2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.2直观图学案含解析北师大版必修2

PAGE2直观图考纲定位重难突破1.了解直观图的作用．2.驾驭斜二测画法的规则，能用斜二测画法画平面图形和立体图形的直观图．3.能进行直观图与原图形之间的转换，并能进行有关的计算.重点：理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念及结构特征．难点：会用斜二测画法画出一些简洁平面图形和立体图形的直观图.授课提示：对应学生用书第4页[自主梳理]一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤二、立体图形直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．[双基自测]1．关于直观图的“斜二测”画法，以下说法中不正确的是()A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的eq\f(1,2)C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必需是45°D．在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同解析：由斜二测画法易知C错．答案：C2．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形态是()解析：依据斜二测画法，知在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故A正确．答案：A3.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填形态)，面积为________cm2解析：由斜二测画法规则知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2cm，OC＝2O′C′＝4cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．答案：矩形84．在棱长为4cm的正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A解析：画直观图时，在x轴上的线段长度保持不变，故A′A′1＝4cm，在y轴上的线段长度变为原来的一半，故A′D′＝2cm.答案：24授课提示：对应学生用书第5页探究一水平放置的平面图形的画法[典例1]画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．[解析](1)如图(1)所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图(2)中，以O′为中点x′轴上取A′B′＝AB.(3)在y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′为中心画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(4)连接B′C′，D′A′，去掉协助线，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．如图(3)所示．1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较简洁确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．1.画出如图所示的梯形ABCD的直观图．解析：画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′A′y′＝45°.(2)如图①所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.如图②所示，在x′轴上取A′B′＝AB，A′E′＝AE；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝eq\f(1,2)ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC.(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些协助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．探究二空间几何体的直观图的画法[典例2]用斜二测画法画出长、宽、高分别是3cm，3cm，2cm的长方体ABCD­A′B′[解析]第一步：画轴．如图1，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；其次步：画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3cm，在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分别过点M和N作y轴的平行线，分别过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为点A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD；第三步：画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′；第四步：成图．顺次连接点A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉协助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图2.如何画出空间几何体的直观图1．画空间几何体的直观图时，一般是先依据画平面图形直观图的方法与步骤，画出其底面的直观图，然后在z轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点，从而作出另一个底面的直观图，最终得到整个几何体的直观图．2．对于台体、柱体等有上底面的几何体，在作上底面的直观图时，可先作出高线，然后在上底面所在的平面内再建一个两轴分别与下底面中的坐标系中的两轴平行的坐标系，最终作出表示相应等量的线段并连接．2．用斜二测画法画出底面边长为4cm，高为3cm的正四棱锥(底面是正方形、解析：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝4cm，AD＝2cm.(2)过O′作z′轴，使∠x′O′z′＝90°，在z′轴上截取O′S＝3(3)连接SA，SB，SC，SD，得到如图所示的图形就是所求的正四棱锥的直观图．探究三直观图的还原问题[典例3]如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．[解析]画出平面直角坐标系xOy，使点A与O重合，在x轴上取点C，使AC＝eq\r(2)，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形(也可以过点C作BC∥y轴，且使CB＝AD＝2，然后连接AB，DC)．易知四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝2，AC＝eq\r(2)，∴S▱ABCD＝2×eq\r(2)＝2eq\r(2).1．还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段．平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．求直观图形的面积，关键是能先正确画出直观图形，然后依据直观图形求出它的相应边的长度．3．求原图形的面积，关键是要能够依据直观图形把它还原成实际图形．3．已知等边△ABC的直观图△A′B′C′的面积为eq\f(\r(6),16)，则等边△ABC的面积是________．解析：依据斜二测画法的规则，把如图①等边△ABC的直观图△A′B′C′还原为如图②的等边△ABC，设原等边三角形的边长为x，则B′C′＝x，等边△ABC的高为eq\f(\r(3),2)x，所以△A′B′C′的高为eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)x＝eq\f(\r(6),8)x，所以△A′B′C′的面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),8)x×x＝eq\f(\r(6),16)x2＝eq\f(\r(6),16)，解得x＝1，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×x×eq\f(\r(3),2)x＝eq\f(\r(3),4)x2＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)还原平面图时，因找不准与y轴平行的线段致误[典例]如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\r(2) D．2＋eq\r(2)[解析]作D′E′∥A′B′交B′C′于E′(图略)，由斜二测画法规则知，直观图为等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋eq\r(2)，AD＝1，所以S梯形ABCD＝eq\f(AD＋BC·AB,2)＝2＋eq\r(2).[答案]D[错因与防范]还原平面图时，因没有找准与y轴平行的线段，误把直观图中的高扩大2倍得eq\r(2)，从而错选C.已知直观图求原图形的面积，其关键是能够依据直观图把它还原成实际图形，依据题设条件的不同，有时需作出平行x′轴(或y′轴)的线段来协助解题．[随堂训练]对应学生用书第6页1．利用斜二测画法得到以下结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中正确的是()A．①② B．①C．③④ D．①②③④解析：利用斜二测画法分析可知①②正确．水平放置的正方形、菱形的直观图可能是非正方形、非菱形的平行四边形．答案：A2.如图，水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为()A.eq\f(\r(2),2) B．1C.eq\r(2) D．2解析：如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°，过B′作x′轴的垂线，垂足为D，在Rt△B′DC′中，B′D＝B′C′sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).答案：A3．利用斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的长度为()A．2B．2.5C．3D．解析：如图，依据斜二测画法的原则，可知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5.又直角三角形斜边的中线等于斜