2025年高考数学专项复习训练：解三角形【九大题型】原卷版+解析版

专题4.6解三角形【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】.........................................................4

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】...........................................................4

【题型3正弦定理判定三角形解的个数1.....................................................................................5

【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】.........................................................6

【题型5和三角形面积有关的问题】................................................................7

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】..................................................8

【题型7距离、高度、角度测量问题】............................................................10

【题型8求解平面几何问题】.....................................................................11

【题型9三角函数与解三角形的交汇问题】........................................................13

►考情分析

1、三角恒等变换

考点要求真题统计考情分析

(1)掌握正弦定理、余弦定解三角形是高考的重点、热点内容，

2022年新高考全国I卷、II卷:

理及其变形是每年高考必考内容之一.从近几年的

第18题，12分

⑵理解三角形的面积公高考情况来看，正弦定理、余弦定理解

2023年新课标I卷、II卷：第

式并能应用三角形在选择题、填空题中考查较多，

17题，10分

(3)能利用正弦定理、余弦也会出现在解答题中，在高考试题中出

2024年新课标I卷、II卷：第

定理解决一些简单的三角现有关解三角形的试题大多数为较易

15题，13分

形度量问题题、中档题.对于解答题，一是考查正弦

2024年全国甲卷(文数)：

(4)能够运用正弦定理、余定理、余弦定理的简单应用；二是考查

第12题，5分

弦定理等知识和方法解决正、余弦定理与三角形面积公式的综合

2024年全国甲卷(理数)：

一些与测量和几何计算有应用，有时也会与三角函数、平面向量

第11题，5分

关的实际问题等知识综合命题，需要学生灵活求解.

►知识梳理

【知识点1解三角形几类问题的解题策略】

1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想,

即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的

三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2.判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意

挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知

。力和N,解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若sin8=M4>l,则满足条件的三角形的个数为0；

a

②若si吠"1=1,则满足条件的三角形的个数为1;

③若sin2=*4<l,则满足条件的三角形的个数为1或2.

a

显然由0<sin3=/巴且<1可得8有两个值，一个大于90。，一个小于90。，考虑至广大边对大角”、“三

a

角形内角和等于180。”等，此时需进行讨论.

4.与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积;

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当4B的长度不可直接测量时，求的距离有以下三种类型：

类型简图计算方法

测得/C=6,BC=a,C的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视得48=，/+〃—2abcosC

c

~―--------------4——

-----丁

测得B,。的大小，则上兀-伊+C),

与点4可

-1由正弦定理得/AosinC

视但不可达

sin(5+C)

BaC

AB测得CD=a及4BDC,UCD,〃CD,UDC的度

C,D与点,A,B一'、/一t数.在△NCD中，用正弦定理求/C；在△2CD

均可视不可达中，用正弦定理求2C;在9台。中，用余弦

定理求NR

CaD

2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当4B的高度不可直接测量时，求4B的高度有以下三种类型:

类型简图计算方法

底部

测得BC=a,C的大小，AB=a-tanC.

可达

测得CD=a及乙4cB与UDB的度数.

点、B与

先由正弦定理求出NC或/。，再解直角三角形

C,。共线

得48的值.

底

部

不

可

达

点B与测得CD=a及乙BCD,乙BDC,UCB的度数.

C,。不在△BCD中由正弦定理求得2C,再解直角三

共线角形得的值.

3.测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方

位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图

形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

【知识点3解三角形的应用的解题策略】

1.平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

2.解三角形与三角函数的综合应用

解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：

(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；

(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.

【方法技巧与总结】

1.三角形中的三角函数关系

(l)sin(^+5)=sinC；

(2)cos(N+8尸-cosC；

.A+BC

(3)sm---=cos—；

(4)cos/¥=siny.

2.三角形中的射影定理

在中，a=bcosC+ccosB；h=acosC+ccosA；C=ACOS/+QCOS注

3.在△/BC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

A>B。令a>b<=>sin4>sinB<=>

cosA<cosB.

