辽宁省沈阳市重点中学2024年高三高考模拟考试（二）数学试题

辽宁省沈阳市重点中学2024年高三高考模拟考试（二）数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线>=h+1与圆好+产=1相交于「、。两点，且/「。。=120。（其中。为坐标原点），则上的值为（）

A.73B.逝C.后或一6D.应和一逝

丫221

2.如图，双曲线C：、—二=1（。〉0力>0）的左，右焦点分别是耳（―c,0）,乙（c,0）,直线y=龙与双曲线。的两

ab2a

TT

条渐近线分别相交于A两点.若=I•，则双曲线C的离心率为（）

BABFXF2

A.2B.

3

C.夜D.拽

3

—一2尤+3,冗W11

3.已知函数兀r）={，若关于X的方程兀r）=fcr——恰有4个不相等的实数根，则实数%的取值范围

Inx,x>12

4.等腰直角三角形ABE的斜边A3为正四面体ABC。侧棱，直角边AE绕斜边A8旋转，则在旋转的过程中，有下

列说法：

(1)四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；

(2)存在某个位置，使得皮)；

(3)设二面角。-AB—E的平面角为。，则ONZME；

(4)AE的中点M与A5的中点N连线交平面5。于点P,则点尸的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是()

A.1B.2C.3D.4

2

5.双曲线H-y2=l的渐近线方程是()

4

A.x±2y=0B.2x±y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

6+3z

6.若复数2=(相+1)+(2—相"(加6尺)是纯虚数，则=()

z

A.3B.5C.y/5D.3A/5

7.已知p为抛物线C：V=8x的焦点，点4(1,间在C上，若直线AF与。的另一个交点为B,则|旗|=()

A.12B.10C.9D.8

8.圆锥底面半径为J?,高为2,SA是一条母线，P点是底面圆周上一点，则P点到SA所在直线的距离的最大值是

()

A.-B.-C.3D.4

33

22

9.设耳，工分别是双曲线三-2=1(°>0/>0)的左右焦点若双曲线上存在点P,使4桃=60。，且忸制=2|%],

ab

则双曲线的离心率为()

A.73B.2C.逐D.76

10.设函数g(x)=ex+(l-&)x—a(aeR,e为自然对数的底数)，定义在R上的函数/⑺满足/(-x)+/(x)=必，

且当无<0时，f\x)<x.若存在/ejx|/(x)+g2/(l-x)+x1,且为函数y=g(x)—x的一个零点，则实数

。的取值范围为()

「&1

A.――,+℃B.(y/e,+00)C.[Ve,+°o)D.—,+co

I2)[2

11.已知复数Z满足z-i=z+i,则三在复平面上对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.在(x-1严的展开式中，一的系数为()

2x

A.-120B.120C.-15D.15

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，直线/，平面c,垂足为。，三棱锥A-BCD的底面边长和侧棱长都为4,C在平面c内，3是直线/上

的动点，则点5到平面AC。的距离为,点。到直线AO的距离的最大值为.

14.若将函数/(x)=sin12%+三]的图象沿x轴向右平移姒。>0)个单位后所得的图象与/(司的图象关于x轴对

称，则。的最小值为.

15.如果复数z满足/.z=l+i,那么忖=(i为虚数单位).

16.如图是一个算法伪代码，则输出的i的值为.

eg

I

While

S—S-i

l+l

EndWhile

Prim/

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，角4,B,C的对边分别为“/,c,其中a<c,"心矿=-c°s(3+C)

besinCcosC

(1)求角C的值;

(2)若c=45,。=27拒，。为AC边上的任意一点，求AO+25。的最小值.

