2022-2023学年八年级数学上学期复习集训：一元二次方程之五大易错类型（原卷版+解析）

专题06易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型

丁：匚【考点导航】

目录

【典型例题】...........................................................................1

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“aWO”】.....................................1

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略，力0”】.......................................2

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“aWO”】...............................3

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△=（）”]........................................4

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】........................................5

【典型例题】

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“aWO”

例题：（2023春・山东泰安•八年级校考阶段练习）关于x的方程（m-1）无族+、2〃a-3=0是一元二次方程，则

m的值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

【变式训练】

1.（2022秋•海南省直辖县级单位•九年级校考阶段练习）方程（切-2）/+3〃-4=0是关于x的一元二次方

程，则（）

A.m=±2B.m=2C.m=—2D.m±2

2.（2022秋•四川达州•九年级校考期末）若关于x的方程（加+2）/-2+6彳-9=0是一元二次方程.则加的值

为（）

A.m^—2B.m=±2C.m=—2D.m=2

3.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级校考期末）若标不问+2x-l=0是关于尤的一元二次方程，则m的值

是.

4.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级乌鲁木齐市第九中学校考期末）已知方程（疗-2时物-*-9=0,当〃』

时，是关于X的一元二次方程.

5.（2023秋•湖南湘西九年级统考期末）已知：（W-1），刊+6x-l=0是关于x的一元二次方程，则

m=

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略

例题：（2023•全国•九年级假期作业）关于x的一元二次方程（利-1）尤?+2x+|川-1=0,常数项为0,则加的

值等于（）

A.1B.—1C.1或一1D.0

【变式训练】

1.（2023•山东泰安•新泰市实验中学校考一模）关于x的一元二次方程（a-l）%2-尤+/-1=0的一个根为0,

则实数。的值是（）

A.1B.—1C.0D.±1

2.（2023春•浙江•八年级期中）若关于x的一元二次方程（。-1）£+*-4+1=0有一个根为0,则。的值等

于（）

A.-1B.0C.1D.1或者-1

3.（2023春・北京东城•八年级北京市第一六六中学校考期中）若关于x的一元二次方程

（〃z+2）尤2+4》+（〃，_4）=0有一个根为0,则实数机的值为（）

A.2B.-2C.-2或2D.-1或0

1.（2023秋•辽宁丹东•九年级统考期末）若关于x的一元二次方程（加-2）尤?+3x+疗-4=0有一个根为0,

则加=.

4.（2023•全国•九年级假期作业）若x=0是一元二次方程/+收不+〃-4=0的一个根，贝伊的值

是.

5.（2023春・北京西城•九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程（。+1）尤2-1工一。=。

有一个根是x=1,贝！I。=.

6.（2023秋•江苏扬州•九年级校考期末）若关于尤的一元二次方程（左-2）尤?+6尤-左2一左=。有一个根为1,则

k的值为.

7.（2022秋,新疆乌鲁木齐•九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程（租+1）尤2+5苫+■+机=0有一个根

为0,贝。根=.

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略/。0”】

例题：（2023春・浙江金华•八年级统考期末）若关于x的一元二次方程日°一2丘+4=0有两个相等的实数根，

则女的值为（）

A.0或48.4或8C.8D.4

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江大庆•九年级校考期末）已知方程化-3）/+2%+1=0有两个实数根，贝必的取值范围是

（）

A.k<4B.k<4C.左<4且左w3D.左44且左w3

2.（2023•山东聊城•统考中考真题）若一元二次方程7nx2+2x+l=0有实数解，则根的取值范围是（）

A.m>—1B.m£1C.1且〃zw0D.〃?£1且加片0

3.（2023•河南南阳•统考三模）若关于x的一元二次方程（1-左）d-5x+5=0有两个不相等的实数根，则上

的值可以是（）

A,—B.1C.—1D.~

43

4.（2023春・山东泰安•八年级统考期末）关于x的一元二次方程（a+l）/-4x+l=0有两个不相等的实数根，

则。的取值范围是（）

A.且"一1B.o<3C.a<3且"一1D.a<3

5.（2023•湖北荆州・统考中考真题）已知关于尤的一元二次方程小-（2k+4）x+k-6=0有两个不相等的实

数根.

⑴求左的取值范围；

（2）当上=1时，用配方港解方程.

6.（2023・江苏•九年级假期作业）关于x的一元二次方程小L4无+3=0有实数根.

