2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.1.2圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价二十圆柱、圆锥、圆台、球、简洁组合体的结构特征(15分钟30分)1.(2024·杭州高一检测)用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是 ()A.圆锥 B.圆柱C.球体 D.以上都有可能【解析】选B.用一个平面去截一个圆锥,得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线的一支、三角形,不行能是四边形,故A不满意要求;用一个平面去截一个圆柱,得到的图形可能是圆、椭圆、四边形,故B满意要求;用一个平面去截一个球体,得到的图形只能是圆,故C不满意要求.2.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是 ()A.该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形【解析】选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面,故D说法不正确.3.如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法:①由一个长方体割去一个四棱柱构成.②由一个长方体与两个四棱柱组合而成.③由一个长方体挖去一个四棱台构成.④由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中正确说法的序号是.

【解析】该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的,也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的.答案:①②4.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,则这个圆台的母线长为cm.

【解析】如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12cm,BC=8-3=5(cm),所以AB=QUOTE=13(cm).答案:135.指出图中的三个几何体分别是由哪些简洁几何体组成的.【解析】(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成.(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成.(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.下列平面图形中,通过围绕定直线l旋转可得到如图所示几何体的是 ()【解析】选B.A.是一个圆锥以及一个圆柱;C.是两个圆锥;D.是一个圆锥以及一个圆柱,所以选B.2.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是 ()A.2 B.2π C.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE【解析】选C.设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr=8,所以r=QUOTE;同理,若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长,则2πr=4,所以r=QUOTE.3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的直径为 ()A.2QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,则πr2=π,所以r=1.设球的半径为R,则R=QUOTE=QUOTE,故球的直径为2QUOTE.4.已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为 ()A.1 B.2 C.1或7 D.2或6【解析】选C.由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4-3=1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4+3=7.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是 ()【解析】选AD.当截面过旋转轴时,圆锥的轴截面为等腰三角形,此时A符合条件;当截面不过旋转轴时,圆锥的截面为曲线,此时D符合条件;故截面图形可能是AD.6.在一个密闭透亮的圆柱桶内装肯定体积的水,将该圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形态可能是 ()A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面【解析】选ABD.当圆柱桶竖直放置时,水平面形态为圆形;当圆柱桶水平放置时,水平面为矩形;当圆柱桶倾斜放置时,若水平面经过底面,则水平面为椭圆的一部分,若水平面不经过底面,则水平面为椭圆.三、填空题(每小题5分,共10分)7.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12πcm,如图所示,则该地球仪的半径是cm.

【解析】如图所示,由题意知,北纬30°所在小圆的周长为12πcm,则该小圆的半径r=6cm,其中∠ABO=30°,所以该地球仪的半径R=QUOTE=4QUOTE(cm).答案:4QUOTE【补偿训练】若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为QUOTE,则这个圆锥的母线长为.

【解析】如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由题意知,圆锥的母线长即为△ABC的边长,且S△ABC=QUOTEAB2,所以QUOTE=QUOTEAB2,所以AB=2.故圆锥的母线长为2.答案:28.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为.(只填写序号)

【解析】当截面是正方体的对角面时,截面图形如③;当截面与正方体的一面平行时,截面图形如①,当截面不与正方体的一面平行时可以为②.答案:①②③四、解答题(每小题10分,共20分)9.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面面积之比是1∶16,圆台的母线长为15,求圆锥的母线长.【解析】已知圆台的上、下底面面积之比是1∶16,设圆台的上底面半径r=1,则下底面半径R=4.设圆锥的母线长为x.由相像三角形可得:QUOTE=QUOTE解得x=20.故得圆锥的母线长为20.10.一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)用x表示圆柱的轴截面面积S.(2)当x为何值时,S最大?【解析】画出圆柱和圆锥的轴截面.如图,设圆柱的底面半径为r,则由三角形相像可得QUOTE=QUOTE,解得r=2-QUOTE.(1)圆柱的轴截面面积S=2r×x=2×QUOTE×x=-QUOTEx2+4x,x∈(0,6).(2)因为S=-QUOTEx2+4x=-QUOTE(x2-6x)=-QUOTE(x-3)2+6,所以当x=3时,S有最大值6.1.用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥,放在水平桌面上,被一阵风吹倒,如图所示,求此时它的最高点到桌面的距离.【解析】如图所示,设PAB为轴截面,过点A作AD⊥PB,π·AB=10πcm,解得AB=10cm,所以△PAB是等边三角形,所以AD=AB·sin60°=10×QUOTE=5QUOTE(cm).所以它的最高点到桌面的距离为5QUOTE2.如图所示,有一圆锥形粮堆,母线与底面直径构成边长为6m的正三角形ABC,圆锥粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥粮堆侧面到达P处捕获老鼠,求小猫所