江西省2024-2025学年九年级上学期阶段评估（一）数学试卷（含答案）

江西省2025届九年级阶段评估（一）

数学

说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟.

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四

个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、

多选或未选均不得分.

1.把一元二次方程无（》+1）=3--2化为一般形式，正确的是（）

A.x2-2x-2=0B.-2x2+x-2=0

C.2X2-X-2=0D.2X2-3=0

2.若函数了=（。-1•2的图象是一条抛物线，且开口向上，贝巾的取值范围是（）

A.a>0B.a<1C.a>\D.a>\

3.已知x=l是关于x的一元二次方程卡+办+26=0的解，贝!］。+26=（）

A.1B.2C.-1D.-2

4.在平面直角坐标系中，二次函数y=-/-3x+2的图象的顶点所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.开学第一节班会课，九（1）班全体学生每两人之间互赠“祝福卡”，祝福学业进步，身心

健康.已知共赠“祝福卡”1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生,

那么可列方程（）

A.%2=1980B.1x（x-l）=1980

C.x（x-l）=1980D.x（x+l）=1980

6.如图，在水平向右为X轴正方向，竖直向上为y轴正方向的平面直角坐标系中标记了5

个格点，已知网格的单位长度为1,若二次函数>="2+加+。的图象经过其中3个格点，

则最多可画出二次函数图象的个数为（）

试卷第1页，共6页

A.3B.4C.5D.6

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.抛物线卜=（工-2）2-1的对称轴是直线.

8.若方程①+1）/+1-办=2是关于龙的一元二次方程，则”的取值范围为.

9.在平面直角坐标系中，将抛物线了=3/+6x-3向左平移2个单位长度，再向上平移1个

单位长度所得到的抛物线的解析式为.

10.已知一元二次方程办2+2x-l=0的两根分别为X],%，若再々=2,贝!|。的值

为.

11.如图，一个小球在并不光滑但均匀的水平地面上滚动，下表是小球，s内滚动的路程s

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=*+2x+3与x轴的负半轴交于点A,点B

在y轴正半轴上，OA=OB,P为直线4B上一点，过点尸作直线尸M//V轴，直线尸M交抛

9一

物线歹=-丁+2%+3于点〃，当尸M的长为二时，点P的坐标为

4

试卷第2页，共6页

三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13.(1)解方程：x2-4x=0.

(2)已知函数y=3/-x+2,求当x=-2时，函数的值.

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=-/+4与x轴交于A,B两点，点A在点5的

左侧，与》轴交于点C.连接/c,BC,求△A8C的面积.

15.下面是某老师讲解一元二次方程的解法时，在黑板上的板书过程.

解方程：2X2-5X-3=0

253

X—X=——

22

(1)请将该老师的解题过程补充完整.

(2)该老师说，解一元二次方程的方法不止一种，请你用另一种方法解该方程.

16.已知点(-2,-3)在二次函数了="2的图象上.

⑴求。的值.

(2)若点,(0,j2),--->73都在二次函数y=的图象上，请将必，%，%

直接用连接起来.

试卷第3页，共6页

17.在平面直角坐标系中，抛物线y=2尤2-1与抛物线＞=_2/+1如图所示.请仅用无刻度

的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

图1图2

⑴在图1中作一菱形；

⑵在图2中作一矩形.

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.已知直角三角形的两边长分别是方程x2-10x+24=0的两个根.

（1）若这两边是该直角三角形的直角边，求这个直角三角形的周长.

（2）求这个直角三角形的面积.

19.在平面直角坐标系中，抛物线＞-6ox+2a-2（a*0）上有不重合的两点A,B,它

们的坐标分别为（加,必），（9-3m,y2）.

（1）若该抛物线与＞轴交于点（0,-3）,求该抛物线的解析式.

（2）当必=%时，求机的值.

20.追本溯源

题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）.

（1）无论。取何值，方程（工-3）@-2）-加=。总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明

理由.

变式拓展

（2）无论。取何值，方程（x+0+l）（x-2+0+l=O总有两个不等的实数根吗？给出答案

并说明理由.