⑴求m的取值范围；

⑵若m为正整数，求出此时方程的根.

7.（2023・全国•九年级假期作业）已知关于x的一元二次方程（小4）f-（2机-1）尤+机=0有两个不相等的实数根.

⑴求的取值范围；

⑵当加取满足要求的最小正整数时，求方程的解.

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△羊（）”】

例题：（2023春•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若机、”是关于x的方程

d+（2左+3）x+左2=0的两个不相等的实数根，且,+工=一1,则左的值为.

mn

【变式训练】

1.（2023•全国,九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数

根，且=2,则实数.

2.（2023春•黑龙江大庆•八年级统考阶段练习）已知关于x的方程/+2元+机=。有两个不相等的实数根.

⑴求m的取值范围.

⑵若两个实数根分别是A，巧，且（占尤「1）2+2（占+三）=0,求相的值.

3.（2023春•安徽六安•八年级统考期末）已知关于尤的一元二次方程2/+以+加=0.

⑴若x=l是方程的一个根，求加的值和方程的另一根；

（2）若网、3是方程的两个实数根，且满足尤;+考+5尤1尤2*=。，求加的值.

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】

例题：（2023•四川凉山・统考一模）已知等腰三角形A3C的一边长。=6,另外两边的长6,c恰好是关于x的

一元二次方程尤0（3左+3）尤+9左=0的两个根，则的周长为

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江大庆•八年级校联考期中）方程f-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则

这个三角形的周长是（）

A.12B.15C.12或15D.18或9

2.（2023春•重庆•九年级重庆八中校考阶段练习）一个等腰的底边为4,腰是方程好一5尤+6=0的一个根.则

这个等腰三角形的周长可能是（）

A.8B.10C.8或10D.9

3.（2023•安徽合肥•校考一模）等腰三角形的两边长为方程/-4x+3=0的两根，则这个等腰三角形的周长

为

4.（2023春•安徽合肥•八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程皿2-（2加-3）x-5=0（〃件。）.

⑴求证：无论优为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；

⑵若〃?=-2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长.

专题06易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型

丁：匚【考点导航】

目录

【典型例题】...........................................................................1

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略.....................................1

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略，W0”】.......................................2

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“aWO”】...............................3

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△?（）”]........................................4

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】........................................5

*

【典型例题】

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略，W0”】

例题：（2023春・山东泰安•八年级校考阶段练习）关于x的方程-1）无族+、2〃a-3=0是一元二次方程，则

m的值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】B

【分析】理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0;②未知数的最高次数为2；

结合一元二次方程的定义，可以得到关于加的方程和不等式，求解即可得到小的值.

【详解】解：•••原方程是关于x的一元二次方程，

j/+1=2"

解得m=-1.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022秋•海南省直辖县级单位•九年级校考阶段练习）方程（机-2）/'1+3〃a-4=。是关于x的一元二次方

程，贝U（）

A.根=±2B.m=2C.m=—2D.m^±2

【答案】c

【分析】根据一元二次方程的定义，即含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次

方程，可得方程，解方程即可求解.

【详解】解：•••方程（加-2）/+3皿-4=0是关于X的一元二次方程，

m-2^0

•［帆=2

.\m=-2,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键.

2.（2022秋•四川达州•九年级校考期末）若关于x的方程（切+2）y-2+6彳-9=0是一元二次方程.则优的值

为（）

A.m丰—2B.加=±2C.m=—2D.m=2

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的概念得出关于m的方程，进而得出结果.

【详解】解：回关于x的方程（加+2），-2+6尸9=0是一元二次方程

0m2—2=2»且〃z+2w0,

0m=2

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，理解一元二次方程的概念是解题的关键.

3.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级校考期末）若赤F问+2x-1=0是关于尤的一元二次方程，则相的值

是.

【答案】2

【分析】利用二次方程的定义列方程及不等式解题即可.

【详解】解：由题意得：帆=2,m-l>0,

解得：m=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查二次方程的定义及二次根式的非负性，能够根据定义及性质列式是解题关键.

4.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级乌鲁木齐市第九中学校考期末）已知方程（病—2m））"-*-9=0,当加=

时，是关于x的一元二次方程.

【答案】-2

【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解.

【详解】解：回-2时留-x-9=0是一元二次方程，

同m|=2,机之_2mw0,

回根=一2.

