基于学生提出问题能力培养的数学写作探究

摘要：培养学生发现问题与提出问题的能力乃教育的重中之重，然而学生能在课堂上提出问题，对师生双方来说都是挑战。为此，教师可通过数学文化、数学应用、解题欣赏、学习心得等四个方面数学写作培养学生提出数学问题的能力。关键词：数学写作；提出问题；高中数学《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确，要提高学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。由于提出问题对激发学生学习兴趣、培养学生创新意识和创新思维有独特价值，因此，培养学生发现问题与提出问题的能力受到了教育工作者的广泛关注。提出问题，是在已经发现问题的基础上，采用恰当的数学语言和符号对问题进行进一步的数学抽象，并在特定的逻辑线索和数学关系中，将问题用数学语言表达出来。学生要进行数学表达、数学交流，其中一个有力工具就是数学写作。毛光寿、陈重阳认为数学作文是指学生通过对自己数学知识经验进行反刍、回味、整合、理解和领悟，进而再加工、再发现、再创造［1］。数学写作有别于课堂教学，它可以不受空间与时间的限制，为学生提供更加自由的探究、想象和创新平台。写作过程其实就是学生思维动态发展的过程。学生围绕一个写作主题，在已有的认知结构结点上联结新知识、新信息，经过思考，不断梳理、更新、整合、完善，进而建立更广泛深刻的知识网络，从而解决新问题或提出新问题、总结新知识。有研究表明，学生在数学写作过程中能够学会自主学习，能够独立思考、查阅文献、搜集信息、归纳概括，进而发展敢于发现、提出问题等能力［2］。基于此，本研究从数学写作视角探究培养学生提出问题能力的策略。笔者结合教学实践，将数学写作分为数学文化写作、数学应用写作、解题欣赏写作以及学习心得写作等四大类，下面从这四个方面具体论述如何借助数学写作提高学生发现问题和提出问题的能力。一、數学文化类写作数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动［3］。它不仅是数学本身的文化内涵，还是数学思维与数学文化的融合，从而成为人们生活中不可或缺的一部分。2019年人教版普通高中数学教材开设的文献阅读与数学写作栏目中，就有不少关于数学文化的题材，如“函数的形成与发展”“对数概念的形成与发展”“几何学的发展”等。给定写作主题，能够让学生有目的、有方向地写作，但同时也产生了一个问题——如果每次数学写作都告诉学生写什么，那么学生又走上了一味地去解决别人提出的问题的老路，难以提高发现问题的能力。在平时学习课本上的知识时，少有学生问为什么要学习数列、正弦定理这样的知识，而研究的过程却能告诉学生为什么要走这条路、这条路还有哪些地方没人去过，说不定在探索的过程中还有意外的收获，这是学生仅通过课堂学习达不到的。丘成桐先生曾说：“近40年来，中国的数学发展很快，但还是不满意，最大的问题是人们解决问题，不是自己提出问题。”因此，笔者在组织拔尖学生开展数学文化类的写作训练时，从给定主题的数学文化类写作与自主选题的数学文化类写作两方面入手。关于自主选题的数学文化类写作，通过结合学生已有的数学写作情况，笔者归纳出几种选题思路。第一种是从课本选题。例如，陈同学在学习复数的知识时，受到课本中“函数的形成与发展”数学写作的启发，自己提出一个研究的方向——复数的形成与发展，接着通过查阅书籍与上网搜索相关资料，弄清楚复数的来龙去脉，将其写成一篇文章，并录制视频，在课上展示，得到了教师和其他同学的一致好评，这节课也被评为“一师一优课”的优秀案例。以下是作文片段。复数由实践的需要而产生，随着社会的不断发展，又在数学、力学、电学中不断得到应用，成为被广泛使用的一种数学工具。然而历史上引进虚数，把实数扩充到复数可不是件容易的事，足足经历了漫长的三百年，经过众多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得虚数揭去了神秘的、不可思议的面纱，显现出它的本来面目。请同学们通过查阅书籍、上网等方式了解复数的发展历程及其广泛应用，并用文献综述的方式形成读书报告，在班上分享交流。第二种是从习题选题。郑同学在做题时遇到了好几道以《九章算术》为背景的数列题，于是他利用课外时间整理了《九章算术》中关于数列的题目，撰写了一篇题为《〈九章算术〉中数列题鉴赏》的文章，在班级中广泛传阅。第三种是从数学游戏中选题。曾同学的数学写作来源于“汉诺塔游戏”。他挖掘了“汉诺塔游戏”中蕴含的递推数列问题，由于他对编程很感兴趣，由递推数列联想到编程中的递归思想，将“汉诺塔游戏”进行了编程。以下是作文片段。在一节数学课上，老师组织我们玩“汉诺塔游戏”。这个游戏我小时候也玩过，不过当时挪动的环片比较少，自己多尝试几次就可以完成任务。