1

18.(12分)已知函数/(%)=5依0一(a-l)x-ln%(a£R,。。0)

(1)求函数/(%)的单调递增区间

(2)记函数,=/(%)的图象为曲线C,设点A(%］，x),B(z，%)是曲线C上不同两点，如果在曲线。上存在点

加(%,为)，使得①％=生方；②曲线C在点M处的切线平行于直线A3,则称函数存在“中值和谐切线”，当a=2

时，函数/Xx)是否存在“中值和谐切线”请说明理由

19.(12分)设数阵A)=(""41，其中%、小、的、/2e{l,2,…,6}.设5={"2L、4}口{1,2—.,6},

\a2\a22J

其中<…<q,/eN*且/W6.定义变换效为“对于数阵的每一行，若其中有左或-左，则将这一行中每个数都

乘以—1；若其中没有左且没有—左，则这一行中所有数均保持不变"(左=，、02、…、,).%(4)表示“将4经

过q变换得到A,再将4经过外变换得到4、…，以此类推，最后将AT经过线变换得到4"，记数阵A/中四个

数的和为.(4).

(D若4=］写出4经过处变换后得到的数阵A；

⑵若4=(；)，s={1,3},求4(4)的值;

(3)对任意确定的一个数阵4,证明：4(4)的所有可能取值的和不超过T.

33

20.(12分)设jf(x)=(a—4)logq%-----xd------(〃>0且〃。1).

a-1a-1

(1)证明:当〃=4时，lnx+/(x)<0；

(2)当1>1时/(x)<0,求整数〃的最大值.(参考数据：加2Po.69,加3k1.10,/n5«1.61,1.95)

22

21.(12分)已知椭圆C：二+与=1(a>b>0)过点(0,6)，且满足a+b=30.

ab

(1)求椭圆。的方程；

(2)若斜率为工的直线与椭圆C交于两个不同点A,B,点M坐标为(2,1),设直线MA与M3的斜率分别为总，

2

ki,试问兀1+近是否为定值？并说明理由.

22.(10分)设函数/(x)=lnx-at,aeR,a/0.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数/(x)=0有两个零点等,%(再〈%)・

(0求。的取值范围;

(n)求证：西随着匕的增大而增大.

x\

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

直线过定点，直线y=kx+l与圆x2+y2=l相交于P、Q两点，且NPOQ=120°(其中O为原点)，可以发现NQOx的大

小，求得结果.

【详解】

如图，直线过定点(0,1),

VZPOQ=120°.\ZOPQ=30°,nz.1=120°,Z2=60°,

二由对称性可知k=±73.

故选C.

【点睛】

本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题.

2、A

【解析】

易得3(-不c笄be)，过3作x轴的垂线，垂足为7,在中，利用吃B7T=tan7wi即可得到a/,c的方程.

22a3

【详解】

由已知，得3(-二竺)，过3作X轴的垂线，垂足为T,故片T=£,

22a2

be

又NBFiF,=工所以鲁=tang=6,即22=0=6，

-3FJ3ca

2

所以双曲线C的离心率e=Jl+§)2=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到七仇c的方程或不等式，本题属于容易题.

3、D

【解析】

由已知可将问题转化为：y=/(x)的图象和直线；有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y=h

一■的下方，即可求得：k>-；再求得直线>=丘一，和y=/"x相切时，k=显;结合图象即可得解.

222e

【详解】

若关于X的方程/(%)=区一|恰有4个不相等的实数根，

则》=/(*)的图象和直线¥=入一；有4个交点.作出函数y=/(x)的图象，如图，

故点(1,0)在直线y=kx—；的下方.

/.A：xl-->0,解得兀>工.

22

当直线》=履一；和y=0x相切时，设切点横坐标为孙

I11

lnm+—1.r

则左=2=9•・m=1e・

m

m

此时，4=l=亚，八X）的图象和直线有3个交点，不满足条件，

me2

故所求k的取值范围是，白:，

故选D..

【点睛】

本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题.

4、C

【解析】

解：对于（1）,当平面A5E,且E在48的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当平面ABE,且E在

AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，

四面体E-BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；

对于（2）,连接OE,若存在某个位置，使得又AEL5E,则AEL平面5DE,可得AELOE,进一步可得

AE=DE,此时E-A3。为正三棱锥，故（2）正确；

对于（3）,取A8中点0,连接O。，E0,则NOOE为二面角O-A3-E的平面角，为0,

直角边AE绕斜边A5旋转，则在旋转的过程中，0G[0,兀），

TT

ZDAE^l—,7t）,所以妇NZME不成立.（3）不正确；

对于（4）AE的中点M与A3的中点N连线交平面5C。于点P,尸到的距离为：dP-Bc,

IpBI

因为七所以点尸的轨迹为椭圆.（4）正确.