故答案为-2.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

5.（2023秋•湖南湘西•九年级统考期末）已知：（根-1）J'刊+6》-1=0是关于尤的一元二次方程，贝|

m-.

【答案】-3

【分析】根据一元二次方程的定义即得出帆+1|=2且m-1r0,解出机即可.

m-1w0

【详解】根据一元二次方程的定义可得：1帆+1]=2，

解得：m=—3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义.掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是2；

二次项系数不为0是解题关键.

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略“aWO”

例题:（2023•全国•九年级假期作业）关于x的一元二次方程（%-l）d+2x+|相|-1=0,常数项为0,则用的

值等于（）

A.1B.-1C.1或一1D.0

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义即可求得加的值.

【详解】解：回关于尤的一元二次方程（加一1）炉+2%+|”-1=0,常数项为0,

回同-1=0,

回m=1或一1,

团关于X的方程（机-1）尤2+2尤+|洲-1=0是一元二次方程，

0m—1w0,

回机=-1；

故选B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•山东泰安•新泰市实验中学校考一模）关于尤的一元二次方程（。-1）炉-苫+/-1=0的一个根为0,

则实数。的值是（）

A.1B.-IC.0D.±1

【答案】B

【分析】根据一元二次方程解的定义得到"一1=0,再解关于a的方程，然后根据一元二次方程定义确定。

的值.

【详解】解：把x=0代入一元二次方程（。一1）/一1=0

得6?-1=0,

解得q=1，%=T，

而a一1W0，

二。的值为-1,

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解，也考查了一元二次方程的定义，解题的关键是注意

2.（2023春•浙江•八年级期中）若关于x的一元二次方程（a-l）x2+x-/+i=o有一个根为0,则。的值等

于（）

A.-1B.0C.1D.1或者-1

【答案】A

【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将x=0代入方程可得-/+1=0,根据二次

项系数不为0,可得awl,进而即可求解.

【详解】解：回关于尤的一元二次方程（。-1）/+了-/+1=。有一个根为0,

团—/+1=0,a—1。0,

团Q=-1,

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，解题的关键是注意二次项系数不能

等于①

3.（2023春•北京东城•八年级北京市第一六六中学校考期中）若关于了的一元二次方程

（〃z+2）尤?+4尤+（/-4）=0有一个根为0,则实数机的值为（）

A.2B.-2C.一2或2D.-1或0

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的解的定义，即可求解.

【详解】解：回一元二次方程（机+2）f+4x+（〃，-4）=。的一个根为0,

团将x=0代入（加+2）》2+4x+（z/r—4）=0,可得m2—4=0且MI+2/O,

解得：m=2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的

解是解题的关键.

1.（2023秋•辽宁丹东•九年级统考期末）若关于x的一元二次方程（m-2）d+3x+M-4=0有一个根为0,

则m=.

【答案】-2

【分析】把x=0代入方程（〃-2）炉+3龙+疗一4=。，解方程即可求得加的值，且加一24,从而即可得到

答案.

【详解】解：把x=0代入方程（根一2）/+3%+〃？-4=。得，

疗一4=0,

解得：叫=2,m2=-l,

•/m—2^0,

mw2,

.\m=—2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于工的一元二次方程

（m—2）无2+3x+疗-4=0二次项系数不为零，即加—2/0.

4.（2023,全国,九年级假期作业）若x=0是一元二次方程Y+QTx+/-4=0的一个根，则6的值

是.

【答案】2

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入/+后小+户一4=0得〃一4=0,然后解关于b的

方程即可.

【详解】解：把x=0代入尤2+yjb-lx+。2-4=0得62一4=0,

解得6=±2,

vZ?-l>0,

:.b>\,

:.b=2.

故答案为：2

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解，还考查了二次根式有意义的条件.

5.（2023春•北京西城•九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于尤的一元二次方程（4+1）--°2了一。=。

有一个根是x=l,则。=.

【答案】1

【分析】根据一元二次方程的定义可得aw-1,根据一元二次方程的解的定义将x=l代入原方程，得到关

于。的一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】解：回关于X的一元二次方程（4+1）犬=。有一个根是x=l,

回。+1—a=o且。彳―1,

解得：47=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键.

6.（2023秋•江苏扬州•九年级校考期末）若关于x的一元二次方程（左-2）d+6x-公一左=。有一个根为1,则

k的值为.

