专题11空间直线平面的垂直（重难点突破）教师版

专题11空间直线、平面的垂直【重难点知识点网络】：一、直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的_______________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______________，平面α叫做直线l的_______________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_______________．图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．2．直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条_______________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，_______________⇒l⊥α作用判断直线与平面_______________（1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．（2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．3．直线和平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面_______________，但不和这个平面_______________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_______________叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引_______________，过_______________和_______________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_______________，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于_______________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于_______________．因此，直线与平面所成的角α的范围是_______________．

二、平面与平面垂直的判定1．二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为_______________．从一条直线出发的两个_______________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的_______________，这两个半平面叫做二面角的_______________图示二面角的平面角文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于_______________的射线，则这两条射线构成的_______________叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0，π]二面角的大小及记法规定二面角的大小可以用它的_______________来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是_______________的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为_______________．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角_______________．【温馨提示】二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平面的位置关系．知识剖析（1）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．（2）平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．2．平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_______________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作_______________．（2）画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_______________垂直．如图所示．3．平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的_______________，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，_______________⇒α⊥β作用判断两平面_______________【温馨提示】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题（即空间问题）转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决．三、直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线_______________符号语言⇒_______________图形语言作用（1）证明两直线_______________；（2）构造平行线【温馨提示】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．直线与平面垂直的性质（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．四、平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则_______________垂直于_______________的直线与另一个平面_______________符号语言图形语言作用证明直线与平面_______________【温馨提示】平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．垂直关系之间的相互转化【重难点题型突破】：一、证明或判断直线与平面垂直方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。例1．（线线垂直的条件判断）在直三棱柱中，.以下能使的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直三棱柱所以，又因为，所以因为，平面，所以平面，所以，那么，要证，故只需要证明平面，即证，因为直三棱柱的侧面都是长方形，当增加条件时，则可以得到，因为，，平面，所以平面，所以.故选B.例2．（翻折问题中的线面垂直）如图，在边长为的菱形中，，与交于点，将沿直线折起到的位置（点不与，两点重合）.（1）求证：不论折起到何位置，都有平面；（2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.【答案】（1）详见解析；（2）或.【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以.因为，点是的中点，所以.又因为平面，平面，，所以平面.（2）解：以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示.易知，，，则点，，，所以，.设，则.所以.设平面的一个法向量为，则由得解得令，得平面的一个法向量为，所以，解得.故所求的值为或.【变式训练1】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由题设知≌，所以，故，．以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则即所以可取n=.设平面的法向量为m=（x，y，z），则即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值为．【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.【变式训练2】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（2）过A作AD的垂线交BC于点M．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如图建立空间直角坐标系A−xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．所以．所以.设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，则．于是．又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.由题知，二面角F−AE−P为锐角，所以其余弦值为．（3）直线AG在平面AEF内．因为点G在PB上，且，所以.由（2）知，平面AEF的法向量.所以.所以直线AG在平面AEF内.

二、证明或判断平面与平面垂直方法一：用线面垂直实现。例3．（翻折问题中的面面垂直）在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.如图1如图2（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.【解析】（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得.又因为为的中点，所以在题图2中，，，且，所以平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.所以平面.又因为平面，所以.以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系在题图1中，设，则，，，.则，，，.所以，，.设为平面的法向量，则，即令，则.所以.设与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【变式训练1】.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解析】（Ⅰ）因为平面ABCD，且平面，所以．又因为底面ABCD为菱形，所以．又平面，平面，，所以平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．又，所以AB⊥AE．又平面，平面，，所以AE⊥平面PAB．又平面，所以平面PAB⊥平面．（Ⅲ）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．因为，分别为，的中点，则FG∥AB，且FG=AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG．因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．三、线面垂直、面面垂直的综合应用例4．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.【变式训练1】.已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是A．或 B．C． D．【答案】A【解析】对于A，直线平面，，则或，A正确；对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；对于C，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．故选A．四、线面垂直、面面垂直的性质综合应用例5．已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是A．或 B．C． D．【答案】A【解析】对于A，直线平面，，则或，A正确；对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；对于C，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．故选A．【变式训练1】如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，现在沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则四面体的高为A． B．C． D．1【答案】B【解析】如图，由题意可知两两垂直，∴平面，∴，设P到平面的距离为h，又，∴，∴，故，故选B.【名师点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．折叠后，利用即可求得P到平面的距离．【变式训练2】．如图，在四棱柱中，侧棱，，，，点为线段上的点，且．（1）