与大学高等数学接轨的三类函数-高考数学题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展03与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+

精练）

一、知识点梳理

高考数学与高等数学知识（如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数）的接轨，常以小题的形式

呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.因此在复习备考中，

有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养个人的探究、创新精神，拓宽思维，

提升核心素养.

二、题型精讲精练

【题型训练】

1.欧拉公式

1.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）欧拉公式（EulerFormula）e加+1=0被数学家们

称为“宇宙第一公式其中无理数

e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274•••）,如果记e小数点后第n位上的数字为

m,则俄是关于〃的函数，记为〃?=/（"）.设此函数定义域（domain）为A,值域（range）

为3,则关于此函数，下列说法正确的有（）

A./⑸=8B.函数/（"）的图像是一群孤立的点

C."是机的函数D.BA

【答案】ABD

【分析】根据加=/（〃）的定义可知A正确；由〃eN*可知B正确；根据函数定义可知C错

误；根据A=N*,可知D正确.

【详解】对于A,「e小数点后第5位上的数字为8,二〃5）=8,A正确；

对于B,,・•〃eN*,.•.〃”）的图像是一群孤立的点，B正确；

对于C,由e的值可知：当%=8时，〃=3,5,7,…，不符合函数的定义，C错误；

对于D,由题意知：A=N*;又根eN*,=D正确.

故选：ABD.

2.（单选题）（2023•全国•高三专题练习）欧拉公式（EulerFormula）e加+1=0被数学家们

称为“宇宙第一公式”.(其中无理数

e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274•••),如果记e小数点后第〃位上的数字为

m,则机是关于"的函数，记为帆=/(〃).设此函数定义域(domain)为A,值域(range)

为8,则关于此函数，下列说法正确的有()

A."5)=8B.函数/(")的图像是一群孤立的点

C.〃是加的函数D.BcA

【答案】A

【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②

【详解】0e™+1=COSH+isinre+1=—1+1=0

71..71V2兀..2兀、9兀..9兀

②cos——+isin——cos-----Fisin——cos——+isin——

(1010人1010)1010

iAi”色心+里+...+%!i电9兀9兀

-ioio..,iouo102

exexxe=e=e=cos一+isin——=i

22

则①②均正确

故选：A

3.(填空题)(2023春•上海浦东新•高三上海市实验学校校考阶段练习)欧拉公式

*=cos6+isin。，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，

被誉为“数学中的天桥“，已知数列｛%｝的通项公式为4=cos-^+isin-^-(n=l,2,3,-),

则数列｛%｝前2022项的乘积为一.

【答案】-i

.nit

【分析】根据题意，4=0。$墨+1向薪=0'题，然后根据指数运算法则求积，再根据等

差数列求和公式化简，最后根据定义求结果.

.nn

【详解】因为整=cos6+isine,所以=cos-^^+isin-^―=e2022,

20222022

.兀.2兀,2022nit2n2022%.202371

所以%…〃2022=G2°22^2022...02022=e202220222022-e2

2023兀..2023兀.兀、..,兀、.

=cos---------Pisin--------=cos(l0117i+—)+isin(l011TH--)=—i.

2222

故答案为：-i.

2.高斯函数

一、单选题

1.(2023・全国•高三专题练习)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中

享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数丁=[司，[x]表示不超过X的最大整数，例如

「41「1、

[—1』=—2.已知/（%）=x+-,xe-,6,则函数的值域为（）

L%」\_2J

A.{4,6,8}B.{4,5,6}C.{4,5,6,7,8}D.{4,8}

【答案】C

【分析】根据题意y=x+?,将其变形分析其取值范围结合取整函数y=x,即可求得结

X

果.

【详解】易知y=x+：,xeg,6）在g,2上单调递减，[2,6）上单调递增.

4]142

当光=2时,y=x+—=4；当工=一时,y=—+8；当%=6时,y=x+—=6+—；

x22x3

所以则函数〃x）的值域为{4,5,6,7,8}.

故选：C.

2.（2023・全国•高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学

王子”的美誉.函数〃力=国称为高斯函数，其中xeR,国表示不超过x的最大整数，例

如：[-1』=-2,[2.5]=2,则方程[2x+l]+[x]=4x的所有解之和为（）

A.1B.-C.-D.-

2424

【答案】C

左一]k

【分析】VxeR,3A;GZ,使左<2%+1〈k+1,可得---<x<—,2k-2<4x<2k,分类讨

22

论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.