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.当前，南昌市正在全力推进城市水环境治理攻坚行动，通过建设雨水、污水独立的管网

及其附属设施，改善城市水环境、水生态.如图，这是施工的某工程队在工地利用互相垂直

试卷第4页，共6页

的两面墙43、AC,另两边用铁栅栏围成一个矩形场地4DEE,中间再用铁栅栏分割成四

个小矩形，已知铁栅栏总长180米，墙N8的长为100米，墙/C的长为60米.设4E=x

WAD的长为米，矩形ADFE的面积为平方米.

⑵矩形石的面积能等于1800平方米吗？若能，求出/£的长；若不能，请说明理由.

(3)矩形/。尸£的面积能等于2100平方米吗？若能，求出NE的长；若不能，请说明理由.

22.在如图所示的平面直角坐标系xQy中，有一斜坡。4,从点。处抛出一个小球，落到点

力(4,2)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=ax2+4x的一部分.

⑴求该抛物线的解析式.

(2)求该抛物线的顶点坐标.

(3)斜坡上点B处有一棵树，B是CM的中点，小球恰好越过树的顶端C,直线轴，横、

纵坐标的每个单位长度均为1米.求这棵树的高度.

六、解答题(本大题共12分)

23.综合与实践

如图1,△/BC是以8c为斜边的等腰直角三角形，四边形DMG是矩形，点A,C,D,

G在同一条直线上，AC=CD=DE=2,将△4BC沿射线NC向左平移，得到点

A,B,C的对应点分别为点H,B,,C.平移的速度为1个单位长度/秒.

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特例感知

当f=8时，S的值恰好变为0.

（1）OG的长为.

规律探究

（2）①求出S与/之间的函数解析式，并直接写出/的取值范围；

②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图

数学思考

o

（3）请直接写出满足S=：的所有，的值.

O

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键.先计算整式的

乘法，再移项整理即可.

【详解】解：将一元二次方程x(x+l)=3/-2化为一般形式之后，变为2--x-2=0,

故选：C.

2.D

【分析】本题考查了二次函数的定义，以及二次函数了=。/(.20)的性质，是基础知识，需

熟练掌握.”>0时，开口向上；。<0时，开口向下.根据函数图象是一条抛物线可知该函

数是二次函数，再根据函数图象开口向上即可求解.

【详解】解：•.•函数了=(。-1)/的图象是一条抛物线，

•••Q-1W0,

QW1.

,•,图象开口向上，

Q—1>0,

・••。〉1.

故选D.

3.C

【分析】将工=1代入方程求解.

【详解】解：・・・x=l是关于x的一元二次方程—+办+26=0的解

I2+ax1+2b=0,即a+2b=—1

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键.

4.B

【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标.首先确定二

次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置.

【详角星】y=-x2-3x+2=-^x+-1^+?

・•・顶点坐标为(一

答案第1页，共15页

・•・顶点所在的象限是第二象限.

故选：B.

5.C

【分析】本题考查一元二次方程的应用，审清题意找到等量关系是解题的关键.根据每个同

学都要送其他(x-l)个学生贺卡，因此总赠送贺卡数是(尤-1)张，再根据共赠贺卡1980张列

方程即可.

【详解】解：由题意得：每个学生需要向其他(》-1)个学生，

则得方程得：x(x-l)=1980

故选：C.

6.D

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于每一个自变量的值有唯一的函数值与其对

应，即函数图象上不能有两个点的横坐标相同，据此即可求解.

【详解】解：二次函数了=办2+为+。的图象可以经过格点A,B,£或A,D,C或A,

D,E或A,E,C或B,E,C或。，E,C,共6种，故最多可画出二次函数图象的

个数为6.

ABC

D

故选D.

7.x=2

【分析】本题主要考查二次函数的图象性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在

y=a(x-〃)2+左中，对称轴为x=顶点坐标为他收).根据抛物线解析式是顶点式直接得

其对称轴.

【详解】解：••-y=(x-2)2-l,

•・抛物线对称轴为直线x=2,

答案第2页，共15页

故答案为：x=2.