►举一反三

【题型I正、余弦定理求三角形的边与角】

【例1】(2024•浙江绍兴•三模)在△4BC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c.若2bcos(B+C)-a

cosC=ccosX,则/等于()

7T7T7T27r

A.%B.zC.§D,—

【变式1-1](2024•河南关B州•三模)△ABC的内角A5C所对的边分别为a,b,c.若b=7,c=6,cos8=g,则口=

()

A.5B.6C.8D.10

【变式1-2](2024•江西九江•三模)在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,6,c,已知2c-a=2bcosA,则8=

()

n712n5n

A.TB.TC.vD.—

。336

【变式1-3](2024•陕西安康•模拟预测)在△NBC中，三个内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且acos

(B+/)=bsin4若a=c=2,贝(J6=()

A.1B.2C.2V3D.4

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】

【例2】(2024•陕西渭南•三模)已知△ABC中，角/,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcosC+ccos

B=b,且。=区0$5,贝!J△ABC是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【变式2-1]（23-24高一下•广东广州•期中）在△4BC中，角/、B、C所对的边为“、6、c若号=鬻，则

△力BC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【变式2-2]（2024・山东•二模）在△4BC中，设内角4B,C的对边分别为a,hc,设甲：b-c=a（cosC-cos

B）,设乙：△4BC是直角三角形，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【变式2-3】（2023•甘肃酒泉•三模）在△ABC中内角48,C的对边分别为a,b,c,若q=鬻署，则△4BC的

sinrjcos/l

形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】

【例3】（2024・福建•模拟预测）在△ABC中，已知2=去a=2,若aABC有两解，则（）

A.2<fa<4B.b>4C.2</?<4D.0<b<2

【变式3-1]（2023•贵州・模拟预测）△4BC中，角4SC的对边分别是a,比c,4=60。,a=遮.若这个三角

形有两解，则6的取值范围是（）

A.V3</）<2B.V3</）<2

C.l<b<2V3D.l<b<2

【变式3-2]（2023•浙江•模拟预测）在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,6,c.若B=紧=4,且该三角形

有两解，贝!16的范围是（）

A.（2V3,+oo）B.（28,4）

C.（0,4）D.（373,4）

【变式3-3]（2024•湖北•模拟预测）在△4BC中，已知=BC=2鱼，C=^,若存在两个这样的三角

形力BC,贝汉的取值范围是()

A.[2V2,+00)B.(0,2①C.(2,272)D.(V2,2)

【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】

【例4】(2024•全国•模拟预测)在△4BC中，点。，E都是边2C上且与2,C不重合的点，且点。在2,

£之间，AE-AC-BD=ADAB-CE.

(1)求证：sinZ-BAD=sinzCXF.

⑵若AB1女，求证：盛+慈=匚』.

【变式4-1](2024•北京西城•二模)在△ABC中，2V^cos2q+2sin9cos£=旧.

(1)求B的大小；

(2)若遍(a+c)=2b,证明：a=c.

【变式4・2】(2024•广东•二模)如图，已知A45C内有一点尸，满足/尸/8=乙尸=4尸C4=a.

(1)证明：PBsinABC=ABsina.

(2)若4ABe=90°,AB=BC=1,求尸C

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)在△4BC中，A<B<C,且tanA,tanB,tanC均为整数.

(1)求2的大小；

(2)设4C的中点为。，求证：BC=BD.

【题型5和三角形面积有关的问题】

【例5】(2024•西藏•模拟预测)已知△ABC的内角B,C的对边分别为a,b,c,且26sin(a+》

—2a=c.

⑴求3;

(2)若N4BC的平分线交2C于点D,且BD=2,a=3,求△48C的面积.

【变式5-1](2024•辽宁•模拟预测)如图，在平面内，四边形4BCD满足B,。点在AC的两侧，4B=1,

BC=2,△ACD为正三角形，设乙4BC=a.

D

(1)当a=三时，求4C；

(2)当a变化时，求四边形A8CD面积的最大值.

