四川省某中学2024-2025学年高一年级上册入学测试数学试题

雅安中学高2024级入学测试

数皿「学、、九

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.不等式2炉一%—1<°的解集是（）

AJ—L；]B.（-1,2）C[-J1]D.（—2,1）

【答案】C

【解析】

【分析】利用了一元二次不等式的解法求解.

【详解】解：不等式2尤2—X—1<0,可化为（x-l）（2x+l）<0,解得—L<X<1,

2

即不等式2f—%—1<0的解集为

故选：C.

2.在平面直角坐标系中，点+1,2）关于原点对称的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】由疗+1>0,可知点p"+l,2）在第一象限，则点。（疗+1,2）关于原点对称的点在第三象

限.

【详解】因为W+l>0,

所以点P2+1,2）在第一象限，

所以点尸（7^+1,2）关于原点对称的点在第三象限.

故选：C

3.若y=（4—x+Jx—4+2,则x，的值为（）

A.8B.16C.-8D.-16

【答案】B

【解析】

【分析】根据根式的性质可得x=4,进而可得y=2,代入即可求解.

【详解】由4—xNO且x—420可得x=4,故y=2,则送=42=16,

故选：B

4.已知一组数据8,5,无，8,10的平均数是8,以下说法错误的是（）

A.极差是5B.众数是8C.中位数是9D.方差是2.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数解得了=9,将数据按升序排列，根据极差、众数、中位数和方差逐项分析判断.

_1

【详解】由题意可知：%=-（8+5+^+8+10）=8,解得x=9,

将数据按升序排列可得：5,8,8,9,10,则有：

极差为10—5=5,故A正确；

众数是8,故B正确；

中位数为8,故C错误；

方差为S2=,,5—8）2+（8—8）2+（8—8『+（9—8）2+（10—]=2.8,故D正确；

故选：C.

5.在四边形A3CD中，AD//BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABC。为矩形的是（）

A.ABHCDB.AD=BCC.ZA=ZBD.ZA=ZD

【答案】C

【解析】

【分析】根据矩形需满足的条件，对四个选项逐个判断即可.

【详解】

对于A,由A5//CD,AD//BC,则四边形ABCD为平行四边形，但由=CD不能判定四边形

ABCD为矩形，因此A不正确;

对于B,由AD//5C,AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形，但由A5=C。不能判定四边形

ABCD为矩形，因此B不正确;

对于C,由AD/ABC,则NA+NB=180°，又NA=NB，所以NA=NB=90°，「.ABSAD，

AB±BC,

所以A3的长度为与BC两平行线间的距离，又A5=CD,.•.CDLAO,CD1BC,因此

NC=ZD=90°，

故四边形ABCD为矩形，因此C正确;

DC

AB

对于D,由AD//6C,则NA+NB=180°，NC+ND=180°，又NA=ND，所以4=NC，又

AB=CD,

则四边形ABC。可能为等腰梯形，因此D不正确;

D

故选：C.

6.已知直线y=3x+a与直线y=-2x+b交于点尸，若点P的横坐标为—5,则关于x的不等式

3x+a<—2x+b的解集为（）

A.x<—5B.x<3C.x>—2D.x>-5

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意求出b-。，再解一元一次不等式即可.

【详解】由题意，3义（一5）+。=—2x（—5）+Z?,即一25=b—a,

由3x+a<-2%+》可得5x<6-。=一25,解得l<-5.

故选：A

7.如图，建筑物CD和旗杆48的水平距离BD为9m,在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角a为30。,

旗杆底部8的俯角B为45。，则旗杆AB的高度为（）

A

讣、C

A.372B.3A/3C.372+9D.3G+9

【答案】D

【解析】

【分析】构造直角三角形，利用三角函数的知识求旗杆A3的长度.

【详解】如图，BD=9,户=45°,则四边形班）CE是正方形，

所以BE=CE=9,在中，0=30°，

所以AE=EC-tan300=9x—=3y/3,

3

所以=AE+BE=9+3g.

