立体几何中的轨迹问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展26立体几何中的轨迹问题(精讲+精练)

、知识点梳理

一、立体几何中的轨迹问题

立体几何轨迹问题是以空间图形为素材，去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的

交汇处.要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力，以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.

常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.

二、常用的解决策略

⑴定义法:借助圆雉曲线的定义判断.

(2)坐标法:建立合适的坐标系，用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.

(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上，如平面与圆雉、圆柱、球相交，球与球相交，等等.

(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题，使问题更易解决.空间问题平面化

也是解决立体几何题目的一般性思路.

三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析

令平面与轴线的夹角为9(。<0<90°),圆雉的母线与轴的夹角为a(0<a<90°),如图②.

(1)当时，截口曲线为椭圆；

(2)当a=。时,截口曲线为抛物线；

(3)当a>0时,截口曲线为双曲线.

图②

图②我们再从几何角度来证明.

⑴如图③，在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点耳，鸟.在截口曲线上任取一点P,过点P

作圆雉的母线，分别与两球切于点•由球的性质可知|P。2|=|「耳|，|尸0|=伊巴卜于是

|正耳|+|尸阊=|尸0+|尸0|=@2|为定值，这样截口曲线上的任一点。到两个定点。1，。2的距离之和为

常数，由椭圆的定义知，截口曲线是椭圆.

Q)

图③

(2)如图④，在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球，使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与

截面切于点耳,B•在截口曲线上任取一点尸,过点尸作圆雉的母线，分别与两球切于点•由球的性质可

知|尸0=1尸耳|,|PQ2H尸闾，于是I尸4T尸0—|尸。2]=|QQ|为定值，这样截口曲线上的任一点

尸到两个定点。1，。2的距离之差的绝对值为常数，由双曲线的定义知，截口曲线是双曲线.

(3)如图⑤，用平行于母线且垂直于轴截面OMN的平面用去截圆雉.在圆雉内放一个球，使它和圆雉的侧

面与截面6相切，球与截面切于点F.设a为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面，记。c,=/.在截口

曲线上任取一点P，作直线与球相切于点T，连结PT，有阴=|PT卜在母线0M上取点A,B(B为0M与

球的切点)，使得|=|尸刀.过点P作PQ//AB，有点Q在I±,B.\FQ\=\AB\=\PF\,另一方面，因为平面

OMN与a垂直，那么I±平面OMN，有/，A5,所以/，.于是截口曲线是以点F为焦点,I为准线的抛

物线.

图⑤

二、题型精讲精练

1.平行、垂直有关的的轨迹问题

①平行有关的轨迹问题的解题策略

1.线面平行转化为面面平行得轨迹；

2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.

②垂直有关的轨迹问题的解题策略

1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;

2.利用空间坐标运算求轨迹；

3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.

【典例1］如图，在边长为。的正方体ABCD-A出Cid中，E、F、G、H、N分别是CG、CiDi>DDi.

CD、8c的中点，/在四边形EFGH边上及其内部运动，若〃面则点M轨迹的长度是（）

A.也aB.亚aC.型D.上

22

【答案】D

【分析】连接GH、HN,有GH〃A4i,HN//BD,证得面〃面GMV,由已知得点M须在线段GH

上运动，即满足条件，由此可得选项.

【详解】解：连接GH、HN、GN,•.•在边长为a的正方体A5CZX4131clDi中，E、F、G、H分别是CG、

C1Z>1>DDLCZ>的中点，N是BC的中点，

则68〃341,“可〃3。,又6”.面48。,341<=面418£）,所以6"〃面413。，同理可证得NH〃面43。,

又GHcHN=H,.•.面41。〃面G77N,

又；点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN〃面418。，

则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=&,则点”轨迹的长度是也a.

22

【典例2］在正方体ABCD-ABCA中，。是正方形与BCG内的动点，AQL8G，则。点的轨迹是（）

A.点与B.线段BCC.线段与GD.平面与BCC］

【答案】B

【分析】如图，连接4C,证明2G1BQ,又BCi1BQ即得解.

