同课异构：圆与圆的位置关系3

圆与圆的位置关系(3)上海市初级中学名师制作一、情境引入圆是轴对称图形，它的对称轴是什么？有几条？这两个圆所成图形的对称轴是什么？有几条？过圆心的直线（或直径所在直线）无数条l连心线：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线.二、新知讲授相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.证明：分别联结AO1、BO1∴点O1在线段AB的垂直平分线上.∵AO1=BO1，同理，点O2在线段AB的垂直平分线上.∵O1O2是连心线，AB是公共弦.∴

O1O2垂直平分AB.所以，直线O1O2是线段AB的垂直平分线.、AO2、BO2.二、新知讲授相切两圆的连心线经过切点.∵O1O2是连心线，T是切点.∴O1O2过点T.O1O2说明：假设⊙O1和⊙O2相切，切点T不在O1O2上，则点T关于连心线O1O2的对称点T’也是这两圆的公共点，这与已知⊙O1和⊙O2相切只有一个公共点矛盾，因此切点T一定在连心线O1O2上，即连心线O1O2经过点T.TO2二、讲授新知相交或相切两圆的连心线的性质定理.相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.相切两圆的连心线经过切点.三、例题讲解已知，如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C，CA，CB的延长线分别交⊙O1于点D、E.求证：AD=BE.例题1同圆或等圆中，弦相等弦所对的弦心距相等CO1是∠DCE的平分线O1O2是连心线相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦点O1到∠DCE两边的距离三、例题讲解已知，如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C，CA，CB的延长线分别交⊙O1于点D、E.求证：AD=BE.例题1解：联结AB.∵

O1O2是连心线，AB是公共弦.∴O1O2垂直平分AB.于是，

点O1到DC、EC的距离相等，即弦AD、弦BE的弦心距相等.∴

得

AC=BC.∴O1C平分∠DCE.∴

AD=BE.两圆相交问题，添加公共弦是常用的辅助线.三、例题讲解已知：如图，⊙O1和⊙O2相切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于另一点A和B.求证：O1A//O2B.例题2图1图2两直线平行内错角相等O1O2是连心线相切两圆的连心线经过切点.三、例题讲解已知：如图，⊙O1和⊙O2相切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于另一点A和B.求证：O1A//O2B.解：联结O1O2.例题2∵

O1O2是连心线，T是切点.∴O1O2过点T.∵O1A

=O1T，∴∠A=∠O1TA.同理，∵O2B

=O2T，∴∠B=∠O2TB.∵∠O1TA

=

∠O2TB，∴∠A=∠B.∴O1A//O2B.图1图2三、例题讲解已知相交两圆的半径长分别为15和20，圆心距为25，求两圆的公共弦的长.例题3152025公共弦的长直角三角形斜边上的高（AB是连心线）CH的长面积法三、例题讲解已知相交两圆的半径长分别为15和20，圆心距为25，求两圆的公共弦的长.例题3152025解：∵AC2+BC2=AB2由勾股定理逆定理，∴AC⊥BC∵AB

是连心线，CD是公共弦.∴AB⊥CD，CD=2CH.得CH=12.∴CD=24.所以两圆的公共弦的长为24.四、巩固练习练习已知相交两圆的半径长分别为15和20，公共弦的长为24，求这两圆的圆心距.

152012四、巩固练习练习已知相交两圆的半径长分别为15和20，公共弦的长为24，求这两圆的圆心距.

152012152012注意对相交两圆不同的位置情况，进行分类讨论.①圆心在公共弦的两侧②圆心在公共弦的同侧五、归纳小结相交或相切两圆的连心线的性质定理.常用辅助