8.若关于尤的不等式组〈八的所有整数解的和是6,则根的取值范围是（）

x-m<0

A3<m<4B.3<m<4C.3<m<4D.3WmW4

【答案】B

【解析】

【分析】首先解不等式组，利用机表示出不等式组的解集，然后根据不等式组所有整数解的和是6,即可求

得m的范围.

3-2x<1fx>l

【详解】由不等式组＜八，得＜得14xV

x-m＜0[x＜m

因为所有整数解的和是6,则由1+2+3=6,即整数解为1,2,3,

所以加的取值范围是3〈根＜4.

故选：B.

k

9.如图，在直角坐标系中，四边形Q46C为正方形，且边3c与y轴交于点反比例函数y=—(kwo)

X

的图像经过点A,若。f=且S^OBM=二，则上的值为()

【答案】D

【解析】

【分析】先设正方形。钻C的边长为。，4(%,%),然后利用题中条件解出。，然后再利用，

2k

tanZCOM=-,ZCOM=ZAOx,求出点A坐标，代入函数y=—(左wO)求解即可.

3x

【详解】设正方形Q43c的边长为a,因为。0=

则3M所以S-OB”=Lx』axa=U

3235

解得a=J生

V5

由题可知，tanZCOM=-,ZCOM=ZAOx

3

所以tanNAOx=2,又因为。4=J"，

3V5

X=2

所以有<，%>o，x>0

22_78

%+%=《-

3廊

X=

解得《>­二，

2V30

r=­

因为y=~(k丰0)的图像经过点A

所以有％=一k，解得左=36卫.

占5

故选：D

10.若关于x的方程炉―4公+34=。的一根小于1,另一根大于1,那么实数。的取值范围是()

1,1

A.一<4Z<1B.41>1C.<7<—D.4Z=1

33

【答案】A

【解析】

【分析】结合二次方程根的分布讨论函数零点，只需/(l)=a—4a+3a2<0,解不等式即可.

【详解】由题：关于x的方程9一4依+34=。的一根小于1,另一根大于1,

记函数/(x)=%2—4依+3片，则函数的两个零点一个小于1,另一个大于1,

此二次函数开口向上，只需/(I)=l2-4a+3a2<0即可，

即(3a-1)(a-1)<0,

解得：—<a<1.

3

故选：A

【点睛】此题考查根据二次方程根的分布求参数的取值范围，转化为二次函数结合函数图象特征简化运算.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.因式分解：3m2—6m=-

【答案】3m(m-2)

【解析】

【分析】利用提取公因式法进行因式分解，即得答案.

【详解】由题意得3帆2—6加=3加（加—2）,

故答案为：3m（m-2）

12.大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则

还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是

【答案】51人或59人

【解析】

【分析】设全班同学分成x个小组，根据题意，列出不等式组运算求解.

【详解】设全班同学分成了个小组，则该班有学生（8九+3）人，由题意得,

-8x+3-9（x-l）<7

，解得5＜九＜8,九eZ,

8x+3-9（x-l）>4

，x=6或7,

当x=6时，8x+3=5L

当％=7时，8x+3=59,

所以该班的学生人数是51或59人.

故答案为：51或59人.

13.如图，VA3C是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与VA3C的三边相切，已知

AB=10m,AC=8m,5C=6m.若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为

__________________.（兀取3）

【解析】

【分析】根据给定条件，确定三角形形状并求出圆形水池及三角形面积即可得解.

【详解】在VABC中，由AB=10m,AC=8m,3c=6m,AC2+BC~=100=AB2>贝!1

ZC=90°，

设圆形水池与VA3C的三边相切的切点分别为。，及尸，令圆形水池的圆心为。，连接OD,OE,OF,

则AD=AE,CD=CF,BE=BF,又O£>，AC,OF，5C,于是四边形CDOE是正方形，

由2CD=CD+。尸=AC—AD+3C—=AC+3C—（AE+BE）=AC+3C—AB=4,

得CD=2,因此圆形水池的半径r=CD=2m,面积S'=兀/=12,

is'1

而VA3C的面积S=-ACBC=24,所以树叶落入水池的概率P=—=-.