【详解】

如图，连接AC,

因为BCj42,BQ±,4。n44=4,AQ,4gU平面AtBtQ所以BCX1平面\BXQ，又用QU平面

4与2,

所以BCJ与。，又BCJBC.所以点。在线段与c上.故选：B

2.距离、角度有关的的轨迹问题

①距离有关的轨迹问题的解题策略

1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求

解轨迹；

2.利用空间坐标计算求轨迹.

②角度有关的轨迹问题的解题策略

1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面；

2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；

3.利用空间坐标系计算求轨迹.

【典例3】已知正方体A8CD-481C1D1的棱长为1,尸为底面ABC。内一点，若尸到棱CD,A1Q1距离相

等的点，则点P的轨迹是（）

A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线

【答案】D

【分析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系。-邙，求出点尸的轨迹方程即可判断.

【详解】

如图示，过尸作PELA3与E,过P作尸FLAO于歹，过歹作交Aid于G,连结PG,由题意

可知PE=PG

以。为坐标原点建立空间直角坐标系。-种，设尸（x,y,O）,由PE=PG得：

11TM2+肝,平方得：（彳一1）2一丁2=1即点尸的轨迹是双曲线故选：D.

【典例4】正方体ABCD-ABG2中，M,N分别为AB,A4的中点，P是边GR上的一个点（包括

端点），。是平面尸色用上一动点，满足直线MN与直线⑷V夹角与直线与直线NQ的夹角相等，则点

。所在轨迹为（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.抛物线或双曲线

【答案】D

【分析】根据题设分析可知：。点轨迹为以AN为母线，MN为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于A耳

反向对称的锥体与平面尸儿区的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断。所在轨

迹的形状.

【详解】由题设，。点轨迹为以⑷V为母线，MN为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于A片反向对称

的锥体与平面尸〃耳的交线，如下图示：

当尸是边GR上移动过程中，只与下方锥体有相交，。点轨迹为抛物线；

当尸是边G2上移动过程中，与上方锥体也有相交，。点轨迹为双曲线；

D

3.翻折有关的的轨迹问题

①翻折有关的轨迹问题的解题策略

1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹

2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹

3.可以利用空间坐标运算求轨迹

【典例5】1822年，比利时数学家de/位利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，

可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性.在生

活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆.这是由于光线形成的圆

锥被地面所截产生了椭圆的截面.如图，在地面的某个占A正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使

得4A与小球相切.若AA=5,小球半径为2,则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）

【答案】A

【分析】设为月=x,从而可得的=5,A4=X+2,A4,=X+3,利用勾股定理可得X=10,再由离心

率的定义即可求解.

【详解】在R〃刈4中，设&不=了,=x

222

=5,A4=X+2,^2=x+395+(X+2)=(X+3),

c2

.\x=10,，长轴长A&=2。=12,a=6,c=6—2=4贝1|离心率e=—=—.故选：A

a3

【题型训练2-刷模拟】

1.平行、垂直有关的的轨迹问题

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点，动点尸在表

面上运动，并且总保持PELAC,则动点尸的轨迹的周长为（）

A.V6+V2B.V6-A/2C.4D.75+1

【答案】A

【分析】由题意，动点尸的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥的交线，再根据线面垂直的

性质求解即可.

【详解】如图，设AC，配》交于。，连接SO,由正四棱锥的性质可得，SO,平面ABCD,因为ACu平面A5CD,

故SOLAC.

又SOcBD=O,SO,BDu平面S皮），故AC_L平面SBZ）.

由题意，PE,AC则动点尸的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABCD的交线，即如图屏6,则

AC_L平面跖G.

由线面垂直的性质可得平面S8D//平面段G,又由面面平行的性质可得EG//S3,GF//SD,EF//BD,

又E是边BC的中点，故EG,GF,EF分另I」为ASBCASOC,的中位线.