【答案】-2

【分析】根据一元二次方程根的定义，将1代入关于尤的一元二次方程化-2）d+6x-父-无=0得到关于左

的方程求解，再根据一元二次方程定义确定人值即可得到答案.

【详解】解：由题意得：

把lx=l代入方程（左一2）炉+6x—左2—左=0,得：

k-2+6-k2-k=0,

解得：k=±2,

4一2w0,

:.k手2

k=—2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键.

7.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级校考阶段练习）关于*的一元二次方程（利+1）/+5.》+/+%=0有一个根

为0,贝!P"=.

【答案】0

【分析】根据题意可知将x=0代入方程所得式子仍然成立，可得的值为0或-1,利用一元二次方程成立

的条件可知加W1，从而可得答案"7=0.

【详解】解：把X=0代入方程可得/+〃,=0

=0或-1

方程是一元二次方程

〃2+1工0,即〃?学一1

.,.m=0

故答案为：m=Q

【点睛】此题考查一元二次方程的解的定义，需要注意一元二次方程成立的条件，将解代入方程并保证二

次项系数不等于0是解题的关键.

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“aWO”】

例题：（2023春・浙江金华•八年级统考期末）若关于x的一元二次方程日°-2丘+4=0有两个相等的实数根，

贝IJ上的值为（）

A.0或48.4或8C.8D.4

【答案】D

【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式An〃-dacnO,建立方程，求出值即可.

【详解】解：团关于尤的一元二次方程依2-2履+4=0有两个相等的实数根，

EA=Z>2-4ac=（-2^）2-4fcx4=0,

解得勺=4,k2=0（舍去）.

瞅的值为4,

故选：D.

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式.一元二次方程加+bx+c=O（a丰0）的根与△=从一4世有如

下关系：（1）△>（）=方程有两个不相等的实数根；（2）△=（）=方程有两个相等的实数根；（3）A<0o方

程没有实数根.

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江大庆•九年级校考期末）已知方程化-3）f+2*+1=0有两个实数根，贝必的取值范围是

（）

A.k<4B.k<4C.左<4且左w3D.ZW4且上w3

【答案】D

【分析】根据根的判别式和已知得出△20且左-3*0,求出解集即可.

【详解】方程仅一3）f+2x+l=0有两个实数根，则△对，且左一3/0,

BP22-4（A:-3）>0,k手3

解得：上W4且上片3,

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据根的判别式得出关于上的不等式是解此题的

关键.

2.（2023•山东聊城•统考中考真题）若一元二次方程7nx2+2x+l=0有实数解，则根的取值范围是（）

A.m>—1B.m£1C.m>—1J!Lm0D.〃?£1且〃件0

【答案】D

【分析】由于关于x的一元二次方程+2尤+1=0有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知A*。,

且aHO,据此列不等式求解即可.

【详解】解：由题意得，4-4m>0,且mwO,

解得，m£1,且相片0.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程加+云+。=0（"0）的根的判别式A=&2_4ac与根的关系，熟练掌握根

的判别式与根的关系式解答本题的关键.当A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0时，一

元二次方程有两个相等的实数根；当△<（）时，一元二次方程没有实数根.

3.（2023•河南南阳•统考三模）若关于x的一元二次方程（1-5x+5=0有两个不相等的实数根，则上

的值可以是（）

A.—B.1C.—1D.—

43

【答案】D

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>（）,可得出关于左的一元一次不等式，结合二次项系数不等于

0,可得出左的取值范围，对照四个选项即可得出结论.

【详解】解：,•・关于X的一元二次方程（1-左）尤2-5尤+5=0有两个不相等的实数根，

A=（-5）2-4x（l-A）x5=5+20）t>0,

解得：k->--->

4

回1一左W0,

回忆>-,且左wl,

4

故选：D.

【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记"当A>0时，方程有两个不相等的实数根

4.（2023春・山东泰安•八年级统考期末）关于x的一元二次方程（a+1）尤2_4x+1=0有两个不相等的实数根,

则。的取值范围是（）

A.且"一1B.a<3C.a<3且"一1D.a<3

【答案】C

【分析】根据根与系数关系及一元二次方程定义列式求解即可得到答案；

【详解】解：团一元二次方程（。+1）炉-4x+l=0有两个不相等的实数根，

<7+1^0

回I/、2/、，

（-4）-4x（a+l）xl>0

解得：a<3且aw-1,

故选C;

【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时

△=b2—4ac>0.

