2025年高考数学一轮复习：函数的图像

第6炼函数的图像

一、基础知识

1、做草图需要注意的信息点：

做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在

作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的

符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定(详见“知

识点讲解与分析”的第3点)，这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形

结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以

常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点

(1)一次函数：,=履+4若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确

定直线

特点：两点确定一条直线

信息点：与坐标轴的交点

(2)二次函数：y=a(x-h^+k,其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一

侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点一一顶点，若与坐标轴相交,

则标出交点坐标可使图像更为精确

特点：对称性

信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点

(3)反比例函数：丁=4，其定义域为(-0,0)1^。,”)，是奇函数，只需做出正版轴图

像即可(负半轴依靠对称做出)，坐标轴为函数的渐近线

特点：奇函数(图像关于原点中心对称)，渐近线

信息点：渐近线

注：

(1)所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近

线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，X轴是渐近线，

那么当Kf+8,曲线无限向X轴接近，但不相交，则函数在X正半轴就不会有X轴下方的

部分。

(2)水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若X—>+8(或-00)时，■常

数C,则称直线y=C为函数的水平渐近线

例如：y=2X当xf+00时，yf+8,故在x轴正方向不存在渐近线

当JWD时，yf0,故在x轴负方向存在渐近线y=0

(3)竖直渐近线的判定：首先/(%)在x=〃处无定义，且当xfa时，+8(或

Y0),那么称X=Q为/(%)的竖直渐近线

例如：y=log2%在％=0处无定义，当1―0时，所以x=0为y=log2%

的一条渐近线。

综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴

与对称中心；极值点；渐近线。

例：作出函数〃x)=x—工的图像

分析：定义域为(-oo,0)U(0,十°°)，且/(%)为奇函数，1//

故先考虑x正半轴情况。：/

%)=1+4>0故函数单调递增，/.

f(x)=一~g<0,故函数为上凸函数，当％f+00时，/I

X

/(%)f+co无水平渐近线，X—>0时，/(%)->-(»,所以y轴为/'(尤)的竖直渐近线。

零点：(1,0),由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性得到了(九)完整图像：

2、函数图象变换：设函数y=/(%),其它参数均为正数

(1)平移变换：

/(x+«)：“X)的图像向左平移a个单位

/(%-«)："%)的图像向右平移a个单位

f(x)+b：的图像向上平移a个单位

/(%)-/?：〃尤)的图像向下平移a个单位

(2)对称变换：

/(-%)：与"％)的图像关于y轴对称

-/(x)：与"％)的图像关于X轴对称

-/(-X):与“X)的图像关于原点对称

(3)伸缩变换：

/、/、1k>1：收缩

f(kx)：/(%)图像纵坐标不变，横坐标变为原来的工°〈左<1

拉伸

k>1：拉伸

v(%)：图像横坐标不变，纵坐标变为原来的左倍<

0〈左<1：收缩

(4)翻折变换:

/(x),x>0

川刈：〃忖)=«即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半

/(-x),x<0

轴图像关于y轴对称的图像

/(x),/(x)>0

即X轴上方的图像不变，下方的图像沿X轴对称的翻

-/(x)，/(x)<0

上去。

3、二阶导函数与函数的凹凸性:

(1)无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况,

若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数

若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数

(2)上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快

下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢

(3)与导数的关系：设/•'(%)的导函数为了"(X)(即“X)的二阶导函数)，如图所示：增

长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随x的增大而增大，即/'(X)为

增函数之0；上凸函数随x的增大而减小，即/'(尤)为减函数0<0；

综上所述:函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。

二、方法与技巧：

1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，

再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：

(1)单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于X轴上方的区域表示原

函数的单调增区间，位于X轴下方的区域表示原函数的单调减区间

(2)函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分

(3)极值点

(4)对称性(奇偶性)一一易于判断，进而优先观察

(5)函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸

部分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定

2、利用图像变换作图的步骤：

(1)寻找到模板函数/(%)(以此函数作为基础进行图像变换)

(2)找到所求函数与的联系

(3)根据联系制定变换策略，对图像进行变换。

例如：作图：y=|ln(x+l)|

第一步寻找模板函数为：/(%)=ln%

第二步寻找联系：可得y=Y(x+l)|

第三步制定策略：由|/(尤+1)|特点可得：先将了(%)图像向左平移一个单位，再将x轴下

方图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可

3、如何制定图象变换的策略

(1)在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：

①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换

②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

例如：y=/(3x+l):可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤

y=/(-X)+2:可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的

为平移变换

(2)多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，

在安排顺序时注意以下原则：

①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求

②横坐标的多次变换中，每次变换只有X发生相应变化

例如：y=/(%)->y=/(2x+l)可有两种方案

方案一：先平移(向左平移1个单位)，此时/(%)-/(%+1)。再放缩(横坐标变为原来

的；)，此时系数2只是添给X,即/(x+l)f/(2x+l)

方案二：先放缩(横坐标变为原来的；)，此时/(力一/(2力，再平移时，若平移a个单

位，则/(2(_x+a))=/(2x+2a)(只对x加a),可解得a=；,故向左平移g

个单位

③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行

例如：y=/(x)—>y=2/(x)+l有两种方案

方案一：先放缩：y=f(x)^y=2f(x),再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1,

即y=2〃x)->y=(2〃x))+l

方案二：先平移：y=/(x)^y=/(x)+l,则再放缩时，若纵坐标变为原来的。倍，那

么V=+V=a(/(x)+l)，无论a取何值，也无法达到y=2/(x)+l,所以需

要对前一步进行调整：平移,个单位，再进行放缩即可(a=2)

