2024-2025学年江苏省南京市浦口区明发某中学九年级（上）第一次月考数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市浦口区明发一中九年级（上）第一次月考数

学试卷

一、选择题

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x-y=5B.x+A=0C.5，=1D.y1-x+3—Q

x

2.一元二次方程x2-4x=-4的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

3.已知1是关于x的一元二次方程，+x+F-3后-6=0的一个实数根，则实数后的值是（）

A.4或-1B.-4或1C.-1D.4

4.已知。。的半径为5,点P在OO内，则。P的长可能是（）

A.7B.6C.5D.4

5.如图，。。是△N8C的外接圆，若AB的长等于半径，则NABC的度数为（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

6.如图，在扇形048中，点。在04上，NAOB=/BCD=90°.若CD=3,BC=4(

A.4B.4.8C.2娓D.3加

二、填空题

7.方程x2-2x=0的解是.

第1页（共25页）

8.已知XI,X2是方程X2-3x+2=0的实数根，贝！IX1+X2-xix2=.

9.①弦是直径；

②半圆是弧；

③两个半圆是等弧；

④三个点确定一个圆；

⑤圆的内接平行四边形是矩形；

⑥相等的弦所对的弧相等.

说法正确的有（填序号）.

10.在。。中，弦48的长恰好等于半径，弦48所对的圆心角为.

11.某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变.设年平均

增长率为x,可列出方程.

12.如图，在。。的内接四边形/BCD中，点£在篇上，则/E=°.

C

13.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深

一寸，锯长一尺，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，锯长N8为10寸，则圆材的半径为

寸.

14.如图，在。。中，弦/2、8相交于点E,ACBD-若/DEB=69°,则而的度数为

0*'

15.如图，。。与正八边形A8CDEFG8相切于点E,则AE的度数为

第2页（共25页）

16.在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(4,0),若直线y=x+6上存在点尸满足45°W/APBW9Q。

且PA=PB,则常数b的取值范围是.

三、解答题

17.解方程：

(1)X2-4x-5=0；

(2)2X2-3x-3=0；

(3)(2x-1)2=2x-1.

18.如图，是O。的直径，点C,CE_L48于点E,DFL4B于点产

19.关于x的方程--(m+4)x+3m+3=0.

(1)求证：不论仅取何值，方程总有两个实数根;

(2)若方程有一个根小于2,则加的取值范围是.

20.如图，在平面直角坐标系中，A(2,5),B(4,5),C(6,3).G)M经过B

(1)点M的坐标是:

(2)判断与y轴的位置关系，并说明理由.

->

x

第3页(共25页)

21.某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会

减少10件，且尽量减少库存，应涨价为多少元？

22.如图，在。。中，AB=AC.

(1)若N50C=100°,则源的度数为'

(2)若42=13,3C=10,求。。的半径.

23.请用两种不同的方法证明“圆内接四边形的对角互补”.

己知：；

法①法②

24.如图，是。。的直径，点。在。。上，且众=窟，C3的延长线交于点G,C尸，交于/G于点

F

(1)求证：ZCAB=ZBCD；

25.已知设过点P所画的的两条切线分别为我，PB,切点为/

尺规作图：用两种不同的方法作一点尸，使N/P3=45°.

第4页(共25页)

(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)

方法①方法②

26.如图①，在四边形48CD中，NBAD=ND=90°,CD=6,AB=m.过4B,随着根的变化而变

化.解决下列问题:

(1)如图②，当加=0时，圆心。在/。上

【一般情形】

(2)(I)当加=2时，求的半径；

(II)当机＞0时，随着机的增大，点。的运动路径是.(填写序号)

①射线

②弧

③双曲线的一部分

④不规则的曲线

【深入研究】

(3)如图③，连接/C,以。为圆心，记为小。。.当小。。与/C相交且与2C相离时，直接写出加

的取值范围.

第5页(共25页)

2024-2025学年江苏省南京市浦口区明发一中九年级（上）第一次月考数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

I.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x-y=5B.x+A=0C.5x2=lD.y2-x+3=0

x

【解答】解：/、含有2个未知数；

B、为分式方程；

C、只含有一个未知数x,二次项系数不为0,符合题意；

D、含有6个未知数；

故选：C.

2.一元二次方程f-4x=-4的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

【解答】解：：d-公=7，

.'.x2-4x+6=0,

•/A=（-4）3-4X1X3=O,

一元二次方程f-2x=-4有两个相等的实数根.

故选：A.

3.已知1是关于x的一元二次方程/+x+F-34-6=0的一个实数根，则实数左的值是（）

A.4或-1B.-4或1C.-1D.4

【解答】解：根据题意，直接把x=l代入x2+x+--34-6=6,

则F+2+0-3^-8=0,

.,.k=4或后=-4；

故选：A.

