2025版高考数学一轮复习练案54第八章解析几何第六讲双曲线含解析新人教版

第六讲双曲线A组基础巩固一、单选题1．(2024·河北保定模拟)若方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是(A)A．m<2或m>6 B．2<m<6C．m<－6或m>－2 D．－6<m<－2[解析]∵方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示双曲线，∴(m－2)(6－m)<0，∴m>6或m<2，选A.2．(2024·新课标Ⅲ)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\r(5).P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则a＝(A)A．1 B．2C．4 D．8[解析]由题意，设PF2＝m，PF1＝n，可得m－n＝2a，eq\f(1,2)mn＝4，m2＋n2＝4c2，可得4c2＝16＋4a2，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，解得a＝1，故选A.3．(2024·课标全国Ⅲ卷)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(D)A．eq\r(2) B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)[解析]∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2)，且a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，∴点(4,0)到C的渐近线的距离为eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2).4．(2024·福建南平质检)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为(C)A．8eq\r(3) B．6eq\r(3)C．4eq\r(3) D．2eq\r(3)[解析]在△F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，得4c2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°，由||PF1|－|PF2||＝2a，得|PF1|·|PF2|＝4b2＝16.△F1PF2的面积为eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝4eq\r(3).故选C．5．(2024·河南新乡模拟)若双曲线y2－a2x2＝1(a>0)实轴的顶点到它的渐近线的距离为eq\f(1,4)，则该双曲线的离心率为(B)A．eq\f(\r(15),3) B．eq\f(4\r(15),15)C．eq\f(16,15) D．eq\f(2\r(15),5)[解析]双曲线y2－a2x2＝1(a>0)的一个顶点为(0,1)，一条渐近线为y－ax＝0，点(0,1)到直线y－ax＝0的距离为eq\f(1,\r(1＋a2))＝eq\f(1,4)，所以a＝eq\r(15).所以双曲线的方程为y2－eq\f(x2,\f(1,15))＝1，则c＝eq\f(4,\r(15))，故其离心率为eq\f(c,1)＝eq\f(4,\r(15))＝eq\f(4\r(15),15).6．(2024·天津)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(D)A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1[解析]抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝－b(x－1)，∵双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∴－eq\f(b,a)＝－b，eq\f(b,a)·(－b)＝－1，∴a＝1，b＝1，∴双曲线C的方程为x2－y2＝1，故选D.7．(2024·广东调研)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，若EF＝3OE(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为(C)A．eq\r(5) B．2eq\r(2)C．eq\r(10) D．2eq\r(3)[解析]由题知，EF＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，又OF＝c，∴OE＝eq\r(OF2－EF2)＝eq\r(c2－b2)＝a，∴b＝3a，故双曲线的离心率为e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(10).8．(2024·广东茂名综合测试)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(x－m)2＋y2＝4(m>0)截得的线段长为2，则实数m的值为(C)A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．2 D．1[解析]依题意eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴双曲线渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，不妨取渐近线l1：eq\r(3)x－y＝0，则圆心(m,0)(m>0)到l1的距离d＝eq\f(|\r(3)m|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3)m,2)，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2＝22，解得m＝±2.∵m>0，∴m＝2.故选C．9．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C经过点(eq\r(2)，3)，其渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，则C的标准方程为(D)A．eq\f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1 D．eq\f(y2,3)－x2＝1[解析]由题意知可设双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝λ，∴λ＝(eq\r(2))2－eq\f(32,3)＝－1，故C的标准方程为eq\f(y2,3)－x2＝1.故选D.10．(2024·四川达州质检)F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，M是双曲线右支上一点，直线MF切圆x2＋y2＝a2于点N，eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))，则C的离心率是(A)A．eq\r(5) B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)[解析]∵eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))，∴N是FM的中点，F2是右焦点，则O是F1F2中点，∴ON∥F2M，∵N是切点，∴|ON|＝a，ON⊥FM，∴|MF2|＝2a，MF2⊥MF，又由|MF|－|MF2|＝2a得|MF|＝4a，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).故选A.二、多选题11．(2024·广东新课改大联考)已知双曲线C：x2－eq\f(y2,6)＝1，则(AC)A．C的离心率为eq\r(7)B．C的虚轴长是实轴长的6倍C．双曲线eq\f(y2,6)－x2＝1与C的渐近线相同D．直线y＝3x上存在一点在C上[解析]因为a2＝1，b2＝6，所以c2＝1＋6＝7，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(7)，eq\f(2b,2a)＝eq\r(6)，所以A正确，B错误．双曲线eq\f(y2,6)－x2＝1与C的渐近线均为y＝±eq\r(6)x，所以C正确．因为C的渐近线的斜率小于3，所以直线y＝3x与C相离，所以D错误．12．(2024·河北唐山摸底)已知双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一条渐近线l：y＝2eq\r(2)x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|＝|OP|，O为坐标原点，则(ABD)A．C的虚轴长为4eq\r(2) B．∠F1PF2＝90°C．||PF1|－|PF2||＝2 D．△PF1F2的面积为6eq\r(2)[解析]双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，∴b＝2eq\r(2)，∴双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1，∴a＝1，b＝2eq\r(2)，明显A正确；又|OF1|＝|OP|＝|OF2|，即O为△PF1F2外接圆的圆心，∴∠F1PF2＝90°，B正确；因为满意条件||PF1|－|PF2||＝2的点P的轨迹为双曲线，不合题意，C错误；因为c2＝a2＋b2＝9，所以F1(－3,0)，|OP|＝|OF1|＝3，设P(m,2eq\r(2)m)，则m2＋8m2＝9，m＝±1，所以P(1,2eq\r(2))或(－1，－2eq\r(2))，即S△PF1F2＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(2)＝6eq\r(2).D正确．13．双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是(BC)A．该双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)xC．点P到两渐近线的距离的乘积为eq\f(144,25)D．