8.aw—1

【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整

式方程，根据一元二次方程的定义进行列式计算，即可作答.

【详解】解：••,方程(a+l)/+l-ax=2是关于x的一元二次方程，

・•・Q+1W0,

••・QW—1,

故答案为：a^-1.

9.y=3(x+3)12-5

【分析】本题考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题关键.先将抛物线化为顶

点式，再根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可.

【详解】解：•.■〉=3/+6工-3=31?+2x)-3=3(x+l)2-6,

•••将抛物线y=3/+6x-3向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物

线的解析式为y=3(x+l+2)2—6+1=3(X+3)2-5,

故答案为：y=3(x+3)2-5.

10.—##—0.5

2

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若X],9为方程ax2+6x+c=0(aw0)

bc

的两个根，则多，%与系数的关系式：%+3=-2,阳/2=土.直接根据根与系数的关系

aa

求解即可.

【详解】解：•.•一元二次方程办2+2x-l=0的两根分别为不，%,

-1、

:.xx=——=2.

{2a

1

J.Q=----,

2

故答案为：.

11.9.6

【分析】本题考查了二次函数的应用.利用待定系数法得到函数解析式，再将"4代入计

答案第3页，共15页

算即可得到答案.

【详解】解：设二次函数的解析式为s=a/+6.

将(/1,3.6、),(/2,64、)代入得f3篙.6=—a++b26

a=—0.4

解得

b=4

二次函数的解析式为s=-0.4r+4/,

2

当f=4时，5=-0,4X4+4X4=9.6,

故答案为：9.6

(13、jl+3行3+3近-3亚3-3⑥

口•匕,J或]〒'-氏二,一]

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出直线的解析为＞=x+i,然后设

尸(p,p+l),贝(〃一/+2p+3),根据PM的长为彳可得卜p2+2p+3-p-i|=：,然后

解方程即可求解.

【详解】解：令歹=。，则一/+2》+3=0,

解得再=一1,%=3,

・・・4(T0),

AO=1,

又OA=OB,

OB=1,

.*.5(0,1),

设直线ZB解析式为歹=丘+6,

J-左+6=0

'[b=\，

解得Li

[0=1

・,・直线AB解析式为歹=%+1,

设尸(0,0+1),贝iJM(p,-p2+2p+3),

答案第4页，共15页

99

2

-即--

4-4-

9

-

4

Q17

对于,2_p_2=a，化简得夕2_,_1=0,

1±V1+171±3V2

・•.p=--------------=-----------，

22

、匕1+3A/2n-U[3+3-\/2

三〃=------町,p+l=p=-----------，

22

也1—3-\/2n_r3-3^2

三〃=------町,p+l=p=-----------，

22

cCl+3收3+3⑻-303-3拒)

•••尸的坐标为一-一，一-一或一-一,一--

k227k22

Q1

对于22—夕一2=—彳，化简为)2一7+=0,

44

1

•••Pi=p?=3,

13

当P=5时，P+l=P=2'

...p的坐标为I1,g[,

‘1+3收3+3收、1-3>/23-3收

综上,的坐标为或或〔丁"

P3-2~"2~

13.(1)%=0,%2=4；(2)16

【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程和己知自变量的值求函数的值等知识点,

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)将x的值代入函数解析式，求出相应的y的值即可；

熟练掌握因式分解法解方程是解决此题的关键.

【详解】(1)%(%-4)=0,

二.％=0或%-4=0,

芭=0,々=4

(2)vx--2,

答案第5页，共15页

.■,^=3X(-2)2-(-2)+2=12+2+2=16.

14.8

【分析】本题考查二次函数的性质，令x=0和>=0求出4B,C三点的坐标，然后求解即

可.

2

【详解】解：当X=0时，y=-x+4=4f

・・•点。的坐标为(0,4),

/.OC=4

当尸。时，一'2+4=0,

角军得再=2,x2=—2,

AB=2-(-2)=4f

4Am=-2-^5-OC=-2x4x4=8.

