2024-2025学年新教材高中数学第五章计数原理2第1课时排列与排列数排列数公式学案北师大版选择性必修第一册

PAGE§2排列第1课时排列与排列数、排列数公式新课程标准学业水平要求通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式．1.理解排列的概念，能正确写出一些简洁问题的全部排列．(数学抽象)2．理解排列数公式的推导并应用．(逻辑推理)3．驾驭排列数公式并会运用．(数学运算)必备学问·自主学习1．排列：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，依据肯定的依次排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2.相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)依次相同．(1)排列中“肯定的依次”的含义是什么？提示：肯定的依次就是指排列中的元素与位置有关，当位置不同时排列也就不同．(2)排列定义中的两个要素是什么？提示：一是“取出不同的元素”，二是“将元素按肯定依次排列”．3．排列中元素所满意的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个不同的元素，否则不是排列问题．(2)有序性：支配这m个元素时是有依次的，有序的就是排列，无序的不是排列．检验它是否有依次的依据是变换元素的位置，看结果是否发生改变，有改变就是有依次，无改变就是无依次．(1)每一个排列中元素的位置是确定的吗？提示：是，元素在排列中的位置不同排列也就不同．(2)同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？提示：由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．4．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的全部不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法全排列n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个元素的一个全排列，且Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝n×(n－1)×…×3×2×1阶乘正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n！表示排列数公式乘积式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]阶乘式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝规定Aeq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝1，0！＝1备注n，m∈N＋，m≤n(1)“得到从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列”的含义是什么？提示：“得到从n个不同元素中取出m个元素的一个排列”，包含两个方面：①从n个不同元素中取出m个元素；②依据肯定依次排列．(2)排列与排列数有何不同？提示：排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素依据肯定依次排成一列，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数，是一个数，用Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不肯定是整数．()(2)在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．()(3)用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．()(4)若Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.()提示：(1)×.排列数是从若干个不同元素中取出若干个不同元素的排列的个数，所以排列数肯定是整数．(2)×.在排列问题中总体内元素不能重复．(3)√.依据排列的定义可以推断123与321是不同的排列．(4)×.在Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))中m表示连乘因数的个数，所以，n＝10，m＝5.2．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有()A．144种 B．90种C．260种 D．120种【解析】选A.3名女生先排好，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种排法，让3个男生去插空，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))种方法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝144种．3．9×10×11×…×20可表示为()A．Aeq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(20))B．Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(20))C．Aeq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(20))D．Aeq\o\al(\s\up1(13),\s\do1(20))【解析】选C.Aeq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(20))＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.4．从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．【解析】12，13，21，23，31，32，共6个．答案：6关键实力·合作学习类型一排列数的计算公式(数学运算)1．(2024·福州高二检测)(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)(x∈N＋，x>15)可表示为()A．Aeq\o\al(\s\up1(13),\s\do1(x－2))B．Aeq\o\al(\s\up1(14),\s\do1(x－2))C．Aeq\o\al(\s\up1(13),\s\do1(x－15))D．Aeq\o\al(\s\up1(14),\s\do1(x－15))2．已知Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝11×10×9×8×…×5，则m＋n为________．3．(1)计算Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))和Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6)).(2)用排列数表示(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N*且n＜55).(3)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m).【解析】1.选B.由题意x∈N＋，x>15.其中最大的数(x－2)为n，则m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14.所以(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)＝Aeq\o\al(\s\up1(14),\s\do1(x－2)).2．因为Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝11×10×9×8×…×5，所以n＝11，m＝(11－5)＋1＝7，m＋n＝18.答案：183．(1)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))＝15×14×13＝2730，Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15个数，所以(55－n)(56－n)·…·(69－n)＝Aeq\o\al(\s\up1(15),\s\do1(69－n)).(3)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝Aeq\o\al(\s\up1(m＋1),\s\do1(n＋m)).排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时留意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会削减运算量．