4.已知。。的半径为5,点尸在内，则。尸的长可能是（）

A.7B.6C.5D.4

第6页（共25页）

【解答】解：：。。的半径为5,点P在。。内，

：.OP<5.

故选：D.

5.如图，。。是△/8C的外接圆，若AB的长等于半径，则NABC的度数为（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

【解答】解：连接04、OB,如图，

•:AB=OA=OB,

：・AOAB为等边三角形，

：.ZOAB=60°,

VZBAC=\W°,

：.ZOAC=HO°-60°=50°,

•：OA=OB,

:・/OBA=NOAB=50°,

：.ZAOC=180°-50°-50°=80°,

ZABC=^ZAOC=40°.

2

故选：B,

o

6.如图，在扇形中，点。在CM上,ZAOB=ZBCD=90°.若CZ)=3,BC=4(

第7页（共25页）

A.4B.4.8C.275D.3V2

【解答】解：以点。为圆心，以。2为半径画圆，连接BE,如图所示：

在△BCD中，ZBCD=90°,BC=4,

由勾股定理得：BD==5,

VZBCD=90°,

...BE为的直径，

...点2,O,E在同一条直线上，

：.OB=OE,

VZAOB=90°,

：.DE=BD=5,

在RtABCA中，CE=CD+DE=8,

由勾股定理得：BE=^/CE2+BC2=V22+43=4、而・

:.OB=OE=2BE=2V8.

2

故选：C.

二、填空题

7.方程f-2x=0的解是xi=0,m=2.

【解答】解：x2-2x=8,

x(x-2)=0,

第8页（共25页）

贝！Jx=5,x-2=0,

X6=0,X2=8.

故答案为：X1=O,%6=2.

8.已知xi,12是方程--3x+2=0的实数根，贝U制+工2-xix2=5.

【解答】解：・・,xi,X2是方程，-3x+2=3的两个实数根，

...Xl+X2=8,X\X2=~6,

「・X1+X2-'3X2=3-（-4）=5.

故答案为：5.

9.①弦是直径；

②半圆是弧；

③两个半圆是等弧；

④三个点确定一个圆；

⑤圆的内接平行四边形是矩形；

⑥相等的弦所对的弧相等.

说法正确的有②⑤（填序号）.

【解答】解：①弦不一定是直径，原说法错误；

②半圆是弧，原说法正确；

③半径相等的两个半圆是等弧，原说法错误；

④经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，原说法错误；

⑤圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，即平形四边有一个内角是90。，原说法正确;

⑥同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等.

所以说法正确的有②⑤.

故答案为：②⑤.

10.在。。中，弦的长恰好等于半径，弦-3所对的圆心角为60°.

【解答】解：如图，

,：AB=04=0B,为等边三角形，

/.ZAOB=60°,

故答案为60°.

第9页（共25页）

o

11.某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变.设年平均

增长率为x,可列出方程3000(1+x)2=3662.

【解答】解：设年平均增长率为X,

根据题意：3000(1+x)2=3662,

故答案为：3000(6+x)2=3662.

12.如图，在。。的内接四边形/BCD中，点£在篇上，则/£=126°.

【解答】解：在OO的内接四边形A8CD中，/C=108°,

：.ZC+ZBAD=]30°,

AZBAD=1SQ0-108°=72°,

'：AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

：.ZABD=1-(180°-72°)=54°,

2

:四边形/ADE为圆的内接四边形，

4a0=180°,

：.Z£'=180o-54°=126°.

故答案为：126.

13.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深

一寸，锯长一尺，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，锯长为10寸，则圆材的半径为13

寸.

第10页(共25页)

c

ADB

【解答】解：设圆材的圆心为O,延长CD,连接3

由题意知：CE过点。，＞OC1AB,

则AD=BD=AB=5,

设圆形木材半径为r寸，

则OD=(r-1)寸，O/=r寸，

'：OA,=OD1+AD2,

.,.r4—(r-1)2+62,

解得：r=13,

.'.OO的半径为13寸，

故答案为：13.

C

E

14.如图，在。。中，弦/2、CD相交于点E,ACBD-若NDEB=69°,则俞的度数为46

VZDEB=69°,NCEB+/DEB=18Q°,

第11页(共25页)

：.ZCEB=H1

・・•AC=2BD，

/ABC=2/BCD,

VAABC+ABCD+ZCEB=180°,

A4Z5CD=69°,

ZBCD=23°,

ZBOD=2ZBCD=46°,

・・.加的度数为46°,

故答案为：46.

