2024-2025学年南昌市某中学高三数学上学期10月考卷及答案解析

南昌十九中2024-2025学年上学期10月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

•2•

-1+1

Z二a"-

1.设复数T-i,则z的虚部是()

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

【解析】

【分析】由i2=—1对式子进行化简，再根据除法规则，分母实数化即可.

1+i(l+i)(l+i)

【详解】z二------------=-1,则==心虚部是1.

-1+i(I)(l+i)

故选:A.

2.已知函数/(x)和g(x)的导函数/'(x)、g'(x)图象分别如图所示，则关于函数y=g(x)-/(x)的判

断正确的是()

A.有3个极大值点B.有3个极小值点

C.有1个极大值点和2个极小值点D.有2个极大值点和1个极小值点

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题中图像可知，/'(x)、g'(x)的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为

多、与，%3,其中％=0；结合题中函数图像，判定函数＞=g(x)-/(x)的单调性，进而可得极值点.

【详解】由题中图像可知，/'(x)、g'(x)的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依

次记为X]、&，》3，其中％=0,

由图像可得，当x<X]时，g'(x)>f'(x),即y'=g'(x)—/'(x)〉O,则函数y=g(x)—/(X)单调递

增；

当王<彳<0时，g'(x)</'(x),即y'=g'(x)-/'(x)<0,则函数y=g(x)—/(x)单调递减；

当0<%<当时，g'(x)>/'(x)，即y'=g'(x)-/'(x)〉0，则函数了=g(x)—/(x)单调递增；

当x〉》3时，g'(x)<f'(x),即y'=g'(x)—/'(x)<0,则函数y=g(x)—/(x)单调递减；

所以y=g(x)-/(x)有两个极大值点多和；有一个极小值点0.

故选：D.

【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型.

3.若命题“九句1,3],办2+(”2卜-2>0”是假命题，则x不能等于()

2

A.-1B.0C.1D.-

3

【答案】C

【解析】

【分析】转化为命题的否定“\/。€[1,3],办2+(4-2)》-2«0”为真命题.用关于。的一次函数来考虑，即

可解.

【详解】根据题意，知原命题的否定“Vae[l,3],办2+(a-2)x-2<0”为真命题.

令f(a)=(x2+x)a-2x-2,｛隽二。：二。解得r<》(g.

故选:C.

4.若函数/(x)=sin(2x+0)(0<°<兀)向左正移。个单位后在区间0,1上单调递增，则0=

()

71717127t

A.-B.-C.-D.--

3263

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.

【详解】函数/(x)=sin(2x+9)向左平移。个单位后为/(x+0)=sin(2x+30),

„7C

当xe0,-时,2x+3°e[30,7i+3°],

•・•/(x+0)=sin(2x+3°)单调递增,

7T兀2左兀

——+2Ml<30-------1--------<(p

所以2

(keZ),即《63（A：eZ）,

兀兀2斤兀

兀+30«2左兀+,(p<-—+----

63

可得/=一:+^^（左wZ）,

xx7C

又0</<兀，.

故选：B.

%+V

5.若sinx+cosx=2A/2COS~+—sin——―,则tany=)

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】由sinx+cosx=V2sin[=^+31+与上，结合两角和的正弦公式可得

（24J2

.x+vn)x-v\x+y7t].x-y_

sm-----+—cos---:——cos-----—+—sin-----=0,求解即可.

I24J2I24J2

【详解】因为sinx+cosx=J5sin|x+火|=J^sin%+'V+—+--丫

.................I4J{242

3"字+淮宁+缶.亨+小左小叱,

兀、x-y(x+y71>).x-y八

所以sm----—+—cos------cos----—+—sin-----=0,

<24J2(24j2

即sE号+；一行卜而y+；=0,

所以/=碗_：■(左eZj,tany=-l.

故选：C.

6.已知函数/（x）=2cos（（yx+9）-百（。>0,0</<]）在x=0处的切线斜率为一①，若/（x）在

（0,兀）上只有一个零点毛，则。的最大值为（）

【答案】B

【解析】

JT

【分析】求出函数的导函数，由/'(o)=-G求出。，由X的取值范围求出GX+：的范围，再根据/(%)在

6

1ITT7rl

(0,兀)上只有一个零点/得到——＜COTt+-＜——,即可求出。的取值范围，从而得解.