由题意BD=26,SB=SD==布,故EG+EF+GF+&+2%=病+质.

即动点P的轨迹的周长为V6+V2.

2.（2023・安徽滁州•安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱A8CD-A4G。中，AB=1,抽=4,E为

。2中点，P为正四棱柱表面上一点，且£尸!B,E,则点尸的轨迹的长为（）

A.75+V2B.2V2+V2C.2A/5+V2D.而+四

【答案】A

【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点C1垂直于用E的正四棱柱的截面即可计算

作答.

【详解】在正四棱柱A4GA中，连接4A，AG，如图，后已,平面人耳6。，

B

非

句6

因为4GU平面44GR,则ERJL4C，又BR,ERu平面EBR,

E"cBR=2,则AG,平面EBR,又BiEu平面EBR,则C£1B1E,

取CG中点尸，连接EF.BZ，在平面8CC|耳内过C|作GG，4尸，交B用于G,显然EF//D&,

而。CJ平面BCC4,则£F1平面BCG瓦，有C°1EF,

又B7,FEu平面B/E,FEcBF=F,于是CQ1.平面B/E,而用Eu平面片RE,因此CQ^^E,

因为£G，GAu平面GG4，£Ac£G=G，从而与E，平面C04，

连接AG,则点尸的轨迹为平面GG4,与四棱柱的交线，即

因为/月。|3+/36尸=/66尸+4876=9。°,即有/瓦C1G=/BFG，又4即=ZFC1B1,

于是AGB’GSAFC国,有*=塾=2,B。二,

4GC]42

所以点P的轨迹长为AG+QG+AC"2J1+；+亚=石+也.

故选：A

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几

何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点

中至少有两个点在几何体的同一平面上.

3.（2023•江西赣州•统考二模）在棱长为4的正方体488-4月6。中，点尸满足和=4通，E,尸分别

为棱BC,。的中点，点。在正方体ABC。-A46。的表面上运动，满足A。//面£FP,则点。的轨迹所

构成的周长为（）

A.也B.2屈C.旭D.晅

333

【答案】D

【分析】作出辅助线，找到点。的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.

【详解】延长相＞,交E尸的延长线与",G,连接PG,P〃，分别交2片，。，于R,T

过点4作AK//PG交BBi于点K,过点4作ANIIPH交DR于点N,

因为AKa平面EFP,尸Gu平面EFP,所以AK〃平面EFP,

同理可得AN//平面由，

因为AKnAN=a，所以平面EFP//平面AKN,

过点N作M1//AK交CG于点

连接MK,则MK〃4N

则平行四边形AKMN（A点除外）为点。的轨迹所构成的图形，

因为正方体棱长为4,E,尸分别为棱BC,C。的中点，招=4通，

所以AP=1,以=DT=；,

12

因为"=KR=NT=3,所以4K=2N=4—3—：=（,

2

过点N作N/LCG于点J,则CJ=，N=],

2724

则由几何关系可知JM=4K=§,所以GM=§+§=§,

由勾股定理得AXK=\N=MN=MK=+JM。=J16+g=口鲁，

所以点。的轨迹所构成的周长为史立.

3

4.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，正方体的棱长为2,E,尸分别为AA，AB的中

点，点P是正方体表面上的动点，若CXPH平面CDXEF,则尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（）

A.72+75B.V2+2A/5C.2也+小D.2陵+2行

【答案】B

【分析】要满足C/〃平面CREP,只需要寻找一个平面，使该平面经过G，且与平面CRM平行即可，取

8月的中点G,A片的中点H,连结G/f，GG，G〃.证明出面G"G〃面C2M.得到尸点在正方体表面上运

动所形成的轨迹为三角形G"G,求出周长即可.

【详解】取B片的中点G,A耳的中点H,连结GH,CGCH,ABEG,HF.