而老师要求我们挪动64片环片，单靠尝试摸索估计要耗费很长时间。数学老师曾经说过：研究复杂的数学问题时，可以从简单的情况入手，由特殊到一般。于是我先从最简单的1片入手，然后研究2片、3片、4片……得到以下表格。[圆盘个数挪移次数挪移规律1挪移规律21111231[×2+1]2[×2-1]373[×2+1]2[×2×2-1]4157[×2+1]2[×2×2×2-1]53115[×2+1]2[×2×2×2×2-1]…………]从表格中发现每一次挪动环片都与上一次挪动环片有联系，类似于我们刚学不久的递推数列。假设移动n片环片所需要的最小移动次数为an，满足递推关系a1=1，an=2an-1+1（n≥2）。这里渗透着一种递归的思想，其算法归结如下……二、数学应用类写作蔡金发教授认为，数学问题提出应该是支持教师和学生的具体活动，使他们能够根据特定的情境（即问题背景或情境）形成或重新形成数学问题或任务。笔者在实际教学中按照“阅读材料，提出问题”“筛选问题，达成共识”“数学建模，解决问题”“归纳总结，拓展延伸”等四个步骤指导学生开展指向问题提出能力培养的数学应用类写作。下面以测量距离问题（平面）的数学写作为例展开说明。（一）阅读材料，提出问题教师在上写作课前，布置学生查阅书籍以及上网了解几何学中测量的发展历史。课始，教师展示材料：湖南岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一。其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖，下瞰洞庭，前望君山。始建于东汉建安二十年（215年），历代重修，现存建筑沿袭清朝光绪六年（1880年）重建时的形制与格局。北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世，有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉。接着教师提问：那么，岳阳楼有多高呢？并向学生提出要求：阅读时尝试从不同角度去思考，提出自己的问题并将其写下来，和同学交流。以岳阳楼的高度为背景引入课题，能够激发学生的数学学习兴趣。在自主提问阶段，学生不仅需要理解阅读材料的字面意思，还需要对这些知识进行提炼、挖掘、拓展，这样才能提出新的问题。正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，每一名学生看待事物的角度不同，可以提出的问题也不同，从而实现个性化学习。（二）筛选问题，达成共识学生经过思考后提出了各种各样的问题。为了使学生的研究更集中、效率更高，教师组织学生进行小组交流讨论，每个小组筛选出两个最有价值的问题。紧接着，各小组派代表上台分享本小组的两个问题。各小组进行角逐，层层筛选，最终整理出以下三个问题。已知A为岳阳楼主体的顶部，B为主体的底部。1.请你画出岳阳楼的平面图。2.请你利用所学的三角知识，利用测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）等工具测量岳阳楼主体的高度，给出必要说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出计算公式。3.某学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际高度有误差，请你针对误差情况进行说明。图1岳阳楼的主体在“阅读材料，提出问题”环节，学生针对阅读材料提出了问题，学生的思维得到了发散，他们有很多想法，能提出各种各样的问题。为了使数学问题更集中，教师引导学生小组内部交流探讨，剔除与本课题关系不大的问题，从而使得接下来的研究效率更高，更好地服务于数学写作。（三）数学建模，解决问题第一种方案：测量并记录测量工具距离地面的高度h；用测角仪，将一边对准楼的顶部A，计算并记录仰角[α]，后退a，再用测角仪对准楼的顶部A测得仰角[β]，此时可求楼的高度（如图2所示）。图2第一种方案示意图由图可知AC=[atanαtanβtanα-tanβ]，故AB=[atanαtanβtanα-tanβ]+h。实际测量的各数据如表1所示。表1第一种方案测量所得数据[第一次第二次仰角大小67°52°]后退距离为6m，人的“眼高”为1.5m，计算可得岳阳楼的高度约为18.32m，结果与期望值19—20m相差不大。第二种方案：测量并记录测量工具距离地面的高度h，将平面镜置于平地E处，人后退至从镜中能够看到房顶A的位置，测量人与镜子的距离a1；将镜子后移a至F处，重复前面的操作，测量人与镜子的距离a2，此时可求楼的高度（如图3所示）［4］。