【变式5-2](2024•四川攀枝花•三模)请在①2a—b=2ccosB,=tanC+tanB,@V3sin(X+B)=3-2

cos2^三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成解答.

△A8C的内角所对的边分别是a,6,c,已知.

(1)求角C

(2)若b=4,点。在边48上，CD为N2CB的平分线，△CDB的面积为竽，求边长a的值.

【变式5-3](2024•全国•模拟预测)记锐角三角形4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,己知bcosA=

V3—acosB,2asinC=V3.

(1)求4

(2)求△ABC面积的取值范围.

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】

【例6】(2024•江西•模拟预测)在△ABC中，角4B,。所对的边分别记为a,b,c,且tan2=

(1)若B=?求C的大小.

(2)若a=2,求b+c的取值范围.

【变式6-1](2024•安徽淮北•二模)记△力BC的内角45C的对边分别为a,b,c,已知c—b=Zcsii^

(1)试判断△ABC的形状；

(2)若c=l,求△ABC周长的最大值.

【变式6-2](2023・全国•模拟预测)在锐角三角形ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且

3

sin2X—Zsin^cosBsinC+sin2c=

4

⑴求角B的值.

(2)求答的取值范围.

【变式6-3](2023・湖南长沙•一模)在锐角△ABC中，角/,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知

sin?l—sinBsinC

V3a-ca+b*

(1)求角B的值；

(2)若a=2,求△4BC的周长的取值范围.

【题型7距离、高度、角度测量问题】

【例7】（2024・湖南•模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁

徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理

条件的限制，分别选择C点和一建筑物的楼顶£为测量观测点，已知点/为塔底，在水平地面上，

来雁塔4B和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得CD=18m/D=15m,在C点处测得E点的仰角

为30。，在£点处测得8点的仰角为60。，则来雁塔的高度约为（）（旧=1.732,精确到0.1m）

A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m

【变式7-1]（2024・贵州・模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑

之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣

统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高

度，选取了与该楼底8在同一水平面内的两个测量基点C与。，现测得NBCD=23。，^CDB=30°,

CD=11.2m,在C点测得甲秀楼顶端人的仰角为72.4。，则甲秀楼的高度约为（参考数据：tan72.4°«3.15,

sin53°«0.8）（）

D

A.20mB.21mC.22mD.23m

【变式7-2]（23-24高一下•浙江温州•期中）如图，在坡度一定的山坡&处测得山顶上一建筑物CD的顶端C

对于山坡的斜度为15。，向山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为45。.若CD=50m,山坡

与地平面的夹角为e,则cos。等于（）

A.¥B.亨C.1D.Vs_1

【变式7-3]（2024•全国•模拟预测）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的

正东方向找到一座建筑物4B,高为10（3-B）m,在它们之间的地面上的点M（B,M,。三点共线）处测得

楼顶4教堂顶C的仰角分别是15。和60。,在楼顶4处测得塔顶C的仰角为30。，则小明估算索菲亚教堂的高度

为（）

A.60mD.30m

【题型8求解平面几何问题】

【例8】（2023•河南•模拟预测）如图,在四边形48CD中，AB1BC/ADC=120°,71B=CD=2AD,AACD

的面积为冬

⑴求sin44B；

(2)证明：Z-CAB=2LCAD.

【变式8-1](2023•河南信阳•模拟预测)在△ABC中，ABAC=60。，△4BC的面积为10旧，D为BC的中

点，£^147于点瓦。尸148于点尸.

(1)求的面积；

(2)若4。=等，求sinN力BC+sin/ACB的值.

【变式8-2](2024•陕西西安•一模)已知平面四边形ABCD的对角线分别为AC,BD,其中反=次瓦sin/BA。・

tanZ.ABD=sinZ.ABD-sinZ.ADB.

(1)探究：△AB。是否为直角三角形；若是.请说明哪个角为直角，若不是，请给出相关理由；

(2)记平面四边形4BCD的面积为S,若|沆|=2,且恒有S<4,求实数力的取值范围.

