山东省济南市历下区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

2023〜2024学年第一学期八年级期末教学质量检测数学试题

考试时间120分钟满分150分

第I卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.在平面直角坐标系中，点A是无轴上的一点，则点A的纵坐标为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了X轴上点坐标的特征.熟练掌握l轴上点坐标的纵坐标为0是解题的关键.

根据1轴上点坐标的纵坐标为0,判断作答即可.

【详解】解：由题意知，点A的纵坐标为0,

故选：D.

2.如图，直线a,占被直线c所截，ab,若Nl=120。，则N2的度数为（）

A.50°B,60°C,70°D,80°

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质等知识，理解并掌握平行线的性质是解题关键.首先

根据“对顶角相等"可得N3=N1=12O。，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，由N2=180°-N3

求解即可.

【详解】解：如下图，

.•"3=21=120。，

•••ab，

.•.Z2=180°-Z3=60°.

故选：B.

3.如果加三〃，那么下列各式中正确的是（）

一AW0一72

A.B.加W"-1c,2-2D.2m<2n

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了不等式的性质.熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

根据不等式的性质对各选项进行判断作答即可.

【详解】解：「mW”,

1、1

—桁之—n

22,2m<2n,

无法判断力，”一1的大小关系，

・•・A、B、C错误，故不符合要求；D正确，故符合要求；

故选：D.

4.下列命题中是假命题的是（）

A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

B.全等三角形的面积相等

C.负数都小于零

D.三角形的三个内角的和等于180°

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查命题真假的判断，根据对顶角定义即可判断A项，根据全等三角形性质即可判断B

项，根据负数的定义即可判断C项，根据三角形内角和定理即可判断D项.

【详解】解：A、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，根据有公共的顶点，角的两边互为反向延长

线的两个角是对顶角，故该命题错误，为假命题，符合题意；

B、全等三角形的面积相等，正确，为真命题，不符合题意；

C、负数都小于零，正确，为真命题，不符合题意；

D、三角形的三个内角的和等于180°,正确，为真命题，不符合题意；

故选：A.

5,下列算式的值是有理数的是（）

昱

A.6-百B,43x9c.0D5/4+75

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查二次根式的计算，以及有理数的概念，根据二次根式的运算法则计算各项，再根据有理

数的定义判断各项，即可解题.

【详解】解：A、相-尤为无理数，不符合题意；

B、反§=3后为无理数，不符合题意;

c、为有理数，符合题意;

D、J1+6=2+"为无理数，不符合题意;

故选：C.

6.2023年10月8日，第十九届杭州亚运会圆满结束.各国参赛代表团在激烈的比赛中展现了出色的实

力.中国体育代表团在本届亚运会上，收获了201枚金牌，取得了亚运会参赛历史最好成绩，中国成为首

个在单届亚运会上获得200枚以上金牌的国家.现将我国近六届亚运会的金牌数统计如下，在这组数据

中，金牌数的中位数是（）

第14-19届董运会中国全牌数

0______________________________________

第14届第15U；第16%第17H第18Ali第19M

A.155B.158C.165D.199

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了求中位数”将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是

奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就

是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键.根据中位数的定义求解即可得.

【详解】解：将这组数据从小到大进行排序为132150,151,165,199,201,第3个数和第4个数的平均数

即为中位数，

⑸+165-58

则在这组数据中，金牌数的中位数是2,

故选：B.

7.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足

一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木

还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长尤尺,绳长y尺，则可以列方程组（）

【答案】D

【解析】

J

【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长2绳长=1,据此可列方程组求解.

【详解】解：设长木长x尺，绳长y尺,

x=4.5

x--v=l

依题意得

故选：D.

【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解.

8.在RtZxHBC中，NC=90°,BC=3,AC=4,2D是NH5c的角平分线，则UD的长为()

435

A.3B.2c.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的

点到角两边的距离相等是解题的关键.过点。作于点E,利用角平分线的性质，可得

DE=CD,从而得到RtABCDgRb8即(HL),可得BE=BC=3,然后设==则

AD=4-x,在Rt-,4Z)E中，利用勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，过点。作于点E,

•.•3。是〜超。的角平分线，ZC=90°,

:.DE=CD,

,：BD=BD,

,RaBCZ)gRu8或)(HL)

••\/，

BE=BC=3,

在Rt△的。中，BC=3,AC=A,由勾股定理得:

ABNAC'+BC，=5,

:.AE=AB-BE=2,

设DE=CD=x,则AD=4-x,

在P.t-ADE中，DE2+AE2=AD2,

.(4-.X)3=23+.X3

_3

解得：一5,

r

CD=-

即2.