【详解】解：VxeR,使左<2x+l<左+1,则[2%+1]=左，

左一1k

可得V尤2k-2<^x<2k,

若k为奇数，贝）与eZ,所以田=7，

22

“一1k—\

[2x+l]+[x]=k+=4x,贝！）2左一2V%+—^―<2k,

解得一1<左《3,.,.左=1或左=3,

当左=1时，0<x<—,[x]=0,[2x+l]=l,.\l+0=4x=>x=—G0,—|,

24L2；

3「3、

当左=3时，l<x<—,[x]=1,[2x+l]=3,/.3+l=4x=>x=le1,-1,

若k为偶数，则geZ,所以⑶=9一1,

kk

/.[2x+1]+[x]=^+--1=,贝fj2k-2VZ:+5—1<2左，

解得-2<发<2,.•.左=0或左=2,

当％=0时，—<x<0,[A]=—1,[2x+1]=0,—1+0=4x=>x=—s—,0j

24_2J

当左=2时，gwxcl,[x]=0,[2尤+1]=2,0+2=4xnx=：,

1113

因此，所有解之和为：-+1--+-=^,

4422

故选：C.

【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运

算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样

有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以

说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

3.（2023春・宁夏银川・高三银川一中校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者

之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名

的“高斯函数”为：y=[x]（xeR）,因表示不超过x的最大整数，如[一1.6]=-2,=

[2]=2,已知/（同="+；,则函数y="（切的值域为（）

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,01}D.{-2,—1,01

【答案】C

【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出了⑺的值域，结合已知定

义即可求解.

【详解】因为“封=口+'=』-一J

v7ex+l22l+ex

又+

7

所以。〈百<2,

2

所以一2（一看<°

3

所以〃制=5

则g(x)="。)］的值域{-1,0,1}.

故选：C.

4.（2023秋•江苏南京・高三南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠

基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用[x]表示不超过x的最大整数，则

丁=国称为高斯函数.例如：[-3.6]=-4,[3.6]=3.已知函数〃司=1-三，则函数

y=+的值域是（）

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【答案】A

【分析】依题意可得〃耳=-：+£,再根据指数函数的性质讨论彳＞（）,x=0和x＜。时,

函数的单调性与值域，即可得出答案.

1-无11I1+±，定义域为R,

【详解】因为〃尤）=5一五6=5一=7

乙1十C乙1I-C

因为y=1+e”在定义域上单调递增，则y=Jr在定义域上单调递减，

所以/(X)=-1+Jr在定义域R上单调递减，

2l+e

“时，/€(0,1),击]川,〃木/，3[〃切=0,"(0小0

x>0时，e"e(1,+0C),e|^0,0^[/(%)]=-1；

则x>0时，[/(x)]+[/(-x)]=-l+O=-l,

元<0时，[/(x)]+[/(-%)]=0+(-1)=-1,

x=0时,[/(x)]+[/(-x)]=O+O=O.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究"％）的性

质来研究丫=[〃力]+[/（—）]的值域，突破难点.

二、多选题

1.（2023春・广东广州•高三广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数

学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其

名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用[可表示不超过x的最大整数，则，=[引称为高斯函

数，如：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，

诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确

的是（）

A.VxeR,[2x]=2[x]B.VxeR,[x]+x+g=[2x]

C.Vx,yeR,若印=[列，贝情D.方程/=3[幻+1的解集为{近M}

【答案】CD

【分析】取x=L5,[2x]=3,2[x]=2,A错误，取x=0,[x]+x+g=g,[2x]=0,B错

误，[尤]=3=m，则y<m+l,故C正确，计算2<尤4圭八他，[x]=2

或[x]=3,D正确，得到答案.

【详解】对选项A：取x=L5,则[2x]=3,2国=2,错误；

对选项B：^lx=O,[x]+x+--=—,[2x]=0,错误；

22

对选项C：[x]=[y]=机，则XNM,y<m+l,故正确；

对选项D：x2=3[%]+1,故3》-2</=3印+143》+1,解得2<x/+屈,

2

故[无]=2或[x]=3,故了=疗或行加，正确.

故选：CD

2.（2023春•湖南长沙•高三长沙麓山国际实验学校校考开学考试）高斯是德国著名的数学家,

近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，

用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用品表示不超过的最大整数，则，=团称为高斯

函数，例如[-3.2]=T,[2.3]=2.已知函数/⑺=怎一g,则关于函数g（x）=[〃x）]的

叙述中正确的是（）

A.是奇函数

B.“X）在R上是减函数

C.g（x）的值域是{-1,0}

D.[log31]+[log32]+[log33]+-+[log3243]=857

【答案】ACD

【分析】利用奇偶性的定义判断A,利用函数单调性的结论判断B,由单调性求出了（X）的

取值范围，结合定义判断C,利用对数函数的值域结合定义判断D.