力-BC

故选：C.

点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需

要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.

5,A

【解析】

2

试题分析：渐近线方程是L-y2=l,整理后就得到双曲线的渐近线.

4

2,

解：双曲线工-y2

4y

2

其渐近线方程是工-y2=l

4

整理得x±2y=l.

故选A.

点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“产即可求出渐进方程.属于基础题.

6、C

【解析】

先由已知，求出加=-1,进一步可得——-=l-2i,再利用复数模的运算即可

【详解】

由z是纯虚数，得加+1=0且2—机/0,所以/篦=一1,z=3i.

6+3z学=|1-24=石.

因此,

z

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.

7、C

【解析】

求得A点坐标，由此求得直线AE的方程，联立直线AE的方程和抛物线的方程，求得3点坐标，进而求得|A国

【详解】

抛物线焦点为b（2,0）,令％=1,/=8,解得y=±20,不妨设A（l,2板），则直线AE的方程为

-y=|2/|（x_2）=-2V2（x-2）,由之），解得A（l,20）,3（4,-40）,所以

|明="4—1『+（-4拒—2回=9.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.

8,C

【解析】

分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P的位置，推出结果即可.

详解：圆锥底面半径为石，高为2,出1是一条母线，P点是底面圆周上一点，P在底面的射影为。；SA=JK4=3,

OA>SO,过&L的轴截面如图：

ZASQ>90°,过。作QTL&4于T,则QT<QS,在底面圆周，选择p,使得NP&L=90°,则P到S4的距离

的最大值为3,故选：C

点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题.

9、A

【解析】

由归耳|=2帜闾及双曲线定义得归耳|和归闾(用。表示)，然后由余弦定理得出心。的齐次等式后可得离心率.

【详解】

由题意尸司=2］尸工|,.•.由双曲线定义得|「周一|尸闻=2",从而得|尸制=4a,归闾=2a,

在中，由余弦定理得(2c)2=(4a)2+(2a)2—2x4ax2acos60。，化简得e=£=G.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用。表示出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出。的齐

次式.

10、D

【解析】

先构造函数T(x)=/(x)-；必，由题意判断出函数T")的奇偶性，再对函数T(x)求导，判断其单调性，进而可求

出结果.

【详解】

构造函数T(x)=〃x)—

因为/(一力+/(%)=*，

11

所以T(x)+T(—x)=/(x)—5V+〃_力一_(t)9=/(%)+/(-x)-x2=0,

所以T(x)为奇函数，

当xWO时，/(％)=/'(£)—%<0,所以T(x)在(—8,0]上单调递减,

所以T(x)在R上单调递减.

因为存在5e<x/(%)+^>/(l-x)+x>,

所以/(xo)+g2/(l_xo)+x。，

1119

所以T(Xo)+]X；+5”(1-/)+5(1-%0)+x0,

化简得%)，

所以不<1—%,即

令〃(x)=g(x)-

因为/为函数y=g(%)—x的一个零点，

所以h(x)在％Vg时有一个零点

11

因为当xV5时，"⑶="一五<「-y[e=0，

所以函数h(x)在x<:时单调递减，

,〃八1

由选项知。>0,--y=<0<—,

a/a

又因为/z-a=e>Q9

\7匕)

所以要使h(x)在x<1时有一个零点,

只需使"［万］=〈0,解得a2当~,

所以〃的取值范围为与,+8,故选D.

.7

【点睛】

本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.

11、A

【解析】

设2=。+初（a,》eR）,由z-i=z+i得：（。+4）i=a+S+l）i,由复数相等可得a,6的值，进而求出I，即可得解.

