浙江省县城教研联盟2023-2024学年高三年级下册模拟考试数学试题

【新结构】20232024学年浙江省县城教研联盟高三下学期模拟考试数

学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A=M10g2"2},5={小-5<0},则（）

A.（4,+oo）B.（4,5）C.（2,5）D.（5,+s）

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式化简集合A3,根据交集的定义求出即可.

详解】VA={x|log2x>21,AA=（4,+oo）,

VB=1x|x-5<0},/.B=（-co,5）,

所以Ac5=（4,5）.

故选:B.

2.若复数z满足z+25=3+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的运算法则求出z,再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解.

【详解】设2=。+句,3/eR）,则彳=。一历，

贝！Ja+Z?i+2（a—历）=3+i,即3a—历=3+i,所以3a=3,—b=—l,

解得a=l,b=-l,故z=l—i，对应的点（1,-1）在第四象限.

故选：D.

3・的展开式中公》的系数为（）

A.4B.4C.6D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式解答即可.

【详解】因为的展开式的通项公式为z+i=<3%4-「(_捱)「，

所以含/y的项为：『=6必》,

即(x-/)4的展开式中X2y的系数为6,

故选：C.

4.清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州

府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似

于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长为50cm,斛内高36cm,那么一斗

米的体积大约为立方厘米？()

A.10500B.12500C.31500D.52500

【答案】A

【解析】

【分析】利用棱台的体积公式,即可计算得出答案.

［详解】一斛米的体积为V=g(s上+S下+Js上S下“=1x(252+502+25X50)x36=52500(cm3),

因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为(=10500(cm3),

故选：A.

5.在AABC中，”,仇。分别为角A,5c的对边，若tanA=3,3=bc=2M,则。=()

A.2B.3C.2&D.372

【答案】B

【解析】

【分析】根据同角三角函数关系求得sinA=孑叵，cosA=典，利用两角和的正弦公式求得sinC=2叵,

10105

利用正弦定理求得6,c,进而求出。的值.

sin2A+cos2A=1（—.—

、什京卡山.A34104<10

【详解】由tanA=3,可得根据sinA进而求出smA=--------，cosA=-------，

------=31010

、cosA

由3=工可得sinB=，cosB=，

422

则sinC=sin（A+5）=sinAc°s5+sm庆°sA=ML也+亚心=毡

'/1021025

由正弦定理可哈器呼

又因为bc=2&5,解得6=6，0=2后，

£3回

jA75x-----

由正弦定理可得a=-^―=——芦一=3.

sinB。2

2

故选：B.

6.双曲线C：三—1=1（。〉0/〉0）的左、右焦点为片，心，直线/过点B且平行于C的一条渐近线，

/交c于点尸，若再笆=。,则c的离心率为（）

A.73B.2C.75D.3

【答案】C

【解析】

【分析】设？（九》），通过题意求出直线PF2的方程、直线PFi的方程，之后联立直线PF2的方程、直线PFX

的方程及双曲线方程，计算即可得出答案.

【详解】设P（羽y）,由对称性可知P点在无轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在尤轴下方，如图:

222

设耳（―c,0）、E（c,0）,a+b=c,双曲线其中一条渐近线为

直线尸层的方程为y=,(x—c),①

由图•丽=0,得西■，图，即直线尸片的斜率为一旦，直线尸耳方程为y=—@(x+c),②

bb

22

由点P(x,y)在双曲线上，得二—M=1,③

ab

〃2r2i2_2i2_2

联立①③，得*=巴士，联立①②，得x=2二［xc=L&

2ca2+b-c

2r2h2-n2

则-n-----=-------，a~+a2+b2=2Z?2—IcT>因止匕/=4。2,

2cc

故选：C

7.已知实数a,b,c构成公差为1的等差数列，若abc=2,b<0,则d的取值范围为()

A.卜”,一石［°［指,+“)B.(-co,-2)u［2,+co)

C.卜［括,+a)D.(-8,-3)。［3,+8)

【答案】A

【解析】

2?

【分析】由题意设a=b—d,c=b+d,求出储=廿一石优<o),构造函数/•他)=/—g仅<0),求导

判断其单调性，可得值域.