正方体ABCD-A4G2的棱长为2.E,£G,H为中点，所以E/〃AB，GH//,所以斯//GH且

EF=GH=&

因为为分别为AB,A耳的中点，所以FH//CQ,且FH=CG，所以四边形制GC为平行四边形，所以

HCJ/CF.

因为g<2面CD/,CFu面CREF,所以〃面CD,EF.

同理可证：HG〃面CREF.

又GHcHC、=H,HC1u面CCH,GHt面GG”,

所以面C/G//面CR所.

所以尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形C.HG.

因为正方体ABCD-AgGO的棱长为2,所以〃£=GG=H+12=V5,

所以三角形G"G的周长为G”+"G+GC[=^+方+君=0+2方.

故选：B

5.（2023•全国•高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD-AgCQ中，M,N分别为BD—4G的中点,

点尸在正方体的表面上运动，且满足〃平面CNQ,则下列说法正确的是（）

B.线段MP的最大值为走

2

C.点P的轨迹是正方形D.点尸轨迹的长度为2+6

【答案】B

【分析】如图，取棱BC的中点E,连接DE,B]E,ME,进而证明平面4£加//平面CNQ,再结合题意可知

直线用M必过£＞点，进而取4A中点尸，连接BRFD,DE,证明产e平面片EM即可得四边形耳ED尸为点

P的轨迹，再根据几何关系依次判断各选项即可.

【详解】解：如图，取棱8C的中点E,连接DE,B,E,ME,

因为分别为SR,8。的中点，

所以，在ABC，中，ME//CD,,由于ME.平面CAR,C2u平面CN。1,

所以ME7/平面CND、,

因为B\NIICE,B、N=CE,所以，四边形CNB|E为平行四边形，

所以CN//与E,因为CNu平面CAR,平面CNR,

所以，84〃平面CNR,

因为耳=片瓦加片匚平面瓦后加，

所以，平面平面CNQ,

由于M为体对角线8,的中点，

所以，连接与M并延长，直线与M必过。点,

故取AA中点尸，连接瓦

所以，由正方体的性质易知EDJ/CE,ED|=CE,

所以，四边形COLE是平行四边形，EF//CDt,EF=CD.,

因为，MEZ/CD^ME=gcD],

所以，E,尸,M共线，即尸e平面瓦EM,

所以，四边形用E。尸为点尸的轨迹，故A选项错误；

由正方体的棱长为1,所以，四边形瓦血尸的棱长均为手，且对角线为砂=0，4。=百’,

所以，四边形片旦不为菱形，周长为2石，故CD选项错误，

由菱形的性质知，线段M尸的最大值为[用。=立，故B选项正确.

212

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱BC的中点E,进而证明平面与EM〃平面CN2,再根据

面面平行的性质求解点P轨迹即可求解.

6.（2023・全国•高三专题练习）已知棱长为1的正方体ABCD-ABGA，/是台片的中点，动点尸在正方

体内部或表面上，且〃平面则动点P的轨迹所形成区域的面积是（）

A.巫B.&C.1D.2

2

【答案】A

【分析】过点M做平面的平行截面，再求四边形面积即可.

如图所示E、F、G、M分别是A4、A.、Bg、B耳的中点，

则所〃AR,EM//AB,所以。〃平面ABR,EM//平面ABR,且EFCEM=E,

所以平面A8D1//平面£FGM,故点P的轨迹为矩形KFGM.

MBx=Bfi=\,所以MG=变，所以SEFGM=1X皂=皂・

2222

故选：A

【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题.

二、填空题

7.（2023・全国•高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆。的直径，C是下底面圆周上一点，己知

TT

ZAOC=-,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足3CL4）,则点。的轨迹所围成图

形的面积为.

4g:笛一刁8

C

【答案】10

【分析】先推出3C」平面AC。，设过A的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为厂，

连斯,CRAC,推出3c/平面ACE,从而可得点。的轨迹是矩形AEFC,计算这个矩形的面积即可得解.