故选：B.

9.如图，直线外二。”。。。）与纥=''+右交于点，（一1二），则下列四个结论：®a<0,b>0；②当

:v>0时，】、>°；③当》>一1时，•“<"；④当°<”<丁1时，-3<.x<-l.其中正确的结论有

（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据正比例函数和一次函数的性质，结合图象判断即可，

关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断.

【详解】解：因为内=6（°工0）经过二，四象限，所以。<0,J3=x+6经过一、二、三象限，所以

b>0,故①正确；

,■'a<0,当x>0时，J.<。，故②错误；

结合图象可得，当》>一1时，直线丁1=。1（。二°）的图象在”=的图象下方，】、<】、，故③正

确；

结合图象，当心时，x<T,<丁1,二刀>一3,二一3<1<-1,故④正确，

故选：C.

10.在平面直角坐标系中，第一象限内的点尸（、,1,）和在第四象限内的2「工丁11若满足：

'-y（0<x<,2）

•[i--8（.v>2）,那么称点。为点尸的“影像点”，例如：点（】，’的影像点为点点（4>

的影像点为点（4-6）,如图，若点在直线）'=*一1上，当a<加<6时，存在点p的影像点

Q,则b-a的最大值为（）

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于X轴对称的点坐标的特征.熟练掌握

一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于1轴对称的点坐标的特征是解题的关键.

由“影像点”可知，当0cxW2时，「（工】'）、关于1轴对称，当时，尸（工】‘）向下平移

8个单位得到°然后根据Q在第四象限求得当5V5时，存在点p的影像点。，然后求解作

答即可.

【详解】解：由“影像点”可知，当时，尸（工丁）、°（莺丁1）关于“轴对称，当时，

尸（X，J'）向下平移8个单位得到。（X，JiL

当J=0时，〕'=2x—1=°,

1

X=—

解得，-，

当丁=$时，2.x-l=8,

,=9

解得，-2,

19

—<m<—

・••当22时，存在点尸的影像点。，

-a<m<b,

91”

———=4

••・6-。的最大值为22,

故选：A.

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

11.点P（2,4）关于y轴对称点的坐标为.

【答案】（-2,4）.

【解析】

【详解】分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可.

详解：点尸(2,4)关于y轴对称的点的坐标为(-2,4).

故答案为(-2,4).

点睛：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

12.不等式2x-3>0的解集是.

.->2

【答案】2

【解析】

【分析】解不等式即可.

【详解】解：2x-3>0,

2x>3,

xU

.vU

故答案为2.

【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键.

13.如图，在中，外角ZDG4=100°,乙4=45°,的度数为度.

【解析】

【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于与之不相邻的两个内角和，即可解题.

【详解】解S=l00°,乙4=45°,

..Z5=ZZ)CX-2S4=100°-45O=55°

故答案为：55.

'_4

-3x+i,+3=0<3

14.若方程组l3x+='-6=°的解是［丁=1,则直线y=3x-3与'-2交点的坐标为

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组.二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组

的解就是两个函数的交点坐标.

4

-3x4-v+3=0

3T+1

【详解】解：•.•方程组11'-6=0的解是[y

I，=NX+311

...直线丁=51-'与'2的交点坐标是

4

故答案为:

15.如图，在〜45c中，NC=90°,乙4=30°,在幺。上取一点0,使得CO=4石，过点。作边

43的垂线QE,垂足为点E,且DE=26,则的面积为.

【解析】

【分析】此题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，根据含30°角的直角三角形的性质

得到血）=208=46,贝|]47=40+。0=8岔，再得到=利用勾股定理求出,

根据直角三角形面积公式即可得到答案.