【详解】

z=a+bi（a,beR）,由z-i=z+i得：（a+4），=a+S+l）i,即ai-b=a+（b+l）i,

1

Cl——

2,则Z=：-，，所以三=：+7•，在复平面对应的点的坐标为（；,；），

由复数相等可得：解之得一

1AJJ乙乙乙乙

b——

2

在第一象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查共朝复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.

12、C

【解析】

写出（X—」-尸展开式的通项公式&1=%（—4）"小2"令10—2厂=4,即厂=3,则可求系数.

2x2

【详解】

（X—1）1°的展开式的通项公式为&=G'o产1一二）'=/（—令10—2厂=4,即厂=3时，系数为

2x2x2

C；o（—g）3=—15-故选C

【点睛】

本题考查二项式展开的通项公式，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—A/620+2

【解析】

三棱锥A-BCD的底面边长和侧棱长都为4,所以3在平面AC。的投影为AACD的重心，利用解直角三角形，即可

求出点3到平面AC。的距离；OBLOC,可得点。是以8C为直径的球面上的点，所以。到直线的距离为以

为直径的球面上的点到AD的距离，

最大距离为分别过6C和AD的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.

【详解】

AACD边长为4,则中线长为4义正，

2

点3到平面AC。的距离为"16—且］=3",

\I32J3

点。是以为直径的球面上的点，

所以。到直线AD的距离为以为直径的球面上的点到AD的距离，

最大距离为分别过和AD的两个平行平面间距离加半径.

又三棱锥A-BCD的底面边长和侧棱长都为4,

以下求过6C和AD的两个平行平面间距离，

分别取BC,AD中点E,F,连BF,CF,EF,

则5/=。尸,；.防，5。，同理

分别过E,F做EM//AD,FN//BC,

直线BC,EM确定平面«,直线AD,FN确定平面£,

则石尸，硒,两口4)=/,.•.石尸，尸，同理防，

aUp,EF为所求，CP=V16-4=26,

EF=V12-4=2V2，

所以。到直线AD最大距离为2夜+2.

4L

故答案为:2A/2+2.

A

【点睛】

本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.

n

14、—

2

【解析】

由题意利用函数丁=人5吊（5+9）的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得9的最小值.

【详解】

解：将函数外力=51112犬+|^的图象沿》轴向右平移姒0>0）个单位长度，可得

y-sin2（X-^）+y=sin12x—2°+g）的图象.

根据图象与/（x）的图象关于x轴对称，可得一sin12x+mJ=sin[2x—29+gJ,

二一功=（2左+1）〃，kwZ,即左=—1时，9的最小值为g.

71

故答案为：

2

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin（s+9）的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.

15、V2

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.

【详解】

•/Z-Z=1+Z,

i+zji+OH..

・・2—-1.-1，

*,.|z|=A/2,

故答案为：0.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题.

16、5

【解析】

执行循环结构流程图，即得结果.

【详解】

执行循环结构流程图得S=9—1—2—3—4=—1<0,结束循环，输出i=4+l=5.

【点睛】

本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)j；(2)9+2773.

【解析】

(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；

27

(2)在AABC中，由余弦定理得〃=AC=63,在ABCD中结合正弦定理求出——，从而得出CD,即可

sin9

得出y=A。+28。的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出AO+25。的最小值.

【详解】

/«、6"+c~--cos(5+C)

besinCcosC

「，cosA

2cosA=---------,

sinCcosC

由题知，则NAvNC,贝！IcosAwO

/.2sinCcosC=l,

sin2c=1,

4

(2)在AABC中，由余弦定理得，=储+廿一2"8SC,

b—AC=63，

377-3

设/BDC=e,A<e<二,其中sinA=心.

45

BDBC

在ABCD中，.TCsin0>

sin—

4

BD_27A/2

一sin工一sin，，

4

0也sin（e+45>27（sin，+cos，）,

sin。1'sin。

所以y=AD+23。=63—27（sin,+c°s0+2x27=36_27+27x2-cos3,

sin0sin0sin0

_2-cos0_2-cos9

sin。0-sin<9'

所以t的几何意义为（0,2）,（sindcos。）两点连线斜率的相反数，

数形结合可得t=-2-cos,石，

0-sin^

故AD+2BD的最小值为9+2773.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.

