中考数学复习卷：圆

6.4圆验收卷

注意事项：

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道.填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.答题时间：60分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2023春・浙江•九年级开学考试）下列命题中，是真命题的是（）

A.长度相等的两条弧是等弧

B.顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是菱形

C.正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形

D.三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等

【答案】C

【分析】根据等弧的定义即可判断A；根据三角形中位线定理即可判断B；根据轴对称图形和中心对称图形

的定义即可判断C；根据外心的定义即可判断D.

【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，长度相等，所对的圆心角度数相等的弧叫做等弧，

故该选项是假命题，不符合题意；

B、顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是平行四边形，故该选项是假命题，不符合题意；

C、正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是真命题，符合题意；

D、三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项是假命题，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查了判断命题真假，等弧的定义，三角形中位线定理，轴对称图形和中心对称图形，

三角形外心的定义，熟知相关知识是解题的关键.

2.（2022秋•山西吕梁•九年级校考阶段练习）如图，AABC内接于N8是。。的直径，AD平分NB4C,

交于点。，连接OD,则下列结论错误的是（）

A.BD^CDB.OD1BCC.OD//ACD.OD=^AC

【答案】D

【分析】设8与BC相交于点E,利用直径所对的圆周角是直角可得NC=90。，再利用角平分线的定义和

等腰三角形的性质可得4C〃。。，从而可得/OE3=/C=90。，然后利用垂径定理可得①=蓟，CE=BE,

再利用三角形的中位线的定理可得=即可解答.

【详解】解：设QD与5C相交于点

〈ZB是OO的直径,

・•・ZC=90°,

•：OA=OD,

：.ZOAD=ZD,

平分/A4C,

・•・/CAD=/OAD,

：.ZCAD=ZD,

・・・AC//OD,

：./OEB=/C=9G。,

：.OD1BC,

CD=BD,CE=BE,

OA=OB,

JOE是小5。的中位线，

：.OE=-AC,

2

故A,B,C正确，D错误，

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌

握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键.

3.（2023•新疆乌鲁木齐•统考一模）在中，ZC=90°,BC=8,tanA=2,以点4为圆心，半径为8

的圆记作圆4那么下列说法正确的是（）

A.点。在圆4内，点5在圆/外

B.点C在圆/上，点3在圆/外

C.点C、5都在圆/内

D.点C、8都在圆/外

【答案】A

【分析】由解直角三角形求出/C=4,由ZC和与圆的半径的大小关系，即可判断出点。和点8与。Z

的位置关系，即可得出答案.

【详解】解：如图，在RtZX/BC中，ZC=90°,SC=8,tan^=2,

B

：.AC<8,

...点C在ON的内部，

,/AB>BC,

：.AB>8,

...点2在。”的外部，

故选A.

【点睛】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是

解决问题的关键.

4.（2023•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，PA、尸3分别与相切于/、B,/尸=70。，C为。。上

一点，则//C3的度数为（）

P

B

A.110°B.120°C.125°D.130°

【答案】C

【分析】在。。右侧取点。，连接4D,BD,OA,OB,根据切线的性质得出/。/尸=/OAP=90。，然后根

据四边形内角和为360。即可得出/O,再由圆周角定理求出根据圆内接四边形的性质得出/4C3的

度数即可.

【详解】解：在。。右侧取点D,连接4D，BD,OA,OB,

'：PA、尸8分别与O。相切于A.B,

：.OA1PA,OB1PB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

：.ZO=360°-90°-90°-70°=110°,

ND,/。=55。

2

•.•四边形ACBD是OO的内接四边形，

/.Z^CS+ZD=180°,

乙4c8=125°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆心角和圆周角的关系，切线的性质等知识点,

读懂题意，熟练掌握以上基础知识点是解本题的关键.

5.（2023春•北京顺义九年级校考阶段练习）如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，4=120。，则230D

的度数为（）

D

A.60°B.70°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】根据圆内接四边形的性质求出/C,根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：：四边形N3C。是。。的内接四边形，

”=180。一44=60。，

由圆周角定理得，ZBOD=2ZC=nO°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

6.（2023•河北邢台•统考一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点/,B,C,D,E,F,。均在格点上.下

列三角形中，外心不尽点。的是（）

A.AABCB./\ABDC."BED.AABF

【答案】C

【分析】设小正方形边长为1，再通过勾股定理求出。到所有顶点长度，不相等的就是外心不在的三角形.