【详解】解：•••过点。作边AB的垂线DE,垂足为点E,

口加=90。，

...ZZ=30°,DE=2^3,

...AD=2DE=45

1.AC=AD+CD=3j3,

在“5C中，ZC=90°,乙4=30。，

.：AB=2BC,

■.■AB2=BC2AC2,

(25C)3=5C3+(8^)2

解得R?=S(负值已舍去)，

L4cBe=k8^xg=32道

・•・"C的面积为2-,

故答案为：，-

16.如图，己知々43C,乙43c=30°,BC=2,以4c为边向外作等边三角形AHCD,连接3。交

月C于点£,其中3,则43的长为.

【答案】有

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，以月3为边向外作等边三

角形上4叩，连接0尸，证明"C尸/AQE(SAS),可得尸C=BQ,再利用勾股定理，即可得到

EF的长，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，以月3为边向外作等边三角形一A3尸，连接°尸，

-AABFAACD是等边三角形，

AF=AB.AC=AD,£FAB=ZC4D=60°

AFAB+ABAC=Z.CAD+ABAC,

即NR4C=®D,

在tJ^AC和LBAD中，

'FA=BA

<AFAC=乙BAD

AC=AD

..“C72A4D8(SAS),

FC=BD,

ZABC=30°,

4BC=NFBA+ZABC=90。,

根据勾股定理，

AB=BF=JFC2-BC2=5

故答案为：5

三、解答题(本大题共10个小题，共86分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

4x-y=2

17.解方程组：1/+31'=7.

\=1

<

【答案】IJ'=:

【解析】

【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握解二元一次方程的常用方法.利用代入消

元法解该方程即可.

4x-j，=2①

<"

【详解】解：卜+“=7②

由①可得，】'=4L2③，

将③代入②,可得x+3(41)=7,

解得》=1,

将x=l代入③，可得j'=4-2=2,

x=l

•••原方程组的解为［】'=二

7+T>2-4x

18.解不等式组l1+2(T-ll-S,并写出所有整数解.

【答案】不等式组的解集一1<142,整数解为1=0,1,2.

【解析】

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组.分别求出各不等式的解集，利用“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则再求出其公共解集即可.

【详解】解：解不等式7+x>:-4x得：x>-},

解不等式1+2(*-1)43得：*42,

二不等式组的解集是

不等式组的整数解为x=0,1,2.

19.如图，在四边形/BCD中，点0在边°。上，延长月。交5。的延长线于点石，已知N1=NE,

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据N1=NE,可得AD〃BE,进而得到乙D=NDCE,结合已知条件NB=NZ）,通过等量

代换，得到ZB-NDCff,即可求解，本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性

质与判定定理.

【详解】证明：（内错角相等，两直线平行），

..AD//BE,

:.力=ADCE（两直线平行，内错角相等），

又,：乙B=LD,

AB=ADCE,

AB//CD（同位角相等，两直线平行）.

20.如图，在a45c和AHB'C中，Z-C=ZC*=90°,AB=AB,与W。'分别为6C,BC'边

上的中线，且。=°力'，求证：-MC—

【答案】见解析

【解析】

【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到CB=?CD,C'B'=2C'D',由

CD-C'D',得到。3=C'3'，利用HL即可证明二48'。'.

【详解】证明：•••山与4。'分别为3C,5（?边上的中线，

,-.CB=2CD,C'B'=2C'D',

..CD=C'D',

；,CB=C,B,,

在RtLHSC和RtA<AC'中，

rAB=AB'

'BC=B'C

.RtAABCgRt"®C'(HLj

21.用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图图案，已知点A的坐标为（-L7）,求

点B的坐标.

【答案】（-6.5）

【解析】

【分析】本题主要考查了坐标与图形、二元一次方程组的应用等知识，正确列出二元一次方程并求解是解

题关键.设小长方形的长为X,宽为〕’，根据题意列出二元一次方程组并求解，然后确定点B的坐标即

可.

【详解】解：设小长方形的长为X,宽为J',

x-y=1

依题意，得卜+%=7,

x=3

解得卜=-,

2x=6,x+.】'=5,

.♦•点B的坐标为（-65）.

22.用尺规作平行线的方法：

已知：直线A8及直线月3外一点尸.

求作：经过点P的直线C。，使得CDAB.