【详解】由实数。，b,c构成公差为d的等差数列，所以设a=A—d,c=b+d,

则aZ?c=Z?伊一/)=2,所以看=b2--(Z><0),

构造函数/'(")=〃—|e<0)，/，㈤=2(*+1),

当此(F,—1)时，/'伍)<0,所以此时/任)单调递减，

当。«-1,0)时，r(b)N0,所以此时/(S单调递增，

所以/(S的最小值为/(—1)=3,

当b趋近于-s时，/(方)趋近于+s,当6从负方向趋近于。时，/(q也趋近于+s,

所以d2G[3,4W),所以de(—oo,—

故选：A.

8.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，0为坐标原点，若直线/交。于A,3两点，且西.砺=—4，点

。关于/的对称点为。，则I。典的取值范围为（）

A.[，；B.（1,3]C.D.（2,4]

【答案】B

【解析】

「2、（2、/\2

【分析】设点AV，%,B吟,%，由平面向量的数量积运算可得GlM+y%=T，根据直线/

I4）I4）16'-

与抛物线有两个交点，可设l=/盯+/,联立直线与抛物线，根据西.砺=—4可得直线经过点P（2,0）,

由。，D关于直线/对称即可得到D点的轨迹方程，结合点与圆的位置关系求耳的取值范围即可.

（2、(2、

R%

【详解】由A,B两点在抛物线/=4x上，所以可以设点AB甲为

I4）7

则丽.丽="%)+y%=4

16

由直线/交C于A,B两点,故直线/不与无轴平行或重合,

故可设直线I解析式为x=my+t,

联立直线与抛物线方程得y2-4my-4t=0,

所以西•丽=产—4/=—4,解得y2,所以直线/与x轴的交点为P（2,0）,

由。，D关于直线/对称，所以|3=|州=2,且D点不与。点重合，

故可知。的轨迹方程为：（％—2）2+9=4（不经过原点），

所以|。耳＞r—归月=1,典Wr+|PE|=3,即|。耳«1,3],

故选：B.

【点睛】关键点点睛：根据题意，可得直线经过点？（2,0）,由O,。关于直线/对称即可得到。点的轨迹

方程，结合点与圆的位置关系求典的取值范围即可.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知向量Z，B的夹角为g,且同=1,忖=2,则（）

A.（^a-b^±aB.卜+0=6

C.忸+可=|2.D.£在B的方向上的投影向量为乎B

【答案】AB

【解析】

【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可.

【详解】=|a||K|cosy=lx2x^=1,^d-b^-a=\a^-a-b=1-1=0,故A正确；

|«+5|=B「+W+2万-5=l+4+2=7,所以忖+囚=",故B正确；

125+^|=4同，忖+41.5=4+4+4=12,所以怩+画=2后,

又因为网=4,所以口+石卜网,故C错误;

a-bb1p

花在B上的投影向量为京.田二1。，故D错误；

\b\\b\4

故选：AB.

10.己知函数/（了）=8510_¥+4）0>0）,则（）

A.当°=2时，的图象关于x==对称

B.当口=2时，"％)在。，|"上的最大值为日

C.当％=3为7(%)的一个零点时，。的最小值为1

6

/\(7171

D.当〃%)在-彳,：上单调递减时，。的最大值为1

\36)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦

函数的零点对选项逐一判定即可.

【详解】<9=2时，=cos2x,因为cos2(兀一x)=cos(-2x)=cos2x,

所以/、一看)关于x对称，故A正确；

,,「八兀1,c兀「兀4兀

口二2时，由工£0,—可得+,

根据余弦函数的单调性可知C0S12x+三)的最大值为cos1=3,故B错误；

(兀)717171

若/:二。，则一co~\———Fkit,keZ,所以@=1+6k,k£Z,且g>0,

632

所以①的最小值为1,故C正确；

因为/(力在一彳,二上单调递减，且①>0,

\36)

根据余弦函数的单调性可知/(%)的单调递减区间为：

7,兀,c7,2E兀，,2E2兀,

ku«coxH—V2左兀+兀，k£Z,--------«x<-----1---,k£Z,

3co3a)co3a)

j।j।j।j।

所以一《---,----2----,所以故D正确.

63G33co

故选：ACD.