【详解】因为A3是圆柱下底面圆。的直径，所以BC±AC,

XBC±AD,ACQAD=A,AC,ADu平面ACD,所以8cl平面ACD,

设过A的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为产，连E£b,AC,

,D

C

因为AE_L平面ABC,3Cu平面ABC,所以AEJ_BC,

因为AEP|AC=A,AE,ACu平面ACE,所以_BC_Z,平面ACE,

所以点。在平面ACE内，又点。在圆柱的表面，所以点。的轨迹是矩形AEFC,

JT

依题意得AE=5,Q4=OC=2,ZAOC=-,所以AC=2,

所以矩形AEPC的面积为5x2=10.

故点D的轨迹所围成图形的面积为10.

故答案为：10.

8.（2023・河南•校联考模拟预测）己知正方体ABCD-ABCR的棱长为石，动点尸在VAB。内，满足

RP=石，则点P的轨迹长度为.

【答案】|

【分析】确定正方体4BCD-A4GA对角线22与VABQ的交点E,求出EP确定轨迹形状，再求出轨迹

长度作答.

【详解】在正方体ABC。-44GA中，如图，

DD,l^ABCD,ACu平面ABC。，则。Q，AC,而3D_LAC,

DDQBD=D,DDl,BDu平面BDD1,于是AC，平面BDDt,又BD、u平面BDDl,

则ACL8。，同理A瓦，B2,而4Cn44=A,AC,A耳u平面阴C,因此血口平面阴C,

令股交平面照C于点E,由"c=匕…,得;S,A31c.BE=；S^C-BBI,

即¥（何2）2.附=94，解得取=才2=1,而=于是*=2,

因为点p在vAqc内，满足〃尸=行，则EP=/DF-DE=1,

因此点P的轨迹是以点E为圆心，1为半径的圆在VAB。内的圆弧，

而VABC为正三角形，则三棱锥AB。必为正三棱锥，E为正VA耳C的中心，

于是正VA耳C的内切圆半径即=Mx且xL石x0x且x2=交，

123232

贝（lcosN/ffi/=走，即=NFEG=3,

242

所以圆在VABQ内的圆弧为圆周长的：，即点P的轨迹长度为。2兀.1=].故答案为：g

【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面

平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.

9.（2023春•四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点M是棱长为3亚的正方体

ABCD-A.B^D,的内切球。的球面上的动点，点N为棱与G上的一点，且2NB、=NC[,，&V,则动M

点的轨迹的长度为.

【分析】由题意画出图形，8片上取点P,使得2BP=P用，连接CROP,BN,由线面垂直的判定定理和性

质，可得5NL平面DCP,所以M点的轨迹为平面。CP与球。的截面圆周，求出截面圆的半径即可得出答

案.

如图所示，在B片上取点P,使得2BP=PB-连接CP,DP,BN

QNC、=2NB\,..CP±BN

又£>C_L平面BCC]B],:.DCLBN

XQDC?CPC,OCu平面。CP,CPu平面DCP,平面。CP

.•.BN_L平面DCP

又点M是棱长为3板的正方体AB。。-446。的内切球。的球面上的动点且，3N,可得M点的轨迹

为平面DCP与球。的截面圆周.

连接OD,OP,OC,则七-DPC=%-DPO

又CP=^BC~+BP2=«3亚j+（可=275

SRlvnPr=-DC7PC-^^22乒3回

22

又O,D,P在平面DBBR,则C到平面OD尸的距离：h=:AC=^AD2+DC2=枭（3⑻+（3夜j=3

又S\JDOP~SVD%P_SyOB'P~gBF?BD^B}P^BDl3A/2

设。到平面小的距离为则产…仆*。峭解得d考

又正方体ABC。-AAGR的内切球。得半径7?=-?30还

22

3底

则截面圆的半径厂=

10

因此可得动M点的轨迹的长度为2n零二半小

故答案为：亭

【点睛】本题是一道空间线面位置关系及多面体与球的内切等位置关系与距离、体积的计算等能力的综合

运用.解答时先将问题转化和化归为平面。CP与球。的截面圆周的周长问题，进而转化为。到平面DPC的

距离为d,运用等体积法求出“，借助截面圆的半径与球的半径，球心距之间的关系厂=斤牙求出截面

圆周的半径，最后求出截面圆的周长也即为动M点的轨迹的长度.