666

【详解】由题意得，/'(x)=-20sin(0x+e),则/'(0)=—20sin0=-。，

即sin°=L,又0＜夕＜巴，解得。=巴，.•./(x)=2cosf0x+巴］—G,

226I6J

由/(x)=0得cos(0x+&］=且，vxe(0,7r),0＞0,二ox+me但,0%+乡］,

I6J26166J

又COS巴=4^，；/(x)在(0,71)上只有一个零点玉)’.＜胸+VV,

62666

解得*＜。《2,二。的最大值为2.

3

故选：B.

7.如图，在V4SC中，ZACB^90°,AC=BC=1,。是C3边的中点，过点。作CE_LZ。于点

E,延长CE交48于点尸，则5尸=()

\3RGC6D6

JJ.---LJ.

4233

【答案】C

【解析】

【分析】设刀=彳冠，依题意可得9.赤=0,根据数量积的运算律求出4,从而得到面=

【详解】方法一：设万=2翦，.•・加・丽=0,

又。是C5边的中点，所以石=；(%+而)，

国+珂•(赤—可=0,...国+码.(a次—可=0,

■■(A-1)AB-AC+2AB~-AC~=0，

•.AC=BC=1,ZACB=90°,所以AS=7FTF=/，且//6C=45°,

~AC=1>~AB=2>AB-AC=1X42X^=1，

2

代入得(2-l)+24—1=0,解得4=3,

-.AF=-AB,：.BF=-AB=-.

333

方法二：因为N/C6=90。，AC=BC=1,所以V4SC为等腰直角三角形,

又因为NC=1,为中线，所以BC=1,CD=BD=-,

2

所以AD=JNC2+CQ2=,2=手.

因为CEL4D,所以NCEQ=90°,

1X1「

所以ND-C£=ZC-CZ),即CEJ[?)=—=半,

ADV55

过点尸作交C5于点〃，所以/加3=90。，

DEFH

因为tan/FC8=——=——，没FH=HB=x,则C〃=l—x,

CECH

V5

所以平=丁匚，解得x='，•••8/=克・

V51-x33

5

A

DH

故选：C

8.已知V4BC是边长为4百的正三角形，点尸是V48C所在平面内的一点，且满足

|Q+而+而|=3,则|刀|的最小值是()

8

A.1B.2C.3D.-

3

【答案】C

【解析】

【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点尸的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心

到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.

【详解】法一：设V48C的重心为G,则方+而+而=就+•+M+3百=3百，

•.•|ZP+5?+CP|=3,：.\GP\=I,点P的轨迹是以G为圆心，1为半径的圆,

又匹卜gx(x4G=4，.,・网的最小值是|画—1=3.

法二：以NC所在直线为x轴，以ZC中垂线为N轴建立直角坐标系，

则/-26,0),网0,6),。(26,01

设尸(x,y),|万+而+可|=3,即,(3%+26—0—2G『+伽—6)2=3,

化简得/+(y_2)2=1,，点P的轨迹方程为x2+(y-2)2=l,

设圆心为G,G(0,2),由圆的性质可知当/尸过圆心时|彳耳最小，

又|ZG|="+(2国=4，故|刀|得最小值为HG|—1=4—1=3.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，若只有两

个正确选项，则选对一个得3分，选对两个得6分；若有三个正确选项，则选对一个得2

分，选对两个得4分，全部选对的得6分，有选错的得0分.

9.已知函数=3)e"则().

A.函数/(x)在点(0,—3)处的切线方程是3x+y+3=0B.函数/(x)的递减区间为(—3,1)

C.函数/(x)存在最大值和最小值D.函数/(x)=a有三个实数解，则。40,6厂)

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得/'(x)=(x-l)(x+3)e",求得尸(0),利用导数进而得到函数的的单调性与极值，画出函数

的图象，结合图象，逐项求解判定，即可得结论.