尺规作图步骤：

如图，①过点P作直线月方的相交线，与直线月方交于点//；②以点H为圆心，任意长

为半径画弧，交直线月P于点E,交直线43于点B③以点尸为圆心，以线段HF长

为半径画弧，交射线加于点M；④以点/为圆心，线段长为3尸半径画弧交前弧于

点N；④过点尸，N作直线CO.

(1)在上述作图步骤中通过(填写合适的选项)可判定从而可得到

£MPN=£EHF.

A.“SSS”B."SAS”c.“ASA”D."AAS”

(2)在上述作图步骤中用到的判定C0*AB的依据是.

(3)如图3,在〜48。中，加=4°,小明通过刚才的方法，作出了NE4D=NB,可以得到HD是

"C底边3c的平行线，那么也)是〜45c外角/瓦4c的平分线吗？请说明理由.

【答案】(1)A(2)同位角相等，两直线平行

(3)是，理由见解析

【解析】

【分析】(1)由作图可知，PM=HE,MN=EF,PN=HF,可证&PAW.(SSS),然后作

答即可；

(2)根据平行线的判定定理作答即可；

(3)由平行线的性质，等边对等角可得/瓦4Z)=N£MC,进而可证M是外角/£4C的平分

线.

【小问1详解】

解：由作图可知，PM=HE,MN=EF,PN=HF,

.△尸AW知幽"SSS)

故选：A；

【小问2详解】

解：由题意知，AiPN=AEHF,

...CD//AB,

判定CO//AB的依据是同位角相等，两直线平行，

故答案为：同位角相等，两直线平行；

【小问3详解】

解:，。是“50外角/瓦4c的平分线，理由如下；

:NEAD=NB,

...ADBC,

,.ADAC=AC,

■.■AB=AC,

"=N。，

READ="AC,

；.4）是a45c外角N&1C的平分线.

【点睛】本题考查了作一个角等于己知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分

线等知识.熟练掌握作一个角等于己知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分

线是解题的关键.

23.为丰富校园课余生活，增强班级凝聚力，展现学子积极向上的精神风貌，我市某中学准备开展八年级

校园篮球赛.为了在接下来的校园篮球赛中取得好成绩，甲、乙两名同学在放学后进行了投篮训练.训练

中的一个环节是：两人各进行了10轮投篮训练，每一轮进行10次投篮，记录进球数.现将两人的投篮表

现记录如下，并对所得数据进行整理和分析.

a甲、乙两人的投或调缘数据统计图：

2中数投抵调停统计图

b.甲乙两人投篮命中数的平均数，众数

OR

平均数

（个）Hq

众数（个）

根据以上信息，0回答下列问题:

（1）表中加的值是,甩的值是;

（2）甲同学10轮投篮训练数据的极差是个;

（3）设甲、乙两人投篮命中数的方差分别是S',S：,直接写出S"捺之间的大小关系:g

（填“>”或号）；

（4）在甲同学的10轮投篮训练中，投中的球里有“普通球”和“彩球”两种，其中“普通球”投中一个

记2分，“彩球”投中一个记3分，投不中记0分，若甲同学投中了40个“普通球”，则他在投篮训练

中每次投球的平均分是多少？

【答案】（1）7.6.7

⑵4

（3）>

（4）他在投篮训练中每个球的平均分是188分

【解析】

【分析】本题考查统计综合，涉及平均值、众数、极差、方差及解应用题，熟记相关统计量的定义及求解

公式是解决问题的关键.

(1)根据题中数据，由平均数即众数定义直接求解即可得到答案；

(2)结合题中数据，由极差定义与求法代值求解即可得到答案；

(3)先算出甲乙投中数的平均值，再由方差公式代入数据求解，比较大小即可得到答案；

(4)根据题中要求，结合题意，求出没投中的数目及投中“彩球”的数目，由得分代值求解即可得到答

案.

【小问1详解】

解：由甲投篮记录数据如下：8、78968、5896,

=(8+7+8+9+6+8+5+8+9+8)=7.6

由乙投篮记录数据如下：8、7、7、9、8、7、7、8、8、7,

.众数〃=7；

故答案为：7.6；7；

【小问2详解】

解：甲同学10轮投篮训练最大命中数是9；甲同学10轮投篮训练最小命中数是5；

甲同学io轮投篮训练数据的极差是4,

故答案为：4；

【小问3详解】

解:由(1)及题意可知N“=X-=76；

甲投篮命中数的方差分别是

i；.±x[(8-7,6)>(7-7.6HiS-76i+|9-76|-H6-76f4-(8-76)+(5-76)>(8-7.6)-+(9-7,6f+(8-7fi

=_Lx(016+036+016+1.96+2.56+016+676+016+196+016)

10')

-144.