2.距离、角度有关的的轨迹问题

一、单选题

1.（2023春•河南•高三校联考阶段练习）已知长方体A8CD-4月的外接球的表面积为5兀，A4）=2,点

尸在四边形内，且直线BP与平面AACG所成角为;，则长方体的体积最大时，动点尸的轨迹长为

4

（）

A.兀B.叵C.-D.叵

224

【答案】C

【分析】首先由题意得到长方体体积最大时，得到几何体的棱长，设AC,3D相交于点。，由801平面

AACG，确定线面角，从而确定点尸的轨迹，从而得解.

【详解】因为长方体ABC。-AB©。的外接球的表面积为5兀，设外接球的半径为R,

所以471a=5兀，解得R=乎或心-]（舍去），即外接球的直径为正，

设=BC=b,则J/+/+22=后,可得/+〃=1,

所以1=2必当且仅当a=b=Yl时，等号成立.

2

如图，设AC,5。相交于点。，

因为5O_LAC,BO_L明，ACPIAAj=A,AC,A41c:平面4ACQ，

所以3。1平面AACG，直线BP与平面AACC1所成角为

4

TT11

所以4BPO=Z，故OP=],则点P的轨迹是以。为圆心，半径r=5的半圆弧，

所以动点尸的轨迹长为〃.

故选：c

2.（2023•河北•统考模拟预测）己知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥

_______,jr

为正四棱锥）尸一A3co的底面正方形边长为2,其内切球O的表面积为I,动点。在正方形A3CQ内运动,

且满足则动点。形成轨迹的周长为（）

人2兀-3兀-4兀-5兀

A.—B.——C.——D.—

11111111

【答案】C

【分析】利用等体积法及几何关系求出关于动点Q的等式关系，根据相关几何意义即可求出动点Q形成

轨迹的周长.

【详解】设内切球O的半径为R,贝!）4兀叱=?,:.R=@.

36

根据等体积法得g（S.8+4S△皿）R=；XAB"F,

-I4+4x-x2xPExPF,整理得1+PE=2后/，又PE?-PF?=1，

2

解得PE=*,PF=^-.：.OF=—,。尸。。=。尸=12^1.

111166666

在Rf"Q中，­［笆［-图=.

...点Q在以点F为圆心，52为半径的圆上，其周长为2兀2=R4兀.

故选：C.

3.（2023•山东淄博・统考三模）设A,B是半径为3的球体。表面上两定点，且£403=60。，球体。表面

上动点P满足|网=2|尸固，则点P的轨迹长度为（）

12713

A.W4幅

B.----------71c.工D.------------71

1157

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，根据|PA|=2|P却确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心

距|CO卜而，对应圆的半径为《=强=唔，再计算周长得到答案.

【详解】以A03所在的平面建立直角坐标系，为x轴，A3的垂直平分线为＞轴，

卜（，0），设尸（2），附=2|冏，

|AB|=3,贝!|A

则（x+£|+y2=4（x-£|+4y2,整理得到上一+y2=4,

故P轨迹是以。6,。）为圆心，半径r=2的圆，

转化到空间中：当P绕AB为轴旋转一周时，归山，|尸耳不变，依然满足1PAl=2|「用

故空间中尸的轨迹为以C为球心，半径为r=2的球,

同时尸在球。上，故P在两球的交线上，为圆.