【详解】解：设小正方形边长为1,

贝1：OA=722+12=45=OB=OC=OD=OF

OE=2,

根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：

点。是AABD,AABC,AABF三个三角形的外心；

不是"BE的外心，

故选：C.

【点睛】本题考查外心的定义，掌握勾股定理求出外心到各顶点距离是关键.

7.（2023春・浙江•九年级开学考试）如图，48是。。的直径，AB=ACS.ZBAC=45°,。。交于点。,

交AC于点、E,DF与相切，。。与BE相交于点〃.下列结论错误的是（）

A

----DC

A.BD=CDB.四边形OLEF为矩形C.AE=2DE^-BC=2CE

【答案】D

【分析】连接根据直径所对的圆周角为直角可得/以。=90。，再根据等腰二角形二线合一，即可判

断A；通过证明为中位线，可得8〃ZC,即可判断B；先证明/£=则藐金£，再证明

BD=DE，即可判断C；求出/£8C=22.5。，即可判断D.

【详解】解：A、连接

；43是。。的直径，

?.ZBAD=90°,即/。13C,

AB=AC,

：.BD=CD,

故A正确，不符合题意；

B、；48是。。的直径,

NAEB=90°,

;BD=CD,AO=BO,

0D为力台。中位线，

OD//AC,

：.NEHD=90°,

•「DT与。O相切,

:・DF^CD,即Nffl用=90。，

・••四边形。进方为矩形，

故B正确，不符合题意；

C、是OO的直径，

ZAEB=90°,

V/B4c=45。,

・•・AE=BE,

:,AE=BE

由B可知/£〃。=90。，即OZ）_LB£,

,,BD=DE'

•*-AE=2DE，

故C正确，不符合题意；

D、ABAC=45°,AB=AC,

：.ZC=1（180°-45°）=67.5°,

/.ZEBC=22.5°,

,BC—CECE

sinZ.EBCsin22.5°

：sin22.5°wL

2

BC*ICE,

故D不正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，解题的关键是掌握圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩

形的判定等知识，并灵活运用.

8.（2023秋•湖北省直辖县级单位•九年级统考期末）如图，N8为半圆的直径，48=10,点。到弦NC的距

离为4,点P从出发沿切方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP,当△/尸C为等腰三角形

时，点尸运动的时间是（）

c

14-

C.4或5D.94或5

55

【答案】D

【分析】过点。作OQLZC于点。，根据垂径定理，以及勾股定理求得ZC的长，然后分三种情形讨论,

分别求得尸8的长，即可求解.

【详解】解：如图所示，过点。作。。_L/C于点。,

在中，40=5,00=4,

•*-AD=ylAO2-DO2=3，

AC=2AD=6,

①当CP=G4时，如图，过点C作CE14B于点£,连接3C,

ZACB=90°,

•.,。是NC的中点，。是的中点，

二BC=2OD=8

,/SZ/,XA.DRLC-=-2AC-BC2=-AB-CE,

.「厂

.,CE=-A-C-x-B-C=-6-x-8=—24,

AB105

在RtA/CE中，AE=^AC2-CE2=y,

AE=PE,

14

BP=AB-2AE=—

5

②当尸/=PC时，则点尸在/C的垂直平分线上，所以点尸与点O重合，尸8=5,此时f=5（s）；

③当/尸=/C=6时，PB=AB-AP=4,此时r=4（s）,

综上所述，％=914或4或5,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理、等腰三角形的判定，综合运用以上知识是

解题的关键.

9.（2022秋・浙江宁波・九年级校联考阶段练习）把三根长为1cm的火柴杆和三根长为3cm的火柴杆摆放成如

图的圆周上，构成一个六边形，那么此六边形的面积是由三根长为1cm的火柴杆所构成的等边三角形面积的

B.15倍C.18倍D.22倍

【答案】D

【分析】首先根据题意画出其等效图，即可得△〃砥是边长为5cm的等边三角形，尸M与△"CR与

△DEK是边长为1cm的等边三角形，则可求得此六边形的面积是△跖区与△HFM、AB'C'N、AD'E'K

面积的差，然后根据等边三角性的面积的求解方法，即可求得各等边三角形的面积，继而求得此六边形的

面积是由三根长为1cm的火柴杆所构成的等边三角形面积的倍数.

