2024-2025学年新教材高中数学课后素养落实十九2.5.1椭圆的标准方程含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(十九)椭圆的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．若曲线eq\f(x2,1－k)＋eq\f(y2,1＋k)＝1表示椭圆，则k的取值范围是()A．k＞1 B．k＜－1C．－1＜k＜1 D．－1＜k＜0或0＜k＜1D[∵曲线eq\f(x2,1－k)＋eq\f(y2,1＋k)＝1表示椭圆，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k＞0，,1＋k＞0，,1－k≠1＋k，))解得－1＜k＜1，且k≠0．]2．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C[若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．依据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C．]3．已知椭圆eq\f(x2,8)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是()A．8B．2eq\r(2)C．10D．4eq\r(2)A[由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq\r(2)，∴|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)．]4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程为()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)B[∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，∴BC＝8．AB＋AC＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，焦点在y轴上，∴a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴点A的轨迹方程是eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)．]5．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0，2)的椭圆的标准方程是()A．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C[若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，b2＝3，此时椭圆方程是eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1．]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3，,a－c＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1.))故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．]7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq\r(6)，1)，P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，则椭圆的方程为________．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))∴所求椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1．]8．如图所示，F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为eq\r(3)的正三角形，则b2＝________．2eq\r(3)[由题意Seq\s\do6(△POF2)＝eq\f(\r(3),4)c2＝eq\r(3)，∴c＝2，∴a2＝b2＋4．∴点P坐标为(1，eq\r(3))，把x＝1，y＝eq\r(3)代入椭圆方程eq\f(x2,b2＋4)＋eq\f(y2,b2)＝1中得eq\f(1,b2＋4)＋eq\f(3,b2)＝1，解得b2＝2eq\r(3)．]三、解答题9．求与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1有相同焦点，且过点(3，eq\r(15))的椭圆的标准方程．[解]法一：因为所求椭圆与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16．设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①又点P(3，eq\r(15))在所求椭圆上，所以eq\f(32,a2)＋eq\f(\r(15)2,b2)＝1，即eq\f(9,a2)＋eq\f(15,b2)＝1．②联立①②可解得a2＝36，b2＝20，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1．法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25＋λ)＋eq\f(y2,9＋λ)＝1．又椭圆过点(3，eq\r(15))，则eq\f(9,25＋λ)＋eq\f(15,9＋λ)＝1，解得λ＝11或λ＝－21．因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋λ＞0，,9＋λ＞0，))所以λ＞－9，故λ＝－21不符合题意，舍去．故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1．10．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，∴圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图．由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C．∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6．依据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点的椭圆，且2a＝6．∴a＝3，c＝2，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(5)，∴所求圆心的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1．1．(多选题)已知P是椭圆E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是()A．点P的纵坐标为3B．∠F1PF2＞eq\f(π,2)C．△F1PF2的周长为4(eq\r(2)＋1)D．△F1PF2的内切圆半径为eq\f(3,2)(eq\r(2)－1)CD[因为c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(8－4)＝2，所以|F1F2|＝2c＝4．又△F1PF2的面积为3，△F1PF2的边F1F2上的高为eq\f(3,2)，即点P的纵坐标为eq\f(3,2)或－eq\f(3,2)，故A错误．由焦点三角形面积公式可得4taneq\f(∠F1PF2,2)＝3，所以taneq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(3,4)＜1，故∠F1PF2＜eq\f(π,2)，故B错误．△F1PF2的周长等于2a＋2c＝4(eq\r(2)＋1)，故C正确．设内切圆半径为r，则有eq\f(1,2)×(4eq\r(2)＋4)r＝3，所以r＝eq\f(3,2)(eq\r(2)－1)，故D正确．]2．已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，假如线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝()A．3∶5B．3∶4C．5∶3D．4∶3C[依题意知，线段PF1的中点在y轴上，因为原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又依据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3．]3．已知A(－1，0)，C(1，0)是椭圆C的两个焦点，过C且垂直于x轴的直线交椭圆于M，N两点，且|MN|＝3，则椭圆的方程为________，若B是椭圆上一点，则△ABC的最大面积为________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1eq\r(3)[设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，令x＝c，则y＝±eq\f(b2,a)，由|MN|＝3，得eq\f(2b2,a)＝3，又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，结合椭圆知当B点为椭圆与y轴交点时，S△ABC的面积最大，此时S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)．]4．已知点P(0，1)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝m(m＞1)上两点A，B满意eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PB,\s\up9(→))，则当m＝________时，点B横坐标的肯定值最大．5[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PB,\s\up9(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1＝2x2，,1－y1＝2y2－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－2x2，,y1＝3－2y2.))因为点A，B在椭圆上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4x\o\al(2,2),4)＋3－2y22＝m，,\f(x\o\al(2,2),4)＋y\o\al(2,2)＝m，))得y2＝eq\f(1,4)m＋eq\f(3,4)，所以xeq\o\al(2,2)＝m－(3－2y2)2＝－eq\f(1,4)m2＋eq\f(5,2)m－eq\f(9,4)＝－eq\f(1,4)(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的肯定值最大，最大值为2．]设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|eq\o(PF1,\s\up9(→))|·|eq\o(PF2,\s\up9(→))|的最大值；(2)若C为椭圆上异于B的一点，且eq\o(BF1,\s\up9(→))＝λeq\o(CF1,\s\up9(→))，求λ的值；(3)[JP4]设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．[解](1)因为椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝eq\r(3)，即|F1F2|＝2eq\r(3)，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，即|eq\o(PF1,\s\up9(→))|·|eq\o(PF2,\s\up9(→))|的最大值为4．(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－eq\r(3)，0)，由eq\o(BF1,\s\up9(→))＝λeq