18、（1）见解析（2）不存在，见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论。的范围求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，=%，转化为方程有解问题，即可说明.

%

【详解】

⑴函数的定义域为（0,+”）,所以,7小一如+口）

J（九）一

X

当a>0时,f'(x)>Q,x>l.f'(x)<0,Q<x<l,

所以函数于（X）在（1,+8）上单调递增

当avO时,

①当—L<l,a<-l,/'(x)>0,—!<x<1时，函数在Lo］上递增

aa\aJ

②—4=1,。=—1,显然无增区间；

a

11/

③当——时，/r(x)>0,l<x<——,函数在1,一一上递增,

aaya)

(1)

综上当〃〉0,函数在一一,1上单调递增.

I〃J

当”-1时函数在［-J+co］上单调递增；

当a=-1时函数无单调递增区间

当—l<a<0时函数在［1,一4］上单调递增

Ia)

⑵假设函数存在“中值相依切线”

设A(X,%),3(々,为)是曲线y=/a)上不同的两个点，且0<西<%

贝!1%=玉一%-lnx1?y=x2-x2-lnx2

k_%_%_》IX1In.—lnr

x2一%x2-石

2

曲线在点M(x0,y0)处的切线的斜率为k=八％)=%］+々T--;~-

I*^2

1Inx9-Inx.2

%2+再一I------------------Xj+%2------------------

x2~X1再+x2

2卢-l)

...”—1呻=2,.m工用=0

x2-x{X1+x2X]X[।]

令.=玉，则丸=('—D：〉0,

%I+/t[t+1)

单调递增，h(t)>h(l)=0,

故丸«)=0无解，假设不成立

综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”

【点睛】

本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题.

—2、

19、(1)A=;(2)-5；(3)见解析.

【解析】

(1)由4=］能求出4经过心变换后得到的数阵A；

(2)由；］，5={1,3},求出数阵4经过见变化后的矩阵，进而可求得4(4)的值；

(3)分qI和=%2两种情况讨论，推导出变换后数阵4的第一行和第二行的数字之和，由此能证明《(4)的

所有可能取值的和不超过-4.

【详解】

(\2\(~\—2、

(1)•.•4=,4经过。2变换后得到的数阵a=；

I15J

门3、(13、

⑵4=aA经区变换后得QA，故4(4)=l+3—3—6=—5；

1-3-0；

(3)若对w%2,在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有g且不含生的子集共24个，经过变换后第一行均变为

一。11、一42；

含有q2且不含%的子集共24个，经过变换后第一行均变为-a”、-al2,

同时含有句和牝的子集共24个，经过变换后第一行仍为孙、％2；

不含孙也不含牝的子集共24-1个，经过变换后第一行仍为小、«12.

所以经过变换后所有4的第一行的所有数的和为

24x(_a”一q2)+x(_fljj_弓2)+x(au+q,)+(2,一1)x(q［+色2)=—a”一42■

若q=%2,贝！I{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有知的子集共25个，经过变换后第一行均变为-%、-4；

不含有旬的子集共25-1个，经过变换后第一行仍为孙、«12.

55

所以经过变换后所有A的第一行的所有数的和为2x(-flll-«12)+(2-l)x(fl11+«12)=-fl11-«12.

同理，经过变换后所有A的第二行的所有数的和为一生1-。22.

所以4(4)的所有可能取值的和为-011-012-421-42，

又因为41、/、%1、&e{l,2,…,6},所以7；(4)的所有可能取值的和不超过T.

【点睛】

本题考查数阵变换的求法，考查数阵中四个数的和不超过T的证明，考查类比推理、数阵变换等基础知识，考查运算

求解能力，综合性强，难度大.

20、(1)证明见解析；(2)。=5.