【详解】解：如图所示:

AB=BC=CD=3cm,AF=EF=DE=1cm,

JZAOB=ZBOC=/COD,ZAOF=/EOF=/DOE,

360°

ABOF=/COE=ABOC+/EOF=-----=120。，

3

・,•画等效果图得：

AB=AB>B'C=AF,c'D=CD，D'E'=DE,EF=BC,AF=EF,

可得△MNK是边长为5cm的等边三角形,

△A'F'M与△B'C'N与/\D'E'K是边长为1cm等边三角形,

・・•三根长为1cm的火柴杆所构成的等边三角形面积为：!xlx亚，

224

,01-256

•*S^MNK=2X^X~2~=~~4-

・・・六边形的面积为：竺6-3、@=至2,

444

・・・此六边形的面积是由三根长为1cm的火柴杆所构成的等边三角形面积的型I=22倍.

44

故选：D.

【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质，等边三角形的性质，解题的关键是正确画出等效果图求解.

10.（2023秋・江苏扬州•九年级统考期末）如图，四边形/8CD为矩形，=6,8。=8,点尸是线段8c上

一动点，DMLAP,垂足为尸，则四的最小值为（）

24

A.5B.—D.2713-4

5

【答案】D

【分析】首先得出点〃在。点为圆心，以/。为半径的圆上，然后得到当直线攻过圆心。时，BM最短,

从而利用勾股定理计算出答案.

【详解】设的中点为。，以。点为圆心，/O为半径画圆，

•.•四边形Z8CD为矩形，AB=6,BC=8,

：.4D=BC=8,

"?DMLAP,

...点〃■在。点为圆心，以NO为半径的圆上，

连接03交圆。与点N,

•.•点5为圆。外一点，

，当直线AM过圆心。时，BM最短,

VBO2^AB2+AO2,AO=^-AD=4,

2

BO2=36+16=52,

二BO=2>/B,

BN=BO-NO=2用-4.

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对圆周角是直角等知识，解题的关键是熟

练掌握直角三角形和圆的相关知识.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11.（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考期末）一个扇形的面积是15%cm2,半径是6cm,则此扇形的圆心角

是&.

【答案】150

【分析】设扇形的圆心角是心，根据扇形的面积公式即可得到一个关于"的方程，解方程即可求解.

【详解】解：设扇形的圆心角是

根据扇形的面积公式得：15万=在卫

360

解得n=150.

故答案是：150.

【点睛】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用.

12.（2023春・江苏苏州•九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，在0。中，半径。。垂直弦48于点

D，若OB=10,AB=16,则cosB=.

4

【答案】-##0.8

【分析】根据垂径定理得=再利用余弦的定义可得.

2

【详解】解：：半径OC垂直弦于点D,

BD=-AB=S,

2

.口BD84

BO105

4

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角函数的定义，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键.

13.（2022秋•浙江杭州九年级统考期末）如图，正段内接于OO,的半径为10,则初的弧长为

A

20K20

【答案】71

33

【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可.

【详解】：AABC是等边三角形，

AB=BC=AC,

^AB=BC=AC>

初的长等于。。周长的三分之一

。。的半径为10,

。。的周长=2xl0x7r=207i,

•••茄的长等于一，

故答案为：一

【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键.

14.（2022・湖南湘潭•校考模拟预测）如图，是。。的直径，C,。是。。上的两点，若NBCD=35°,则

ZABD=1

【答案】55

【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到乙4cB=90。，求出/BC。，根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：：/台是。。的直径，

AN4CB=90°,

•：ZBCD=35°,

：.ZACD=ZACB-ZBCD=55°,

二ZABD=ZACD=55°,

故答案为：55.

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等

是解题的关键.

15.（2023春・山东济南•九年级校考阶段练习）如图，。石是“3C的内切圆/的切线，BC=2cm,V/OE的

周长为4cm,则AASC的周长是cm.

【答案】8

【分析】首先根据题意可得O/与EC、ED,BC、BD分别相切，可得EG=EH,DH=DF,BF=BM,

CG=CM,根据BC=2cm,可得CG+B尸=2cm,三角形4BC的周长可化为△/££＞的周长+2倍8C的长度

求解.