【详解】由/0)=(公一3)1,得/'(x)=2xe”+(x2—3)eX=(x—2)(x+3)eX,

所以广(0)=(0—1)(0+3)e°=—3,又/(0)=(02-3)e°=-3,

所以函数/(x)在点(0,-3)处的切线方程是y+3=-3(x-0),

即3x+.v+3=0,故A正确；

令/'(x)<0,可得(x—2)(x+3)e*<0,解得—3<x<l；

令/(x)>0,解得x<—3或x>l,

所以函数/(x)在(-3,1)上单调递减，在(-<»,-3)和(1,+8)上单调递增，

且〃—3)=6/，/(l)=-2e,

当Xf-00时，/(X)0,

作出函数的图形，如图所示，可得A、B正确;

所以/(x)min=/(l)=—2e，无最大值，故C错误;

若方程/(x)=。有三个实数解,即N=/(x)与歹=。的图象有三个不同的交点,

可得(0,66一3),故D正确.

.故选：ABD.

10.下列四个命题为真命题的是().

A.已知向量方=(cosa,sina),3=(2,1),则卜一同的最大值为豆+1

B.若向量2=(5,0),3=(2/)，则,在B上的投影向量为(46,26)

C.若a=2也,6=4,A=O,要使满足条件的三角形有且只有两个，则可

C_____,、

__.AC

D.若ZO=/l=----+------(2eR),则动点。的轨迹一定通过V45C的重心

\AB\smBUCsinC

【答案】AD

【解析】

【分析】把模平方转化为数量积运算，然后结合三角恒等变换求最大值判断A,根据投影向量的概念计算

判断B,利用正弦定理判断C,令边8c中点为。，确定力-一+「，・二是与石平行的向量,由

\AB\smBL4CsinC

此可确定结论，从而判断D.

【详解】对于A,忖一同=J(cos«-2)2+(sin«-1)2=j6-4cosa-2sina,

1.121

贝i]6—4cosa-2sina=6-cosa+—^sina,令sin分=-j=,cos£=

V5)

则卜一q=V6-4cos«-2sin«=小5-2石sin(tz+j3)+l,

当sin(tz+£)=—l时，B一可取最大，最大值为6+1，故A正确;

a-b；*10­、、，AC、

对于B,直接根据)在B上的投影向量声2,1=4,2,故B错误;

b

ah

对于C,根据正弦定理可求得-----=-----，所以bsin4=〃sin5<〃〈b,

sinAsinB

所以sinZ<3=10，且Z<8,0<A<-,可求得故C错误;

b223

令边8c中点为。，则方+就=2%万，再根据正弦定理J~L=I_I,

sinCsinB

所以日,-sin5=j^C^sinC,

(__k\

-nABAC工一而

代入到2。=4尸=]----+产=j--------

45sin8UdsinC4gsin8

因此点。的轨迹在直线上，所以点。的轨迹经过重心，故D正确.

故选：AD

11.已知函数/(x)=sinx,in卜一cos2x,则()

A./(x)的图象关于点(兀,0)对称

B./(x)的值域为[-1,2]

若方程/(x)=-；在(0,加)上有6个不同的实根，则实数机的取值范围是(177110兀

C.〔丁亍

6

D.若方程［/(x)『—2叭乃+片=1(。eR)在(0,2兀)上有6个不同的实根x«=1,2,…,6),则。三毛的

i=l

取值范围是(0,5兀)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据/(2兀)=-/(乃是否成立判断A,利用分段函数判断BC,根据正弦函数的单调性画出分段函

数/(x)的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.