【变式8-3](2023•山西吕梁•二模)如图，在平面四边形4BCD中，/2=135。，AB=2,乙4BO的平分线

交于点E,且BE=2近.

⑴求“BE及BD；

(2)若NBCD=60。，求△BCD周长的最大值.

【题型9三角函数与解三角形的交汇问题】

【例9】(2023•湖南•模拟预测)已知函数/(x)=2V§sinxcos久-2cos2久.

(1)求函数y=Iog2/(X)的定义域和值域；

(2)已知锐角△48C的三个内角分别为4,B,C,若/(勺=0,求手的最大值.

【变式9-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/'(久)=si吟一gsi碌o或+1.

(1)求函数y=f(x)的单调递减区间；

(2)在△4BC中，内角B,C的对边分别为a,b,c,且满足。2-。2=accosB-加，求/'(B)的取值范围.

【变式9-2](23-24高一下•四川巴中•期末)已知函数/(x)=2sin(s+9)(3〉0,—]<0<乡的部分图象

如图所示.

(2)在锐角△4BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若/⑷=板，b=2,且△力BC的面积为竽,

求a.

【变式9-3](2024・北京•三模)已知函数/(%)=2V3sin6oxcos6)x+2cos23%,®>0)的最小正周期为n.

⑴求切的值；

(2)在锐角△ABC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.c为/(%)在[。,4上的最大值，再从条件①、条件

②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求力的取值范围.条件①：acosB+bcosA=2ccosC；条件

②：2asinAcosB+bsin2A=遮口；条件③：△ABC的面积为S,且5=①竽二2注：如果选择多个条件

分别解答，按第一个条件计分.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•江西赣州•二模)记△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若b=l,a2-l=c(c-l),

则4=()

5n

2.（2024•贵州六盘水•三模）在△4BC中，2B=2,2C=3,乙4=己，则△ABC外接圆的半径为（）

A.立B.@C.也D.源

3333

3.（2024•北京海淀•二模）在△4BC中，4B=4/C=5,cosC=1,贝IJ8C的长为（）

A.6或|B.6C.3+3V2D.3

1

4.（2024•宁夏银川•三模）△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,sinC=",若△ABC

有两解，则C的取值可能为（）

A.3B.4C.5D.6

2

5.（2024•重庆•模拟预测）记△4BC的内角4B,C的对边分别为a,hc,若B=尹力=6必2+c2=3ac,则4ABC

的面积为（）

4竽B.|C.竽D.1

6.（2024•陕西西安•模拟预测）在100m高的楼顶4处，测得正西方向地面上B、C两点（B、C与楼底在同一

水平面上）的俯角分别是75。和15。，则B、C两点之间的距离为（）.

A.200V2B.240V2C.180V3D.200V3

7.（2024・四川成都・模拟预测）设锐角△ABC的三个内角AB,C的对边分别为a,6,c,且c=2,B=2C,贝必+6

的取值范围为（）

A.（2,10）B.（2+2V2,10）C.（2+2V2,4+2V3）D.（4+2百,10）

8.（2024•山东聊城•二模）如图，在平面四边形力BCD中，AB=AD=2,zB=2zD=120°,记△ABC与△力CD

的面积分别为S1S2,则S2-S1的值为（）

A

A.2B.V3C.1D.孚

二、多选题

9.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）在△ABC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,且已知a=2,贝|（）

A.若力=45°,且△4BC有两解，贝伊的取值范围是（2,2伪

B.若4=45。，且6=4,则△2BC恰有一解.

C.若c=3,且△力BC为钝角三角形，则b的取值范围是（后,5）

D.若c=3,且△ABC为锐角三角形，贝拈的取值范围是（而,而）

10.（2024•福建泉州•模拟预测）△4BC中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,AABC

的面积S=穿亚•尼，则以下说法正确的是（）

A.A=30°

B.△ABC的周长的最大值为6

C.若be=4,则△ABC为正三角形

D.若4B边上的中线长等于竽，贝口=旧

11.（2024•河北邯郸•三模）已知△4BC的三个内角4,B,C的对边分别是a,b,c,面积为哼

（a2+c2-房），则下列说法正确的是（）

A.cosAcosC的取值范围是（一，

B.若。为边4C的中点，且BD=1,则△ABC的面积的最大值为手

C.若△4BC是锐角三角形，贝咛的取值范围是0,2）

D.若角B的平分线BE与边4C相交于点E,且BE=8，贝|a+4c的最小值为10

三、填空题

12.（2024•新疆•三模）在△ABC中，3sinX=2sinC,cosB=5则sinA=.