【详解】解：/与EC、ED、BC、2D分别相切于G、H、M、F,

EG=EH,DH=DF,BF=BM,CG=CM,

EG+DF=EH+DH=DE,CG+BF=CM+BM=BC,

-：BC=2,AD+AE+DE=4,

;.^ABC的周长=/O+NE+(EG+Z)尸)+(CG+8/)+BC=(AD+AE+DE)+BC+BC=4+2+2=S.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了切线长定理，解答本题的关键是利用等量代换的方法来求解，这种解题方法是非常重

要的，应切实掌握.

16.(2022秋•四川广元•九年级校考阶段练习)如图，中，ZACB=9Q°,/C=8C=4,点E、尸是以

斜边为直径的半圆的三等分点，点尸是际上一动点，连接尸C,点M为PC的中点.当点尸从点£运

动至点产时，点M运动的路径长为.

【答案】6兀

【分析】令48、AC、BC的中点分别为点。、G、H,连接OP、OC、OG、OH、OM,易证ACOP为等腰三

角形，根据三线合一可得，则点M的运动路径为以OC为直径的询以，再证明四边形GCHO为正方形，可

得点M的运动路径为以GH为直径的半圆，即可求解.

【详解】解：令4B、AC.3c的中点分别为点。、G、H,连接。尸、OC、OG、OH、0M,

为。。直径，点。为中点，

OA=OP,

'：ZACB=90。，点。为45中点，

OC=-AB^OA=OP,

2

：.ACOP为等腰三角形，

•.•点〃■为尸C的中点，

/.OMVPC,则/OMC=90°,

.•.点M的运动路径为以OC为直径的揄8，

•.•点G、O、H、分别为/C、BC、N3中点，AC=BC=4,

：.GO//BC,GO=-BC=1,OH//AC,OH=-AC=2,

22

44cB=90。，

二・四边形GCHO为正方形，GH=V22+22=2V2，

：.OC=GH,/GOH=9。。,

・・・点M的运动路径为以GH为直径的半圆，

.・・&）H=]-.兀-26=6兀.

2

故答案为：41^■

【点睛】本题主要考查了求点的运动轨迹，解题的关键是正确作出辅助线，根据等腰三角形的性质，正方

形的性质以及圆周角确定点M的运动轨迹为以GH为直径的半圆.

三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（2023秋•福建莆田•九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点/（3,0）,点8（0,3）,“3C的内

心在无轴上，求直线NC的函数解析式.

【分析】设NC与y轴交于点。，根据点“(3,0),点8(0,3),可得“03是等腰直角三角形，再根据“BC

的内心在x轴上，可知平分/A4C,进而推出。(0,-3),最后利用待定系数法即可求解.

【详解】解：如图，设/C与了轴交于点D,

•.•点4(3,0),点8(0,3),

OA=OB=3,

.­•小。5是等腰直角三角形,

4/0=45。，

的内心在x轴上，

・•・OA平分NBAC,

ZDAO=ZBAO=45°,

ZDAO=ZADO=45°f

OA=OD=3,

・•・0(0,-3),

设40的函数表达式为〉=履+6,

3k+b=Q

将/(3,0)和。(0,-3)代入，可得

b=-3

k=l

解得

b=-3'

■■4D的函数表达式为y=x-3,

即直线ZC的函数解析式为了=x-3.

【点睛】本题考查三角形的内心，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等，掌握三角形内心

的性质是解题的关键.

18.(2023秋・湖北荆门•九年级校考期末)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，

需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)若这个输水管道有水部分的水面宽48=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径；

(2)在(1)的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm,

问此小船能顺利通过这个管道吗？

【答案】(l)10cm

(2)能顺利通过

【分析】(1)过。作于。，交弧48于E,连接08,根据垂径定理得到=xl6=8cm,

然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解.

(2)连接设MF=6cm,可求得此时OF的高，即可求得。尸的长，比较13cm,即可得到此时小船能

顺利通过这个管道.

【详解】(1)解：过。作于。，交弧于E,连接08.

OELAB,

:.BD=-AB=-^\6=8cm,

22

由题意可知，ED=4cm,

设半径为xcm,则OD=(尤-4)cm,

在RM80D中，由勾股定理得：

OD2+BD2^OB2

.-.(%-4)2+82=%2

解得x=10.

即这个圆形截面的半径为10cm.