2S2

故答案为：一

2

A

CFB

2

14.设%,x2是一元二次方程x-3%-2=0的两个实数根，则片+3X/2+的值为.

【答案】7

【解析】

【分析】由根与系数的关系得到玉+々=3,占々=-2,又X；++第=（玉+%y+的龙2，代入即可

求解.

【详解】由与是一元二次方程/—3%—2=0的两个实数根，

则%+/=3,xxx2=-2,

又才+3%龙2+%；=（玉+%2）2+%％2-32-2=7.

故答案为：7.

15.己知三点（。,加）、（瓦〃）和（c#）在反比例函数y（5>0）的图象上，若a<0<b<c,则一、

〃和f的大小关系是.（用连接）

【答案】m<t<n

【解析】

【分析】根据反比例函数的图象性质，由横坐标坐标的大小确定即可确定纵坐标的大小.

【详解】•.•左>0,

•♦•反比例函数图象在一、三象限，且都是随着自变量的增大而减小，

且a<0<b<c,所以"z<0</<〃，即根

故答案为：m<t<n.

16.二次函数丁=依2+桁+4。>0)的顶点为「，其图像与X轴有两个交点A(—m,0),5(1,0),交了轴

于点C(0,-3aHi+6。)以下说法中正确的是()

A.m=3

B.当NAP5=120°时，tz=—

3

C.当NAP3=120°时，抛物线上存在点M(M与尸不重合)，使得AABM是顶角为120°的等腰三角形

D.抛物线上存在点N,当△ABN为直角三角形时，有

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】二次函数丁=以2+法+。与x轴有两个交点A(一根,0),5(1,0),交>轴于点C(0,-3々〃+6。)

am2—bm+c=0

代入抛物线<a+0+c=0，

c=-3am6a

解方程组"2=巴心，可得6=2。可判断A；

a

由加=3,可得抛物线解析式为y=a(x+3)(尤—l)=a(x+l)2—4a,抛物线的顶点P(—l,Ta)由

ZAPB=120°;可求/口43=/尸64=弛二幺竺=30°,由尸G=AG•tan/P4G=毡，可判断

23

B；

先在第一象限内作NABM=120°,AB==4求出点M(3,26)代入抛物线验证可判断C；

由点N在抛物线上，AABN为直角三角形，ZANB=90°-以AB为直径作OG,点N在OG上，QG

与抛物线有交点，交点就是点N,当点尸在0G上或0G外，抛物线与0G只有3个交点，或4个交点,

存在直角三角形，可得GP22即4a22,解得可判断D.

2

【详解】对于A选项：因为二次函数丁=依2+法+。与X轴有两个交点A(一肛0),3(1,0)交y轴于点

C(0,-3am+6a),

am1-bm+c=0

所以＜〃+b+c=0,所以加二"2,解得b=2〃,

c=-3。am+b,aQ

a+ba+2a「

m------=--------=3,故选项A正确；

aa

对于B选项：如下图所示：

■：m=3,AA(-3,0),设抛物线解析式为y=a(x+3)(x—l)=a(尤+炉—4a,.•.抛物线的顶点

P(—l,Ta),8两点关于对称轴对称，ZAPB=120\：-PA=PB，

NPAB=ZPBA=18°—4APB=30。，设抛物线的对称轴与x轴交于G,则

2

PG±AB,PG=AGtanZPAG=2x—=—,

33

：.而=正，：,a=2,故选项B错误;

