2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.2事件的关系和运算教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE10.1.2事务的关系和运算素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解事务的关系与运算.(逻辑推理)2．理解互斥事务和对立事务的概念.(数学抽象)本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事务的关系和运算.必备学问·探新知学问点1事务的运算定义表示法图示并事务__事务A与事务B至少有一个发生__，称这个事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)__A∪B__(或__A＋B__)交事务__事务A与事务B同时发生__，称这样一个事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)__A∩B__(或__AB__)学问点2事务的关系定义表示法图示包含关系若事务A发生，事务B__肯定发生__，称事务B包含事务A(或事务A包含于事务B)__B⊇A__(或__A⊆B__)互斥事务假如事务A与事务B__不能同时发生__，称事务A与事务B互斥(且互不相容)若__A∩B＝∅__，则A与B互斥对立事务假如事务A和事务B在任何一次试验中__有且仅有一个发生__，称事务A与事务B互为对立，事务A的对立事务记为eq\o(A,\s\up6(－))若__A∩B＝∅__，且A∪B＝Ω，则A与B对立[学问解读]1．互斥事务与对立事务的区分与联系(1)区分：两个事务A与B是互斥事务，包括如下三种状况：①若事务A发生，则事务B就不发生；②若事务B发生，则事务A就不发生；③事务A，B都不发生.而两个事务A，B是对立事务，仅有前两种状况，因此事务A与B是对立事务，则A∪B是必定事务，但若A与B是互斥事务，则不肯定是必定事务，即事务A的对立事务只有一个，而事务A的互斥事务可以有多个.(2)联系：互斥事务和对立事务在一次试验中都不行能同时发生，而事务对立是互斥的特别状况，即对立必互斥，但互斥不肯定对立.2．从集合的角度理解互斥事务与对立事务(1)几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事务A的对立事务所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集.关键实力·攻重难题型探究题型一互斥事务、对立事务的判定典例1(1)(2024·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事务“至多有一次中靶”的互斥事务是(A)A．两次都中靶 B．至少有一次中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶(2)(2024·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事务“至少击中两次”的对立事务是(D)A．恰有一次击中 B．三次都没击中C．三次都击中 D．至多击中一次[解析](1)事务“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事务是“两次都中靶”.(2)依据题意，一个人连续射击三次，事务“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事务，其对立事务为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.[归纳提升]推断事务间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.(2)考虑事务间的结果是否有交事务，可考虑利用Venn图分析，对较难推断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.【对点练习】❶有一个嬉戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事务“甲向南”与事务“乙向南”是(A)A．互斥但非对立事务 B．对立事务C．非互斥事务 D．以上都不对[解析]由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不行能的，故是互斥事务，但不是对立事务.题型二事务的运算典例2在掷骰子的试验中，可以定义很多事务.例如，事务C1＝{出现1点}，事务C2＝{出现2点}，事务C3＝{出现3点}，事务C4＝{出现4点}，事务C5＝{出现5点}，事务C6＝{出现6点}，事务D1＝{出现的点数不大于1}，事务D2＝{出现的点数大于3}，事务D3＝{出现的点数小于5}，事务E＝{出现的点数小于7}，事务F＝{出现的点数为偶数}，事务G＝{出现的点数为奇数}，请依据上述定义的事务，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事务；(2)利用和事务的定义，推断上述哪些事务是和事务.[解析](1)因为事务C1，C2，C3，C4发生，则事务D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．同理可得，事务E包含事务C1，C2，C3，C4，C5，C6；事务D2包含事务C4，C5，C6；事务F包含事务C2，C4，C6；事务G包含事务C1，C3，C5．且易知事务C1与事务D1相等，即C1＝D1．(2)因为事务D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．[归纳提升]事务运算应留意的2个问题(1)进行事务的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简洁的题目中，须要推断事务之间的关系时，可以依据常识来推断.但假如遇到比较困难的题目，就得严格依据事务之间关系的定义来推理.【对点练习】❷盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事务A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事务B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事务C＝{3个球中至少有1个红球}，事务D＝{3个球中既有红球又有白球}.问：(1)事务D与A，B是什么样的运算关系？(2)事务C与A的交事务是什么事务？(3)设事务E＝{3个红球}，事务F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事务C与B，E是什么运算关系？C与F的交事务是什么？[解析](1)对于事务D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事务C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.(3)由事务C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种状况，故B⊆C，E⊆C，而事务F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.题型三用集合运算表示随机事务典例3设A，B，C表示三个随机事务，试将下列事务用A，B，C表示出来.(1)三个事务都发生；(2)三个事务至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))(4)ABeq\o(C,\s\up6(－))(5)(A∪B)eq\o(C,\s\up6(－))(6)ABeq\o(C,\s\up6(－))∪Aeq\o(B,\s\up6(－))C∪eq\o(A,\s\up6(－))BC[归纳提升]利用随机事务的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题.【对点练习】❸从某高校数学系图书室中任选一本书.设A表示事务“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事务“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事务“任选一本书，这本书为2000年后出版的书”.问：(1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示什么事务？(2)在什么条件下有ABC＝A?(3)eq\o(C,\s\up6(－))⊆B表示什么意思？[解析](1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示事务“任选一本书，这本书为2000年或2000年前出版的中文版的数学书”.(2)在“图书室中全部数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A.(3)eq\o(C,\s\up6(－))⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.易错警示不能正确区分对立事务和互斥事务致错典例4进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事务：(1)“出现1点”与“出现2点”；(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.其中是对立事务的组数是(B)A．0 B．1C．2 D．3[错解]C[错因分析]错解混淆了互斥事务与对立事务，误将互斥事务当作了对立事务.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事务，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事务，但不是对立事务，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事务，所以也不是对立事务.[正解]B[误区警示]对立事务肯定是互斥事务，而互斥事务却不肯定是对立事务.忽视互斥事务与对立事务之间的区分与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.推断两个事务是否互斥，就要看它们是