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PAGE课后限时集训(五十四)双曲线建议用时:40分钟一、选择题1.(2024·浙江高考)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.eq\f(\r(2),2)B.1C.eq\r(2)D.2C[依据渐近线方程为x±y=0的双曲线,可得a=b,所以c=eq\r(2)a,则该双曲线的离心率为e=eq\f(c,a)=eq\r(2),故选C.]2.已知双曲线的方程为eq\f(y2,4)-eq\f(x2,9)=1,则下列关于双曲线说法正确的是()A.虚轴长为4B.焦距为2eq\r(5)C.离心率为eq\f(\r(13),3)D.渐近线方程为2x±3y=0D[由题意知,双曲线eq\f(y2,4)-eq\f(x2,9)=1的焦点在y轴上,且a2=4,b2=9,故c2=13,所以选项A,B均不对;离心率e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(13),2),故选项C不对;由双曲线的渐近线知选项D正确.故选D.]3.已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的离心率e=eq\f(5,4),且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,3)=1 B.eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1C.eq\f(x2,16)-eq\f(y2,9)=1 D.eq\f(x2,3)-eq\f(y2,4)=1C[由题意得e=eq\r(1+\f(b2,a2))=eq\f(5,4),又右焦点为F2(5,0),a2+b2=c2,所以a2=16,b2=9,故双曲线C的方程为eq\f(x2,16)-eq\f(y2,9)=1.]4.(2024·全国卷Ⅰ)设F1,F2是双曲线C:x2-eq\f(y2,3)=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为()A.eq\f(7,2)B.3C.eq\f(5,2)D.2B[法一:设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16.不妨令点P在双曲线C的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=6,则Seq\s\do5(△PF1F2)=eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|=eq\f(1,2)×6=3,故选B.法二:设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以Seq\s\do5(△PF1F2)=eq\f(b2,tan\f(θ,2))=eq\f(3,tan45°)=3(其中θ=∠F1PF2),故选B.]5.已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,16)=1(a>0)的一条渐近线方程为4x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=7,则|PF2|=()A.1B.13C.17D.1或13B[由题意知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,16)=1(a>0)的一条渐近线方程为4x+3y=0,可得eq\f(4,a)=eq\f(4,3),解得a=3,所以c=eq\r(a2+b2)=5.又由F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|=7,可得点P在双曲线的左支上,所以|PF2|-|PF1|=6,可得|PF2|=13.故选B.]6.(2024·西安模拟)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的顶点到其一条渐近线的距离为1,焦点到其一条渐近线的距离为eq\r(2),则其一条渐近线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°B[设双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的右顶点A(a,0),右焦点F2(c,0)到渐近线y=eq\f(b,a)x的距离分别为1和eq\r(2),则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2+b2))=1,,\f(bc,\r(a2+b2))=\r(2),))即eq\f(a,c)=eq\f(\r(2),2).则eq\f(b2,a2)=eq\f(c2-a2,a2)=eq\f(c2,a2)-1=2-1=1,即eq\f(b,a)=1.设渐近线y=eq\f(b,a)x的倾斜角为θ,则tanθ=eq\f(b,a)=1.所以θ=45°,故选B.]7.(2024·全国卷Ⅲ)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=eq\f(\r(5),2)x,且与椭圆eq\f(x2,12)+eq\f(y2,3)=1有公共焦点,则C的方程为()A.eq\f(x2,8)-eq\f(y2,10)=1 B.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,5)=1C.eq\f(x2,5)-eq\f(y2,4)=1 D.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,3)=1B[由y=eq\f(\r(5),2)x,可得eq\f(b,a)=eq\f(\r(5),2).①由椭圆eq\f(x2,12)+eq\f(y2,3)=1的焦点为(3,0),(-3,0),可得a2+b2=9.②由①②可得a2=4,b2=5.