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为32[解析]由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝5，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，A错；渐近线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝0，即y＝±eq\f(4,3)x，B正确；设点P坐标为(x，y)，则16x2－9y2＝144，且点P到两渐近线距离的乘积为eq\f(|4x－3y|,5)·eq\f(|4x＋3y|,5)＝eq\f(144,25)，C正确；∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||PF1|－|PF2||＝6,|PF1|2＋|PF2|2＝100))，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－36,2)＝32，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝16，D错；故选BC．三、填空题14．(2024·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是eq\f(3,2).[解析]双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，可得eq\f(\r(5),a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝2，所以双曲线的离心率为：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4＋5),2)＝eq\f(3,2).15．(2024·新课标Ⅰ)已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为2.[解析]F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点(c,0)，A为C的右顶点(a,0)，B为C上的点，且BF垂直于x轴．所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，若AB的斜率为3，可得：eq\f(\f(b2,a)－0,c－a)＝3，b2＝c2－a2，代入上式化简可得c2＝3ac－2a2，e＝eq\f(c,a)，可得e2－3e＋2＝0，e>1，解得e＝2.16．(2024·河南顶尖名校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右顶点为A1，A2，右焦点为F1，B为虚轴的上端点，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点P满意eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PA2,\s\up6(→))＝0，则双曲线离心率为eq\f(1＋\r(5),2).[解析]由题意，F1(c,0)，B(0，b)，则直线BF1的方程为bx＋cy－bc＝0，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点满意eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PA2,\s\up6(→))＝0，则PO⊥BF1，且PO＝a.∴a＝eq\f(bc,\r(b2＋c2))，即a2＝eq\f(b2c2,b2＋c2).∵a2＋b2＝c2，∴c4－3a2c2＋a4＝0，e4－3e2＋1＝0.解得e2＝eq\f(3＋\r(5),2)，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2).B组实力提升1．(2024·黑龙江哈尔滨香坊区一模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，过F作双曲线C一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，则双曲线方程为(B)A．eq\f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 D．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1[解析]由题意可得c＝2，即a2＋b2＝4，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，左焦点为F1，∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，OA⊥AF，∴∠FOA＝∠AOB＝∠BOF1＝60°，∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，由①②可得a＝1，b＝eq\r(3).∴双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，故选B.2．(2024·四川省联合诊断)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在其次象限交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为(D)A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\r(5) D．5[解析]如图所示：∵直线4x－3y＋20＝0过点F，∴F(－5,0)，半焦距c＝5，设A为PF中点，∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，又∵OA为△PFF1中位线，∴OA∥PF1，由点到直线距离公式可得|OA|＝eq\f(|20|,5)＝4，∴|PF1|＝2|OA|＝8，由勾股定理可得：|FP|＝eq\r(|FF1|2－|PF1|2)＝6，再由双曲线定义可得：|PF1|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝5.答案选D.3．(2024·广西壮族自治州模拟)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P，使得eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，则E的离心率的取值范围是(B)A．(1,2) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．(2，＋∞)[解析]由题意得，A(a,0)，F(2a,0)，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(b,a)x0))，由eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0⇒eq\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)－3ax0＋2a2＝0，因为在E的渐近线上存在点P，则Δ≥0，即9a2－4×2a2×eq\f(c2,a2)≥0⇒9a2≥8c2⇒e2≤eq\f(9,8)⇒e≤eq\f(3\r(2),4)，又因为E为双曲线，则1<e≤eq\f(3\r(2),4)，故选B.另解：由题意知以AF为直径的圆与渐近线bx－ay＝0有公共点，即点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)，0))到直线bx－ay＝0的距离d≤eq\f(a,2)，即eq\f(3ab,2c)≤eq\f(a,2)，∴c≥3b，∴c2≥9(c2－a2)，∴9a2≥8c2，∴e≤eq\f(3\r(2),4)，又e>1，∴1<e≤eq\f(3\r(2),4)，故选B.4．(2024·北京市西城区期末)对于双曲线，给出下列三个条件：①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30°；③实轴长为8，且焦点在x轴上．写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1(答案不唯一).[解析]若选择①③，所以e＝eq\f(c,a)＝2,2a＝8，解得a＝4，c＝8，所以b2＝c2－a2＝48.因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1.若选择②③，因为焦点在x轴上，所以eq\f(b,a)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，2a＝8，解得a2＝16，b2＝eq\f(16,3)，所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,\f(16,3))＝1.若选择①②，当焦点在y轴上时，e＝eq\f(c,a)＝2，eq\f(a,b)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).又c2＝a2＋b2，解得a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为y2－eq\f(x2,3)＝1.当焦点在x轴上时，无解．5．(2024·山西运城调研)设F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向双曲线C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，则双曲线C的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(3),3)x.[解析]设OA：y＝eq\f(b,a)x，则AF：y＝－eq\f(a,b)(x－c)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x,y＝－\f(a,b)x－c))，得yA＝eq\f(ab,c)，同理yB＝eq\f(abc,b2－a2)，∴eq\f(2ab,c)＝eq\f(abc,a2－b2)，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.6．(20