15.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查的是解一元二次方程,掌握一元二次方程的解法是解题关键.

(1)根据配方法补充解题过程即可；

(2)利用公式法解方程即可.

【详解】(1)解：2X2-5X-3=0

Y\-3

22

卜用Y

517

x—=+—,

44

••玉=一'，X2-3;

(2)解：2X2-5X-3=0,

</<7=2,b=-5,c=-3,

答案第6页，共15页

A=Z>2-4ac=(-5)2-4x2x(-3)=49>0

.-b£b?-4ac-(-5)土历5±7

…'―2a-2^2-~1~

3

16.(1)<2=——

(2)y3<y1<y2

【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，比较二次函数值的大小.

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)根据函数开口向下，得到离对称轴越远函数值越小，再求出各点到对称轴的距离，然

后比较距离的大小即可得到答案.

【详解】(1)解：•••点(-2,-3)在二次函数尸办2的图象上，

••--3=(-2『a,

3

解得a=1;

4

3

(2)解：••・二次函数y=-：x2的图象开口向下，

••・二次函数对称轴为y轴，离对称轴越远函数值越小,

MiV5-1_叵\=显

----------0n=--------<0-

222J2

2.

17.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，菱形的性质和矩形的性质.

(1)由抛物线了=2/-1与抛物线＞=-2x2+1知，两函数图象关于x轴对称，即8。和4C

都关于原点对称，顺次连接4B、C、D,菱形即为所作；

答案第7页，共15页

(2)延长4D、CD交抛物线了=2/_1于点£、F,延长/8、CB交抛物线了=-2/+1于点

H、G,顺次连接爪F、G、H,矩形EFG”即为所作.

【详解】(1)解：如图，

•••抛物线y=2x2-l与抛物线y=-2x2+1的对称轴都是y轴,

x=0时，y=~l,y=1,

.-.S（O,-1）,D（O,1）,

1=0时,2x2-l=-2x2+l=0,

解得X.=,x=--，

1222

（V2（行〕

:.A--,0,C—,0,

22

\7\7

.•.两函数图象关于X轴对称，即氏。和4C都关于原点对称,

/(7,8。互相垂直平分且/5=80=8=/0,

四边形/BCD是菱形，

菱形/BCD即为所作；

(2)解：如图，由(1)可知，两函数图象关于x轴对称，四边形/BCD是菱形,

尸,G关于x轴对称,E,H关于x轴对称，

.•.凡E关于了轴对称，G冉关于'轴对称，

EF||GH,FG||EH,且FG与x轴垂直,

四边形EFG”是矩形,

矩形跖G8即为所作.

答案第8页，共15页

18.(1)这个直角三角形的周长为10+2万

(2)这个直角三角形的面积为12或46

【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程、勾股定理，解题关键是熟练掌握一元二次方

程的解法.

(1)求出一元二次方程/-10x+24=0的解后，由勾股定理得直角三角形的斜边即可求出

周长；

(2)根据一元二次方程的解分两种情况进行计算：①根据方程得出的两边是该直角三角形

的直角边；②直角三角形的斜边长为6.

【详解】(1)解：X2-10X+24=0,

(x-4)(x-6)=0,

解得芯=4,x2=6,

由题意可得该直角三角形的斜边长为"百=2713，

这个直角三角形的周长为4+6+2V13=10+2内.

(2)解：①若这两边是该直角三角形的直角边，则这个直角三角形的面积为

1

-x4x6=12；

2

②若该直角三角形的斜边长为6,则这个直角三角形的另一直角边长为后彳=2追，

这个直角三角形的面积为gx4x2括=4指.

综上所述，这个直角三角形的面积为12或4vL

1

19.(l)y=-—x7+3x-3

答案第9页，共15页

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质.

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)当必=%时，点(加，必)和点(9-3〃?,%)关于对称轴对称，据此求解即可.