15.如图，与正八边形/5COEFG以相切于点/,E,则众的度数为135°

O

FE

【解答】解：如图，连接。4

FE

,/OO与正八边形ABCDEFGH相切于点，，1

：./OAH=/OEF=90°,

:六边形/〃GFE。的内角和为（6-2）X180c=720°,ZH=ZG=ZF=(6-2)X1804-8=135°,

:.NAOE=72Q°-90°X4-135°X3=135°

金的度数为135°,

故答案为：135°.

16.在平面直角坐标系中，A（-2,0）,B（4,0),若直线y=x+6上存在点尸满足45°WN4PBW9Q。

第12页（共25页）

且弘二尸瓦则常数6的取值范围是2W6W3\/?+2或-3近-4y4

【解答】解：(-2,0),6),

.\AB=6.

9：PA=PB,

...点P在线段AB的垂直平分线上，

设线段的垂直平分线交x轴于点C,则点C(l,

：.OC=5.

①当6>0时，

设直线y=x+6交x轴于点。，交>轴于点E,0),b).

：・OD=b,OE—b.

：.ZODE=ZOED=45°,DC=OD+OC=b+6.

当N4尸5=90°时，如图，

：.ZCPE=ZOED=45°.

：.PC=DC=b+\,

为斜边48的中点，

：.PC=1AB^3.

4

.♦.6+1=5.

；.6=2.

当/APB=45°时，如图,

第13页(共25页)

VZAPB=45°,

：.AF=PF.

设/尸=尸尸=x,则卫4=&x,

"：PA=PB,

：.PB=^x,

：.BF=PB-PF=(V2-1)x.

,：AF7+BF2=AB2,

,',X5+[(V2-1)X]2=62>

；.X4=18+9我.

••81

・S^ABP至AB・PCqBP・AF，

.'.6(6+1)—yf^x'x.

，6=3&+8.

V45°WNAPBW90。,

：.2WbW3a+2.

②当b<0时，

设直线y=x+6交x轴于点。，交y轴于点E,7),b).

：.0D=-b,0E=-b.

：.ZODE=ZOED=45°,DC=OD+OC=~b~\.

当N4P5=90°时，如图，

第14页（共25页）

PC//OE,

：.ZCPE=ZOED=45°.

：.PC=DC=-b-\,

〈C为斜边45的中点，

：.PC=^4B=3.

2

-6-3=3.

：.b=-4.

VZAPB=45°,

：.AF=PF.

设AF=PF=x,则a=J§x,

;PA=PB,

第15页（共25页）

.PB='^2x,

.BF=PB-PF=(V2-5比

'AF2+BF2^AB5,

•1-X2+[(V2-4)X]2=66>

.'.x2=18+9^4.

..15

,SAABP-2-AB^C=JBP-AF>

.".6(-Z>-8)=J^x・x.

:.b=-35/2-4.

V45°WNAPBW9Q。，

,-3&-4W6W-4.

综上，常数6的取值范围是：7W6W3衣-4.

三、解答题

17.解方程：

(1)x2-4x-5=0；

(2)2/-3x-3=0；

(3)(2x-1)2=2X-1.

【解答】解：(1)f-4x-7=0,

(x+1)(x-6)=0,

贝!Jx+l=8或x-5=0,

所以X4=-LX2=3.

(2)2X2-2X-3=0,

A=(-2)2-4X3X(-3)=33>0,

则x=2-

2X2—

所以x>xT=303T.

x44x74

(3)(2x-1)2=5X-1,

⑵-5)2-(2x-8)=0,

⑵-5)(2x-1-3)=0,

⑵-7)⑵-2)=2,

第16页（共25页）

贝U2x-1=4或2x-2=3,

所以1,

X1节，X2=L

18.如图，是O。的直径，点C,CE_L4B于点E,DFL4B于点F

【解答】证明：连接。C,OD,

'：CE±AB,DFLAB,

：.ZOEC=ZOFD=9Q°.

在RtAOAC和RtAOFD中，

'OE=OF,

[OC=OD.

?.RtAOEC^RtAOFD(HL),

：.NAOC=NBOD,

(1)求证：不论加取何值，方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于2,则/的取值范围是加＜1.

【解答】(1)证明：b2-4ac—(m+7)2-4(3m+3)=(m-2)8

\,无论取何值时，(m-2)226,

•••原方程总有两个实数根.

(2)解：x2-(m+4)x+3m+3=0,

(x-5)(x-m-1)=0,

第17页(共25页)

x=3或x=m+l,

右方程有一个根小于2,贝!J&泌卯冽+4V2&〃加0加V1.

综上可知，若方程有一个根小于6,

故答案为：m<l.