11.已知函数〃X)的定义域为R,/(l)=b/(x+y)=/(x)+/(y)+/(x)/(y),则()

A./(0)=-1B./(-x)/(x)<0

/(%)11

y

c.y=\J.为奇函数<2

小)+2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用赋值法求得“0）即可判断A；利用赋值可得〃x）=2/1]+/2X

,并且判断出

/（%）*-1,由不等式的性质可得1+/（九）＞0,即可判断B；利用函数的奇偶性以及g（0）的值即可判

断C；利用等比数列的判定可得/（〃）的通项公式，利用等比数列的求和公式可得

11

=2万—四―5,即可判断D.

【详解】令x=l,y=O,则/。）=/。）+/（0）+/（1）/（0）,将/（1）=1代入得2/（0）=0,即

/(0)=0,故A错误；

由"0)=0,令y=-x可得0=〃x)+〃—x)+/(x)/(—X),若存在X使得/(X)=—1,

则上式变为0=—1,显然不成立，所以/(x)w—1,

又/何"1+2=2/1卜尸［卜卜H'L

因为/(尤)wT，所以/(">—1,

将。=/(X)+/(―X)+/(X)/(—%)整理为/(-x)(l+/(x))=-/(x),

因为/(x)>T，即l+/(x)>。，所以/(x)/(—x)W0,故B正确；

令8("二焉%"以

川—+4箱-小)+/(f)_2(f(x)+f(-x)+f(x)f(-x))_

则g(x)+g(-)-7^+yp^-(/0)+2乂〃­)+2)一°，

,、f(0),、

且g(o)=77*5=。，所以g(H为奇函数，故c正确；

当“eN*时，/(〃+1)=/5)+/⑴+/(〃)/⑴=2/(")+1,=

所以｛〃x）+l｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以“"）+1=2",

x2(nV

由〃x)+l=/+1可知f+1=2”,

17

因为了

故D正确;

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前〃项和进

行分析，由此即可顺利得解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知一组数据5,6,7,7,8,9,则该组数据的方差是.

52

【答案】-##1-

33

【解析】

【分析】先求出这一组数据5,6,7,7,8,9的平均数，由此再求出该组数据的方差.

―5+6+7+74-8+9=

【详解】一组数据5,6,7,7,8,9的平均数为:x=----------------=7,

6

该组数据的方差为:

2_（5-7）2+（6-7）2+（7-7）2+（7—7）2+（8-7）2+（9-7）2_§

s-------------------------------------------------------=一・

63

故答案为：—.

3

13.^8tancif=3coscif,贝!jcos2a=.

7

【答案】-

【解析】

einry

【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角余弦公式的应用.根据tancr=----

costz

sida+cos2a=1，解得sina,结合二倍角余弦公式进行解答即可.

sinasina

【详解】因为tani=^----可得8-----=3cos。，因为sir?c+cos?a=1,

cosacosa

可得8sina=3cos2a=3（1-siYa）,解得sina=—或sina=-3（舍去）

所以cos2。=l-2sin2a=l-2x

7

故答案为：一.

9

14.三棱锥A—BCD的所有棱长均为2,E,尸分别为线段BC与A。的中点，M,N分别为线段AE与CP上

的动点，若MN//平面A8。，则线段MN长度的最小值为

［答案］叵##=国

77

【解析】

【分析】延长CM交AB于点/,设A/=w(O<mW2),由余弦定理得=，加2_加+1，根据角平分线

定理以及平行线性质可知MN=°一3=吆;二①工，运用换元法和二次函数性质可得线段阿长度

m+2m+2

的最小值.

【详解】延长CM交AB于点/,因为MV//平面A3。，

由线面平行性质定理可知肱V//7F,设AZ=m(O<mW2),

因为三棱锥A-BCD的所有棱长均为2,

所以A5=AC,且E为线段BC的中点，

〃V^人Jm

所以AE平分N8AC,由角平分线定理可知——=——=-

MCAC2

…MNMC2

所以——=——=-----

IFICm+2

因为尸为线段AO的中点，所以A/二1，

由余弦定理可知IF=qm?+1-2mxcosy=yjm2-m+1,

所以MN=^—IF=+1

m+2m+2

1

令加+2=/,fe（2,4],化简可得MN=27-5+1，

故答案为：叵

7

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛4｝为公差不为零的等差数列，其前"项和为邑=49,且出，生，为成等比数列•

（1）求｛4｝的通项公式;

（2）若数歹!）｛4+〃｝是公比为3的等比数列，且4=22,求也｝的前九项和

【答案】（1）«„=2«-l（neN*

QW+1Q

⑵小--，

【解析】

【分析】（1）设公差为d,根据等差数列的前"项和公式与等比中项公式列出关于生和1的方程，求解即可

得｛%｝的通项公式;

（2）由（1）可得等比数列｛4+2｝的第三项%+4,进而得4+4,从而得到｛勿｝的通项公式，利用等

差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出Tn.