5.（2023•湖北荆州•统考中考真题）已知关于x的一元二次方程履2_（2%+4卜+%-6=0有两个不相等的实

数根.

⑴求上的取值范围；

⑵当左=1时,用邺方渚解方程.

2

【答案】⑴左二且心0

（2）^=3+714,x2=3-^

【分析】（1）根据题意，可得（24+4）2-4人（左-6）>0,注意一元二次方程的系数问题，即可解答，

（2）将左=］代入履2—（2左+4）x+k—6=0,利用配方法解方程即可.

k^O

【详解】⑴解：依题意得：■狭+4）“仕-6）=*16>。,

...2

解得上>-二且左w0；

（2）解：当左=1时，原方程变为：x2-6x-5=0,

则有：X2-6X+9=5+9,

.-.（X-3）2=14,

x—3=±V14;

，方程的根为菁=3+,x,=3-V14.

【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程

是解题的关键.

6.（2023•江苏•九年级假期作业）关于x的一元二次方程〃£-4x+3=0有实数根.

⑴求力的取值范围；

（2）若相为正整数，求出此时方程的根.

4

【答案】⑴〃叱］且mW0

（2）玉=1,X2~3

【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△之0,可得出关于根的一元一次不等式组，解之即可得出机

的取值范围；

（2）由（1）的结论，结合加为正整数，可得出机的值，再其代入原方程，解之即可得出结论.

【详解】（1）解：团关于x的一元二次方程尔2_4x+3=0有实数根，

ww0

团I/'2,

A=（-4）-4xmx3>0

,，4

解得：根且相。0,

4

0m的取值范围为加（耳且相；

4

（2）回加工§且加。0,且根为正整数，

回根=1,

回原方程为％2_4%+3=0，

即（元_3）（X_1）=0,

解得：王=1,工2=3.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解

题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式△之0,找出关于根的一元一次不等式组；（2）代入相

的值，求出方程的解.

7.（2023•全国•九年级假期作业）已知关于工的一元二次方程（冽-4）/_（2%l）x+”=0有两个不相等的实数根.

⑴求加的取值范围；

⑵当机取满足要求的最小正整数时，求方程的解.

【答案】（1）机>--!-且机工4

【分析】⑴根据方程有两个不相等的实数根，贝怵的判另IJ式A=62-4ac=[-（2〃Ll）T-47M7"-4）>0,

且〃?_4工0,求出机的取值范围即可；

（2）得到机的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可.

【详解】（1）,一0元二次方程（加-4）炉-（2加-l）x+冽=0有两个不相等的实数根,

△=〃-4〃c=[―（2加—1）丁—4根（m-4）=>0,且加一4工0,

BP4m2-4m+1—4m2+16m>0>且加一4w0,

解得：m>一五且相w4；

（2）加满足条件的最小正整数是机=1,

此时方程为一3%2一%+1=0,

「士屈）2_4X（_3）X11土瓦

X—2x（-3）-6

解得：玉=士姮，*=士姮•

66

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程

加+6x+c=0（"0）的根与判别式A=62_4ac,的关系是解答本题的关键.

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△£（）”】

例题：（2023春•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若小、〃是关于x的方程

/+（2左+3）x+左2=0的两个不相等的实数根，且工+工=一1,贝必的值为.

mn

【答案】3

【分析】根据根与系数的关系得至1]〃2+〃=一2左一3,mn=k2,再根据』+,=—1得至U人,一2%-3=0,解方程

mn

求出左的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可.

【详解】解：回m、W是关于X的方程尤?+（2上+3.+左2=0的两个不相等的实数根，

0m+n=—2k—3,mn=k1,

AM+〃

团----=-1,BPm+n=—mn,

mn

团一（一2左—3）=,

团上2—2左—3=0,

解得左=3或左=—1,

又团方程有两个不相等的实数根，

回A=（2左+3）2—4左2>0,

73

团人>——,

4

回左=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方

程的相关知识是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•全国•九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程/+2〃a+〃z+2=0有两个不相等的实数

根，且玉+%+网-2=2,则实数.

【答案】3

【分析】利用一元二次方程尤2+2〃忒+/一帆+2=0有两个不相等的实数根求出机的取值范围，由根与系数

关系得到玉+%=-2〃2,玉々=机2-"7+2,代入为+超+网・工2=2,解得"2的值，根据求得的力的取值范围，

确定m的值即可.