36

在第一象限内作ZABM=120°,AB=BM=4,过点M作闻H，1轴于H,

:.ZMBH=180°-ZABM=6()>所以

MH=BM.sin/MBH=4x与=25BH=BM•cos/MBH=4xg=2，所以点M（3,26），当

x=3时，y=2^（x+3）（x—1）=器x（3+3）x（3_1）=2®，

...点M在抛物线上，点M关于抛物线的对称轴对称点M'也在抛物线上，故选项C正确；

对于D选项：如下图所示：

:点N在抛物线上，44乳为直角三角形，NANB=9。，以AB为直径作。G,点N在0G上，

0G与抛物线有交点，交点就是点N,当点p在。G内，抛物线与。G只有两个交点，不存在直角三角

形，当点P在0G上或0G外，抛物线与0G只有3个交点，或四个交点，存在直角三角形，所以

GP»2即4a22解得故选项D正确.

2

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：利用抛物线的性质，抛物线内接等腰三角形，内接直角三角形，锐角三角函数，以

及辅助圆的点与圆的位置关系解题是关键.

三、解答题（本大题共5个小题，共52分）

17.（1）计算：2sin60°+（—g]+|V3-2|-（7i-3）°

（12）4-x

（2）先化简，再求值：x+2-----—卜-,其中x=A/2-4-

Ix-2Jx-2

【答案】（1）10；（2）—尤―4,_72

【解析】

【分析】（1）根据特殊角的三角函数、整数指数塞的运算性质及绝对值的性质可求代数式的值；

（2）通分后可求代数式的化简结果，从而可求当x=4时对应的值.

【详解】(1)原式=2sin60°+，g]+|T3-2|-(7i-3)°

=2x#+9+2—3—1=10.

4-xx2-164-x

(2)x+2-二-(x+4).

x—2x—2x—2

当％=&—4，原式=—（四—4+4）=—四.

18.某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，8种零食进价为每件5元，在

销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件2种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种

零食共付款60兀.

（1）求48两种零食每件售价分别是多少元？

（2）若该零食店计划A、8两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购

进A、B两种零食有多少种进货方案？

（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）15,10；

（2）答案见解析；（3）购进A种零食52件，购进8种零食48件，获利最大，最大利润是604元.

【解析】

【分析】（1）设A种零食每件的售价是尤元，B种零食每件的售价是y元，再列出方程组求解即得.

（2）设购进A种零食机件，则购进8种零食（100-桃）件，列出不等式组并求解即得.

（3）求出（2）中每种方案所获利润，再比较大小而得.

【小问1详解】

设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元,

3x+2y=65x=15

依题意,解得《

2x+3y=60y=10

所以A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元.

【小问2详解】

设购进A种零食机件，则购进8种零食（100-加）件，

由进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，

f8m+5(100—m)<656

得《,解得50<相<52,

[(15—8)m+(10-5)(100-in)<600

而相为整数，则，〃可取50,51,52,因此购进A、B两种零食有3种进货方案：

①购进A种零食50件，购进8种零食50件；

②购进A种零食51件，购进B种零食49件；

③购进A种零食52件,购进B种零食48件.

【小问3详解】

设获利w元，

当购进A种零食50件，2种零食50件时,w=(15—8)x50+(10—5)x50=600(元)，

当购进A种零食51件，8种零食49件时，w=(15-8)x51+(10-5)x49=602(元),

当购进A种零食52件，8种零食48件时,w=(15—8)x52+(10—5)x48=604(元)，

而600<602<604,

所以购进A种零食52件，B种零食48件，获利最大，最大利润是604元.

19.如图，一次函数,=履+双左/0)与反比例函数y=0(awO)的图象在第一象限交于A3两点，A点

X

的坐标为(m,6),3点的坐标为(2,3),连接Q4,过台作轴，垂足为C.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)在射线CB上是否存在一点。，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的。点坐标.

【答案】(1)y=-,y=-3x+9；

X

(2)豆，3或(19,3)

【解析】

【分析】(1)根据反比例函数所过的点可求。，再求出A的坐标后可求一次函数的解析式.

(2)就不同的直角顶点分类讨论后结合直角三角形的性质或距离公式可求。的坐标.