【详解】因为/(x)=sinx|sinx|-cos2x,

所以f(2K-x)=sin(2兀-x)卜in(2兀-x)-cos2(2兀-x)=-sinx|sinx|-cos2x*-f(x),

所以/（X）的图象不关于点（兀,0）对称，故A错误;

当sinxNO时，/(x)=sin2x-^l-2sin2xj=3sin2x-l,

由sinxe[0,1]可得/(x)e[-1,2],

当sinx<0时,/(x)=-sin2x-^l-2sin2xj=sin2x-l,

由sinxe[—1,0)可得/(x)e(-l,0],

综上/(x)e[T,2],故B正确：

11

当sinxNO时，由/(》)=35由7-%一1=-^解得$也%=5，

当sinx<0时，由/(x)=sin?x-1=-,解得sinx=—也，

42

ll2>--ri-tr/、1/(\\,,,­,,,八ri、i兀57i47i57i13JL17兀1On

所以方程/(x)=-二在(0,+0°)上的刖7个A;头根分别为:，—，—，—，----，――-----，

46633663

所以“4〈机4,故C正确；

63

由一2af(X)+。2=1解得/(X)=Q-1或/(X)=Q+1,

“、|3sin2x-l,sinx>0,,”、一

又因为/（x）=〈.2.，所以根据正弦函数的单调性可得/（X）图象如图所示,

sinx-l,sinx<0

所以/（%）=〃—1有4个不同的实根，/（%）=。+1有2个不同的实根,

-1<(2-1<0

所以《解得0<1,

0<。+1<2

设再<々<%3<%4<%5<%6，则再+%4=%2+%3=兀，/+%6=3兀，

66

所以2%=5兀，所以。工”，•的取值范围是（°，5兀），故D正确.

z=l1=1

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（力=11«透（》）=合+左,/（力<8（力，则上的取值范围为

【答案】k>-2

【解析】

【分析】令尸(x)=/(x)—g(x),然后求导，找到尸(X)最大值，当/(x)Wg(x)恒成立时，尸(X)最大

值小于等于零，解出屋

【详解】令E(x)=/(x)-g(x)=lnx-ex-^(x>o),

心\1.ex

有尸(x)=-—e=------------,

xx

当时，F'(x)<0,当0<x<1时，Fr(x)>0,

ee

所以尸(x)在上单调递减，在［o,£|上单调递增，

所以尸(X)在尤=：处取得最大值，为—2—左，

若/(x)<g(x)恒成立，则—2—左40,即左2—2.

故答案为：kN-2.

13.在V/8C中，44=60。，|方心|=2,点。为4B的中点，点£为CD的中点，若丽=；/，贝ij

AE-AF的最大值为.

13

【答案】—

6

【解析】

【分析】设罚=Z,k=1,得到左=设|万|=兀就=》,再由余弦定理和基本不等式求得

—»—►19

xy<4,得到/£./尸二石(］盯+8),即可求解.

【详解】在V45C中，ZA^60°,\BC\=2,点。为4B的中点，点£为CD的中点，

设初=*4=3,则通(而+近)=工方+1正=L1+13,

24242

设卜目=x,ZC=y,

由余弦定理可得4=%2+y2-2盯COS60°=%2+y2_Xy,

因为％2+y2>2中，可得4=+y2-中〉中，即中《4,

当且仅当X=y=2时取等号,

t—►1—►

又因为=

___kkki___k___9_______►i___k2i

则9=花+而=益+—前=9+—由―丽)=—运+―k=—Z+—B,

333333

------(,k1-1-2—1v1/—2—*-*-*2

则/E./77=+§6)=五(2Q+5a^b+2b)

i51Q117

二—(2x2H—xy+2/)=—(-孙+8)<—(18+8)=—,

122122126

即乐•下的最大值为—.

故答案为：—.

6

14.若函数/(x+2)为偶函数，y=g(x+l)-5是奇函数，且/'(2-x)+g(x)=2,贝1/(2023)=

【答案】-3

【解析】

【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.

【详解】由题意可知/(x)关于x=2轴对称，g(x)关于(1,5)中心对称，

/(2-x)+g(x)=2^>/(2-x)+10-g(2-x)=2^>/(2-x)-g(2-x)=-8,

所以/(x)—g(x)=-8,故/(x)+/(2—x)=—6=/(x)+/(2+x),

所以/(X+2)+/(X+4)=—6=>/(X)=/(X+4),

即7=4是/(x)的一个正周期,则/(2023)=/(3)=/(1)

由/(2—x)+/(x)=—6n/(—1)+/(3)=-6,且/(-1)=/(3),则41)7,

故答案为：-3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知函数/(x)=sin10x+£卜0〉0)在上单调递增，在(g，71上单调递减，设(%,。)为

曲线歹=/(x)的对称中心.

