人教版高中数学选择性必修第三册第六章 计数原理 章末单元测试（含解析）

人教版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理章末单元测试（原卷版）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2020•全国高二单元测试）若且a<20,则（27—a）（28-a）…（34—a）等于（）

2.（2020•全国高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（）

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作为log,b中的底数与真数

A.①④B.①②C.④D.①③④

3.（2020•全国高二单元测试）用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有（）

A.48个B.64个

C.72个D.90个

（2020•贵州省黎平县第三中学高二期末）x的展开式中常数项为（

D.-10

5.（2020•三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们

有网相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点8向结点/传递信

息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）

6.（2021•广东）（x-iy（x+2）展开式中含炉项的系数为（）

A.25B.5C.-15D.-20

7.（2020•广东佛山市）将编号为1,2,3,4,5,6,7的小球放入编号为1,2,3,4,5,6,7的七个

盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.315B.640C.840D.5040

8.（2020•南昌市八一中学高二月考）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不

足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.现有四名志愿者医生被分配到/、2、

C、。四所不同的乡镇医院中，若每所医院都要分配一名医生，则医生甲恰好分配到/医院的概率为（）

1111

A.—B.-C.—D.一

12643

二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2020•江苏扬州市）在（a-b厂的展开式中，系数最大的项是第（）项.

A.8B.9C.10D.11

6

10.（2020•江苏省太湖级中学IWI二期中）设（2x+1），=a。+q（x+1）+出（％+1）-++6Z6（x+1）»下

列结论正确的是（）

A.%—%+电—%+=36B.=100

C.%,%，%，，％,中最大的是D.当x=999时，（2x+1）6除以2000的余数是1

11.（2020•江苏宿迁市）对于（a+b）"（〃eN*）展开式的二项式系数下列结论正确的是（）

B-M+CK

C.当〃为偶数时，C；+C：+C；+...+C：=2"D.-1

12.（2020•湖南）关于二项式［z-jj的展开式，下列结论错误的是（）

A.展开式所有的系数和为1B.展开式二项式的系数和为32

C.展开式中不含x3项D.常数项为120

三、填空题（每5分，4题共20分，双空题第一空2分，第二空3分）

2019

13.（2020•苏州新草桥中学高二期中）若（1-2X）2°I9=4+为x++（z2019x（xeJ?）,则

及+fi+L+靛的值为-

14.（2020•河北石家庄市）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不

同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有

种.（用数字作答）.

15.（2020•新疆）若（a+x）（l+x）4的展开式关于x的系数和为64,则展开式中含丁项的系数为.

16.（2020•浙江台州市•高二期中）在二项式（x+4］的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，5

项的系数为;各项系数之和为.（用数字作答）

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17.（2020•辽宁高二期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为4,，③各项系

数之和为4",这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的左存在，求左的值；若左不存在，

说明理由.

，是否存在整数左，使得？是展开式中的常数项？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

18.（2020•防城港市）5个男同学和4个女同学站成一排

（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法?

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法?

（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法?

（4）男生和女生相间排列方法有多少种？

19.（2020•全国高二单元测试）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（用数字作答）

（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子；

（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；

（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；

（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒.

20.（2018•天津静海区）在（2x-3团"的展开式中，求:

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

21.(2020•湖北潜江市)已知数列｛4｝的首项为1,令/(〃)=%&+电0；++a“C：(nwN*).

(1)若｛%｝为常数列，求/(〃)的解析式；

(2)若｛%｝是公比为3的等比数列，试求数列｛3/(")+1｝的前〃项和

22.(2020•江苏全国)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值

之和，该三角形数阵开头几行如图所示.

第。行1

第I行11

第2行I2I

第3行1331

第4行146$I

革5行I510105(

第6行1615201561

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3：4：5?若存在，试求出是第几行；

若不存在，请说明理由；

(2)己知n,r为正整数，且n2r+3.求证：任何四个相邻的组合数C,C1C",C”不能构成等差数列.

人教版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理章末单元测试（解析版）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2020•全国高二单元测试）若a6M，且a<20,则（27—a）（28—a）…（34—a）等于（）

A-B.

C.D.蜀

【答案】D

【解析】十一“=」：4一（27-a）（28-a）...（34-a）.故选:D

（34-0-8）!

2.（2020•全国高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（）

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作为log,b中的底数与真数

A.①④B.①②C.④D.①③④

【答案】A

【解析】排列的概念：从〃个元素中取加（加<〃）个元素，按照一定顺序排成一列，

由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，

由此可判断出：①④是排列问题，故选：A.

3.（2020•全国高二单元测试）用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有（）

A.48个B.64个

C.72个D.90个

【答案】C

【解析】满足条件的五位偶数有：H•团=3x4x3x2x1=72.故选：C.

1丫

4.(2020•贵州省黎平县第三中学高二期末）X1-的展开式中常数项为（)

A.-5B.5C.10D.-10

【答案】C

51」

【解析】由题得二项式展开式的通项为。X1广’（——y=（—iyc）2

令—」所以所求常数项为；

gr=—1,.=2.xC=10.故选:C.