小问1详解】

•.•点8(2,3)在反比例函数y=三的图象上，a=3x2=6,

...反比例函数的表达式为y=-,

X

:点A的纵坐标为6且点A在反比例函数y=9图象上,

x

,、[2k+b=3

A(1,6),/.<,k=—3,b=9,

')k+b=6

一次函数的表达式为y=-3x+9.

【小问2详解】

如图，①当A=90°时，

设3C与AO交于E,则E；,3,而4(1,6),故E为。4的中点,

:.AE=OE=D]E=LOA=^L2的横坐标为i+'方,

1222

[2J

②当/。4£>2=90°，设2(m,3)(m>0),

222

则m+9=1+6+(m—以+(3—6『，解得加=19,

故2。9,3),

综上所述，当△AOD是直角三角形,,3或。(19,3).

)

(1)在给出的坐标系中作出y=|V一2》|的图象；(提示：先作出y=V—2x的图象，x轴上方图象不

变，将x轴下方的图象沿x轴作翻折，就得到了y=|f—2x|的图象)

(2)若方程I/—2x|=。有三个实根，求实数a的值;

(3)在同一坐标系中作直线丁二光，观察图象写出不等式|/一2%|＜九的解集.

3

2

1

->

-1O123X

-1

【答案】(1)图象见解析

(2)1(3){x|l<x<3}.

【解析】

【分析】(1)利用列表-描点-连线，可作出函数图象，或利用函数图象的平移以及翻折也可得到函数图象;

(2)数形结合，观察与y=|九2—2%|的图象的交点情况，即得答案;

(3)作直线丁=%,观察其与丁=|必-2x|的图象的交点情况，即得答案;

【小问1详解】

方法一：列表-描点-连线，

X101234

y301038

即可得到y=|尤2—2x1的图象,如图:

方法二：先作出丁=炉-2工的图象，龙轴上方图象不变,

将x轴下方的图象沿龙轴作翻折，就得到了y=|f—2x|的图象

函数y=/(x)的图象如上图；

【小问2详解】

由题意得，方程|好-2x|=a恰有三个不等实根，

结合直线丁=。的图象可知，实数。的值为1.

【小问3详解】

作直线丁=%,如图所示，

结合图象可得，不等式/(%)<x的解集为{x11<x<3}.

21.在平面直角坐标系中，抛物线丁=依2+2]+/?(。/0)与工轴交于48两点，4(—1,0),3(4,0),交

y轴于点C.

(2)如图2,直线y=x+〃7与x轴和抛物线分别交于点E、P,交C。于点。，尸点的横坐标为r,CD的

长用d表示，求d与f的函数关系式(不要求写出f取值范围)；

(3)如图3,在(2)问条件下，点M是。2上一点(点M的横坐标大于f),连接PM,尸。的垂直平分线

OF

交8M于点凡交PM于点N,当cos/DPO=——,PN=3MN,时，求相的值.

PM

2Q

【答案】(1)y——%2+2%H—

33

,22

(2)d——t—t

3

(3)m=2

【解析】

【分析】(1)将点A(—l,。),5(4,0)代入抛物线解析式解得心。，即可得结果;

/28、28

⑵设+,根据题意可得加=——t2+t+-,即可得结果；

133)33

DT1

(3)做辅助线，可知四边形尸QOG是矩形，点Q、0、N、尸共圆，根据三角形可得一=—,分析可知

PT3

—=2,代入运算求解即可.

Xp

【小问1详解】

将点A（-l,0）,5（4,0）代入y=加+2x+/?（aw0）,

2

a=——

a-2+b=03

则，解得《

16a+8+b=0一

3

2Q

所以抛物线解析式y=-j^2+2x+-.

小问2详解】

对于直线＞=%+加，令X=0,则丁=加，即。（0,7小，

2Q

对于抛物线y=--x2+2x+-,

因为P点的横坐标为t,则P1〃+2/+|,

令y=0,则x=9，即C(0,外8，则d=98一7〃,

3I3J3

I28

因为P[/,一耳/+2%