20.如图，在平面直角坐标系中，A（2,5）,B（4,5）,C（6,3）.0M经过4,B

（1）点M的坐标是(3,2)

（2）判断与y轴的位置关系，并说明理由.

x

【解答】解：（1）连接45,BC,5c的垂直平分线交于点以4M为半径的圆为所求

根据网格的特征可得：点M的坐标为（3,2）,

故答案为：（3,2）.

（2）。河于夕轴相交，理由如下：

由勾股定理得：^=714+32=^,

即OM的半径为

的圆心M的坐标为（3,2）,

・••点M至！］>轴的距离d=3,

■:d〈r,

.・・于〉轴相交.

21.某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会

第18页（共25页）

减少10件，且尽量减少库存，应涨价为多少元？

【解答】解：设应涨价为X元，则销售量为(500-10x)件,

根据题意得：(50+X-30)(500-10x)=12000,

整理得：x2-30x+200=0,

解得：X4=10,X2=20(不符合题意，舍去)，

答：应涨价为10元.

22.如图，在。。中，AB=AC.

(1)若/30C=100°,则源的度数为130

(2)若/2=13,3c=10,求。。的半径.

【解答】解：(1):在。。中，Z50C=100°,

:./A4C=50°，

VAB=AC>

：.AB=AC,

：.ZABC^ZACB=65°,

.-.AB=I3O°,

故答案为：130；

(2)连接NO,延长/O交3c于。，BD=CD=L

2

...在直角中，由勾股定理JAB6_BD2={]/2_53=12；

在直角△08。中，由勾股定理2=(12-OB)2+42,

解得03=地，即。。的半径是」也.

2424

23.请用两种不同的方法证明“圆内接四边形的对角互补”.

已知：四边形/8CP是。。的内接四边形；

求证：/AW+/3CD=180°.

第19页(共25页)

法①法②

【解答】解：已知：四边形是的内接四边形,

求证：ZBAD+ZBCD=\?>0o,

证明：方法①，如图，0B,

22

：.ZBAD+ZBCD=1.(Z4+Z1)=工；

26

方法②，如图，连接

/.ZABE=ZADE=9Q°,

AZBAD+ZBED=36Q°-90°-90°=180°,

'：ZC=ZBED,

法①法②

24.如图，是。。的直径，点C在。。上，且筋=魂，CB的延长线交于点G,交于/G于点

F

(1)求证：NCAB=NBCD；

(2)求证：AF=FG.

第20页(共25页)

c

【解答】证明：(1)・・・/5是。。的直径,

AZACB=ZACD+ZBCD=90°,

・・・CF_L/5于。，

：.ZCAB+ZACD=90°,

；・/CAB=/BCD；

(2)如图，连接CE,

VZACB=90°,CDLAB,

：.ZCAB+ZABC=90°,ZCAB+ZACD=90°,

・•・/ACD=/ABC,

・.・NABC=/AEC,

：.ZACD=ZAEC,

AC=CE，

・・・NAEC=/CAE,

：.ZCAE=ZACDf

:・AF=CF,

VZACB=90°,

：.ZCAG+ZG=90°,ZACF+ZBCF=90°,

'：ZCAG=ZACFf

:・/G=/BCF,

第21页（共25页）

：.CF=FG,

：.AF=FG.

25.已知OO.设过点P所画的（DO的两条切线分别为我，PB,切点为/

尺规作图：用两种不同的方法作一点尸，使N/P3=45°.

（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【解答】解：如图，点P即为所求.

方法①：作直径即，CD；作半径。4平分NEOD,8分别作CM,两条垂线的交点即为点尸.

方法②：作半径OA,过/作直线ILOA,OA为半径画弧交圆。于点C,OC为半径画弧交直线I于点

P,AP为半径画弧交。。于点8P点P即为所求.

26.如图①，在四边形48CD中，/BAD=ND=90°,CD=6,AB^m.过4B,随着根的变化而变

化.解决下列问题：

第22页（共25页）

【特殊情形】

(1)如图②，当机=0时，圆心。在AD上

【一般情形】

(2)(I)当〃2=2时，求。。的半径；

(II)当%>0时，随着〃?的增大，点。的运动路径是①.(填写序号)

①射线

②弧

③双曲线的一部分

④不规则的曲线

【深入研究】

(3)如图③，连接NC,以。为圆心，记为小。。.当小。。与NC相交且与3c相离时，直接写出加

的取值范围.

【解答】(1)解：连接。C,在。。中，则。£>=8-八

在RtZXOCD中，/。=90°

：.OD2+CD2=OC2,即(8-r)4+62=广

解得『=/_.

4

(2)(I)解:过点O分别作"_L4B,OE±CD,