【详解】因为〃制=上2=一工=1一一^--=~一一二，

'71+2"21+2”221+2、

所以〃一同二言7-3二六一:二一八尤），所以“X）是奇函数，选项A正确；

因为y=l+2,在R上是增函数，所以>=-4在R上是增函数，/（》）=:-二7在口上

是增函数，选项B错误；

因为。〈二7<1，所以所以g（x）的值域是｛T。｝，选项C正确；

1I乙乙乙，I乙乙

令%=[log3n]，“eZ*,

由高斯函数定义可得当1V"3时，4=0；当34〃<8时，an=\.当9<〃<27时，4=2；

当27〈〃<81时，。“=3；当81口<242时，an=4；当”=243时，。“=5；

所以[1（吗l]+[log32]+[log33]+…+[log3243]

=0x2+1x6+2x18+3x54+4x162+5x1=857,选项D正确；

故选：ACD

3.狄利克雷函数

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为

L%EQ,

°（x）=CYUA八黎曼函数定义在QI〕上，其解析式为

0,X£,Q,

蛆）/《户看。'"为正整数’.是不可以再约分的真分数;则二（）

0,尤=0,1和无理数，IS）

A.1B.0C.J2D.也

2

【答案】A

【分析】根据狄利克雷函数与黎曼函数的定义求解即可.

八山小厂生〉、=为正整数屈是不可以再约分的真分数]-1上

【详解】因为R（x）=0p（p又改为[0』上

0,x=0,l和无理数

的无理数，所以尺圉=。，因为〃©[二篇，所以⑼二】

故选:A.

2.（2023•全国•高三专题练习）德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月

13日~1859年5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》

f1X为有理数

《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为如）=0,X为无理数则

下列关于狄利克雷函数。(X)的判断错误的是()

A.对任意有理数f,D(x+t)=D(x)

B.对任意实数x,£>CD(x))=l

C.D(x)既不是奇函数也不是偶函数

D.存在实数x,y,D(尤+y)=O(无)+£>(>)

【答案】C

【详解】对于A,对任意有理数t,当x为有理数时，x+f为有理数，则E>(x+f)=l=O(x)；

当x为无理数时，x+r为无理数，则。(x+f)=O=D(x),故A正确；

对于B,若x为有理数，则£>(*)=£>(1)=1；若x为无理数,则于。(功=。(0)=1,故B

正确；

对于C,当x为有理数时，则f为有理数，则D(-尤)=1="无)；当x为无理数时，则-尤为

无理数，则。(-幻=0=。(幻，于是对任意实数x,都有。(f)=£>(x),即狄利克雷函数为

偶函数，故C错误；

对于D,取x=0,y=6,因为应+6为无理数，所以。(应+6)=0=。(&)+£>(括),

故D正确.

故选：C.

二、多选题

l,xeQ

1.(2023秋•江西上饶•高三统考期末)函数。(x)=被称为狄利克雷函数，则下列结

0,xeQ

论成立的是()

A.函数。⑺的值域为［0』B.若£>伉)=1,贝1

C.若£>(%)—。(动=。，则玉-尤2eQD.%eR,D(XO+V2)=1

【答案】BD

【分析】根据函数值域的定义，结合有理数和无理数的性质逐一判断即可.

【详解】由函数的值域定义可知函数。(对的值域为{01},所以选项A不正确；

因为=所以%02)=1,所以选项B正确；

当西=0,马=及时，显然满足。&)-。(％)=0,但是0-若£(2,所以选项C不正确；

当时，°+@=。(0)=1,所以选项D正确，

故选：BD

2.(2023・全国•高三专题练习)狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且是有意识地“以

概念代替直觉”的人.在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数,进行具体计算，他们不大

考虑抽象问题，但狄利克雷之后，人们开始考虑函数的各种性质,例如奇偶性、单调性、周期性

等.1837年,狄利克雷拓广了函数概念，提出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对

1,XGQ

应关系，并举出了个著名的函数•狄利克雷函数:。(x)=n下列说法正确的有

e

（）

A.Q（x+l）=D（x）B.D（D（x））=D（x）

C.。(力是偶函数D.O（x）的值域为｛y|04y41｝

【答案】AC

【分析】根据选项对xeQ,xe两种情况分类讨论，即可得出A,C的正误,xeR时,

O(x)eQ,所以以O(x))=1,选项B错误，由D(x)=可知,D(x)e｛0,1｝，选项D错

误.

[1,XGQ

【详解】解:由题知。(x)=n“IC，

关于选项A,

当xeQ时，尤+1eQ,.1Z)(x+1)=0(无),

当xe\Q时/+1e\Q,O(x+1)=D(x)，故选项A正确；

关于选项B,当尤e\Q时,D(x)=0,二O(D(x))=0(0)=1丰D(x)，故选项B错误；

关于选项C,当xeQ时,teQ,二。(力=D(-x),

当xe\Q时,te\Q,二。(力=D(-x),.'.D(x)为偶函数,故选项C正确；

关于选项D,由解析式可知D(x)e｛0,1｝，故选项D错误.故选:AC

3.(2023・全国•高三专题练习)狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若

“©I：*,；,其中Q为有理数集，则称为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数”X),

IU,X仁Q

下面4个命题中真命题是()

A.对任意xeR,都有了"(切=1

B.对任意xeR,都有〃-x)+〃x)=0

C