球心距为|。。仁^|OB|2+|BC|2-2\OB\-\OC\cos120°=屈=722+32,

△OCT为直角三角形，对应圆的半径为?;=篇65

13

671312713

周长为2跖=271X----------=-------------71.

1313

4.（2023•全国•高三专题练习）在正方体ABCD-AACIA中，E为片鼻的中点，尸为底面ABC。上一动点,

且跖与底面ABC。所成的角为60。.若该正方体外接球的表面积为12兀，则动点尸的轨迹长度为（）.

A4GR上273N4A/3

r\..----------7CJJ.71Cr•-----------兀J_z.----------兀

9333

【答案】A

【分析】取AD的中点H,连接EH,判断出㈤E为EF与底面ABCD所成的角，即/硒/=60。.设正

差为半径的圆在正方形

方体的棱长为a,利用外接球的表面积求出a=2.判断出F的轨迹为以H为圆心,

ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.

【详解】

如图1,取AD的中点H,连接EH,则EH/MA.

在正方体中，刈，底面ABCD,所以，底面ABCD.

所以/跳H为EF与底面ABCD所成的角，贝!JN瓦H=60。.

设正方体的棱长为a,因为该正方体外接球的表面积为12兀,

所以4兀x=3兀/=12兀,解得a=2,

所以EH=e=〃=2,从而HF二卡,

2

所以的轨迹为以为圆心,为半径的圆在正方形区域内的部分，如图

FH6ABCD2.

在图2中，HG=HM=^=

所以cos/AaG=^=走，则NA"G=2,

HG26

TTTT917

根据对称性可知/乙，所以/M〃G=7i-2x乌二」,

663

故动点F的轨迹周长为®x2=迪兀.

369

故选：A

5.（2023・云南曲靖・曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥尸-ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点

尸到底面ABC的距离为4,体积为T，若该三棱锥的外接球。的半径为耳，则满足上述条件的顶点尸的

轨迹长度为（）

A.6万B.124C.2石/D.4辰

【答案】D

【分析】利用三棱锥尸-ABC的体积，求解底边边长，求出的外接圆半径，以及球心。到底面ABC的

距离，判断顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周，进而求解周长即可.

【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形AASC的直角边长为x（x>0）,

.•・三棱锥的体积V=・尤2.4=g

解得：x=2^2

：.^ABC的外接圆半径为7；=1-A/2-2A/2=2

球心0到底面ABC的距离为

4=-片=J13-4=3,

又；顶点P到底面ABC的距离为4,

顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周

当球心在底面ABC和截面圆之间时，

球心。到该截面圆的距离为a=4-3=1,

•••截面圆的半径为4=打_0=^/i3^T=273,

二顶点P的轨迹长度为2环=46万；

当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，

球心。到该截面圆的距离为4=3+4=7>H=JF,故不成立.

综上所述，顶点P的轨迹的总长度为万.

故选：D.

6.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考期中）在正四面体A-3CD中，点P为AfiCD所在平面上的动

点，若小与A3所成角为定值则动点尸的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】B

【分析】把条件转化为A8与圆锥的轴重合，面BCD与圆锥的相交轨迹即为点尸的轨迹后即可求解.

【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令与圆

锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与42所成角为定值，所以面38与圆锥的相交轨迹即为点P的轨

迹.根据题意，AB不可能垂直于平面BCD即轨迹不可能为圆.面BCD不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可

能是双曲线.可进一步计算与平面BCD所成角为附ba”正，即6="°370时，轨迹为抛物线，

"arctan夜时，轨迹为椭圆，•.・。《。彳），所以轨迹为椭圆.

故选:B.

【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.