(1)求/(2%)的值;

(2)记V4SC的角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若cos/=cos/,Z?+c=6,求BC边上的高

AD长的最大值.

【答案】(1)/(2x0)=--

【解析】

【分析】(1)根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求为,然后代入解析式求解即可;

(2)利用余弦定理得到°2=36-3bc，结合三角形面积公式和基本不等式求解即可.

【小问1详解】

因为/(x)=sin10x+5〉0)在［。,行上单调递增，在［彳上单调递减，

所以/(0］=1且7》竺，所以a-0+囚=2左兀+四，左eZ,

k3J3362

可知刃二3左+工，keZ,

2

2兀、4兀31(1兀、

又由厂可知0<0«—，所以0=—，故/(x)=sin|7rx+：|,

\(o\322U6J

.171_.71

由一x+一二加兀，meZ,可得x=2加兀——，

263

71

即兀=2加兀一meZ,

f(2x0)=sinx2x0+《］=sin［%+：］=sin12加兀一g+：］=sin12加兀一弓］,

.兀1

=-sm—=——

62

【小问2详解】

b1+c2-a2_(6+c)2-2bc一a_36-2bc-a

cosA=cosx0=—

化简得/=36—3bc，因为=所以幺。=回

222a

所以/£>2=3??1mh、，5ib+c>2y/bc.所以bc<9,

4a4(36-3/JC)

当且仅当b=c=3时取等号,

■=3(姐>2=_3_<_3_=27

所以4(36-3Z)c)J3631，些_3)4,

［瓦7一流」15一V

所以404二一，故40长的最大值为

22

16.已知函数/(x)=x-xlnx-a.

(1)若曲线y=f(x)在点(i,f(i))处的切线方程为丁=法+2,求实数。和b的值；

(2)若函数/(x)无零点，求。的取值范围.

【答案】(1)a=-\,6=0

(2)(1,+co)

【解析】

【分析】(1)求出函数的导函数，由/'(1)求出6,再由/(1)求出。；

(2)令/(x)=0可得a=x—xlnx,令g(x)=x—xlnx,利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大

值，依题意V=a与y=g(x)无交点，即可求出参数。的取值范围.

【小问1详解】

因为/(x)=x-xlnx-a,所以=1一a,

又/'(x)=l—(lnx+l)=-Inx,则/'(1)=0,

又曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程为y=bx+2,

b=0仿=0

所以〈C，解得〈「

l-a=2[a=-1

【小问2详解】

令/(%)=0，BPa=x-xlnx，

令g(x)=x-xlnx,则g'(x)=-lnx,

所以当0<x<1时g'(x)〉0,当x>1时g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

则g(x)max=g(D=l'且当尤”+°0时g(x)f-8,

依题意歹=。与y=g（x）无交点，所以。〉1,

所以要使函数/（X）无零点，则。的取值范围为（L+s）.

17.如图，已知斜三棱柱4BC—44G的侧面5CG片是菱形，ZB1BC=6Q°,BlB=2,

AlB=AlC=43,ABA.AlC.

B

（1）求证：AB±BC；

（2）求平面/2月与平面23夕夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的性质定理进行证明；

（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.

【小问1详解】

取8c的中点。，连接。4，0耳.

因为侧面5CG5]是菱形，NB[BC=60。,所以△男5。是正三角形,

因为。是8c中点，所以BCLOB].

因为。是8c中点，48=4。，所以

又因为AOBX=0,0Axu平面OAXBX,OBXu平面OAXBX,

所以8C，平面片.

因为4gu平面。4耳，所以

因为斜三棱柱Z8C-44G，所以他〃4耳，所以4SL5C.

【小问2详解】

AB1

因为Z8，4CBC,A,CC\BC=C,4cu平面AXBC,BCu平面AXBC,所以N5,平面AXBC,

因为4t?u平面48C,所以48,4。.