(2)如图，小船能顺利通过这个管道.理由：

连接OM,设MF=6cm.

■：EFLMN,(W=10cm,

在RtAMOF中，OF=y/OM2-MF1=8cm

DF=OF+OD=8+6=14cm

14cm>13cm,

，小船能顺利通过这个管道.

【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理的应用.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合

思想与方程思想的应用.

19.(2022秋・山东德州•九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点/、B、C.

(1)请在图中标出圆心尸点位置，写出点尸的坐标；。尸的半径为

⑵判断点M(-2,1)与。尸的位置关系；

(3)若扇形PNC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积.

【答案】⑴尸(2,-1),275

⑵点加在。尸上

陪

【分析】（1）根据点P在线段/夙8C的线段垂直平分线上确定点P的坐标，再根据勾股定理求出产/的长

即可；

（2）利用勾股定理求出9的长，再与半径进行比较即可得到答案；

（3）先利用勾股定理的逆定理求出NNPC=90。，再根据扇形的弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，求出

圆锥的底面半径即可得到答案.

【详解】（1）解：如图，点尸为所作，

点坐标为（2，-1）,

故答案为：2曲•

（2）解：二•尸（2,-1）,M（-2,l）,

PM=J（-2-2）2+[1-（-1）]2=2石，

的长等于圆的半径，

...点M在。尸上；

（3）解：PA=PC=25/C=荷+（1一3『=2丽，

PA2+PC2=AC2,

△尸/C为直角三角形，ZAPC=90°,

设该圆锥的底面圆的半径为尸，根据题意得2万不=9。义小x26

180

解得〃=好，

2

，y—\2

.♦•该圆锥的底面积=1x|空=—,

I2J4

故答案为：吟577.

4

【点睛】本题主要考查了确定圆心的位置，勾股定理，坐标与图形，求圆锥底面圆面积，弧长公式，勾股

定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

20.（2023秋•江苏南京•九年级统考期末）如图，在。。中，AB=AC.

⑴若/SOC=100。，则蕊的度数为.

⑵若48=13,8c=10,求。。的半径.

【答案】（1）130

169

(2)----

*'24

【分析】（1）连接。4,已知400=100。，08=0。，得到/区4。=50。，=，结合力5=4。,

得到43c=/BC4=65。，得到43。=25。，结合。4=03,即可求得方的度数；

（2）连接O/并延长，交BC与H,已知/8=ZC,OB=OC,得至BH=-BC=5,在

2

中，求得/8=12,设OA=OB=r,贝|。〃=12-r,在RtZkOHB中，根据勾股定理即可求得。。的半径.

【详解】（1）解：连接。4,

在O。中,

VZBOC=100°,OB=OC,

：.ABAC=50°,NOBC=AOCB=40°,

VAB=AC,

：.ZABC=ZBCA=65°,

：.ZABO=ZABC-/OBC=65°-40°=25°,

OA=OB,

：.ZABO=ZBAO=25°,

：.ZAOB=\80°-AABO—//OB=180。—25。—25°=130°,

故答案为：130

(2)解：连接CM并延长，交BC与H,

VAB=AC,OB=OC,

：・AH上BC,BH==BC=5,

2

在中，ZABH=90。,

•*-AH=YIAB2-BH2=A/132-52=12,

设CM=OB=v，贝i」O"=12—r,

在RtLOHB中，/OHB=90°,

BH2+OH2=OB2,

：.52+(12-r)2=r2,

169

••r=----,

24

OO的半径为1子69

24

【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解

题的关键.

21.(2023・辽宁大连•模拟预测)如图，星海湾大桥是大连壮观秀丽的景点之一，主桥面(N3)是水平且笔直

的，此时一个高1.6m的人(CD)站在C点望该桥的主塔防，此时测得点。关于点尸的俯角为35。，关于点

E的俯角为75。，已知主塔/E=5尸=114.3m,而为该桥的主缆，与线段DF交于3的中点G.

(1)请在图中作出关于苏所对应圆的圆心。并补全加所对应的圆(尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作

图过程)；

(2)若关于际所对应圆的半径为尺，求际的长(用含有万，R的代数式表示)；

(3)求星海湾大桥两座主塔之间的距离(结果取整数).