13.（2024•宁夏石嘴山•模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔,

内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了

测量海宝塔的高度，某同学(身高173cm)在点力处测得塔顶D的仰角为45°,然后沿点4向塔的正前方走了

38m到达点B处，此时测得塔顶。的仰角为75°,据此可估计海宝塔的高度约为m.(计算结果精确到

0.1)

14.(2024•陕西安康•模拟预测)如图，平面四边形力BCD中，AB=3,AC=2BC,AD=DC.^ADC=90°,则

四边形4BCD面积的最大值为.

四、解答题

15.(2024・云南•模拟预测)在△4BC中，角4B,C所对的边分别为a,6,c,且满足cos^gsi吟一cos])=a

⑴求角4

(2)D为边BC上一点，DA1BA,且BD=4DC,求cosC.

16.(2024•陕西安康•模拟预测)在△ABC中，角45。的对边分别是a,b,c,tanC=(a—l)tanB.

(1)求证：bcosC=1；

(2)若a=2,△ABC面积为1,求边c的长.

17.(2024•安徽合肥・三模)如图，某人开车在山脚下水平公路上自4向B行驶，在4处测得山顶P处的仰角

"2。=30。,该车以45km/h的速度匀速行驶4分钟后，到达B处,此时测得仰角NPB。=45。,且cos乙4OB=-

V3

V'

(1)求此山的高。P的值;

(2)求该车从a到B行驶过程中观测p点的仰角正切值的最大值.

18.(2024•辽宁•模拟预测)已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,6,c,(c—V^b)sinC=(a—b)

(sinZ+sinB).

(1)求4

(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6,求△ABC的周长/的取值范围.

19.(2024•黑龙江大庆•模拟预测)某公园计划改造一块四边形区域/BCD铺设草坪，其中4B=2百米，BC=1

百米，AD=CD,ADLCD,草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟NC、BD,其

中〃、N、E分别为边BC、AB、NC的中点.

(1)若乙4BC=*求排水沟助的长;

(2)若乙4BC=a,试用a表不4条人行道的总长度.

专题4.6解三角形【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】.........................................................4

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】...........................................................6

【题型3正弦定理判定三角形解的个数1.....................................................................................7

【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】.........................................................9

【题型5和三角形面积有关的问题】...............................................................13

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】.................................................17

【题型7距离、高度、角度测量问题】............................................................20

【题型8求解平面几何问题】.....................................................................23

【题型9三角函数与解三角形的交汇问题】........................................................27

►考情分析

1、三角恒等变换

考点要求真题统计考情分析

(1)掌握正弦定理、余弦定解三角形是高考的重点、热点内容，

2022年新高考全国I卷、II卷:

理及其变形是每年高考必考内容之一.从近几年的

第18题，12分

⑵理解三角形的面积公高考情况来看，正弦定理、余弦定理解

2023年新课标I卷、II卷：第

式并能应用三角形在选择题、填空题中考查较多，

17题，10分

(3)能利用正弦定理、余弦也会出现在解答题中，在高考试题中出

2024年新课标I卷、II卷：第

定理解决一些简单的三角现有关解三角形的试题大多数为较易

15题，13分

形度量问题题、中档题.对于解答题，一是考查正弦

2024年全国甲卷(文数)：

(4)能够运用正弦定理、余定理、余弦定理的简单应用；二是考查

第12题，5分

弦定理等知识和方法解决正、余弦定理与三角形面积公式的综合

2024年全国甲卷(理数)：

一些与测量和几何计算有应用，有时也会与三角函数、平面向量

第11题，5分

关的实际问题等知识综合命题，需要学生灵活求解.