又因为4。，BC,ABCBC=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,所以4。J_平面ABC.

以。为原点，0心的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则2（-1,1,0）,5（-1,0,0），4（0,0,行）,。（1,0,0）.

所以罚=（0,—1,0）,函=麴=（1,—1,夜），5C=（2,0,0）

设平面4881的一个法向量为五=（玉,%,4）,

n-AB=0,-Ji=0，

则—.即

X]一弘+V2Z[=0

n-BBl=0

取X[=后，则h=0,2]=—1,所以为=（也,0,—1）.

设平面831c的一个法向量为成=（%,%/2）,

m-BC=0,2X2—0,

则—.即

m-BB[=0,x2-y2+V2Z2=0,

取％=收，则%2=0/2=1,所以应=（0,行,1）.

__m-n-11

又cos加,n—]——~r=­；=—7="二—

乂\m\-\n\V3.V33，

所以平面ABB,与平面BByC夹角的余弦值为1.

18.如图，已知抛物线C：/=2/（夕〉0）上的点R的横坐标为1,焦点为E,S.\RF\=2,过点

尸（-4,0）作抛物线。的两条切线，切点分别为A、B,。为线段P4上的动点，过。作抛物线的切线，切

点为£(异于点A,B),且直线交线段尸2于点77.

(1)求抛物线C的方程;

(2)试求+忸"I的长是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)y2=4x

(2)是定值，4君

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的定义得到即可求出?，从而得解；

(2)设直线NP：卜=4X+4),联立直线与抛物线方程，消元整理，根据A=0求出左，不妨令直线

y=-(x+4),则直线AP：y=-；(x+4),即可求出4台的坐标，设。(2/,7+2),设直线。〃：

x=m(y-t-2)+2t,联立直线与抛物线方程，即可得到点E坐标，再求出点”的坐标，即可得解.

【小问1详解】

抛物线C：/=2.(P〉0)的焦点/[5,0)准线x=4,

贝|]|火刊=1—[言，2,则夕=2,抛物线C的方程为/=4x；

【小问2详解】

⑴设直线/P：p=A(x+4),由＜彳,："’,可得左2/+(8左2-4)x+16左2=0,

x

则A=(8左2—4)2—4左2x16左2=0,解得左=土;，

则!f+Q-4)x+4=0,解得x=4,

不妨令直线/P：J=-(x+4),直线AP：y=-；(x+4),

22

则1(4,4),8(4,—4)设。(27,/+2),fe(-2,2),

设直线x^m(y-t-2)+2t,

x=m(y-t-2)-^-2t

由<2，可得歹-4my+4mt+Sm-8t=0,

J=4x

由A=(-4机)2—4(4掰f+8掰-8/)=0,可得优=/或加=2(舍),

x-tAy-t,2

则£(/,27),直线DH：x=ty-t2,由＜1，可得"(-2//-2),

y=--(^+4)

xM)=等(4—27+4+27)=4后，为定值.

故H0+忸m=—和|+曷—

19.有编号为1,2,…，〃的〃个空盒子（〃22.eN）,另有编号为1,2,…水的左个球（24左<〃，左eN）,现

将左个球分别放入"个盒子中，每个盒子最多放入一个球.放球时，先将1号球随机放入〃个盒子中的其中

一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球

放入对应编号的盒子由若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个.记上

号球能放入k号盒子的概率为尸（〃,左）.

(1)求尸（3,3）；

(2)当〃N3时，求尸（〃,3）；

(3)求尸（〃，左）.

【答案】（1）-

2

/、n—2

(2)-------

n-\

(3)P(n,k)=-------

()〃—左+2

【解析】

【分析】（1）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算;

（2）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算;

（3）分三类讨论1号球放入的盒子，1号球放入）（2W/Wk-1）号盒中等效于将编号为1,2,…，后-/+1

的球，按照题设规则放入编号为1,2,-J+1的盒中尸（〃—J+1,左一/+1）,做差运算可得

尸（〃水）=尸（〃一1,左—1）迭代得出结论..

【小问1详解】

1号球放入1号盒中的概率为:，此时2,3号球分别放入2