5.（2020•三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们

有网相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点5向结点/传递信

息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）

A.26B.24C.20D.19

【答案】D

【解析】依题意，首先找出/到5的路线，

①单位时间内从结点/经过上面一个中间节点向结点8传递的最大信息量，从结点/向中间的结点传出12

个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是4个和3个，

此时信息量为3+4=7个.

②单位时间内从结点/经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流

为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点B最大传递7个但此时

前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点所以此时信息量为6+6=12个.

③综合以上结果，单位时间内从结点方向结点/传递的最大信息量是3+4+6+6=19个.

故选：D.

6.（2021•广东）（x-iy（x+2）展开式中含炉项的系数为（）

A.25B.5C.-15D.-20

【答案】C

【解析】展开式通项4+1=（-,

令5一厂=2可得r=3,令5—〃=1可得尸=4；

・・.含/项的系数为：C；-2C；=T5.故选：C.

7.（2020•广东佛山市）将编号为1,2,3,4,5,6,7的小球放入编号为1,2,3,4,5,6,7的七个

盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.315B.640C.840D.5040

【答案】A

【解析】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有C：=35种放法，

剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有=9种放法，

所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为35x9=315种，

故选：A

8.（2020•南昌市八一中学高二月考）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不

足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.现有四名志愿者医生被分配到/、2、

四所不同的乡镇医院中，若每所医院都要分配一名医生，则医生甲恰好分配到/医院的概率为（）

1111

A.—B.-C.—D.一

12643

【答案】C

【解析】基本事件总数〃==24,医生甲恰好分配到到A医院包含的基本事件个数加=/；=6,

加6I

所以医生甲恰好分配到/医院的概率为夕=了=五=4.故选：C.

二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2020•江苏扬州市）在（a-人厂的展开式中，系数最大的项是第（）项.

A.8B.9C.10D.11

【答案】BD

【解析】（a-b厂的二项展开式的通项为展开式共19项，其中第10项的二项式系

数最大，但展开式的系数为负数，第9项和第11项的二项式系数即系数相等且最大，故选：BD

6

10.（2020•江苏省太湖IWJ级中学IWJ二期中）设（2x+1），=a。+q（x+1）+%（x+1）?++ct6（x+1）,下

列结论正确的是（）

A.CIQ-q+a,—%+%=3B.。2+。3=10°

D.当x=999时，(2x+1,除以2000的余数是1

c.aA,a2,a3,,%,中最大的是4

【答案】ABD

6626

[解析】由(2x+1)=(2(x+1)-1)，=[1-2(x+1)]=a0+aA(x+1)+a2(x+1)++a6(x+1)，

23

得a°=Cla.=2C>2=2C>3=2C；，&=24&%=丁比%=外，

所以%—%+a,—%+/=S',故A正确；

23

a2+a3=2Cg+2Cg=100,故B正确；

aA,a2,a3,,%,中最大的是%，故C错误；

当x=999时，x+l=1000,aA,a2,%，&能被200。整除，所以Qx+l)，除以2000的余数是1,故D

正确；

故选:ABD

11.(2020•江苏宿迁市)对于(a+b)"(〃eN*)展开式的二项式系数下列结论正确的是()

A.C：=C：mB.C：+C：T=C3

C.当"为偶数时，C；+C；+C；+...+C；=2"D.Co+Ci+C2++C"=2"T

【答案】ABCD

【解析】选项A：由组合数的运算直接可得C；=£「"，故选项A正确；

选项B：由杨辉三角直接可得C；+C；T=£Z，故选项B正确；

选项C：二项式展开式中，令a=6=1,不论〃为奇数还是偶数，都可得q+C：+C；+…+C：=2",故

选项C正确；

选项D：由选项C可知C°+C：+C：+...+C；；=2",故选项D错误.

故选：ABC

12.(2020•湖南)关于二项式-的展开式，下列结论错误的是()

A.展开式所有的系数和为1B.展开式二项式的系数和为32

C.展开式中不含x3项D.常数项为120

【答案】BCD

【解析】因为二项式（f-j）,令X=1可得所有项系数和为1,

展开式中二项式的系数和为=64，

展开式的通项为=C，（6f）=CrJ2），/3,

当外=4时，得常数项为240；

当厂=3时，可得x3项，所以错误的应选

故选：BCD

三、填空题（每5分，4题共20分，双空题第一空2分，第二空3分）

2019

13.（2020•苏州新草桥中学高二期中）若（l—2x）2°i9=4+4》++«2019x（xeJ?）,贝!!

段+/+L+舞的值为-

【答案】-1

【解析】令等式中x=0得%=1；再令x=；,贝i]ao+]+|f++!!需=0，

所吟+墨++舞=-%=-L故答案为：-1

14.（2020•河北石家庄市）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不

同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有

种.（用数字作答）.