►知识梳理

【知识点1解三角形几类问题的解题策略】

1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想,

即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的

三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2.判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意

挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知

。力和N,解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若sin8=M4>l,则满足条件的三角形的个数为0；

a

②若si吠"1=1,则满足条件的三角形的个数为1;

③若sin2=*4<l,则满足条件的三角形的个数为1或2.

a

显然由0<sin3=/巴且<1可得8有两个值，一个大于90。，一个小于90。，考虑至广大边对大角”、“三

a

角形内角和等于180。”等，此时需进行讨论.

4.与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积;

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当4B的长度不可直接测量时，求的距离有以下三种类型：

类型简图计算方法

测得/C=6,BC=a,C的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视得48=，/+〃—2abcosC

c

~―--------------4——

-----丁

测得B,。的大小，则上兀-伊+C),

与点4可

-1由正弦定理得/AosinC

视但不可达

sin(5+C)

BaC

AB测得CD=a及4BDC,UCD,〃CD,UDC的度

C,D与点,A,B一'、/一t数.在△NCD中，用正弦定理求/C；在△2CD

均可视不可达中，用正弦定理求2C;在9台。中，用余弦

定理求NR

CaD

2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当4B的高度不可直接测量时，求4B的高度有以下三种类型:

类型简图计算方法

底部

测得BC=a,C的大小，AB=a-tanC.

可达

测得CD=a及乙4cB与UDB的度数.

点、B与

先由正弦定理求出NC或/。，再解直角三角形

C,。共线

得48的值.

底

部

不

可

达

点B与测得CD=a及乙BCD,乙BDC,UCB的度数.

C,。不在△BCD中由正弦定理求得2C,再解直角三

共线角形得的值.

3.测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方

位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图

形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

【知识点3解三角形的应用的解题策略】

1.平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

2.解三角形与三角函数的综合应用

解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：

(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；

(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.

【方法技巧与总结】

1.三角形中的三角函数关系

(l)sin(^+5)=sinC；

(2)cos(N+8尸-cosC；

.A+BC

(3)sm---=cos—；

(4)cos/¥=siny.

2.三角形中的射影定理

在中，a=bcosC+ccosB；h=acosC+ccosA；C=ACOS/+QCOS注

3.在△/BC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

A>B。令a>b<=>sin4>sinB<=>

cosA<cosB.

►举一反三

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】

【例1】(2024•浙江绍兴•三模)在△4BC中，内角力,B,C所对的边分别为a,b,c.若2bcos(B+C)-a

cosC=ccosX,则/等于()

7T7T7T27r

A.%B.zC.§D,—

【解题思路】本题先根据诱导公式对条件式进行化简，再用余弦定理进行边角互化，即可得出答案.

【解答过程】因为2bcos(B+C)—acosC=ccosA,所以2bcos(ir_4)=acosC+ccosA,

即一2bcos/=acosC+ccos/,

如图，过5点作8014c于可知acosC+ccos/=b,

所以—2bcos/=b,

所以cos/=又4E(O^ir),所以4=竽.

故选：D.

【变式1-1](2024•河南郑州•三模)△48C的内角4B,C所对的边分别为a,b,c.若b=7,c=6,cosB=",则口=

A.5B.6C.8D.10

【解题思路】直接由余弦定理的变形式解出即可.

【解答过程】在△4BC中，由余弦定理可得：cosB=*X=丘浮”=]

2acIZa5

化简得：5a2-12a-65=0,解得：。=5或。=一得(舍).

故选：A.

【变式1・2】(2024•江西九江•三模)在△ABC中，角所对的边分别为2瓦c,已知2c—a=2bcos4则8=

()

A.£B.C.vD.

。336

【解题思路】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.

【解答过程】因为2c-a=2bcos4

由正弦定理，2sinC-sinZ=2sinBcosA

因为4+B+C=IT,・••2sin(>l+B)-2sin^coSi4