乙投篮命中数的方差分别是

.jLx^(8-7.6r-K7-7.6f+(7-7,6)+(9-7,6)+(8-7,6)+(7-7,6)*+(7-7,6)*+(8-7^)+(8-7,6)+(7-7.6)]

=_Lx(016+036+036+196+0.16+0.36+036+016+016+036)

=044；

v1,44>0,44,

st'>$二，

故答案为：>；

【小问4详解】

解：根据题意，没投中球数是2+3+3+1+1+3+3+2+2+3=24,

•.•进行了io轮投篮训练，每一轮进行io次投篮，则总投球数是10x10=100,

.当甲同学投中了40个“普通球”，24个没投中时，投“彩球”数为10°-40-？4=36,

•.•“普通球”投中一个记2分，“彩球”投中一个记3分，投不中记。分，

.甲同学投球总得分为40x2+36x3+24x0=1瞅则他在投篮训练中每次投球的平均分是

188*100=198分.

24.为培养学生关爱他人，乐于助人的思想品质，学校举办献爱心义卖活动，义卖所得善款将捐赠给特殊

学校的小朋友们.八年级一班学生经讨论，决定购进文创产品参与义卖活动，两次购进文创产品的情况如

表所示：

进货批次甲种文创数量（单位：个）乙种文创数量（单位：个）总费用（单位：元）

第一次60401520

第二次30501360

（1）求甲、乙两种文创产品的进价；

（2）销售完前两次购进的文创产品后，同学们决定开展第三次义卖活动，购进甲、乙两种文创产品共

200个，且投入的资金不超过3360元，求最少需要购进多少个甲种文创产品.

【答案】（1）甲种文创产品的进价为每个12元，乙种文创产品的进价为每个20元；

（2）最少需要购进甲种文创产品80个.

【解析】

【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程组与列不等式是解题的

关键.

C1）根据已知条件，列出方程组，即可求解.

（2）设购买甲种文创产品加个，则购买乙种文创产品个，根据投入的资金不超过3360元，列

不等式求解即可.

【小问1详解】

解：设甲种文创的进价为每个x元，乙种文创的进价为每个y元；.

依题意可得：

'60x+40r=1520

'30.T+50V=1360

Ib,

\=12

解得：U'=2°,

答：甲种文创产品的进价为每个12元，乙种文创产品的进价为每个20元.

【小问2详解】

解：设设购买甲种文创产品加个，则购买乙种文创产品0°°一"）个，.

依题意可得：

12m+20(200-w)<3360

解得：w>80.

答：最少需要购进甲种文创产品80个.

ci)求直线/的解析式；

(2)如图，过线段月3的中点)作一条直线与X轴交于点R当一EF为直角三角形时，请求出点

月的坐标.

(3)如图，点c是尤轴上一动点，连接SC,在右侧作等腰直角ARCD,乙400=90°,连接

(3)5+同

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法将点A和点B代入J=h+A即可求得解析式；

(2)分情况讨论：①当N3班=90。时，连接4尸，得到直线疑是线段月3的垂直平分线，则

AF=BF,在Rf”。尸中利用勾股定理解得夕0；②当乙37苗=90°时，点5(a，?)在直线

4“

v=—x+4

3上，可求得点E,即可得到点尸；

(3)过点。作。轴于点加，可证得A40C/ACMD,有月。=。"和OC=A①，设点

09°),则点°(4+'/),可得点。在运动轨迹，设直线J='-4与x轴交于点尸，与y轴交于点°,

连接期并延长上至点尸'，使得⑷3=4尸，过点4作<加_1_1轴交于点M连接40和45,则点

尸(4,0),00,-4),则线段Q?垂直平分得到4?=/。，利用勾股定理得四=5,则

结合］、和。共线时。+松=最小，进一步证得

CMD=AB+BD+AD=5+BD+A'D)8343

△4尸榜“尸0,有WN=d0和PM・P0,求得AP=1和BV=5,即可求得43="T.

