数学-湖南省长沙市长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试试卷和解析

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.已知集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤3},则A∩B=()2.函数f的定义域为()且x≠2}且x>2}C.x|≤x≤2且x≠2}3.已知f6,则f4.设x∈R,则“x≤2”是“|x-1|≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若不等式.x²−tx+1<0对一切x∈2恒成立，则实数t的取值范围为()A.t≥B.t>C.t≥2D.t≥6.若实数x,y满足x²+y²+xy=1,则x+y的最大值是()A.6B.C.4D.7.已知函数f(x+1)是偶函数,当1<x₁<x₂时，fx₁−f(x₂)(x₁−x₂)>0恒成立，设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c8.幂函数fx=(m2−m−1)xm2+2m−5在区间(0,+∞)上单调递增,且a+b>0,则f(a)A.恒小于0B.恒大于0D.无法判断C.等于0二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多2个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分)9.下列说法正确的是()A.。∈{0}B.集合{x|x=2n,n∈Z}=xC.集合{3,4}={4,3}D.集合{x|y=x²}={y|y=x²}10.已知ax²+bx+c>0的解集是(-2，3)，则下列说法正确的是()A.a>0B.不等式cx²+bx+cC.+b的最小值是D.当c=2时,f(x)=833ax²+6bx,x∈[n₁n₂的值域是[-3,1],则n₂−n₁的取值范围是11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f则下列结论正确的A.f(0)=-2B.|f(x)|的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞)C.当x<0时,fD.xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)13.已知fx=ax5−bx3+cx++1,且f(-3)=-5,则f(3)=.14.定义若函数fx=min{x²−3x+3,−|x−3|+3},且f(x)在区间[m,n]上的值域为[,则区间[m，n]长度的最大值为.四、解答题(本大题共5小题,第15题13分,第16,17题15分,第18,19题17分,−×2×(4−;−16.若关于x的不等式ax²+3x−1>0的解集是(2)设集合B={x|2m<x<1-m},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.17.函数f是定义在(-3，3)上的奇函数(1)确定f(x)的解析式并用定义证明f(x)在(-3，3)上的单调性；(2)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.18.某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t(单位：万元)与使用时间x(x∈N∗,x≤20，单位：年)之间满足函数关系式为：t=2x²+8x.该机床每年的生产总收入为50万元.设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用)(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)?(3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%(固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率).现对该机床的处理方案有两种：①当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.②当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由.参考数据：0.96⁷≈0.751,0.96⁸≈0.721,0.96°0.693,0.96¹⁰≈0.66519.定义：对于定义在区间Ⅰ上的函数f(x)和正数(α(0<α≤1),若存在正数M，使不等足α阶李普希兹条件.(1)判断函数y=x,y=x³在R上是否满足1阶李普希兹条件.(2)证明函数y=x在[1,+∞)上满足阶李普希兹条件，并求出M的取值范围.(3)若函数y=x在[1，+∞)上满足α阶李普希兹条件，求α的范围.长沙市第一中学高2024级期中考试数学试卷【答案】C【答案】D【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得.函数f的意义，则2x−3≥0且x−2≠0，解得x≥且【答案】C【分析】根据分段函数解析式列式求解即可.4．设x∈R，则“x≤2”是“x−1≤1”的()【答案】B“2−x≥0”是“x−1≤1”的必要不充分条件.故选：B.(1)(2,5．若不等式x2−tx+1<0对一切x∈|,3恒成立，则实数t(2,【答案】D【解析】因为不等式x2−tx+1<0对一切恒成立，xx2x26．若实数x,y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是()232232【答案】B32222解得4(x+y)≤1，:−33≤x+y≤33，:x+y的最大值是3332222【答案】A(5)(1)8．幂函数f(x)=(m2−m−1)xm+2m−5在区间（0，+∞)上单调递增，且a+b>0，则f(a)+f(b)的值()【解析】幂函数fm22,解得m＝2，∴f(x)=x3，∴f(x)在R上为奇函数，由a+b>0，得a>−b，∵f(x)在R上为单调增函数，9.下列说法正确的是()【答案】BC>0的解集是(−2,3)，则下列说法正确的是()B.不等式cx2+bx+c<0的解集是【答案】BCD222+1，fmax=f，由f(x)=−3得，x=−1或x=3，因f(x)在[n1,n2]上的最小值为-3，2211．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f则下列结论正确的是()A．f(0)=−22C．当x<0时，f【答案】BCD【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，故A错误；因为函数y=x,y=−在都是增函数，所以函数在是增函数，当x<−1时，f(x)<0，当−1<x则函数y=f(x)的单调递增区间为（-1，01，+∞),故B正确；【分析】对a,b进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果. 3【答案】7的值域为则区间[m,n]长度的最大值为.【解析】由图象知若f(x)在区间[m，n]上的值域为则区间[m，n]长度的最大值为 x22(1)求a的值；l17．函数f是定义在(−3,3)上的奇函数，且.(1)确定f(x)的解析式并用定义证明f(x)在(−3,3)上的单调性；222则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在(−3,3)上为增函数.（2）由（1）可知f(x)为奇函数且在(−3,3)上为增函数.式为：t=2x2+8x．该机床每年的生产总收入为50万元．设使用x年后数控机床的盈利额为y万元盈(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利（盈(3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由.+8x，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元，可得y与x之间的函数关系式2x2+8x)−100=−2x2+42x−100 22因为x∈N*，故从第3年开始盈利.当x=7时，年平均盈利为万元，19.定义：对于定义在区间I上的函数f(x)和正数α(0<α≤1)，若存在正数M，使不等式f(x1)−f(x2)≤Mx1−x2α对任意x1,x2∈I恒成立，则称函数f(x)在区间I上满足α阶李普希兹条件.(1)判断函数y=x，y=x3在R上是否满足1阶李普希兹条件.(2)证明函数y=在[1,+∞)上满足阶李普希兹条件，并求(2)证明：不妨设x1>x2≥1，:f(x1)−f(x2) x2x2,即（3）①首先证明0<α<时不成立， 2x2(x1−x2)α,令x1=4x2 3x2α32