7.（2022秋.河南.高三期末）棱长为1的正方体4BCD-A4G。中，点E是侧面CGB/上的一个动点（包

含边界），则下面结论正确的有（）

①若点E满足则动点E的轨迹是线段；

②若点E满足NE4C=30。，则动点E的轨迹是椭圆的一部分；

③在线段BC上存在点£,使直线与8.所成的角为30。；

④当E在棱2月上移动时，EC+EQ的最小值是

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】对于①，证明80，平面A5G即可解决；对于②，若NEAC=30。，则E在以为轴，母线所在

直线为A也的圆锥曲线的侧面上，即可解决；对于③，当E为8G中点时，瓦此时tanN马4最小,

计算得tanNEAB1=%=g§,即可解决;对于④,平面BG旋转到与平面DBBR重合,连接RC交BB,

23

于E,即可解决.

【详解】连接4C],BG.

所以瓦CL8G，

又正方体ABCD-A4GA中，AB工平面BG，

因为AB上平面BG，

所以ABL瓦C,

又43ABCX=B,AB,BC[u平面ABC,,

所以B,C，平面ABG，

所以只要E在线段上，就有4BL3G,

所以动点E的轨迹是线段BG；故①正确;

若NEAC=30°,

则E在以AC为轴，母线所在直线为AE的圆锥曲线的侧面上，

平面BG与圆锥的轴AC斜交，截圆锥的侧面所得的截线是椭圆，故②正确;

因为A4//C2

所以AE与8所成的角等于4E与A4所成的角NEA片,

当E为BG中点时，BRBCi，

此时tan/珞用最小，

在RtaA用E中，tan/34="2="＞且,

4423

所以ZEA,B,不可能为30。.故③错误;

如图，将平面BG旋转到与平面DBBR重合，

连接2c交B4于E,

此时EC+ED,的最小值为DXC=JF+(C+1)2=/4+2(,故④错误;

故选：B.

二、填空题

8.(2023春・湖南长沙•高三校联考阶段练习)在棱长为3的正方体ABCD-ABIGR中，P为棱人片上一点,

且=1,则正方体表面到尸点距离为右的点的轨迹总长度为.

【答案】2卜

【分析】根据以P为球心，如为半径的球与正方体表面的交线长度来求得轨迹总长度.

【详解】以尸为球心，石为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，

在平面A3与4和平面AD2A上轨迹是以尸为圆心，y[5为半径，

圆心角为g的两段弧，弧长为如，

22

在平面A4GA上的轨迹是以4为圆心，1为半径，圆心角为3的弧，弧长为

在平面A5CD上的轨迹是以A为圆心，2为半径，圆心角为5的弧，弧长为兀，

因此，轨迹的总长度为［土+占+.

故答案为：］|+百〉

9.（2023•全国•高三专题练习）已知三棱锥尸-ABC的外接球。的半径为耳，AASC为等腰直角三角形，

若顶点尸到底面A3C的距离为4,且三棱锥P-ABC的体积为g,则满足上述条件的顶点尸的轨迹长度

是.

【答案】兀

【分析】设AABC直角边的边长为无，根据三棱锥尸-ABC的体积为当，求得尤=20,进而求得外接圆半

径为八=2,得出球心0到底面A3C的距离4=3,得出球心。到该截面圆的距离《=1，进而求得截面圆

的半径2,即可求得点尸的轨迹长度.

【详解】设底面等腰直角三角形ABC的直角边的边长为Mx>0）,

/.顶点P到底面ABC的距离为4且三棱锥P-ABC的体积为y,

A|x|vx4=y,解得X=2

二”LBC的外接圆半径为4=gx&x2夜=2,

二球心。到底面ABC的距离为&=JR-=V13-22=3,

又,•'顶点P到底面ABC的距离为4,

二顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面ABC和截面圆之间）且球心。到该截面圆的距离为d2=l,

截面圆的半径4=一成=后T=2』，

二顶点P的轨迹长度是2s2=2%X26=4圆,

故答案是：4A岳T.

【点睛】解题方法点拨：

1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动

点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

10.（2023•全国・唐山市第十一中学校考模拟预测）已知N为正方体ABCD-AgGA的内切球球面上的动点,