中，AO=r,AD=3.2,DO=r-1.6.

根据勾股定理得，r2=3.22+（r-1.6）2,