(参考数据:sin55°a0.82,cos55°~0.57,tan55°«1.43,sin15°«0.26,cosl5°«0.97,tan15°«0.27)

【答案】(1)见解析

-(39

(3)星海湾大桥两座主塔之间的距离为192m

【分析】(1)连接EG,作EG和FG的垂直平分线，相交于点。，点。即为所求，再以点。为圆心，OE长

为半径，画圆即可；

(2)连接可得N£OG=70。，根据点G为0中点，即可得出乙£。9=NNEOG=7彳0。，再根

据弧长公式，即可求解；

(3)过点。作”的平行线，交NE于点交好于点N,根据题意可得==再根

据EF=MN=MD+ND,即可求解.

【详解】(1)解：如图所示：

(2)连接尸。G,

•・•/£尸G=35。，

・・・/EOG=70。,

•・•点G为苏中点，

・•・/EOF=N/EOG=740。,

(3)过点。作ZB的平行线，交AE于点、M,交BF于点、N,

・.・AE±AB.BE±AB.MN//AB,

AEVMN.BEVMN,

・.,/FED=7T/EFD=牙0,

.・./MED=1大,/NFD="0,

:=B/=114.3m,CD=1.6m,

・・.EM=FN=〃彳/-N7(m),

DM=EM-tan/MED=ZZZ.7xtanZT,DM=FN,tanZNFD=虑.7xtan",

.・.EF=7W=ZZZ.7xtan/7o+//Z.7xtan^o=/Z£.7x(tanZ5o+tan/7°)«Z<?Z(m).

答：星海湾大桥两座主塔之间的距离为192m.

【点睛】本题主要考查了确定三角形的条件，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握不在同一直

线上的三个点确定一个圆，三角形外接圆的圆心为三条垂直平分线的交点；同弧或等弧所对的圆周角是圆

心角的一半；弧长=黑；以及解直角三角形的方法和步骤.

180

22.(2023•河北邯郸・统考模拟预测)如图，在“8C中，ZACB=90。,。是边8C上一点，以。为圆心，OB

为半径在3C边的右侧作半圆O,交A8于。点，交BC于P点、.

(1)若8C=2,当C。取最小值时，求0c的长；

(2)已知C0=C4：

①判断C。与半圆。的位置关系，并说明理由；

②若08=5,BQ=6亚,求tan/CQ/的值以及N。的长.

【答案】(1)1

(2)①相切，理由见解析；②tan/CGU=2,N0=4。

【详解】(1)解：如图所示，

当取最小值时，CQVAB,连接。。，

OB=OQ,贝ljNO5Q=NOQ5,且Z80O+NO0尸=90。，

在RtAAPQ中，ZBPQ+ZPBQ=90°,

ZOPQ=ZOQP9即00=0尸，

・・.。。是圆。直径5尸的一半，且/ACB=/BQP=90。,

・,•圆。直径8尸与Rt△力5。直角边重合，即P点与。点重合，。是5C的中点,

*/BC=2,

：.OC=1.

(2)解：①与半圆。相切，理由如下:

如图所示，连接。。，

•：OB=OQf

：.ZB=ZOQB,

•：CQ=CAf

：.ZCQA=ZA,

,・•4+4=90。，

・•・ZOQB+ZCQA=90°f

：.ZOQC=180。—(/0。+NCQA)=90°,

・・・C0与半圆O相切；

②如图所小，连接P0,OB=—,BQ=6A/5,

B

由题意得，BP=2OB=2x'=15,BQ=6#,

•；BP是直径,

：.ZBQP=90°,

：.PQ=-BP=-x6y[5=3y[5f

22

・.・ZPQA+ZA+/PCA+ZCPQ=360°,

ZA+ZCPQ=180°f

・.・ZCPQ+ZBPQ=ISO°,

：.ZA=ZBPQ,

•：CQ=CA,

：.ZA=ZCQA,

・・.tanZCQA=tanZBPQ=器=2,

如图所示，过。作CD,48于。，

-：CQ=CA,

QD=DA,设QD-a,

tanZ-CQA-2,

：.CD=2a,

•：ZPQB=ZCDB=90°f

：.PQ//CD,

：.ZBPQ=ZBCDf

tan/BCD=tanZ-BPQ=2,

BD=4a,

/.BQ=3a=6y/5，

:・a=2也，

/.AQ=445.

【点睛】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握切线的求证方法，正切的计算方法，直角三角形的性质是

解题的关键.