图3第二种方案示意图由相似三角形可得[ha1=ABBE]且[ha2=ABBF]，因此BE=[AB×a1h]，BF=[AB×a2h]，故a=[AB×a2h]-[AB×a1h]即AB=[aha2-a1]。实际测量的各数据如表2所示。表2第一种方案测量所得数据[第一次第二次人与镜子的距离/m3.844.91]镜子的相对距离为12m，人的“眼高”为1.52m，计算可得岳阳楼的高度约为17.05m，结果与期望值19—20m相较大。接下来是误差分析。第一种方案产生误差的原因是量尺、测角仪测量时读数有误差。减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再取平均值。第二种方案产生误差是因为镜面放置不能保持水平，两次放镜子的相对距离太短；人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，人体不一定在两次测量时保证高度不变，减少误差的方法是多测量几次，再取平均值。将立体图形平面化，是解决几何问题的常用方法；再结合平面几何的知识进行推理运算，在推理中寻找规律，最终解决问题，提高了学生解决问题的能力。（四）归纳总结，拓展延伸将整个数学建模的过程用文字方式记录下来，并加以总结，适当拓展。比如教师可以提问：某同学完成后，提出了新问题“请结合自己所学的三角、平面几何知识想想，你是否还有其他的测量计算方法？”，你的问题又是什么呢？请提出问题后，一起和同学交流解决。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”一个好的数学问题就好比一把利剑，学生用它在荆棘遍布的科学丛林中开辟出一条新的道路，探索出一片新的领域。所以，在数学应用类写作的结尾仍需鼓励学生提出更多的好问题。最后要求学生整理以上研究过程，将自己的所感所得用文字记录下来，形成一篇数学应用类报告。三、解题欣赏类写作解题欣赏类的写作不同于解题，它可以把学生解题的过程可视化于书面上，一方面通过写作促进学生再认识、再总结解题过程，甚至在解题欣赏中灵光一现，发现并提出新的问题；另一方面帮助教师评价学生对数学知识的理解水平和潜在能力等，发现存在问题或困难，这有利于教师调整完善教学。吕传汉、汪秉彝及其团队针对“数学情境与提出问题”教学从理论到实践进行了较为系统的研究，发现情境不仅能激发学生学习数学的兴趣，还能让学生产生认知冲突，唤起问题意识、促使学生提出数学问题［5］。因此，笔者布置解题欣赏类写作时，尝试设计一些具体的问题情境（如下所示）。校学生会希望调查学生对食堂饮食的意见，你自愿担任调查员，并打算在学校里抽取12%的同学作为样本。（1）怎样安排抽样可以提高样本的代表性？（2）在调查抽样中你可能遇到哪些问题？（3）你打算怎么解决这些问题？……教师抛砖引玉，学生自由发挥。慢慢地，学生在写作的过程中，不仅学会解题，还学会通过观察、类比、猜想等，自己提出一些新的问题。比如在解三角形时，运用正弦定理求角度时会出现无解、一解甚至两解的情况，很多学生分辨不清，为了解决这个问题，笔者设计了以下数学写作练习。在正弦定理的应用过程中，我们碰到有无解、一解、两解的情况，最终有多少个解是由题目条件决定的。请同学们通过列举三道例题，总结什么题型会出现无解、一解、两解，并进一步总结归纳三角形解的个数的决定因素。最后你能结合以上发现，对初中所学的“SSA不能判定三角形全等”做出解释吗？学生作品片段如下。解的个数问题今天，我做了这样三道题，发现答案有两个解的，有无解的，有唯一解的。这三道题目，它们都是“己知三角形的两边及其中一边的对角，求其他边和角”类型的。以已知a、b、A，解三角形为例。按照一般解题过程，利用正弦定理计算出另一边所对角的正弦值，即[sinB=bsinAa]，由此得出角B，再用三角形的内角和定理算出第三个角，[∠C=180°-][∠B][-][∠A]。接着利用正弦定理算出边[c=asinCsinA]即可。为什么会出现三种情况呢？什么情况下出现两个解，什么情况下出现唯一解，什么情况又无解呢？决定要素具体是什么呢？由此我拿着三道题去请教老师，在老师点拨下我进一步思考得以下结论。[已知两边和一对角（SSA）]根据老师提示“抓住三角形的特点”，我查阅了三角形的特点有“大边对大角，大角对大边”“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，由此一个想法闪过：“大边对大角，大角对大边”可以验证……从学生的写作中可以看出，该生从三个具体的数学例子得到启发，探究出了三角形解的个数的规律。更难能可贵的是，在写作过程中，该生自己提出问题、探究问题、解决问题。整篇文章逻辑严密，很有价值。四、学习心得类写作学习心得类写作指的是用文字语言将自己的学习所得、学习所感记录下来。这类写作，能够搭建起学生与知识的桥梁，让学生与自己的内心进行一场深度对话。学生用文字分享自己对知识的