【答案】96

【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为/、B、C、D、E、F,如图所示:

要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对/区域涂色有3种方法,

B、C、D、E、厂这5个区域都与Z相邻，每个区域都有2种涂色方法,

所以共有3x2x2x2x2x2=96种涂色方案.

故答案为：96

15.（2020•新疆）若（a+x）（l+x）4的展开式关于x的系数和为64,则展开式中含丁项的系数为.

【答案】18

【解析】由题意（4+1）x24=64,解得a=3,（l+x）4展开式中父系数是C：,/的系数是《，

二所求系数为C：+3C：=6+12=18.故答案为：18.

16.（2020•浙江台州市•高二期中）在二项式［x+工］的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，子

项的系数为；各项系数之和为.（用数字作答）

【答案】56256

8-r

【解析】由题意得：C；=C：nn=8,7；+1=C；（x）=C"j,

当8—2r=—2nr=5；可得斗项的系数为屐=C；=56,

x

令x=l,可得各项系数之和为：2'=256.故答案为：56；256.

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17.（2020•辽宁高二期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为4,，③各项系

数之和为4乜，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的左存在，求左的值；若左不存在，

说明理由.

设二项式,若其展开式中,,是否存在整数左，使得£是展开式中的常数项？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

【答案】答案不唯一，见解析.

【解析】若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，即C；最大，由二项式系数的性质可得，〃=14；

若选填条件③，即各项系数之和为4蕤，则40=4"，即〃=14；

21-7k

二项式展开式的通项：

由21—7左=0,得左=3.

即存在整数左=3,使得q是展开式中的常数项；

若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47，

则2,T=47=214,AH=15.

(R、15l(tkzq、衣T22-7L

二项式[五+白)展开式的通项：Tk=C^-(s[xy44I

22

由22—7左=0,得上=—eZ.

7

即不存在整数上使得〃是展开式中的常数项.

18.(2020•防城港市)5个男同学和4个女同学站成一排

(1)4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

(4)男生和女生相间排列方法有多少种？

【答案】(1)17280；(2)43200；(3)302400；(4)2880.

【解析】(1)4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，

可得排法为用用=17280；

(2)先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：

44=43200；

(3)根据题意可得排法为：=302400■

(4)5个男生中间有4个空，插入女生即可，

故有排法4团=2880.

19.(2020•全国高二单元测试)按照下列要求,分别求有多少种不同的方法？(用数字作答)

(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；

(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；

(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；

(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒.

【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160

【解析】⑴4，=4096；

,「2「201、

⑵+CgH=1560；

、447

(3)C4+4=10；或C；=10；、

+CfZ：=2160.

)

20.（2018•天津静海区）在（2x-3y）i°的展开式中，求:

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

【答案】（1）1024；（2）1；（3）奇数项的二项式系数和为29，偶数项的二项式系数和为29;（4）奇数项

1c101_c101_c101c10

的系数和为匕二，偶数项的系数和为L上一；（5）x的奇次项系数和为,x的偶次项系数和为上二

2222

109s710

[解析】设(2x-3yy°=aox+a^xy+a2xy+•••+«10j,

各项系数和为%+%+%---a\o>

奇数项系数和为％）+%+…+%o，偶数项系数和为%+为+—+%，

X的奇次项系数和为％+。3+…+%，X的偶次项系数和为/+%+…+%0

（1）二项式系数的和为C；o+C：o+。］+…+c=210=1024；

（2）令x=l,J=1,贝！］（2x1-3xl『°=1=4+4+a2H---Fa10,

所以各项系数和为1；

（3）奇数项的二项式系数和为量++C［+…+C；；=29,

偶数项的二项式系数和为C；o+C；。+…+C®=29；

(4)由(2)知，a0++a2-I---Fa]o=l①，取x=l,=-1,

贝!J(2xl+3xl)=510=/—%+4—。3+。4—。5+。6—。7+。8—。9+。10②，

①:⑨i_L510

所以奇数项的系数和/+%+…+%o=舌二十，

偶数项的系数和%+%+…+%=与等==‘；

(5)由(4)知，X的奇次项系数和为%+%+…+°9=①,②=，

①:⑨1_L510

x的偶次项系数和为/%+…+%0=；=~~-

21.(2020•湖北潜江市)已知数列｛%｝的首项为1,令/(〃)=%£；+aC(〃eN*).

(1)若｛4｝为常数列，求/(")的解析式；

(2)若｛%｝是公比为3的等比数列，试求数列｛3/(“)+1｝的前"项和S”.

【答案】⑴f(n)=2n-l；(2)S0T43T.

【解析】(1)由｛4｝为常数列，且4=1,

所以/(〃)=&+《++£；=2"-端=2"-1.

(2)由4是公比为3的等比数列，且%=1,所以4=%/I=3"T,

所以/(〃)=C：+3C；+32C；++3y,

所以3/(〃)+1=3。：+32。；+33《++3"C；+l=(l+3)"=4",

4(1_4叫4

由等比数列的前〃项和公式，可得S=」_____1=3(4"-1).

"1-43、