【小问1详解】

因为｛%｝为等差数列，设公差为乱

由邑=49,得（%+"7）义7=7%=49,n4=7即q+3d=7,

2

由的，a5,演成等比数列得《二名”"n（7+dj=（7-2d）（7+10d）,

化简（7+d）2=（7—2d）（7+10d）得储―2d=0，因为dwO,所以d=2.

所以a”=%+（"-4）d=2"-1（〃eN*）.

综上4=2〃—l（〃eN*）.

【小问2详解】

由=2〃-1知Q]=1,%=5,

又E+4｝为公比是3的等比数列,4=22，

所以/+4=（4+Z?Jx9=5+22=27,即q+伪=1+4=3,

所以a“+N=3x3"T=3",4=3"—（2〃一1）,（〃eN*）

所以看=4+与+&+...+〃=3+32+33+…+3”—[1+3+5+…+（2”—1）]

n+1

3x（1—3"）（1+2«-1）«3-32

———n'

1-322

综上小三^-小

16.将号码为1,2,3,4的4个小球等可能地放入号码为1,2,3,4的4个盒子中，每个盒子恰放1个小

球.

（1）求1号球不在1号盒中的概率；

（2）记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X,不同的个数为匕求证：E（X）E（y）＞E（Xy）.

3

【答案】（1）-

4

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据古典概型公式计算1号球不在1号盒中的概率；

（2）分析易得X的取值为0,1,2,4,且X+F=4,再分别得出对应概率，可得E（X）、E（Y）,再研

究xy的取值和对应概率，可得E(XF),比较即可得证.

【小问1详解】

Q1A31Q3

记事件“1号球不在1号盒中”为A,则P(A)=4/=—=-

''A：244

【小问2详解】

X的取值为0,1,2,4,且X+y=4,

P(X=O)=?|,P"=I)=导;

尸(X=2)=*：，唳=4)*$

3iii

所以石(X)=0x]+lx；+2><j+4x或=1,E(y)=E(4-X)=4-E(X)=3,

31S

x=o时,y=4,X=4时，Y=O,止匕时xr=o,则p(xy=o)=—+—

'782412

Y=3,止匕时xy=3,P(xy=3)=|,

X=1时,

y=2,止匕时xr=4,p(xy=4)=:,

X=2时,

E(xy)=ox—+3x-+4x-=2,

1234

因为石(x)石(y)=1x3=3,所以石(x)E(y)>E(xy).

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A3CD为正方形，PA=PD=AB,E为线段PB的中点，平面

AEC_L底面ABCD.

(1)求证：AE_L平面PSD；

(2)求直线A3与平面P5C所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

11

【解析】

【分析】（1）先证明8D1平面AEC,所以BDLAE，又因为AP=AB,E为PB中点、,所以AELPB,

由线面垂直的判定即可得证；

（2）建立空间直角建系，不妨取AB=2,得出平面P5C的法向量，利用空间向量求解即可.

小问1详解】

因为平面AECL平面ABCD,且平面AECI平面ABCD=AC,

BD±AC,BDu平面ABCD所以8D1平面AEC,AEu平面AEC，所以BDLAE，

又因为AP=A5，E为PB中点,所以AE_LPB,

又PBcBD=B，PB,BDu平面PBD,所以AE,平面PB£＞；

【小问2详解】

设点P在底面A3CD的射影为点Q,则。。上平面A3CD,

又ADu平面A3CD,所以PQJ_A£＞,取A£＞中点M,

因为以=?0,所以

又PQcPM=P,尸Q,PMu平面PQM,所以平面PQM,

因为QMu平面PQM,所以即。在AD的中垂线上,

如图建立空间直角建系，不妨取AB=2，

则设尸为（1,a,。）,4+从=3,4（2,0,0）,5（2,2,0）,

所以通=［一］^^马，丽=（2,2,0）,通=（0,2,0）,

\乙乙乙J\乙乙乙）

由（1）可知荏•丽=0，计算得a=-l,b=yf2＜所以

又丽=（2,0,0）,CP=（1,-3,V2）,

设平面P2C的法向量为沆=（羽y,z）,

m-CB=02x=0

取庆二（夜）

则即r0,,3,

m-CP=0%-3y+J2z=0

AB-m2A/2_V22

所以sin®=bosAB.m

|AB|-|m|2xV2+9-11

pzA

->

Qy

X

18.已知函数/(X)=(公一>O,QW1),/?GR.