2

4、变换作图的技巧：

(1)图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同

方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性

(2)图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与y轴的交点等

三、例题精析：

例1：己知函数/(%)=狈3+法2+c,其导数/'(%)的图象如图所示，则函数八％)的极

大值是()「

A.a+b+cB.8a+4Z?+cC.3a+2bD.c\

思路：由图像可知：］£(0,2)时，>0,单调递增，一----\---2^—

x£(2,+oo)时，f(%)<0,单调递减，所以/(%)的极大值为〃2)=8a+4Z?+c

答案：B

小炼有话说：观察导函数图像时首要关注的是函数的符号，即是在X轴的上方还是下方，导

函数的符号决定原函数的单调性

例2：设函数y=/(x)可导，y=/(x)的图象如图所示，则导函数y=:(幻的图像可能为

()

思路:根据原函数的图像可得：“X)在(-oo,0)单调递增，在正半轴先增再减再增，故/(%)

在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“正负正”，观察四个选项只有D符合

答案：D

小炼有话说：本题可直接由导函数的符号来排除其他选项，若选项中也有符合D中“负半

轴的符号为正，在正半轴的符号依次为‘正负正’"，那么可观察第二条标准：从图上看在x

负半轴中，函数增长的速度越来越快，则说明切线斜率随X的增大而增大，进而导函数在X

负半轴也单调递增，依次类推可得到正半轴的情况，D选项依然符合特征

例3：函数/(x)=e=2—1的部分图象为()

思路：f(x)=exx2+e2(2x)=x(^x+2)ex,可得在(-oo,-2),(0,+oo)单调递增，

在(一2,0)单调递减，且可估计当％—>YO,必，=^f0即/(X)―>—1,所以y=—1

为函数7（%）的渐近线，当％f+8,y->+8由此可判断出图像A正确

答案：A

小炼有话说：（1）本题考查的是通过分析函数性质作图，单调性是非常重要的一个要素，通

过单调性也可排除其他三个选项

（2）关于渐近线的判断：对于尤.ro,x2ex=———>0可这样理解，Xf+QO时，x2,e~x

e~x

均趋向正无穷，但的速度更快，进而伴随着X―十元，6一”将远远大于进而比值趋

于0,当％f+0。，增长速度的排名为：直线（一次函数）〈二次函数<指数函数

例4：函数〃月=网引的图像可能是（）

\x\

jclnx\

思路：观察解析式可判断出=1~为奇函数，排除A,C.当x>0时，

/（%）>O=lnx,故选择B

答案：B

小炼有话说：/（月=叫区有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，

IxI

只需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用X的符号去掉绝对值，进而得到正半

轴的解析式。

例5（2015浙江文）：函数=》VxV犯xW0）的图像可能为（）

A.B.C.D.

思路：观察4个选项的图像，其中A,B图像关于y轴对称，C,D图像关于原点中心对称。

所以先判断函数奇偶性,可判断出/(-%)=

所以了(%)为奇函数，排除A,B,再观察C,D的区别之一就是/(乃)的符号，经过计算可得

/(»)=(»-，］cos»=，一乃<0,所以排除C

V71)n

答案：D

例6：已知〃x)=；x2+sin|^+x］，r(x)为/"⑴的导函数，则r(x)的图像是()

思路:可判断了'(x)为

奇函数，图像关于原点中心对称，排除民。。因为了

排除C。故A正确。

答案：A

小炼有话说：/(x)=gx-sinx可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于A,C选

项而言，其不同之处有两点，一点是从％=0处开始的/'(%)符号，解析的思路也源于此，

但需要代入特殊角进行判断，A选项的图中发现在x轴正半轴中靠近y轴的函数值小于零，

TT

从而选择最接近0的特殊角一，除此之外，AC图像的不同之处还在于从x=0开始时

6

f(%)的单调性，所以也可对/(%)求导，f(%)二g—cos%,则X£［0,(^时，

/(%)<0,即/(%)应先减再增。所以排除C

例7：下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号

是()

A.①②B.③④C.①③D.①④

思路：如图所示：在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的，即

单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间（0,/?）上导函数的值

为负值，而该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，所以③不正确；在④图象显示在

区间上导函数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，

所以不正确.故选B.

答案：B

小炼有话说：要注意导函数图像与原函数图像的联系：导函数的符号与原函数的单调性相对

应，导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。

例8：已知R上可导函数/（%）的图象如图所示，则不等式（炉―2%-3）/'（%）＞0的解集

为（）

A.(-a)-2)U(1,^>)B.(-a),-2)U(l,2)

C.(^o,—l)U(—h0))J(2,+°o)D.(—oo,—1)U(—h1)0(3,-^^)

思路：由图像可得：入£(-00,-1),(1,+00)时，f(x)>0,时，f(X)<0,所

%2-2x—3>0%2—2x—3<0

以所解不等式为：<或V，可得：(T»,—1)U(—Ll)U(3,+w)

/(x)>0/(x)<0

答案：D

例9:函数〃%)=%3+区2+5+4的大致图象如图所示,则片+工；等于()

84

10C

9-B.9一D.5-

思路：由图像可得：再,9为/(%)的极值点,x=—l,x=0,%=2为函数的零点

,2b

2

f(x)=3x+2bx+c,即是方程3%2+2Zzx