【补偿训练】计算：eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝________．【解析】Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))＝7×6×5×4×3×2，Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))＝6×5×4×3×2，Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝5×4×3×2，所以eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝7×6－6＝36.答案：36类型二简洁问题中的排列(逻辑推理)1．若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，则构成的不同直线的条数是()A．12条B．9条C．8条D．4条2．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，而体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是()A．24B．22C．20D．123．写出下列问题的全部排列：(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数．(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数，试全部列出．【解析】1.选A.画树状图如下：故共有12条．2．选D.分两步排课：体育可以排其次节或第三节有两种排法；其他科目有：语文、数学、外语语文、外语、数学数学、语文、外语数学、外语、语文外语、语文、数学外语、数学、语文共6种排法，所以依据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12种排课方案．3．(1)全部两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数．(2)画出树状图，如图所示．由上面的树状图可知，全部的四位数为1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321，共24个四位数．利用“树状图”法解决简洁排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列对象个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将对象按肯定依次排出，然后以先支配哪个对象为分类标准进行分类，再支配其次个对象，并按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．类型三排列与排列数公式的简洁应用(逻辑推理、数学运算)【典例】1.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数为()A．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) B．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))C．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) D．Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))－4Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))2．有2名老师，3名男生，3名女生站成一排照相留念，在下列状况中，各有多少种不同站法．(1)3名男生必需站在一起．(2)2名老师不能相邻．【思路导引】1．先将5名成人进行排列，再依据题中条件对小孩进行排列．2．(1)男生必需相邻，可把三个男生看成一个整体，进行全排列，再乘以三个男生的全排列，即可计算结果；(2)先把6名学生进行全排列，利用插空法插入两名老师，即可得到计算结果．【解析】1.选A.首先5名成人先排队，共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))种排法，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种排法，依据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种排法．2．(1)把3名男生看成一个整体与其他人排列有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))种，再来考虑3名男生间的依次有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种，故3名男生必需站在一起的排法有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝4320种．(2)6名学生先站成一排有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))种站法，再插入两名老师有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))种插法，故2名老师不相邻的站法有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝30240种．解简洁排列应用题的思路(1)仔细分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有依次．(2)假如是的话，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以及从n个不同的对象中任取m(m≤n)个对象的每一种排列对应的是什么事务．(3)运用排列数公式求解．提示：解答相关的应用题时不要忽视n为正整数这一条件．小五、小一、小节、小快、小乐五位同学站成一排，若小一不出现在首位和末位，小五、小节、小乐中有且仅有两人相邻，求能满意条件的不同排法共有多少种．【解析】按小一的位置分三类：①当小一出现在第2位时，则第1位必为小五、小节、小乐中的一位同学，所以满意条件的不同排法有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12种；②当小一出现在第3位时，则第1位、第2位为小五、小节、小乐中的两位同学或第4位、第5位为小五、小节、小乐中的两位同学，所以满意条件的不同排法有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝24种；③当小一出现在第4位时，则第5位必为小五、小节、小乐中的一位同学，所以满意条件的不同排法有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12种．综上，共有12＋24＋12＝48种．课堂检测·素养达标1．已知下列问题：(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参与数学和物理学习小组．(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参与一项活动．(3)从a，b，c，d四个字母中取出2个字母．(4)从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】选B.(1)是排列问题，因为两名同学参与的学习小组与依次有关．(2)不是排列问题，因为两名同学参与的活动与依次无关．(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与依次无关．(4)是排列问题，因为取出的两个数字还须要按依次排成一列．2．(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)，x∈N*，x>13可表示为()A．Aeq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(x－3)) B．Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(x－3)) C．Aeq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(x－13)) D．Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(x－13))【解析】选B.从(x－3)到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11个数，所以依据排列数公式知(x－3)(x－4)(x－5)·…·(x－12)(x－13)＝Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(x－3)).3．已知Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝132，则n＝()A．11 B．