【小问1详解】

解：将点4°*)和点B(3,0)代入J=h+b

fL__i

b=A<3

得：［3尢+6=0,解得：也=4,

4“

v=—x+4

...直线/的表达式为：’3；

【小问2详解】

①当乙SM=90°时，连接击，如图，

•••点E是线段月方的中点，

直线EF是线段AB的垂直平分线，

:.AF=BF,

在正人力。尸中，AO2+FO3=AF3,

.d+mym+3*解得司°】,

•••+河

②当N3EE=90°时，如图,

FE_Lx轴且点尸在x轴上,

综上所述，P的坐标I6人厂.

【小问3详解】

过点。作。M_Lx轴于点如图，

AHCD为等腰直角三角形,

.-.AC=CD,

■：ZACD=90°,

.•.4CO+ZAfCZ)=90。，

­.­ZACO+ZGtO-PO*,

.-.ACAO=ADCM,

•.•4OC=NCMD=90°,

...AHOCSACMDIAAS),

AAO=CM,OC=MD,

设点0亿°),^\OM=OC+CM=4+t,DM-t,故点。(4+小),

\=4+i

J'=f,得J・x-4,

点D在直线J,t・4上运动，

设直线J-x-4与x轴交于点p,与y轴交于点。,连接“并延长月尸至点尸'，使得4P=/'F,过点

4作』Nix轴交于点N,连接4。和43,如图，

则点尸(4,0),0OT),

•.40,4)

•、9

二。尸=。月=。。=4,

♦.•/月。尸=90。，

...ZAPQ=90。，

则线段8垂直平分44',

：.AD=AD,

'；AO=4,OB=3,

.•.加=5,

.C_ABD=AB+BD+AD=5+BD+AD!

当幺'、8和。共线时80+W。=48可以取到最小值，

­.-ZA'NP=ZAOP=9Q°,AP=AP,ZA'PN=ZAPO,

."TW/AnPO(AAS)

:.AN=AO,PN=PO,

-OP=4,OB=3,

：,BN=BP+PN=5,

-：AN=AO=A

AB=ylAN2+NB2=如,

,物）周长的最小值。_皿=5+B4=5+而.

【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式、垂直平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及

全等三角形的判定和性质，解题的关键是全等三角形的判定和得到三点共线时取最小值.

26.在学习了三角形的知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形构造后的线段之间的关系进行了探

究.

（一）尝试探究

在中，乙4=90。，AB=AC,点。为3。的中点.

（1）如图，若点E,尸分别为边48,上的点，且斤=90°,请探究线段DE与。尸之间的数

量关系，并说明理由；

（2）如图，若点E在边月3上，点加，产分别在血，4c的延长线上，且/皿HF・900,求证:

AE+AF=4：AM.

（3）如图，在四边形加。。中，乙B4C-6O・，Z5Z）C=120°,BD-CD,若45=7,

花=4/，请直接写出4c的长.

【答案】（1）DE=Q尸，理由见解析；（2）证明见解析；（3）5

【解析】

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，推导得RD=CQ,在结合全等三角形的性质，通过证明

/lAED^ACFD,即可完成求解；

（2）根据等腰三角形和直角三角形的性质，推导得=根据勾股定理的性质计算得HM,结合

结合全等三角形的性质，通过证明△AffM/ZkNRM,得AE=NF,通过计算即可完成证明；

（3）根据四边形内角和、全等三角形的性质，推导得£区=,也，NBAD=NE；在根据等腰三角形和

勾股定理的性质计算，即可得到答案.

【详解】（1）连接M

■：ZBAC=90°,AB=AC

；,Z5=ZC=45°

=点。为BC*的中点

皿=9*45。

ZADC=90°

：/EAD=2C,ZD^C-90,-ZC-45*

:.ADAC=AC

AD=CD

•.・NEZ印=90°

：ZEDF=ZADC

Z.EDF-LA.DF-ZADC-AADF

4EDA=ZFDC

在△力班)和二诋中，

'ADAE=ADCF

'AD=CD

/EDA=4FDC

...AASD/AC阳(ASA)

:.DE=