所以C的方程为eq\f(x2,4)-eq\f(y2,5)=1.故选B.]8.(2024·南昌模拟)圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是()A.(eq\r(2),eq\r(5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3),\f(5,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4),\f(5,2))) D.(eq\r(5),eq\r(2)+1)C[不妨设该渐近线经过其次、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y-5)2=9,所以圆C的圆心为(0,5),半径为3,所以2<eq\f(|5a|,\r(a2+b2))<4,结合a2+b2=c2,得eq\f(5,4)<eq\f(c,a)<eq\f(5,2),所以该双曲线的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4),\f(5,2))).]二、填空题9.已知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(eq\r(5),0),则a=;b=.12[由2x+y=0,得y=-2x,所以eq\f(b,a)=2.又c=eq\r(5),a2+b2=c2,解得a=1,b=2.]10.(2024·南宁模拟)已知双曲线E:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.2[由已知得|AB|=|CD|=eq\f(2b2,a),|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以eq\f(4b2,a)=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-eq\f(1,2)(舍去).]11.已知焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,8-m)+eq\f(y2,4-m)=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是.(0,2)[对于焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),它的焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为eq\f(|bc|,\r(b2+a2))=b.双曲线eq\f(x2,8-m)+eq\f(y2,4-m)=1,即eq\f(x2,8-m)-eq\f(y2,m-4)=1,其焦点在x轴上,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8-m>0,,m-4>0,))解得4<m<8,则焦点到渐近线的距离d=eq\r(m-4)∈(0,2).]12.已知椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,m)=1与双曲线x2-eq\f(y2,n)=1的离心率分别为e1,e2,且有公共的焦点F1,F2,则4eeq\o\al(2,1)-eeq\o\al(2,2)=,若P为两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=.03[由题意得椭圆的半焦距满意ceq\o\al(2,1)=4-m,双曲线的半焦距满意ceq\o\al(2,2)=1+n,又因为两曲线有相同的焦点,所以4-m=1+n,即m+n=3,则4eeq\o\al(2,1)-eeq\o\al(2,2)=4×eq\f(4-m,4)-(1+n)=3-(m+n)=0.不妨设F1,F2分别为两曲线的左、右焦点,点P为两曲线在第一象限的交点,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|+|PF2|=4,,|PF1|-|PF2|=2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|=3,,|PF2|=1,))则|PF1|·|PF2|=3.]1.(2024·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若eq\o(F1A,\s\up16(→))=eq\o(AB,\s\up16(→)),eq\o(F1B,\s\up16(→))·eq\o(F2B,\s\up16(→))=0,则C的离心率为.2[如图,由eq\o(F1A,\s\up16(→))=eq\o(AB,\s\up16(→)),得F1A=AB.又OF1=OF2,所以OA是三角形F1F2B即BF2∥OA,BF2=2OA.由eq\o(F1B,\s\up16(→))·eq\o(F2B,\s\up16(→))=0,得F1B⊥F2B,OA⊥F1A,则OB=OF1,所以∠AOB=∠AOF1,又OA与OB都是渐近线,得∠BOF2=∠AOF1,又∠BOF2+∠AOB+∠AOF1=180°,得∠BOF2=∠AOF1=∠BOA=60°,又渐近线OB的斜率为eq\f(b,a)=tan60°=eq\r(3),所以该双曲线的离心率为e=eq\f(c,a)=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2))=eq\r(1+\r(3)2)=2.]2.(2024·黄冈模拟)双曲线C的渐近线方程为y=±eq\f(\r(3),3)x,一个焦点为F(0,-8),则该双曲线的标准方程为.已知点A(-6,0),若点P为C上一动点,且P点在x轴上方,当点P的位置改变时,△PAF的周长的最小值为.eq\f(y2,16)-eq\f(x2,48)=128[∵双曲线C的渐近线方程为y=±eq\f(\r(3),3)x,一个焦点为F(0,-8),∴eq\b\
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