【详解】解：回关于尤的一■兀二次方程尤2+2〃犹+—根+2=0有两个不相等的实数根，

0A=（2:吟-4（苏-m+2）=4m-8>0,

解得7”>2,

2

回玉+工2=-2m,xtx2=m-m+2,x{+x2+xt-x2=2.,

0—2m+m2—m+2—2>

解得加1=3,他=0（不合题意，舍去），

回机=3

故答案为：3

【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系

数关系的内容是解题的关键.

2.（2023春•黑龙江大庆•八年级统考阶段练习）已知关于x的方程f+2尤+m=0有两个不相等的实数根.

⑴求m的取值范围.

（2）若两个实数根分别是4，々，且（占%-1）2+2（占+%）=0,求机的值.

【答案】（1）%<1

（2）m=—l

【分析】（1）根据题意可得A>0,继而求得实数机的取值范围；

（2）由方程的两个实数根为々、巧，且片+石+（玉尤J=7,可得方程机2+2〃L3=0,解关于加的方程求得

答案.

【详解】（1）解：•.・关于x的一元二次方程f+2x+m=0有两个不相等的实数根.

A=b2—4ac=22—4X1XZT?>0,

即机<1；

（2）解：由根与系数的关系可知：玉+无2=-2,Xl-x2=m,

2

1.,（x^x2-1）+2（玉+x2）=0,

.'.（m-l）2-4=0

m—l=±2,

解得：W=3或"2=-l,

而加<1,

，机的值为-1.

【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系.注意A>0o方程有两个不相等的实数根，若二次项

系数为1,常用以下关系：X],X?是方程无2+px+q=0的两根时，xt+x2=-p,玉尤2=4.

3.（2023春•安徽六安•八年级统考期末）己知关于x的一元二次方程2/+4X+优=0.

⑴若x=l是方程的一个根，求加的值和方程的另一根；

⑵若占、是方程的两个实数根，且满足考+君+5无F2-X；X；=0,求加的值.

【答案】（1）〃?的值为-6,另一个根为-3

⑵m的值为一2

【分析】（1）直接把x=l代入方程2Y+4元+机=0中，求出机的值，再根据根与系数的关系求出另一个根

即可；

（2）根据根与系数的关系得到%+无2=-2,网•尤2=5，再利用判别式求出加42,结合已知条件推出

22

（X1+X2）+3X1X2-（X1XJ=0,即（一2）2+3.£-[1=0,解方程即可得到答案.

【详解】（1）解：将x=l代入方程得，2xl2+4xl+m=0,

解得m=—6

4

设另一个根为巧，贝!]1+%=-5，

解得无2=-3

回机的值为-6,另一个根为-3；

4m

（2）解：由题意得：%+兀2=-]=一2,项，入2=万，

同时满足八之0即42-4x2m>0,

0m<2,

团了;+x；+5再％2-X1X2=0，

回（玉+%2）2+3%%2一（七％2）2=0

解得m=-2或相=8,

0m<2

团〃I二-2,

回加的值为一2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二

次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键.

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】

例题：（2023•四川凉山・统考一模）已知等腰三角形A3C的一边长。=6,另外两边的长瓦。恰好是关于x的

一元二次方程（3左+3）尤+9左=0的两个根，则AABC的周长为

【答案】15

【分析】分情况讨论：若。作为腰，则方程的一个根为6,将6代入求出发的值，然后求出方程的解，得出

三角形的周长；将。作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据A=0求出左的值，然后将人的值代

入方程求出解，得出周长.

【详解】若。=6为腰，则6、c中还有一腰，即6是方程/-（3左+3）尤+9左=。的一个根.

062-（3Z:+3）X6+9A:=O

解得：k=2

将％=2代入龙2-（3左+3）元+9左=0得：X2-9X+18=0

解得:.％=3,%=6,

此时能构成三角形，AABC的周长为：6+3+6=15

若。=6为底，则b=c,即方程有两个相等的实根.

0A=[-（3^+3）]2-4X%=O

解得：kt=k2=1

将％=1代入尤2—（3左+3）x+9左=0得：X2-6X+9=0

解得：.Xl=x2=3,

回3+3=6

回此时不能构成三角形，不能计算周长

综上可得：AABC的周长为15.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按

若。是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键.特别注意验证是否能构成三角形.

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江大庆•八年级校联考期中）方程£一9》+18=0的