【解析】

⑴将a=4代入函数解析式可得了(%)=—%+1,构造函数g(x)=lnx—x+1,求得g，⑺并令9(l)=0,由导函

数符号判断函数单调性并求得最大值，由g(九)1mx=0即可证明g(x)<0恒成立，即不等式得证.

(2)对函数求导，变形后讨论当a>1时的函数单调情况：当(。―4)(0—时,可知满足题意；将不等式化简后

Ina

构造函数g(a)=「2—5a+4-31na,a>l,利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为g(3),分别

依次代入检验g(3),g(4),g(5),g(6)…的符号，即可确定整数。的最大值；当(°二夕(">3时不满足题意,因

Ina

为求整数。的最大值，所以0<。<1时无需再讨论.

【详解】

(1)证明：当a=4时代入/⑺可得/(x)=r+l,

令g(x)=lnx-x+l,xe(0,~H»),

贝！i/(%)=Li=L^,

令g'(x)=0解得x=l,

当xe(O,l)时g[x)>0,所以g(x)=lnx—x+1在xe(O,l)单调递增，

当xe(l,+oo)时g'(x)<0,所以g(x)=lnx—x+l在xe(l,+oo)单调递减，

所以ga)max=g(l)=lnlT+l=°，

则g(x)=山％一%+1V。,即lnx+/(x)<。成立.

33

(2)函数/(%)=(〃-4)logqx-----xd-----(〃>0且〃wl).

Ja-1a-1

贝U/，(x)=__=-----------------------,x>1'

x\naa—1x^a—l)]na

若a>l时，当①-4)("T)«3时,广(无)<0,则/(x)在[1,+8)时单调递减，所以/(x)W=0,即当时

Ina

/(%)W0成立；

a>l

所以此时需满足<(〃-4)(〃-1)<3的整数解即可，

、Ina

将不等式化简可得〃2一5〃+4<3In〃，

令g(〃)=〃2—5〃+4-31n〃,a>1

则g，(a)=2a-5q=2屋-5。-3=(2a+l)(a-3),g

aaa

令g'(a)=O解得a=3,

当a«l,3)时g，(a)<0,即g⑷在Je(1,3)内单调递减,

当a«3,+<»)时g<a)>0,即g(a)在ae(3,+<»)内单调递增，

所以当a=3时g(。)取得最小值，

贝!|g(3)=32—5x3+4-31n3=-2-31n3<0,

^(4)=42-5x4+4-31n4=-31n4<0,

^(5)=52-5x5+4-31n5=4-31n5-4-3x1.61<0,

^(6)=62-5x6+4-31n6=10-3(ln2+ln3)-10-3x1.79>0

所以此时满足a2_5a+4<3ina的整数a的最大值为。=5；

当("—4)(aT)>3时,在J。-：)("T)时/(盼>。，此时/(同>/。)=。，与题意矛盾，所以不成立.

Ina2Ina

因为求整数。的最大值，所以0<。<1时无需再讨论，

综上所述，当时/(x)W0,整数。的最大值为a=5.

【点睛】

本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断

函数值法符号，综合性强，属于难题.

22

21、（1）—+^=1（2）%+近为定值0,见解析

82

【解析】

（1）利用已知条件直接求解。力，得到椭圆的方程；

（2）设直线在y轴上的截距为，"，推出直线方程，然后将直线与椭圆联立，设A（玉,％）,B（x2,y2）,利用韦达定理

求出匕+七，然后化简求解即可.

【详解】

（1）由椭圆过点（0,0）,则匕=血，又a+b=3贬,所以。=2血，

22

故椭圆的方程为土+乙=1;

82

（2）匕+履=0,证明如下:

设直线在y轴上的截距为相，所以直线的方程为：y=~x+m,

1

y=­x+m

,2

由＜22得:%2+2mx+2/n2—4=0>

工+J

[82

由△=4m2-Snr+16>0得一2（加<2,

设A（X],yJ,B（x2,y2）,则工]+工2=_2/九，xYx2=2m~-4,

%T।%-1_（X-1）（9-2）+（%T）（石-2）

所以勺

X]—2%2—2