2024-2025学年新教材高中数学第一章直线与圆2圆与圆的方程1.2.2圆的一般方程课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(八)圆的一般方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点 B．一个圆C．一条直线 D．不存在A[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()A．8B．－4C．6D．无法确定C[圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，即－eq\f(m,2)＋3＝0，∴m＝6．]3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(\r(2),2)，则a的值为()A．－2或2B．eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0D．－2或0C[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝2或0，故选C．]4．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为()A．2或1B．－2或－1C．2D．1C[∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，∴m＞1．又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2．]5．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个C[∵圆心(－1，－2)，r＝eq\f(1,2)eq\r(4＋16＋12)＝2eq\r(2)，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)．∴共有3个点．]二、填空题6．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．(x－1)2＋y2＝1[以(0，0)，(1，1)，(2，0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1．]7．若l是经过点P(－1，0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．－1[圆心C(－2，1)，则直线l的斜率k＝eq\f(1－0,－2＋1)＝－1，所以直线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，所以l在y轴上的截距是－1．]8．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________．x＋2y＋1＝0[由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0．]三、解答题9．求经过点A(6，5)，B(0，1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．[解]设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(62＋52＋6D＋5E＋F＝0，,02＋12＋0×D＋1×E＋F＝0，,3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋10·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＋9＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6D＋5E＋F＝－61，,E＋F＝－1，,3D＋10E＝18，))解得eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－14，,E＝6，,F＝－7.))因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0．10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解](1)据题意知，D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq\f(1,5)，故m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))．(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq\r(1－5m)．11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆D[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径长的圆．]12．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16B[设M(x，y)，则M满意eq\r(x－82＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理得x2＋y2＝16．]13．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是()A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2C．a＋b＝1D．ab的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))ABCD[原方程可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2))2＝4，故其圆心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，半径是2．由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，所以a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，所以ab的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))，故选ABCD．]14．(一题两空)假如圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________．x2＋(y＋1)2＝1π[将圆的方程配方，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝－eq\f(3,4)k2＋1，∵r2＝1－eq\f(3,4)k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0．故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π．]15．已知线段AB的端点B的坐标为(8，6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[解]设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8，6)，且P为线段AB的中点，∴x＝eq\f(x0＋8,2)，y＝eq\f(y0＋6,2)，于是有x0＝