【详解】(1)解:将点(0,-3)代入尸办2-6办+2”2(。彳0),

得2。-2=-3,

解得

该抛物线的解析式为N=-g/+3x-3；

(2)解：由题意得当％=%时，则上士2二四=土匈=3,

22a

解得加=去3

20.(1)方程总有两个不等的实数根，理由见解析；(2)方程总有两个不等的实数根，理由

见解析

【分析】本题考查了一元二次方程#+6x+c=0(a#0)根的判别式A="_4ac与根的关系,

熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当A>0时，一元二次方程有两个不相

等的实数根；当A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当A<0时，一元二次方程没

有实数根.

(1)先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解.

(2)先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解.

【详解】解：(1)方程总有两个不等的实数根

理由：原方程整理，得/_5x+6-/=0,

A=/)2-4ac=(-5)2-4x(6-7?2)=4j92+l,

•••无论P取何值，p2>0,

.•.A>0,即原方程总有两个不等的实数根.

(2)方程总有两个不等的实数根.

理由：原方程整理，得(x+p+l)(x+p-2)+l=0,

答案第10页，共15页

[(z+p)+l][(无++1=0,

(x+p)—(x+pj—2+1=0,

(x+p)~_(x+p)-l=0

设x+p=y,

二原方程可化为/—y—1=0,

A=Z?2-4ac=(-l)2-4xlx(-l)=5>0,

.•./-y-1=0总有两个不等的实数根，

.•.无论?取何值，原方程总有两个不等的实数根.

21.⑴(180-4x)；龙(180-4x)

(2)能，NE的长为30米

⑶不能，见解析

【分析】本题考查了一元二次方程的图形几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关

键.

(1)因为铁栅栏总长180米，/石=X米，则4。的长为(180-4x)米，矩形的面积公式列

式得矩形”〃配的面积x(180-4x)平方米，即可作答.

(2)根据矩形/£)底E的面积x(180-4x)平方米，列式计算，即可作答.

(3)依题意，列式x(180-4x)=2100,整理得x?一45x+525=0,运用根判别式计算得出

结论，即可作答.

【详解】(1)解：依题意，•••铁栅栏总长180米，N£=x米，

则4D的长为(180-4x)米，

二矩形的面积公式列式得矩形/£>尸£的面积x(180-4x)平方米

故答案为：(180-4x)；x(180-4x).

(2)解：能.由题意，得x(180-4x)=1800,

整理，WX2-45X+450=0,

答案第11页，共15页

解得x=15或x=30.

当x=15时，180-4x=120>100,不符合题意，舍去；

当x=30时，180—4x=60<100,符合题意.

答：若矩形/。/花的面积等于1800平方米，/£的长为30米.

(3)解：不能.理由：由题意，得x(180-4x)=2100,

整理,得X2-45X+525=0,

A=ZJ2-4GC=(-45)2-4x1x525=-75<0,

•••原方程无实数根.

答：矩形4DEE的面积不能等于2100平方米.

7,

22.(l)y=+4x

(3)5米

【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，中位线的判定与性质，正

确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)将点/(4,2)代入抛物线〉=。/+4》，进行计算，即可作答.

7

(2)把y=-gx2+4x化为顶点式，再作答即可.

O

(3)过点A作x轴的垂线，垂足为。，取。。的中点E,连接BE,证明BE是△/OD的一

条中位线，然后求出点B的坐标为(2,1).再求出点C的坐标为则CE=g,代入

2。=废-3£进行计算，即可作答.

【详解】(1)解：将点/(4,2)代入抛物线y=，+4x,

得“4+4x4=2,

7

解得。

O

7

•••该抛物线的解析式为y=--x2+4x；

O

(2)解：•••抛物线尸-工/+4》=二仆-划+—,

881.7J7

答案第12页，共15页

•••该抛物线的顶点坐标为

（3）解：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为。，取。。的中点连接8E,

•・•点A的坐标为（4,2）,

0D=4,AD=2.

是。/的中点，E是。。的中点,

.〔BE是的一条中位线,

BELOD,BE=-AD=l,

2

二点B的坐标为（2,1）.

•••直线8C_Lx轴，

7

将x=2代入y=——x2+4x,

8

79

得歹=-722+4、2=]