⑴若y=/(x)在点(o，/(o))处的切线方程为丁="，求”，力的值;

i

(2)当匕=1时，y=/(x)存在极小值点为,求证：y(%o)<_ee.

【答案】(1)a=e,b=0

(2)证明见解析

【解析】

/'(0)=e

【分析】(i)由导数的几何意义以及已知切线的斜率可得<八，解出即可求〃，b的值;

/⑼二。

⑵易得％=*'所以*=e%'所以AW-a小—T11人/、In〃l]

e。J,令％=g(〃)=——，则

Inaa

Z-1

/(%)=丸(。='—,利用导数研究单调性，再求出/■(%)的最大值即可得证.

【小问1详解】

因为f^x)=(ax-b)ax,则/'(%)=0•a"+(双一》)•优Ina,

由y=/(X)在点(0,/(0))处的切线方程为尸ex,

〃(0)=e[a-b]na=e〃二e

所以《7八，解得

["0)=0'I-b=0b=0'

综上a=e,6=0.

【小问2详解】

当5=1时，-(x)=[(alna)x—lna+a]优,

因为优>0恒成立，丁=(。111。)1-111〃+〃为关于工的一次函数,

又因为/(%)存在极小值点，所以alna>0,又a>0且awl,解得a>l,

令/'(x)=0,解得工=当二处,

alna

所以当x(粤改时/'(x)<0,当1>学心时外")>0,

amaama

八/\(Ina-(\na—a\

所以/(%)-8,--——上单调递减，在一——■,+℃上单调递增,

卜aina)(a1ma)

”…\4广…

所以/(%)在%=]na---a-处LI取得zt=,极_小,值,.，所以％=-\-n-a----a-,

alnaa]na

〃一〃…一〃Ina

〜…iInx0Ina------1

所以％In〃=---------,BPIntz=---------a

aa=Q

3T

lna-a>也1-a

所以/(%)=(亦°—1)Q%a---1----e--a-e

alnaIna

令/=g(a)=/，则/(/)=/巾)=_亍，

因为g，(a)=1二;a，(«>1),

所以当ae(l,e)时，g'(a)>0,g(a)单调递增,

当ae(e,+ao)时，g'(a)<0,g(a)单调递减,

又a>l时，lna>0,所以g(a)>0,所以0<g(a)<g(e)=L即％1，

e

因为/'«)=(l?e'1,ZGf0,—,

一),恒成立，即〃(/)在［：时单调递增,

当时,(10o,

,2'

所以方(。(力-e;,

J.

综上/(%o)W—ee得证,

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形;

(2)构造新的函数"(x)；

(3)利用导数研究可可的单调性或最值;

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

=xcosO-ysin。

19.记点A（x,y）绕原点0按逆时针方向旋转。角得到点B（尤’,力的变换为「⑻：<

yr=xsinO+ycosO

已知C°：y=W（x>°），将Co上所有的点按变换后得到的点的轨迹记为C-

（1）求C1的方程;

22

（2）已知。2：・+£=l（a〉6〉0）过点（2,1）,记C1与G的公共点为M,N,点p为G上的动点，

过尸作ON,OM的平行线，分别交直线ON,OAf于G,H两点，若△OGH外接圆的半径厂恒为之6,求

四边形0G7W面积的取值范围.

【答案】（1）x2-y2=3（x>0）

（2）（0,5］

【解析】

【分析】（1）依题意利用7［彳］变换求得C。上任意一点A的坐标，再代入C。的方程即可求解；

（2）据题分析可得C-a均经过点（2」），（2,-1）,不妨取N（2,-l）,则%：x=2y,lON：

x=-2y,设C2上的动点尸为（毛，%），利用条件列出相关等式联立求解出a=2j?，b二号,再根据

S四边形OGPH=2S，°HG计算即可求解;

【小问1详解】

取Co上任意一点为A（x,y）（x>0,y>0）,

7兀

经过r变换后得